钢结构板的屈曲理论

精品课件
u、v与挠度w的关系
u z w v z w
x
y
将此二式代入上三式有：
x
z
2w x2
y
z
2w y2
xy
2z
2w xy
4） 本 构 关 系
由广义虎克定律有：
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
x
y)
x y
xy G
2 (1 E
) xy
可解出应力表达式 ，并用几何关系 表为挠度关系
当 a b时 k 4 .0 5 .3 4 (b / a ) 2 s
对于四边固定的受剪板：
当 a b时 k ８ .9 8 5 .6 (b / a ) 2 s
当 a b时 k 5 .6 8 .9 8 (b / a ) 2
s
精品课件
对 于 比 值 a / b 远 大 于 1 . 0 的 受 剪 板 件 ， 可 以 在 板 的 两 侧 设 置 横 向 加 劲 肋 以 缩 小 板 的 幅 面 尺 寸 ， 从 而 提 高 板 的 剪 切 屈 曲 系 数 。
xy
0
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1.2 弹性屈曲荷载
1） 单 项 均 匀 受 压 简 支 板
板的中面力N P N 0 N 0
x
x
y
xy
微分方程变为：4w
P x
2w
D x2
设满足边界条件的曲面方程为：
m x n y
w
A sin sin
mn m 1 n1
a
b
式 中 m和 n分 别 是 板 屈 曲 时 在 x和 y方 向 的 半 波 数
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2） 力 的 平 衡 方 程
2 M x 2x 2 2 x M y x y 2 M y 2y N x 2 x w 2 2 N x y x 2 w y N y y 2 w 2 0
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3）几何方程
距中面为z处的dz厚度板的变形
1v/x 2 u/y x ux y yv xyxvuy
M
xy
t
2
t 2
xy zd z
D
1
2w xy
式
中
：
D
E t3 1 2 (1
2)
,为
单
位
宽
度
板
的
抗
弯
刚
度
6)板 受 弯 的 挠 曲 微 分 方 程 式 ， 将 内 力 的 公 式 代 入
力的平衡方程有：
4w x4
2
4w x 2 y 2
4w y4
1 D
N x
2w x2
2 N xy
应
变
z
和
剪
应
变
zx
与
zy
都
可
忽
略 不 计 。 z = 0， 可 用 板 中 面 的 挠 度 代 表 沿 厚 度 方 向 任 何
一点挠度；
b、 与 板 的 厚 度 相 比 ， 垂 直 于 中 面 的 挠 度 是 微 小 的 ， 这 样
一来，可以忽略中面因弯曲变形伸长而产生的薄膜力,这
样 微 元 体 两 侧 的 中 面 力 相 同 N x =p x , N y py , N xy pxy ; c、 板 为 各 向 同 性 弹 性 体 ， 应 力 与 应 变 关 系 服 从 虎 克 定 律 。
x
zE 1
2
2w x2
2w y 2
y
zE 1
2
2w x2
2w y 2
xy
z E 1
2w xy
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5 )内 力 与 挠 度 关 系 单位宽度上板元的弯矩和扭矩为：
M
x
t
2
t 2
xzdz
D
2w x 2
2w y2
M
y
t
2
t 2Leabharlann Baidu
yzdz
D
2w x2
2w y2
2w xy
N
y
2w y2
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7）边界条件
以 x 0的 边 界 为 例 。
1)简 支 边
w
0,M
x
D
2w x2
2w y2
0,
2w y2
0
2w x2
0
即
在
简
支
边
有
：
w
0,
2w x2
0
2） 固 定 边
w 0,w 0 x
3） 自 由 边
M
x
D
2w x 2
2w y2
，
Qx
0，
M
2）单向纯弯曲简支板
采用瑞利-里兹法求解板的屈曲荷载。
令 a / b，屈曲荷载为
pcrx1 k 2D / b2
屈曲系数k
2 (1 2 )(1 4 2 )(1 9 2 )
322
12
2
9 / 625
12
2
1/ 81
当a / b=2 / 3时，可得屈曲系数最小值为k=23.9。
薄膜：板的厚度极小，抗弯刚度几乎降为零，板完全 靠薄膜拉力来支承荷载的作用。 式中：t为板厚，b为板的最小板宽
本章只介绍外力作用于等厚度中面 内的薄板的屈曲问题。
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1 小挠度理论
1.1 平衡方程
1） 基 本 假 定
a、
板
很
薄
，
微
元
体
上
的
应
力
，
z
zx
和
zy
远
小
于
应
力
，
x
y
和
，
xy
由
他
们
产
生
的
正
对 w微 分 两 次 和 四 次 后 代 入 偏 微 分 方 程 ：
m 4 4 m 2 n 2 4 n 4 4 p m 2 2 m x n y
A
mn
m 1 n 1
a4
2
a 2b 2
b4
x D
a 2 sin
a
sin
b
0
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板的屈曲条件：
m 4 4 a4
2
m 2n 2 a 2b 2
板，屈曲系数均可用最小值。
板的屈曲应力：
crx
p crx
/t
1
2
k (1
v
2
)
2E (b / t)2
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对于单项均匀受压狭长 的板，通过使用横向加劲肋 来 改 变 比 值 a/b从 而 提 高 屈 曲 系数并无明显效果，把加劲 肋 的 间 距 取 得 小 于 2b又 很 不 经济。对于很宽的薄板，可 以采用纵向加劲肋来减少宽 边 b。
板的屈曲理论
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基本思路
钢结构板受力时产生弹塑性变形，研究这类问题的 基本思路是经过三个方面的分析： （1）力的平衡条件 （2）几何变形协调条件 （3）本构关系 从而获得三类基本方程，再满足具体的边界条件，通 过特定的求解方法求解。
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板的分类
厚板： t 1~1 b58
薄板: 1 ~ 1 t 1~1 80 100 b 5 8
4
n 4 4 b4
px D
m 2 a2
2
0
px
a 2 2 D m2
m2 a2
n2 b2
2
2D b2
mb a
n2a mb
2
令k
mb a
n2a mb
2
称为屈曲系数，
可得：
p crx
k
2D b2
当 a/b 4时 ， k接 近 最 小 值 4。 所 以 对 于 狭 长 的 均 匀 受 压 的 四 边 简 支
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3） 均 匀 受 剪 四 边 简 支 板 采用伽辽金法求解板的屈曲荷载。
板的中面内力：N N p p
xy
yx
xy
yx
屈曲荷载为：
2D
p k
crxy
b s
2
式中：k剪切屈曲系数，对于四边简支板： s
当 a b时 k 5 .3 4 4 .0 (b / a ) 2 s