算法第四章
第四章电力系统潮流的计算机算法
1 z ij
(4) 原有节点ij之间阻抗由Zij变为Zij’
i j
－Zij
Yii
Yj
j
y i' jyi
j
1 z'ij
1 zij
Z’ij
Yij＝Yji
yi
j
y
i'
j＝z1ij
1 z'ij
(4) 原有节点ij之间变压器的变比由K*变为K*’时。
i j
返回
-ZT K*:1
ZT K’*:1
Z1 Y T(k-1 )/k
(2)节点导纳矩阵是稀疏矩阵，非对角非零 元素的个数等于对应节点所连的不接地 支路数。
(3)对角元素（自导纳）等于相应节点所连 支路的导纳之和。
(4)非对角元素（互导纳）等于两节点间支 路导纳的负值。
(5)节点导纳矩阵是对称方阵，只需求上三 角或是下三角元素。
标准变比：在采用有名值时，是指归算参数时所 取的变比。采用标么值时，是指折算参数时所 取各基准电压之比。
•
I1
Z 1 U 1 k :1
I1
•
I2
ZT
U2
Z2
U 1/k
I2
～～
S1 ＝ S 2
U1I 1 U1I2 k
I1 I2 / k U 1/kU 2I 2ZT
I1
U1 ZT k 2
U2 ZT k
I2
U1 ZT k
U2 ZT
I 1(y10y12)U 1y12 U 2 I 2 y2U 1 1(y20y21)U 2
2n个扰动变量是已知的，给定2（n－1）个控制变量， 给定2个状态变量，要求确定2（n－1）个状态变量。 已知：4n个变量，待求：2n个变量
高一《数据与计算》(必修)第四章《算法及其特征》
高一《数据与计算》（必修）第四章《算法及其特征》一、引言在计算机科学领域，算法是指用来解决问题的一系列步骤或方法。
在本章中，我们将学习什么是算法，算法的特征，以及算法设计的基本原则。
二、算法的概念2.1 算法定义算法是对问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列。
算法是基于确定性的、可执行的，并能在有限步骤内完成的。
一个好的算法应具备清晰、无二义性、可行性和有穷性。
2.2 算法的基本特征•输入：算法具有零个或多个输入。
输入是算法从外部获取的数据，用于算法的运行。
•输出：算法具有一个或多个输出。
输出是算法根据输入产生的结果。
•有穷性：算法应该在有限次的执行后终止。
•确定性：算法的每一步都应该明确且无二义性地定义。
•可行性：算法中的每一步都应该是可行的，即能够被计算机执行。
三、算法设计的基本原则在设计算法时，我们需要遵循以下基本原则：3.1 合理性算法应该能够实现给定的问题解决要求。
它需要合理地应对问题的各种情况和输入。
3.2 可读性算法的设计应该易于理解和阅读。
良好的代码注释和适当的命名方式，可以提高算法的可读性。
3.3 健壮性算法应该能够正确地处理各种异常情况，例如无效输入或异常数据。
算法的设计应尽量减少计算的时间。
一个高效的算法应该能够在合理的时间内给出结果。
3.5 空间效率算法的设计应尽量减少需要的存储空间。
一个高效的算法应该能够有效地使用计算机的内存。
四、常见算法在计算机科学中，有许多已经被广泛使用的算法。
下面是一些常见的算法：4.1 排序算法•冒泡排序•插入排序•选择排序•快速排序•归并排序4.2 查找算法•顺序查找•二分查找•哈希查找4.3 图算法•最短路径算法•拓扑排序算法•最小生成树算法4.4 字符串匹配算法•BF算法•KMP算法五、算法的复杂度分析在算法设计中，我们需要对算法的复杂度进行评估。
算法的复杂度分析可以通过对其时间复杂度和空间复杂度进行评估。
时间复杂度描述了算法在运行时所需要的时间。
《数据结构与算法》第四章-学习指导材料
《数据结构与算法》第四章串知识点及例题精选串（即字符串）是一种特殊的线性表，它的数据元素仅由一个字符组成。
4.1 串及其基本运算4.1.1 串的基本概念１．串的定义串是由零个或多个任意字符组成的字符序列。
一般记作：s=＂s1 s2 … s n＂＂其中s 是串名；在本书中，用双引号作为串的定界符，引号引起来的字符序列为串值，引号本身不属于串的内容；a i(1<=i<=n)是一个任意字符，它称为串的元素，是构成串的基本单位，i是它在整个串中的序号; n为串的长度，表示串中所包含的字符个数，当n=0时，称为空串，通常记为Ф。
２．几个术语子串与主串：串中任意连续的字符组成的子序列称为该串的子串。
包含子串的串相应地称为主串。
子串的位置：子串的第一个字符在主串中的序号称为子串的位置。
串相等：称两个串是相等的，是指两个串的长度相等且对应字符都相等。
4.2 串的定长顺序存储及基本运算因为串是数据元素类型为字符型的线性表，所以线性表的存储方式仍适用于串，也因为字符的特殊性和字符串经常作为一个整体来处理的特点，串在存储时还有一些与一般线性表不同之处。
4.2.1 串的定长顺序存储类似于顺序表，用一组地址连续的存储单元存储串值中的字符序列，所谓定长是指按预定义的大小，为每一个串变量分配一个固定长度的存储区，如：#define MAXSIZE 256char s[MAXSIZE];则串的最大长度不能超过256。
如何标识实际长度？1. 类似顺序表，用一个指针来指向最后一个字符，这样表示的串描述如下：typedef struct{ char data[MAXSIZE];int curlen;} SeqString;定义一个串变量：SeqString s;这种存储方式可以直接得到串的长度：s.curlen+1。
如图4.1所示。
s.dataMAXSIZE-1图4.1 串的顺序存储方式12. 在串尾存储一个不会在串中出现的特殊字符作为串的终结符，以此表示串的结尾。
算法第4章-第1讲-迭代法、蛮力法_1
第4讲 基本算法策略
d10=1;2*(d10+1)=d9;
2*(d9+1)=d8;
2*(d8+1)=d7; 2*(d7+1)=d6; 2*(d6+1)=d5; 2*(d5+1)=d4;
2*(d4+1)=d3; 2*(d3+1)=d2;
2*(d2+1)=d1
第4讲 基本算法策略
数学模型：
a[i]=2*(a[i+1]+1),i=9,8,„,1 计算模型：c=(a/2)-1
第4讲 基本算法策略
迭代法解方程： 阅读p130-133,例6，例7，例8
第4讲 基本算法策略
作业： 预习p133-138: 蛮力法
That’s all for today See you next time Good bye!
每节一经典 用9以内的实例理解问题： 手工模拟计算过程
计算机科学学院 王小明
第4讲 基本算法策略
具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况: （1）如果方程无解，算法求出的近似根序列 就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此 在使用迭代算法前应先考察方程是否有解， 并在程序中对迭代的次数给予限制； （2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或 迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭 代失败。
k) 第k次通过时：从第k间开始转动，每隔k-1间转动一次
在“9”以内理解狱吏问题：以6个牢房为例。
牢房
1 X Y Y Y X Y X X 2 X Y Y X 3 4 X Y X X X Y Y Y
5
X Y X Y
6
Y
Y Y
X
X X
X
X X
算法设计与分析第三版第四章课后习题答案
算法设计与分析第三版第四章课后习题答案4.1 线性时间选择问题习题4.1问题描述：给定一个长度为n的无序数组A和一个整数k，设计一个算法，找出数组A中第k小的元素。
算法思路：本题可以使用快速选择算法来解决。
快速选择算法是基于快速排序算法的思想，通过递归地划分数组来找到第k小的元素。
具体步骤如下： 1. 选择数组A的一个随机元素x作为枢纽元。
2. 使用x将数组划分为两个子数组A1和A2，其中A1中的元素小于等于x，A2中的元素大于x。
3. 如果k等于A1的长度，那么x就是第k小的元素，返回x。
4. 如果k小于A1的长度，那么第k小的元素在A1中，递归地在A1中寻找第k小的元素。
5. 如果k大于A1的长度，那么第k小的元素在A2中，递归地在A2中寻找第k-A1的长度小的元素。
6. 递归地重复上述步骤，直到找到第k小的元素。
算法实现：public class LinearTimeSelection {public static int select(int[] A, int k) { return selectHelper(A, 0, A.length - 1, k);}private static int selectHelper(int[] A, int left, int right, int k) {if (left == right) {return A[left];}int pivotIndex = partition(A, left, righ t);int length = pivotIndex - left + 1;if (k == length) {return A[pivotIndex];} else if (k < length) {return selectHelper(A, left, pivotInd ex - 1, k);} else {return selectHelper(A, pivotIndex + 1, right, k - length);}}private static int partition(int[] A, int lef t, int right) {int pivotIndex = left + (right - left) / 2;int pivotValue = A[pivotIndex];int i = left;int j = right;while (i <= j) {while (A[i] < pivotValue) {i++;}while (A[j] > pivotValue) {j--;}if (i <= j) {swap(A, i, j);i++;j--;}}return i - 1;}private static void swap(int[] A, int i, int j) {int temp = A[i];A[i] = A[j];A[j] = temp;}}算法分析：快速选择算法的平均复杂度为O(n)，最坏情况下的复杂度为O(n^2)。
最优化方法 第四章(遗传算法)
一、遗传算法简介
达尔文 (Darwin) 的进化论：自然选择原理
自然选择就是指生物由于环境中某些因素的影响而使得
有利于一些个体的生存，而不利于另外一些个体生存的
演化过程：物竞天择，适者生存 遗传：子代和父代具有相同或相似的性状，保证物种的 稳定性； 变异：子代与父代，子代不同个体之间总有差异，是生 命多样性的根源；
选择运算 个体评价 交叉运算
变异运算
群体p(t+1)
解
码
解集合
二、标准遗传算法
标准遗传算法的主要步骤
Step1 根据优化问题的特点对优化变量进行编码，随机产 生一组初始个体构成初始种群,并评价每一个个体的适配值; Step2 判断算法收敛准则是否满足。若满足则输出搜索结果； 否则执行以下步骤; Step3 根据适配值大小以一定方式进行复制(选择)操作; Step4 按交叉概率 pc 执行交叉操作; Step5 按变异概率 pm 执行变异操作; Step6 更新种群，返回Step2.
二、标准遗传算法
标准遗传算法算例---手工计算
max
s .t.
2 f x1 , x2 x12 x2
x1 0,1 7 x2 0,1 7
编码：二进制编码 基因型X= 1 0 1 1 1 0 对应的表现型是：X= 5, 6
二、标准遗传算法 ① ② 个体编号 初始群体 i P(0) 1 2 3 4 011101 101011 011100 111001 ③ x1 3 5 3 7 ④ x2 5 3 4 1 ⑤ f(x1,x2) 34 ∑fi=143 34 fmax=50 25 f=35.75 50 ⑥ f i/ ∑ f i 0.24 0.24 0.17 0.35
《商用密码算法原理》第四章 SM3密码杂凑算法
（4）布尔函数形式必须清晰、简洁，易于实现。
2021/1/1
商用密码算法原理与C语言实现
18
4．循环移位常量R和R’的选取，要满足以下要求：
（1）当变量x遍历0~15时，R x mod32,R' x mod32, R R' x mod32
5
对SM3密码杂凑法的置换函数定义如下：
P0(X)=X ⊕ (X<<< 9) ⊕ (X<<<17) P1(X)=X ⊕ (X<<<15) ⊕ (X<<<23) 上述公式中X，Y，Z为32bit的字， ∧ , ∨ , ¬ 分别为别为32比 特与运算、或运算和非运算, ⊕ 为32比特异或运算，＜＜＜ k表 示循环左移k比特运算
SM3密码杂凑算法合理使用字加运算，构成进位加４级流水，在不显
著增加硬件开销的情况下，采用P置换，加速了算法的雪崩效应，提
高了运算效率。同时，SM3密码杂凑算法采用了适合32比特微处理 器和8比特智能卡实现的基本运算，具有跨平台实现的高效性和广泛 的适用性。
2021/1/1
商用密码算法原理与C语言实现
15
3.2.1压缩函数的设计压缩函数的设计
1．设计原则 压缩函数的设计需要有强雪崩效应，即消息的微小变化对杂凑值的 改变产生巨大影响。另外为了使函数具有结构清晰等特点，采用了 以下设计技术： （1）消息双字介入。输入的双字消息由消息扩展算法产生的消息字 中选出。为了使介入的消息尽快产生雪崩效应，采用了模232算术加 运算和P转换等。 （2）每一步操作将上一步介入的消息比特非线性迅速扩散，每一消 息比特快速地参与下一步的扩散和混乱。 （3）采用的混合方法来自不同群运算，模232算术加运算、异或运算 、3元布尔函数和P置换。
第4章 算法与程序设计-大学计算机—计算思维视角-刘添华-清华大学出版社
算法的描述-流程图
• 流程图从开始符开始，以结束符结束。 顾名思义，就是用来直观地描述一个过程、 算法的具体步骤。 • 同一个算法可以用不同的表示方法描述。 例4-2的算法用流程图方法表示，如图所示。
算法的描述-N-S图
1973年美国学者I.Nassi和B.Shneiderman提出了一种新的流程图，并以他们的 姓名的第一个字母命名为N-S图。
算法的描述-伪代码
例4-2求最大数的算法用伪代码表示如下所示。
“伪代码”是用介于自然语言和计算机
Begin /*算法开始*/
语言之间的文字和符号来描述算法。“伪”
N=1 Input A Max=A 当 N<=10 则
意味着假，因此用伪代码写的算法不能被计 算机所理解，但便于转换成某种语言编写的 计算机程序。
第5步：输出计数器的值。
例4-1的算法满足算法的五个特征。
算法的评价
评价算法，是为了提高程序的效率、不断优化算法。 (1)时间复杂度
时间复杂度是指计算机执行一个算法在时间上的消耗度量。 (2)空间复杂度
空间复杂度是指在—个算法的运行过程中，对临时耗费的存储空间的度量。
时间复杂度和空间复杂度往往是相互矛盾的，通常要降低算法的执行时间就要 以使用更多的空间作为代价，而要节省空间则往往要以增加算法的执行时间作为成本， 二者很难兼顾。
算法的描述-流程图
美国国家标准化协会ANSI(American National Standard Institute) 规定了一些 常用的流程图符号：
起止框
判断框
处理框
输入/输出框
注释框
流向线
连接点
流程图表示的算法形象、直观，易于理解，能够清楚地显示出各个框之间的逻 辑关系和执行流程，便于交流，因此被广泛使用，成为程序员们交流的重要手段。 当然，这种表示法也存在着占用篇幅大、画图费时、不易修改等缺点。
最优化理论与算法(第四章)
第四章 共轭梯度法§4.1 共轭方向法共轭方向法是无约束最优化问题的一类重要算法。
它一方面克服了最速下降法中，迭代点列呈锯齿形前进，收敛慢的缺点，同时又不像牛顿法中计算牛顿方向耗费大量的工作量，尤其是共轭方向法具有所谓二次收敛性质，即当将其用于二次函数时，具有有限终止性质。
一、共轭方向定义4.1 设G 是n n ⨯对称正定矩阵，1d ，2d 是n 维非零向量，若120T d Gd = （4.1）则称1d ，2d 是G －共轭的。
类似地，设1,,m d d 是nR 中一组非零向量。
若0T i j d Gd =()i j ≠ （4.2）则称向量组1,,m d d 是G －共轭的。
注：(1) 当G I =时，共轭性就变为正交性，故共轭是正交概念的推广。
(2) 若1,,m d d G －共轭，则它们必线性无关。
二、共轭方向法共轭方向法就是按照一组彼此共轭方向依次搜索。
模式算法：1）给出初始点0x ，计算00()g g x =，计算0d ，使000Td g <，:0k = （初始共轭方向）； 2）计算k α和1k x +，使得0()min ()k k k k k f x d f x d ααα≥+=+，令1k k k k x x d α+=+；3）计算1k d +，使10Tk j d Gd +=，0,1,,j k = ，令:1k k =+，转2）。
三、共轭方向法的基本定理共轭方向法最重要的性质就是：当算法用于正定二次函数时，可以在有限多次迭代后终止，得到最优解（当然要执行精确一维搜索）。
定理4.2 对于正定二次函数，共轭方向法至多经过n 步精确搜索终止；且对每个1i x +，都是()f x 在线性流形00,i j j j j x x x d αα=⎧⎫⎪⎪=+∀⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑中的极小点。
证明：首先证明对所有的1i n ≤-，都有10T i j g d +=，0,1,,j i = （即每个迭代点处的梯度与以前的搜索方向均正交）事实上，由于目标函数是二次函数，因而有()11k k k k k k g g G x x Gd α++-=-=1）当j i <时， ()1111iTT Ti j j jk k j k j g d gd gg d +++=+=+-∑ 110iTT j j kkj k j gd dGd α+=+=+=∑2）当j i =时，由精确搜索性质知：10T i j g d +=综上所述，有 10Ti j g d += (0,1,,)j i = 。
算法分析习题参考答案第四章
第四章作业 部分参考答案1． 设有n 个顾客同时等待一项服务。
顾客i 需要的服务时间为n i t i ≤≤1,。
应该如何安排n 个顾客的服务次序才能使总的等待时间达到最小？总的等待时间是各顾客等待服务的时间的总和。
试给出你的做法的理由（证明）。
策略：对 1i t i n ≤≤进行排序，,21n i i i t t t ≤≤≤ 然后按照递增顺序依次服务12,,...,ni i i 即可。
解析：设得到服务的顾客的顺序为12,,...,n j j j ，则总等待时间为,2)1(121n n j j j j t t t n nt T +++-+=- 则在总等待时间T 中1j t 的权重最大，jn t 的权重最小。
故让所需时间少的顾客先得到服务可以减少总等待时间。
证明：设,21n i i i t t t ≤≤≤ ，下证明当按照不减顺序依次服务时，为最优策略。
记按照n i i i 21次序服务时，等待时间为T ，下证明任意互换两者的次序，T都不减。
即假设互换j i ,)(j i <两位顾客的次序，互换后等待总时间为T ~，则有.~T T ≥由于,))(())(()2)(2()1)(1(21n j i i i i i i t j t j n i t i n t n t n T +--++--++--+--=,))(())(()2)(2()1)(1(~21n i j i i i i i t j t j n i t i n t n t n T +--++--++--+--=则有.0))((~≥--=-i j i i t t i j T T同理可证其它次序，都可以由n i i i 21经过有限次两两调换顺序后得到，而每次交换，总时间不减，从而n i i i 21为最优策略。
2． 字符h a ~出现的频率分布恰好是前8个Fibonacci 数，它们的Huffman 编码是什么？将结果推广到n 个字符的频率分布恰好是前n 个Fibonacci 数的情形。
第四章IDFT的快速算法
西北大学信息科学与技术学院
2007年
2.由最后一级向前每推进一级，则系数取 后级系数中偶数序号部分。 2 M 1 ，M为所 3.蝶形结两个节点的间距为 在的级数，也就是每向前推进一级，间距就 变成原间距的 1/ 2 。
西北大学信息科学与技术学院
2007年
本章要点
本章从傅里叶变换复因子的周期性和对称 性推导出了傅里叶变换的快速算法FFT，并且用 信号流图说明了FFT的计算过程。主要介绍了按 时间抽取基2-FFT算法、按频率抽取基2-FFT算 法、IDFT的快速算法、基4-FFT算法、实序列的 FFT算法等内容。FFT算法可以编成FFT算法程 序在计算机上运行，也可以通过硬件实现。
的计算可以分成四部xk西北大学信息科学与技术学院2007年x012x4x2x6x1x5x321212121321?nw121?nw221?nw021nw2121021nw221?nw2121021nw021nw21211021nw021nwx6x5x4x3x2x1x0x7221?nw2021nwx7图45n8基4fft算法流图西北大学信息科学与技术学院2007年45实序列的fft算法在实际中数据一般都是实序列而fft算法一般针对复序列直接处理实序列时是将序列的虚部看成零将会浪费很多运算时间和存储空间因此设计了专门用于实序列的fft算法
西北大学信息科学与技术学院
2007年
数字信号处理的运算特点有以下两个方面： (1)最常出现的是以下运算：
A d k Bk
k 1 N
d B 其中， k 为系数， k 为数据或中间结果。 (2)其输入输出运算数小于算术运算数。专 用或通用数字信号处理器也正是适应这些要 求而设计的，因而有可能做到快速实时处理。
西北大学信息科学与技术学院 2007年
第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)
s
s 2 0
－ 0 .5 0
s 2
0 .5
1
s
2π
－ 1
π
－ 0 .5
0 0
π
0 .5
2π
1
图 4.2.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系
第四章 DFT与其快速算法
例 4.2.1设xa(t)=cos(2πf0t)， f0=50 Hz以采样频率
fs=200 Hz对xa(t)进行采样， 得到采相信号 x a ( t ) 域离散信号x(n)， 求xa(t)和 x a ( t ) x(n)的FT。 解：
是一个以N为周期的周期序列， 称为
的离散
傅里叶级数， 用DFS(Discrete Fourier Series)表示。
第四章 DFT与其快速算法
(4.1.6)
(4.1.7)
(4.1.6)式和(4.1.7)式称为一对DFS。 周期序列分解成N次谐波， 第k个谐波频率为 ωk=(2π/N)k, k=0, 1, 2 … N-1， 幅度为 分量的频率是2π/N， 幅度是
第四章 DFT与其快速算法
4.1 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换
4.1.1周期序列的离散傅里叶级数
~
设 x(n )
~
是以N为周期的周期序列， 由于是周期
2 N
性的， 可以展成傅里叶级数
x(n )
k
j
kn
ake
(4.1.1)
式中ak是傅里叶级数的系数。 为求系数ak ， 将上 式两边乘以 e
c os( 2 f 0 n T ) ( t n T )
x a ( t ) 的傅里叶变换用(1.5.5)式确定， 即以Ωs=2πfs
第4章多边形填充算法
E2
E5
E3 E4
边缘填充算法示意图
1.边缘填充算法(正负相消法) 基本原理是：对每一条扫描线，依次求与多边形各边 的交点，将该扫描线上交点右边的所有像素求补。多 边形所有边处理完毕，填充即完成。
优点：简单易行 缺点：多边形外的像素处 理过多，输入输出量大
算法改进
• ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ围盒 • 栅栏
带包围盒的多边形
第4章 多边形填充算法
4.3 边缘填充算法
4.3.1 填充原理
• 求出多边形的每条边与扫描线的交点 • 将交点右侧的所有像素颜色全部取为补
色。 • 按任意顺序处理完多边形的所有边。
4.3.2 填充过程
假定边的访问顺序为E0、E1、E2、E3、E4、E5和E6。
P1（x1，y1）
E1
E0
E6
P0（x0，y0）
缺点：某些像素被重复取补
3.边标志填充算法
基本思想：先用一种特殊的颜色在帧缓存中将多边形 的边界（水平边除外）勾画出来，然后将着色的像素点依x 坐标递增的顺序两两配对，再将每一对像素所构成的扫描线 区间内的所有像素置为填充色。
3.边标志填充算法
①打标记：对多边形边界所在像素置一个特殊标志。按照 “下闭上开”的原则处理局部最低点为两个交点，局部 最高点为0个交点。
② 填充：对于每条与多边形相交的扫描线，依照“左闭 右开”的原则从左至右逐个访问该扫描线上的像素，并 着色。
3.边标志填充算法
栅栏填充算法
栅栏：一条过多边形顶点且与扫描线垂直的直线，它将 多边形分成两半，只要将栅栏与多边形之间的像素求补 即可。
缺点：某些像素被重复取补
栅栏填充算法
基本原理：对于每条扫描线与多边形的交点，将交点与栅栏 之间的扫描线上的像素取补，也就是说，若交点位于栅 栏左边，则将交点之右、栅栏之左的所有像素取补；若 交点位于栅栏右边，则将栅栏之右、交点之左的所有像 素取补。
数据结构与算法_第4章_串
第4章 串
4.2 串的表示和实现
②堆串 常用的实现方法：
很多实用的串处理系统中, 采用堆结构,它的特点是:系 统将一个很大的连续存储空间作为串的公用空间, 每当建 立新串时, 系统从中分配一个和串长相同的连续空间存储 串值, 它们的地址是在程序执行中动态分配的. 系统中所有串名的存储映像构成一个符号表。其 中len域指示串的长度, start域指示串的起始位置。借
可用链表来存储串值由于串的数据元素是一个字符它只有位二进制数因此用链表存储时通常一个结点中存放的不是一个字符而是一个定长子串链表中最后一个结点不一定被占满
第4章 串
4.1 串的定义
4.2 串的表示和实现
4.3 串的应用举例：简单的行编辑器
4.4 总结与提高
*串的模式匹配算法
1
第4章 串
4.1 串的定义
8
StrIndex(S, 4,T) = 6
第4章 串
4.1 串的定义
基本操作：StrReplace (S, T, V)
StrReplace (S, T, V) 初始条件：串S, T和 V 均已存在，且 T 是非空串。 操作结果：用V替换主串S中出现的所有与（模式 串）T相等的不重叠的子串。 例如： S = abcaabcaaabca,T = bca, V = x S = axaxaax
返回
10
第4章 串
4.2 串的表示和实现
常用的实现方法：
定长顺序存储表示
顺序 存储
——用一组地址连续的存储单元存储串值的字符序 列，属静态存储方式。
堆分配存储表示
——用一组地址连续的存储单元存储串值的字符序 列,但存储空间是在程序执行过程中动态分配而 得。
04第四章蚁群算法
第四章蚁群算法习题与答案1.填空题（1） _________________________ 蚁群算法的缩写是_____________ ,它模拟了自然界中_________________________ 过程而提出，可以解决_______________ 问题。
（2） __________________________________________ 蚁群算法需要一个记忆空间，称为__________________________________________ ,表示已经过的路径。
判断选择城市的主要依据有 ___________ 和_________ ，前者代表__________ 愿望, 后者代表_________ 愿望，反映了问题求解过程中经验的积累。
解释：本题考查蚁群算法的基础知识。
具体内容请参考课堂视频“第4章蚁群算法”及其课件。
答案：（1）ACO,蚂蚁觅食，组合优化（2）禁忌列表，能见度，虚拟信息素，启发式，获知式2.考虑如下情形：分头沿着两条长度不同的路径去食物源，当到达食物源时哪条路径会以较高的概率被其选择？论证你的答案。
解释：本题考查蚁群算法中信息素的特点与作用。
具体内容请参考课堂视频“第4章蚁群算法”及其课件。
答案：路径长度短的会以较高的概率被选择。
具体论证如下：单位时间内通过路径短的蚂蚁数量大于通过路径长的蚂蚁数量，这意味着短路径上遗留的信息素浓度比较髙，山于蚂蚁倾向于朝着信息素浓度高的方向移动, 所以到后期选择短路径的蚂蚁会越来越多。
于是，蚁群的集体行为表现出一种信息正反馈现象，即最短路径上走过的蚂蚁越多，信息素浓度也就越高，后来的蚂蚁选择该路径的概率就越大，蚂蚁个体之间就是通过这种信息的交流寻找食物和蚁穴之间最短路径的。
3.探讨在信息素释放公式中遗忘因子的重要性。
解释：本题考查蚁群算法中信息素挥发因子的作用。
具体内容请参考课堂视频“第4章蚁群算法”及其课件。
答案：参数Q表示信息素挥发因子，p的大小从另一个侧面反映了蚂蚁群体中个体间相互影响的强弱，它直接关系到蚁群算法的全局搜索能力及收敛速度；参数1-Q表示信息素残留因子，反映了蚂蚁个体之间相互影响的强弱。
第4章 递归算法(C++版)
【例3】Hanoi汉诺塔问题
有N个圆盘，依半径大小（半径都不同），自下而上套在A柱上，每次只允 许移动最上面一个盘子到另外的柱子上去（除A柱外，还有B柱和C柱，开始时这 两个柱子上无盘子），但绝不允许发生柱子上出现大盘子在上，小盘子在下的情 况，现要求设计将A柱子上N个盘子搬移到C柱去的方法。 【算法分析】 本题是典型的递归程序设计题。 (1)当N=1 时，只有一个盘子，只需要移动一次:A—>C; (2)当N=2时，则需要移动三次： A------ 1 ------> B, A ------ 2 ------> C, B ------ 1------> C. (3)如果N=3，则具体移动步骤为：
【参考程序】 #include<iostream> #include<cstdlib> using namespace std; int a[11]; void search(int,int,int); int main() //主程序 { int k,x,L=1,R=10; cout<<"输入10个从大到小顺序的数："<<endl; for (k=1;k<=10;k++) cin>>a[k]; cin>>x; search(x,L,R); system("pause"); } void search(int x,int top,int bot) //二分查找递归过程 { int mid; if (top<=bot) { mid=(top+bot)/2; //求中间数的位置
假设把第3步，第4步，第7步抽出来就相当于N=2的情况（把上面2片 捆在一起，视为一片）：
第4章 4.3大林算法5.6(11.00)
——— 2阶对象由公式（4.37）
有了D(z)，就可以得到u(k)表达式——就可以编写控制程序
11
〖例〗已知被控装置的传递函数为
1 G( s) e s (5s 1)( 2s 1)
试采用大林算法，确定数字控制器。 解：采样周期选为和滞后时间τ相同，即 T=τ=1s，(N=τ/T，N=1), 选取期望的闭环传递函数为
1 ( C C z ) ( N 1) 1 2 Kz (1 eT /T1 z 1 )(1 eT /T2 z 1 )
（4.33）
式中系数
1 C1 1 (T1e T / T1 T2 e T / T2 ) T2 T1 C2 e
T ( 1 1 ) T1 T2
18
① 振铃现象的分析
R(z) + 系统的输出C(z)和数字控制器的输出U(z)间有下列关系 E(z) D(z) U(z) G(z) C(z)
C ( z ) G( z )U ( z )
系统的输出C(z)和输入函数R(z)之间有下列关系
C ( z ) ( z ) R( z )
由上面两式得到数字控制器的输出U(z)与输入函数的R(z)之间 的关系为
根据公式可知
lim RA 2
T 0
27
③ 振铃现象的消除
有两种方法可用来消除振铃现象 找出D(z)中引起振铃现象的因子(z=-1附近的极点)，然后 令其中的z=1。 根据终值定理，这样处理不影响输出量的稳态值。
所谓振铃 (Ringing) 现象，是指数字控制器的输出以二分之 一采样频率大幅度衰减的振荡。 振铃现象中的振荡是衰减的。 由于被控对象中惯性环节的低通特性，使得这种振荡对系统 的输出影响较小。但是振铃现象却会增加执行机构的磨损，在 有交互作用的多参数控制系统中，振铃现象还有可能影响到系 统的稳定性。 振铃现象与最小拍系统的纹波是不一样的——纹波是指 输出在采样点上没有误差，而在采样点之间是有偏差的，输出 有纹波。
第4章 决策树分类算法
四、决策树分类算法
2.决策树分类算法-ID3算法原理 2.1 ID3算法原理
ID3算法的基本策略如下： （1）树以代表训练样本的单个节点开始； （2）如果样本都在同一个类中，则这个节点成为树叶结点并标记为该类别； （3）否则算法使用信息熵（称为信息增益）作为启发知识来帮助选择合适的 将样本分类的属性，以便将样本集划分为若干子集， （4）对测试属性的每个已知的离散值创建一个分支，并据此划分样本； （5）算法使用类似的方法，递归地形成每个划分上的样本决策树： （6）整个递归过程在下列条件之一成立时停止。
gain(S,A)是指因为知道属性A的值后导致的熵的期望压缩。
四、决策树分类算法
2.决策树分类算法-ID3算法原理 2.3 ID3算法
(1) 初始化决策树T，使其只包含一个树根结点(X,Q)，其中X是全体样本集， Q为全体属性集。 (2) if(T中所有叶节点(X’,Q’)都满足X属于同一类或Q’为空) then 算法停止； (3) else { 任取一个不具有(2)中所述状态的叶节点(X’,Q’)；
理，C4.5算法的核心思想与ID3完全一样。
gain_ratio(S,A) gain(S,A) split_info(S,A)
其中，gain(S,A) 表示信息增益。
四、决策树分类算法
4. 决策树分类算法-C4.5算法原理 4.1 C4.5算法
2．数值属性的处理 C4.5处理数值属性的过程如下：
（1）按照属性值对训练数据进行排序； （2）用不同的阈值对训练数据进行动态划分； （3）当输入改变时确定一个阈值； （4）取当前样本的属性值和前一个样本的属性值的中点作为新的阈值； （5）生成两个划分，所有的样本分布到这两个划分中； （6）得到所有可能的阈值、增益和增益比例。
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Chapter
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4.1.5 贪心算法的例子 ——设计与实现
用贪心算法求解部分背包问题 void GreedyKnapsack(float *p, float *w, float M, int n, float* x) { //前臵条件：w[i]已按p[i]/w[i]的非增次序排列 float u=M; //u为背包剩余载重量，初始时为m for (int i=0; i<n; i++) x[i]=0; //对解向量x初始化 for (i=0; i<n; i++) //按最优量度标准选择解的分量 { if (w[i]>u) break; // 退出本次循环，即不全装入第i件物品 x[i]=1.0; u=uw[i]; //该物品整体放入背包，更新背包容量 } if (i<n) x[i]=u/w[i]; //物品部分装入背包，刚好是的背包装满； return； }
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引言
上述找硬币的算法利用了硬币面值的特殊性.
如果硬币的面值改为一分,五分,一角一分3种,要找给顾客
的是一角五分钱.还用贪心算法,我们将找给顾客1个一角 一分的硬币和4个一分的硬币，然而3个5分的硬币显然是 最好的找法。由此可见贪心算法并不是总能得到最优解。
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4.1 贪心算法基础
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4.1.2 贪心算法的基本要素
贪心算法通过一系列的选择来得到一个问题的解。它所 作的每一个选择都是当前状态下某种意义的最好选择，即贪
心选择。希望通过每次所作的贪心选择导致最终结果是问题
的一个最优解。
•
对于一个具体的问题，我们怎么知道是否可用贪心算法来 解此问题，以及能否得到问题的一个最优解呢? 从许多可以 用贪心算法求解的问题中我们看到它们一般具有两个重要的 性质：贪心选择性质和最优子结构性质。
此方法解非最优解。原因:只考虑当前收益最 大,而背包可用容量消耗过快.
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4.1.5 贪心算法的例子
• (2)选重量作为量度,使背包容量尽可能慢地被消耗.
按物品重量从小到大排序:2,1,0; 解为: 收益: (x0，x1，x2)=(0, 2/3, 1) 15+24*2/3=31
此方法解非最优解。原因:虽然容量消耗慢，但效 益没有很快的增加.
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4.1.5 贪心算法的例子
• (3)选效益/重量为量度，使每一次装入的物品应使
它占用的每一单位容量获得当前最大的单位效益。 按物品的pi/wi重量从大到小排序:1,2,0; 解为: (x0，x1，x2)=(0, 1, 1/2)
收益:
24+15/2=31.5
此方法解为最优解。可见，可以把pi/wi 作为背
算法
设计与分析
算法设计与分析
第四章 贪心算法
主编 耿国华
Chapter
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本章内容
4.1 贪心算法基础
• 4.1.1 • 4.1.2 • 4.1.3 • 4.1.4 • 4.1.5
贪心算法的基本思想
贪心算法的基本要素 贪心算法适合的问题 贪心算法的基本步骤 贪心算法实例——背包问题
4.2 汽车加油问题
贪心选择物体1之后，问题转化为背包重量 为m-w1*x1，物体集为{物体2,物体3,…，物体n} 的背包问题。且该问题的最优解包含在初始问 题的最优解中（反证法证明）。 • 对于0/1背包问题，使用贪心法，并不一定 能求得最优解，因此，贪心法不能用来求解0/1 背包问题。
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4.1.5 贪心算法的例子
来所作的选择，也不依赖于子问题的解。正是由于这种差别， 动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题，而贪心算法 则通常以自顶向下的方式进行,以迭代的方式作出相继的贪心选 择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子
问题。
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4.1.2 贪心算法的基本要素
表4-1 动态规划算法和贪心算法的区别
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4.1.1 贪心算法的基本思想
•
贪婪算法实际上是一种改进了的分级处理方法。 其核心是根据题意选取一种量度标准（选择标准） 。然后将这多个输入（可选的解）排成这种量度标 准所要求的顺序，按这种顺序一次输入一个量。如 果这个输入和当前已构成在这种量度意义下的部分 最佳解（已经做过的那些贪心选择）合在一起不能 产生一个可行解，则不把此输入加到这部分解中， 再按照顺序考虑下一个可选输入。这种能够得到某 种量度意义下最优解的分级处理方法称为贪婪算法 。
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4.1.3 贪心算法适合的问题
贪心算法通常用来解决具有最大值或最小值
的优化问题。它是从某一个初始状态出发，根据
当前局部而非全局的最优决策，以满足约束方程
为条件，以使得目标函数的值增加最快或最慢为
准则，选择一个最快地达到要求的输入元素，以
便尽快地构成问题的可行解。
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4.1.4 贪心算法的基本步骤
例4-2 n＝3，M=25，p＝(32，24，15)，w= (16，15，10). 则p/w=(2,1.6,1.5)。选利润/重量为量度， 取最大值得到解：X=(0) ∑p=32, 背包剩余重量 C = M- w(0)=9. 不能放下任何物品， 显然： X=(0)不是最优解。最优解是(1,2)，利润 为39。
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4.1.2 贪心算法的基本要素
一个贪心算法求解的问题必须具备以下两要素：
• 1.
贪心选择性质----证明方法（数学归纳法）
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优
解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择
来达到（只要贪心选择策略合理）。这是贪心算
法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态
贪心算法求最优解的一般过程
Greedy(C) //C是问题的输入集合即候选集合 { S={ }; //s是解集合，初始解集合为空集 while (not solution(S)) //解集合S没有构成问题的一个解 { x=select(C); //在候选集合C中做贪心选择 if feasible(S, x) // feasible为可行函数，判断集合S 中加入x后的解是否可行 S=S+{x}; //可行则加入到解集合中 C=C-{x}; //否则，将其从候选集合中排除； } return S; }
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4.1.1 贪心算法的基本思想
•
但是，在实际生活中，对于一个给定的问题，往 往可能有好几种量度标准。初看起来，这些量度标准 似乎都是可取的，但实际上，用其中的大多数量度标 准作贪婪处理所得到该量度意义下的最优解并不是问
题的最优解，而是次优解。因此，选择能产生问题最
优解的最优量度标准是使用贪婪算法的核心。
优解的选择，局部最优选择（贪心选择）产生全局最
优解
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贪心算法的基本要素
一个贪心算法求解的问题必须具备以下两要素：
• 1.
贪心选择性质
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优
解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择
来达到（只要贪心选择策略合理）每做一次贪心
选择，既可以得到最优解的一部分。
基本思想 依赖子问 解问题的方 最优解 复杂程度 题的解 向 否 自顶向下 局部最 简单有效 优
整体最 较复杂 优
贪心选 贪心选择 择
动态规 递归定义 划 填表
是
自底向上
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4.1.2 贪心算法的基本要素
2、最优子结构性质-----反证法 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时， 称此问题具有最优子结构性质。 由于运用贪心策 略，保证了每一次选择是当前问题的最优解。问题 的最优子结构性质是该问题可用贪心算法或动态规 划算法求解的关键特征。
4.3 最优服务次序问题
4.4 区间相交问题
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引言
假设有四种硬币，它们的面值分别为二角、一角、五分 和一分。现在要找给某顾客五角三分钱，并且要找硬币数目 个数最少， 通过上章学习，我们可以用动态规划算法列出所有解， 然后找出其中硬币数目最少的解。我们也可以用一种更为简 便的贪心算法来求解问题。这种找硬币方法与其他的找法相 比，方法简便，效率高。我们会拿出 2个二角的硬币， 1个一 角的硬币和3个一分的硬币交给顾客。选择硬币时所采用的贪 心算法如下：为使找回的零钱的硬币数最小，从最大面值的 币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币 种，只当大面值币种的金额不足才会去考虑下一种较小面值 的币种。每一次都选择可选的面值最大的硬币。为确保解法 的可行性（即：所给的零钱等于要找的零钱数），所选择的 硬币不应使零钱总数超过最终所需的数目。
在这四个可行解中，第④个解的效益值最大。但这个 解是否是背包问题的最优解，尚无法确定，但有一点是可以 肯定的，即对于部分背包问题，其最优解显然必须装满背包。
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4
4.1.5 贪心算法的例子
• (1)”效益”优先。使每装入一件物品就使背包获
得最大可能的效益值增量. 按物品收益从大到小排序0,1,2 解为: 收益: (x0，x1，x2)=(1, 2/15, 0) 25+24*2/15=28.2
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4.1.5 贪心算法的例子---部分背包问题
例4-1：n＝3，M=20，p＝(25，24，15)，w= (18，15，10)。 假设物品可分，故有可行解无数个，其中的四个可行解表所示。 表4-2 部分背包问题的四个可行解 (x0，x1，x2) ① ② ③ ④ (1/2，1/3，1/4) (1，2/15, 0) (0，2/3， 1) (0，1, 1/2) ∑w i xi 16.5 20 20 20 ∑pi xi 24.25 28.2 31 31.5