直角三角形的分类讨论

当∠EFA=90°时
分析：
60° 30°
30°30°
AC BC tan 30 3 FC AC tan30 1
BD DF 1 BF 1 (BC FC) 1
2
2
当∠EAF=90°时,此时点F在点C的右侧
60° 30°
30°
分析：
AC BC tan 30 3 FC AC tan30 1 BD DF 1 BF 1 (BC FC) 2
分类讨论之二
直角三角形 的分类讨论
一、教学目标
1、复习巩固直角三角形的相关知识 2、掌握直角三角形的分类方法 3、用作图的方法解决直角三角形的分类
二、教学重、难点
教学重点：熟练掌握直角三角形的分类方法； 教学难点：拓宽数学视野，提高分类意识。
三、知识回顾
看到直角三角形你会想到那些知识？
11
11
七、谈谈收获：
1、直角三角形指代不明应分类讨论。
2、直角三角形的分类方法。
3、用作图的方法解决直角三角形的分类
4、将直角三角形相似的分类转化为直角 的分类。
八、布置作业
1、说明检测P98页23题 2、
谢谢合作！
●
六、相似三角形的分类讨论转化为直角的分类讨论
例3：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°， BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm，在线段BC、CD上有 动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向 点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上 从点C向点D匀速运动.当点F到达C时，点E同时停止运动. 设点F运动的时间为t（秒）
由题意得：(3 x)2 x2 12,因为 0， 所以没有实数根，
这种情况不存在。
综上所述，当x 5 或x 4 时，
3
3
ABC为直角三角形
即时训练
1、（2012河南15题）如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3.点D是BC边上 一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC 交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射 线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时，BD 的长为 。
1
3-x
x
提示：直角三角形指代不清楚时，应分类讨论。
（1）、当∠ACB=90°时，AB为斜边
由题意得：x2 (3 x)2 12, 解得：x 5 3
（2）、当∠CAB=90°时，CB为斜边
由题意得：(3 x)2 x2 12, 解得：x 4 3
（3）、当∠ABC=90°时，AC为斜边
条件的点C的个数为（
）
A.1 B.2
C.3 D.4
（1）当∠CAB为直角时，A存在，过A作AC⊥AB交直线与点C1. （2）当∠CBA为直角时，B存在，过B作BC⊥AB交直线与点C2. （3）当∠ACB为直角时，C不存在，以AB为直径作圆交直线与点
C3、C4.
C1●
C● 4
●
C3●● C2
即时训练：2012年广州24题
（1）求AD的长；
（2）点F、E在运动过程中，如△CEF与△BDC相似，求 线段BF的长.
分析：△BDC为直角三角形，所以△CEF也应为 直角三角形。因为∠C不会为直角，所以分为 ∠CEF为直角和∠CFE为直角两种情况。
当∠EFC为直角时
CEF CBD CF CD 6 10 2t 3 CE CB 10 t 5
1、两锐角互余 2、勾股定理 3、直角三角形中斜边上的中线长等于斜边长的一
半 4、锐角三角函数 5、直角三角形的相似
小试牛刀：
直角三角形两边长分别为3、4，则
第三边长为 5或 7 .
可见，直角三角形指代不清楚时，应分类讨论。
四、直角三角形的分类方法
例1、已知A、B是线段MN上的两点，MN=4， MA=1，MB>1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为 中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构 成△ABC，设AB=x,若△ABC为直角三角形，求x的 值.
如图：当∠DEF=90°
AD 1 AE 10 2t 1 t解得t 4.
2
2
∠EFD=90°，此种情况不存在
综上所述，当t 5 或t 4时，△DEF为直角三角形 2
五、通过作图，确定点的个数
例2： 已知：A（-4，0），B（2，0），点C在函数
y=-0.5x+2的图像上，要使△ABC为直角三角形，满足
（1）求证：AE=DF.
（2）四边形AEFD能成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由.
（3）当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由.
如图：当∠EDF=90°
30°
∵四边形EBFD是矩形∴在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30° ∴AD=2AE,即10-2t=2t,解得t=2.5
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2、(2011河南Βιβλιοθήκη Baidu2题）
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC= 5 3 ， ∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的 速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每 秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达 终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间 为t秒（t>0），过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF.
解得：t 50 ,此时BF 2t 100 cm.
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综上所述，当CEF与BDC相似时，
BF 60 cm或BF 100 cm.
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当∠FEC为直角时
CEF CDB CE CD , t 3 CF CB 10 2t 5
解得：t 30 ,此时BF 2t 60 cm.
（3）已知A（-4，0），B（2，0），E（4，0），直线m过E 点，M为直线m上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三 角形有且只有三个时，求直线m的解析式.
●
分析：过点A、B分别作x轴
的垂线，这两条垂线与直线
m总是有交点的，即2个点M
●
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●
C
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以AB为直径的⊙C如果 与直线m相交，那么就 有两个点,这时共有4个 点，不符合题意；如果 与直线m相切，就只有1 个点M，这时共有3个点， 符合题意。