近三年高考概率统计

（2）由茎叶图知 列联表如下： 超过 第一种生产方式 15
.
不超过 5
第二种生产方式
5
15
（3）由于
，
所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 .
4、 （ 2017 年全国 1）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生
（2 ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有 关： 箱产量＜50kg 旧养殖法 新养殖法 （ 3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） ． 箱产量≥ 50kg
附：
，
n(ad bc)2 K (a b)(c d )(a c)(b d )
2
【考点】 独立事件概率公式、独立性检验原理、频率分布直方图估计中位数 【名师点睛】 （1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独 立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随 机变量的观测值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大． (2)利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点： ①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数； ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； ③平均数是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘 以小长方形底边中点的横坐标之和．
=–30.4+13.5×
利用模型②， 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5 （亿元） ． （2）利用模型②得到的预测值更可靠。理由如下： （i）从折线图可以看出， 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=– 30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述 环境基础设施投资额的变化趋势． 2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设 施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势， 因此利用模型 ②得到的预测值更可靠． （ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的预 测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用 模型②得到的预测值更可靠．
Байду номын сангаас
；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量的值依次为 ②： ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
解： （1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 19=226.1（亿元） ．
⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； ⑵求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ， 并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表： 超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 不超过 m
⑶根据⑵中的列表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
所以应该对余下的产品作检验.
2、 （2018 年全国 2）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元） 的折线图．
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量的两个线性回归 模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量的值依次为 ）建立模型①： ）建立模型
2 N ( , )． 产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
（1） 假设生产状态正常， 记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件数，求 P( X 1) 及 X 的数学期望； （2 ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这 条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.26 10.12 9.91 9.96 10.13 9.96 10.02 10.01 9.22 9.92 10.04 9.98 10.05 10.04 9.95
P K 2 ≥ k 0.050 0.010 0.001 附： K ， ． k 3.841 6.635 10.828 a b c d a c b d
2
n ad bc
2
解： （1）第二种生产方式的效率更高.理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至 少 80 分钟， 用第二种生产方式的工人中， 有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟. 因此第二种生产方式的效率更高. （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分 钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生 产方式的效率更高. （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟； 用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的 效率更高. （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最 多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分 布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方 式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高 . 以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 .
过程进行检查 .
ˆ 3 ˆ ˆ , 剔 除 ( 之 ) 外 的 数 据 9.22 ， 剩 下 数 据 的 平 均 数 为 ˆ 3
1 (16 9.97 9.22) 10.02 ， 15
因此 的估计值为 10.02.
x
i 1
16
2 i
ˆ 3 ˆ, ˆ 3 ˆ ) 之外的数据 9.22， 16 0.2122 16 9.972 1591.134 ， 剔除 (
3、 （ 2018 年全国 3）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任 务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两 组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人 完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
∴当 p (0,
1 （2） （i）设余下产品中不合格品数量为 Y ，则 X 40 25Y ，由题可知Y ~ B(180 , ) ， 10 1 ∴ EY np 180 18 . 10 ∴ EX E (40 25Y ) 40 25EY 40 25 18 490 （元）. （ii）由（i）可知一箱产品若全部检验只需花费 400 元，若余下的不检验则要490 元，
ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ，利用估计值 用样本平均数 x 作为 的估计值
ˆ 3 ˆ, ˆ 3 ˆ ) 之外的数据， 判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ( 用剩下的
数据估计 和 （精确到 0.01）．
2 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N (, ) ，则 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ，
2 2 18 解： （1）由题可知 f ( p) C20 p (1 p) （ 0 p 1 ）.
∴ f ( p) C20 [2 p(1 p) 18 p (1 p) (1)] 2C20 p(1 p) (1 10 p)
2 18 2 17 2 17
1 1 ) 时， f ( p) 0 ，即 f ( p ) 在 (0, ) 上递增； 10 10 1 1 当 p ( ,1) 时， f ( p) 0 ，即 f ( p ) 在 ( ,1) 上递减. 10 10 1 1 ∴ f ( p ) 在点 p 处取得最大值，即 p0 . 10 10
1 16 1 16 1 16 2 2 xi 9.97 ， s 经计算得 x ( xi x ) ( xi 16 x 2 ) 0.212 ， 16 i 1 16 i 1 16 i 1
其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i 1, 2, ,16 ．
剩下数据的样本方差为
1 (1591.134 9.222 15 10.022 ) 0.008 ， 15
因此 的估计值为 0.008 0.09 .
点】正态分布，随机变量的期望和方差 【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平 均水平 .求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质， 确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个 值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前 考过一次，尤其是正态分布的 3 原则.
P( X 1) 1 P( X 0) 1 0.997416 0.0408 .
EX 16 0.0026 0.0416 .
ˆ 0.212 ， ˆ 9.97 ， 的估计值为 （ii）由 x 9.97, s 0.212 ，得 的估计值为
ˆ 3 ˆ, ˆ 3 ˆ ) 之外， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 ( 因此需对当天的生产
近三年高考概率统计试题
1、 （ 2018 年全国 1）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之 前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品 的概率都为 p 0 p 1 ，且各件产品是否为不合格品相互独立． ⑴记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f p ，求 f p 的最大值点 p0 ； ⑵现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以⑴中确定的 p0 作为 p 的值．已知 每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用． （i） 若不对该箱余下的产品作检验， 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ， 求 EX ； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检 验？
0.997 416 0.959 2 ， 0.008 0.09 ．
解： （1）抽取的一个零件的尺寸在 ( 3 , 3 ) 之内的概率为 0.9974， 从而零件的尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的概率为 0.0026，故 X ~B(16,0.0026) . 因此
5、 （ 2017 年全国 2）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时 各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg） ．其频率分布直方图如下：
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立， 记 A 表示事件： “旧养殖法的箱产量低于 50kg， 新养殖法的箱产量不低于 50kg” ，估计 A 的概率；