第7章_贪心算法

2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
9
7.1.2 一个简单的例子——埃及分数


[问题]古埃及人只用分子为1的分数，在表示一个真分数时， 将其分解为若干个埃及分数之和，如7/8表示为 1/2+1/3+1/24。怎么将一个真分数表示为最少的埃及 分数之和的形式？ [想法]一个真分数的埃及分数表示不是唯一的，将一个真 分数表示为最少埃及分数之和的形式，其贪心策略是选择 真分数包含的最大埃及分数。如7/8为例，7/8>1/2,则 1/2是第一次贪心选择的结果；7/8-1/2=3/8>1/3，则 1/3是第二次贪心选择的结果；3/8-1/3=1/24,则1/24 是第三次贪心选择的结果。7/8=1/2+1/3+1/24
2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
4
7.1.1 贪心法的设计思想

什么是贪心算法？

贪心法目光短浅，只根据当前已有的信息做出选择，而 且一旦做出了选择，不管将来有什么结果，这个选择都 不会改变。 贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪 心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某 种意义上的局部最优选择。虽然贪心算法不能对所有问 题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优 解。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解， 其最终结果却是最优解的很好近似。
2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
12
7.1.2 一个简单的例子——埃及分数
void EgyptFraction(int A, int B) { int E,R; cout<<A<<“/”<<B<<“=”; do{ E=B/A+1; cout<<“1/”<<E<<“+”; A=A*E-B; B=B*E; R=CommFractor(B,A); //CommFractor为求最大公约数函数 if( R>1 ){ A=A/R; B=B/R; } }while( A>1); cout<<“1/”<<B<<endl; return; }
2016/6/28
2016/6/28 Chapter 7 Greedy Method 8
7.1.1 贪心法的设计思想

与动态规划法的关系



动态规划法把一个复杂问题分解为若干相互重叠的子 问题，通过求解子问题形成的一系列决策得到原问题 的解； 贪心法把一个复杂问题分解为一系列较为简单的局部 最优选择，每一步选择都是对当前解的一个扩展，直 到获得问题的完整解； 动态规划法以自底向上的方式求解各个子问题，而贪 心法则通常以自顶向下的方式做出一系列的贪心选择。
Chapter 7 Greedy Method
2
第7章 贪心算法
7.1 概 述
7.2 图问题中的贪心法
7.3 组合问题中的贪心法 阅读材料——贪心法的正确性证明
2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
3
第7章 贪心算法


贪心法把一个复杂问题的解分解为一系列较为简单 的局部最优选择，每一步选择都是对当前解的一个 扩展，直到获得问题的完整解。 贪心法的典型应用是求解最优化问题，而且对许多 问题都能得到整体最优解，即使不能得到整体最优 解，通常也是最优解的很好近似。
2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
22
7.2.1 TSP问题
设图G 有n 个顶点， w[n][n] 存储边上的代价，集合E‘存 储是候选集合中未选取的边，集合P 存储经过的边，最短链接 策略求解TSP 问题的算法如下：
算法7.3——最短链接策略求解TSP问题 1．P={ }; 2．E'=E; //候选集合，初始时为图中所有边 3．循环直到集合P中包含n-1条边 3.1 在E'中选取最短边(u, v); 3.2 E'=E'-{(u, v)}; 3.3 如果 (顶点 u 和v 在 P 中不连通 and 不产生分枝) 则P=P+{(u, v)};
2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
10
7.1.2 一个简单的例子——埃及分数

设真分数为A/B，B除以A的整数部分为C，余数为D，则： B＝A*C+D (D<A) 即 B/A=C+D/A<C+1
则 A/B>1/(C+1)
即1/(C+1)即为真分数A/B包含的最大埃及分数。设E＝C+1，

2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
5
7.1.1 贪心法的设计思想

例：求解付款找零问题的贪心法


设货币面值为：5元、2元、1元、5角、2角、1角 找零为：4.6元 问题：使付出的货币张数最少，即: d=min ∑xi, 1≤i≥n
其中：X 称为问题的解向量，所有向量的全体称为问题的解空间。
2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
19
7.2.1 TSP问题

算法分析1

时间复杂度
算法7.2的时间性能为O(n2)，因为共进行n-1次贪心选择， 每一次选择都需要查找满足贪心条件的最短边。

最优解讨论
用最近邻点贪心策略求解TSP问题所得的结果不一定是 最优解，图7.1(a)中从城市1出发的最优解是:
2 (c) 城市4→城市3
1 2 5
2 7
3
5
5 4 2
2
2
5
2
3 2
4
2
3
4
2
3
(d) 城市3→城市5
(e) 城市5→城市2
(f) 城市2→城市1
最近邻点贪心策略求解TSP问题的过程
2016/6/28 Chapter 7 Greedy Method 17
7.2.1 TSP问题
C= ∞ 3 3 ∞ 3 7 2 3 6 2 3 7 ∞ 2 5 1 5 2 2 2 3 5 2 5 2 3 2 ∞ 3 6 2 5 3 ∞ 1 1 2 5 2 2 2
7.1.1 贪心法的设计思想

付款找零问题的贪心算法

在不超过应付款金额 A 的条件下，只选择面值最大的货 币，而不去考虑在后面看来这种选择是否合理，而且它 还不会改变决定：一旦选出了一张货币，就永远选定。
付款找零问题的贪心选择策略是尽可能使付出的货币最 快地满足支付要求，其目的是使付出的货币张数最慢地

125431 代价：13
2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
20
7.2.1 TSP问题

当图中顶点个数较多并且各边的代价值分布比较均匀时， 最近邻点策略可以给出较好的近似解，不过，这个近似 解以何种程度近似于最优解，却难以保证。

例如，在图7.1中，如果增大边(2, 1)的代价，则总 代价只好随之增加，没有选择的余地。
算法设计与分析—本科生课程
Design and Analysis of Algorithm
第7章 贪心算法 Greedy Method
邱钊 海南大学信息科学技术学院 College of Information Science and Technology, Hainan University
qiuzhao73@qq.com
5
4
2
3
(a) 5城市的代价矩阵
(b) 城市1→城市4 1
3 4 (c) 城市5→城市2 1 2 3 2 2
2
2
5 4
5 3 3 2 (f) 城市2回到出发城市1
4
2
4
2
(d) 城市4→城市3
(e) 城市3→城市5
最短链接贪心策略求解TSP问题的过程
2016/6/28 Chapter 7 Greedy Method 18

增加，这正体现了贪心法的设计思想。
2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
7
7.1.1 贪心法的设计思想



例：求解付款找零问题的贪心法 设货币面值为：3元、1元、8角、5角、1角 找零为：4.6元 求解： 选出1 张面值 <=4 元 6 角的最大面值的货币，即3 元； 选出1 张面值 <=1 元 6 角的最大面值的货币，即1 元； 选出1 张面值 <=6 角的最大面值的货币，即 5 角； 选出1 张面值 <=1 角的最大面值的货币，即 1 角； 总共付出 4 张货币（3元、1元、5角、1角） 但最优解：3张货币（3元、8角、8角） 如果一个问题的最优解只能用蛮力法得到，贪心法不失为 寻找近似解的一个较好方法

求解：
选出1 张面值 <=4 元 6 角的最大面值的货币，即2 元； 选出1 张面值 <=2 元 6 角的最大面值的货币，即2 元； 选出1 张面值 <=6 角的最大面值的货币，即 5 角； 选出1 张面值 <=1 角的最大面值的货币，即 1 角； 总共付出 4 张货币。

2016/6/28 Chapter 8 Greedy Method 6
7.2.3 最小生成树问题
2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
15
8.2.1 TSP问题

求解 TSP 问题至少有两种贪心策略是合理的 最近邻点策略 从任意城市出发，每次在没有到过的城市中选 择最近的一个，直到经过了所有的城市，最后 回到出发城市。 最短链接策略 每次在整个图的范围内选择最短边加入到解集 合 S 中，但是，要保证加入解集合中的边最终 形成一个哈密顿回路。
2016/6/28 Chapter 7 Greedy Method 13
第7章 贪心算法
7.1 概 述
7.2 图问题中的贪心法
7.3 组合问题中的贪心法
阅读材料——贪心法的正确性证明
2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
14
7.2 图问题中的贪心法
7.2.1 TSP问题 7.2.2 图着色问题
7.2.1 TSP问题
[算法1]设图G 有 n 个顶点，边上的代价存储在二维数组 w[n][n]中，集合V 存储图的顶点，集合 P 存储经过的边，最 近邻点策略求解 TSP 问题的算法如下：
算法 7.2——最近邻点 策略求解 TSP 问题
1． P={ };
//对应解集合S
2． V=V-{u0}; u=u0; //从顶点u0 出发 3． 循环直到集合P 中包含 n-1 条边 3.1 找与顶点 u 邻接的最小代价边(u, v), 并且v属于集合V； 3.2 P=P+{(u, v)}; 3.3 V=V-{v}; 3.4 u=v; //从顶点v出发继续求解
由于
A/B-1/E=((A*E)-B)/(B*E)
这个分数可能存在公因子，所以需要化简，可将分子和分母同 时除以最大公约数。
2016/6/28 Chapter 7 Greedy Method 11
7.1.2 一个简单的例子——埃及分数

[算法]伪代码描述如下： 算法7.1：埃及分数EgyptFraction 输入：真分数的分子A和分母B 输出：最少的埃及分数之和 1. E＝B/A+1; //E＝C+1 2. 输出1/E; 3. A=A*E-B; B=B*E; 4. 求A和B的最大公约数R，如果R不为1，将A和B同时除以R 5. 如果A等于1，则输出1/B，算法结束；否则转步骤1
2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method
21
7.2.1 TSP问题

最短链接策略：
每次在整个图的范围内选择 (1) 最短边加入到解集合中， 但是，要保证加入解集合中的 (2) 边最终形成一个哈密顿 回路。因此，当从剩余边集 E‘中选择一条边 (u, v) 加入解 集合S 中，应满足以下条件： 边(u, v) 是边集 E‘ 中代价最小的边； 边(u, v) 加入解集合S 后，S 中不产生回路； 边(u, v) 加入解集合S 后，S 中不产生分枝；
学习目标
教学重点 教学难点 贪心法的设计思想，各种经典问题的贪心思想 各种经典问题的贪心，多机调度问题的贪心算法
教学内容及目 标
知识点
了解 贪心法的设计思想 TSP问题 图着色问题 √
教学要求
理解 掌握 √ √ 熟练掌握
最小生成树问题
背包问题 活动安排问题 多机调度问题 √
√
√ √
百度文库2016/6/28
Chapter 7 Greedy Method 16
2016/6/28
C=
∞ 3 3 2 6
3 3 2 6 ∞ 7 3 2 7 ∞ 2 5 3 2 ∞ 3 2 5 3 ∞
6 5
1
7.2.1 TSP问题
3 1 2 5 3 2 3 4 3 2
2
4
3
3
(a) 5城市的代价矩阵 1 5 2 5
(b) 城市1→城市4 1