POISSON分布
POISSON分布
医学研究中， 单位容积中大肠杆菌数 粉尘在单位容积的数目 放射性物质在单位时间内放射质点数 一定人群中患病率较低的非传染性疾病患 病数（或死亡数）的分布。
H0：不会增长，即λ=3 溶液中细菌数服从Poisson分布
P=P(X≥5)=1-P(X=0)-…-P(X=4)
=0.1847
所以……
例 已知接种某疫苗时，一般严重反应率为1‰，现用 一批该种疫苗接种150人，有2人发生严重反应，问该 批疫苗的严重反应率是否高于一般。
H0: λ=λ0=0.001×150=0.15 H1: λ>0.15 α=0.05 p(x≥2)=1-p(x=0)-p(x=1)=0.0102<α 所以拒绝H0
（2）正态近似法 x>50
例 用计数器测得某放射性物质半小时内发出 的脉冲数为360个，试估计该放射性物质每 30分钟平均脉冲数的95%可信区间。
（3）直接计算概率法
1
22x,/2,1
2 2x2,1/2
2
2
特别地 X=0时
0,
1
2 2x2,1/2
2
2
2 x,
/2
是自由度为2x的左侧累计概率为α/2的χ2
多为1
4 事件数的可信区间
在Poisson分布中,总体均数λ的可信区间
（1）查表法 x≤100 附表 例 将一个面积为100cm2的培养皿置于某病室中，
泊松分布
0
1 2 3 4 合计
27.90
42.50 32.37 16.44 6.26
26
40 38 17 7
0.1294
0.1474 0.9775 0.0191 0.0872 1.3606
自由度=组数-1-1=5-2=3
一个放射性物体5分钟测得脉冲数为200次， 这两种物体混合后估计5分钟脉冲数的总体 平均数及标准差是多少？
140+200=340
340 18.44
二、泊松分布的图形
泊松分布的特征只决定于平均数 ，不同的参数对应
不同的Poisson分布，即的大小决定了Poisson分布 的图形特征
x1 ( 38 29 36) / 3 34.33 x 2 ( 25 18) / 2 21.50 u 34.33 21.50 2.732 34.33 / 3 21.50 / 2
u
X1 X 2 X1 X 2 n1 n2
P<0.01，拒绝H0接受H1
用泊松分布对聚集性的研究
例
在室内不同位置放置6个平皿，隔一定时间后进行培
养，得葡萄球菌落数分别为21，26，22，18，19， 32，问细菌在室内不同位置的分布是否随机?
x 23
5.91 6 1 5
2 2 0 .05(5) 11.07 2 2 0 .05(5) , p 0.05
泊松分布资料的差异显著性检验
（三）泊松分布资料的差异显著性检验
1. 样本均数与总体均数比较： 直接计算概率法 例 8-10
例8－11
泊松分布的概念及表和查表方法
目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。
泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。
通常当n≧20,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算。
事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。
应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。
应用示例泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。
二项分布及Posson分布
（2）Poisson分布的性质
① Poisson分布的总体均数等于总体方差μ=σ2=λ。
② 当n很大，而π很小，且nπ=λ为常数时，二项分
布近似Poisson分布。
③ 当λ增大时，Poisson分布渐近正态分布。一般，
当λ≥20时，Poisson分布可作为正态分布处理。
④ Poisson分布具有可加性。对于服从Poisson
该函数式是二项函数[π+（1-π）]n的通项
且有：
P( X ) 1
X 0
n
2。二项分布的适用条件
若试验符合下面3个特点，则其某一试验结果
发生的次数服从二项分布，此试验称为贝努利
（Bernoulli）试验。
n次贝努利（Bernoulli）试验中研究事件
发生的次数X服从二项分布。
贝努利（Bernoulli）试验的条件： ① 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一 ② 在相同试验条件下，每次试验出现某种结果 （如“阳性”）的概率π固定不变
样本均数与总体均数比较的检验目的 是推断样本均数所代表的总体均数λ与已 知的总体均数λ0是否相等。 可使用的检验方法有：直接计算概率 法和正态近似法
例6-13
有研究表明，一般人群精神发育
不全的发生率为3‰，今调查了有亲缘血统婚 配关系的后代25000人，发现123人精神发育不
全，问有亲缘血统婚配关系的后代其精神发育
第二节
Poisson分布
（Poisson distribution）
一、Poisson分布的概念
Poisson分布最早是由法国数学家SiméonDenis Poisson (西莫恩· 德尼· 泊松 )研究二项
分布的渐近公式是时提出来的。
poisson分布是什么
poisson分布是什么Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。
Poisson distribution，即泊松分布，是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为。
特征函数为。
应用场景：在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。
（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性。
）应用示例：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。
观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示：例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×10核苷酸对）平均产生3个嘧啶二聚体。
实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式：是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。
第十五章poisson分布
ˆ
xi ni
– 按公式将xi转换成Zi
zi 2( zi 2( xi 1 xi ˆ n i )，当 x i n i ˆ ˆ
n i )，当 x i n i
– 求2值: – 2 =Z12+Z22+…+Zk2=Zi2 – 自由度＝组数－1＝k-1 – P207,例15－15 • 五、稀释法估计细菌数 • 作为一般了解
n i )，当 x i n i
– 计算2值 – 2 =Z12+Z22 – 自由度＝组数－1 – 见P206，例15－13，14
• 四、多个样本计数差别的统计意义检验 – 先计算均数的估计值
ˆ
x 1 x 2 ... x k n 1 n 2 ... n k
• 三、Poisson分布的可加性 • 如果X1，X2，…，Xk相互独立，且它们 分别服从以1， 2，…, k为参数的 Poisson 分布，则T＝ X1+X2+…+Xk也服 从Poisson 分布，其参为 1+2+…+ k
• 四、Poisson分布的正态近似 • 对某参数为的Poisson分布，以X为横轴， 以取值概率P为纵轴，可绘出Poisson分布 图形。 • Poisson分布的分布特征：参数 很小时 是偏态的，随着增大，对称性越来越好， 数理统计证明，当相当大时，如> 50， Poisson分布近似正态分布N(, 1/2)。 • 这种趋向正态的“ 速度”是很快的。
• 2、两样本观察单位不同时 • 1)大样本时可用正态近似法
Z x1 / n1 x 2 / n 2 x1 n1 x2 n2
• 2)用2检验：可用于小样本 – 先计பைடு நூலகம்的估计值
Poisson分布
二项分布累积概率的正态近似公式为：
P X K CnX p x q n x
x 0 k
k 0.5 n n 1
P X K CnX p x q n x
xk
n
k 0.5 n 1 n 1
随机抽出一份样本，其中稀有事件的发生次数
为X1，再独立地从总体均数为
布总体中随机抽出另一份样本，其中稀有事件
的发生次数为X2，则他们的合计发生数T=X1+X2
也服从Poisson分布，总体均数为
。
Poisson分布的这些性质还可以推广到多个
Poisson分布的情形。例如，从同一水源独立地取 水样5次，进行细菌培养，每次水样中的菌落数分 别为 为 ，均服从Poisson分布，分别记 ，把5份水样混合，其合计菌落
的记数，单位时间内放射性质点数等，只要细菌、粉
尘、放射性脉冲在观察时间内满足以上条件，就可以 近似看为Poisson分布。
二、Poisson分布的特征
(一)Poisson分布的概率函数 (K=0,1,2,…,n) 式中 为Poisson分布的总体均数，X为观
察单位时间内某稀有事件的发生次数；e为自然 对数的底，为常数，约等于2.71828。
至多有4人患先天性心脏病的概率：
至少有5人患先天性心脏病的概率
例4-9 实验显示某100cm2培养皿平均菌落数为6个， 试估计该培养皿菌落数小于3个的概率，大于1个的 概率。 该培养皿菌落数小于3个的概率
该培养皿菌落数大于1个的概率
四、二项分布、Poisson分布的的正态近似
1.二项分布的正态近似
C n>50
D nπ足够大
泊松分布的概念及表和查表方法
泊松分布的概念及表和查表方法Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。
中文名泊松分布外文名poisson distribution 分类数学时间1838年台译卜瓦松分布提出西莫恩·德尼·泊松目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。
泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Sim éon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。
通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。
事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。
应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
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医学研究中， 单位容积中大肠杆菌数 粉尘在单位容积的数目 放射性物质在单位时间内放射质点数 一定人群中患病率较低的非传染性疾病患 病数（或死亡数）的分布。
1．概率
e px x x!
x=0，1，2，…… λ是总体均数
2．分布特征
① 非对称，但λ增大时趋于对称
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
λ=3
0.2
0.15
0.1 0.05
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
λ=5
0.14 0.12
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
λ=10
H0：不会增长，即λ=3 溶液中细菌数服从Poisson分布
P=P(X≥5)=1-P(X=0)-…-P(X=4)
=0.1847
所以……
例 已知接种某疫苗时，一般严重反应率为1‰，现用 一批该种疫苗接种150人，有2人发生严重反应，问该 批疫苗的严重反应率是否高于一般。
H0: λ=λ0=0.001×150=0.15 H1: λ>0.15 α=0.05 p(x≥2)=1-p(x=0)-p(x=1)=0.0102<α 所以拒绝H0
近似
3.应用条件
• 平稳性：X的取值与观察单位的位置无关 • 独立增量性：在某个观察单位X的取值与前
面n个观察单位上X的取值独立. • 普通性：在充分小的观察单位上X的取值最
多为1
4 事件数的可信区间
在Poisson分布中,总体均数λ的可信区间
（1）查表法 x≤100 附表 例 将一个面积为100cm2的培养皿置于某病室中，
（3）直接计算概率法
1
2
2 x,
/2,1ຫໍສະໝຸດ 22 x2,1
/2
2
2
特别地 X=0时
0,
1
2 2 x2,1
/2
2
2
2 x, / 2
是自由度为2x的左侧累计概率为α/2的χ2
分布分位数
(4)利用Poisson分布的概率公式迭代
5．假设检验
①样本均数与总体均数的比较 比较的目的是推断该样本所代表的未知总体
H0: λ1= λ2 H1: λ1≠ λ2
α=0.05
x1
38
29 3
36
34.33
x2
25
2
18
21.5
u 34.33 21.5 2.723 34.33 / 3 21.5 / 2
查表得 p=0.0066 所以拒绝H0。
1小时后取出，培养24小时,查得8个菌落,求该病 室平均1小时100cm2细菌数的95%可信区间. X=8, 查表得, λ的95%可信区间是(3.45, 15.76)
（2）正态近似法 x>50
例 用计数器测得某放射性物质半小时内发出 的脉冲数为360个，试估计该放射性物质每 30分钟平均脉冲数的95%可信区间。
Poisson分布 Poisson distribution
Poisson分布常用于研究单位容积内某事件的发生 数，如: 某交换台在某一段时间内所接到的呼唤次数 某公共汽车站在一固定时间内来到的乘客数 在物理学中，放射性分裂落到某区域的质点数 显微镜下落在某区域中的微生物的数目 在工业生产中，每米布的疵点数 纺织机上的断头数等等 都服从Poisson分布。
H1: λ1≠λ2
α=0.05
u 890 785 =2.566
890 785
查表得 p=0.0102 所以拒绝H0，认为两水源菌落数有差别，以甲水
源较高。
例 某车间在改革生产工艺前，测取三次粉尘
浓度，每升空气中分别有38、39、36颗粉 尘；改革工艺后，测取两次，分别有25、 18颗粉尘。问工艺改革前后粉尘数量有无 差别？
注:此题也可用二项分布计算得p=0.0101529
方法二: 正态近似法（λ≥20）
例 某溶液原来平均每毫升有细菌80个,现欲研究 某低剂量辐射能否杀菌。研究者以此低剂量辐 射该溶液后取1毫升，培养得细菌40个。试作 统计分析。
H0:辐射后溶液中平均每毫升细菌数λ0=80
H1: λ<80
α=0.05
均数λ是否等于已知的λ0（理论值、标准 值或经大量观察所得的稳定值） 方法一：直接计算概率法
例 据以往大量观察得某溶液中平均每毫升有细 菌3个。某研究者想了解该溶液放在5°C冰 箱中3天，溶液中细菌数是否会增长。现采取 已放在5°C冰箱中3天的该溶液1毫升，测得 细菌5个。问该溶液放在5°C冰箱中3天是否 会增长？
u=-4.47, p<0.05
拒绝H0, 认为……
②两样本均数比较的u检验
应用条件： λ1>20 λ2>20 检验统计量
例 分别从两个水源各取10次样品，从每个样品 取出1水作细菌培养,甲水源共生长890个菌落， 乙水源共生长785个菌落,问两水源菌落数有无 差别？
H0: 两水源菌落数相等，即λ1= λ2
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
λ=20
0.08
0.06
0.04 0.02
0 10 15 20 25 30 35 40 45 50
λ=30
② 均数与方差均为λ ③ 分布的可加性，可使λ>20,使得可用正态