建筑结构抗震设计第三章--有图(1)--2

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2、两自由度弹性体系的运动微分方程组
根据达朗贝尔原理，I1+R1+S1=0，经整理得下列运 1 t） （ x （ c11 x c12 x （ k11 x （ k12 x （ m1 x （ 1 t） 2 t） 1 t） 2 t） g t） 动方程 m1 （ （ x （ c21x c22 x k21x （ k22 x （ m2 x （ 2 t） 1 t） 2 t） 1 t） 2 t） g t） 同理对于质点2: m2 上二式就是两自由度弹性体系在水平地震作用下的运 动微分方程组。 上述列动力平衡方程求解的方法常称为刚度法。运动 方程中的系数kij反映了结构刚度的大小，称为刚度系 数。
x（ X 12 sin （1t 1） X 22 sin （ 2t 2） 2 t）
其中X11、X12、X21、X22、φ1、φ2由初始条件确定。 由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都 是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。
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4）、质点复合振动振型曲线和惯性力
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一、多质点和多自由度体系
在进行建筑结构地震反应分析时， 除了少数质量比较集中的结构 可以简化为单质点体系外，大 量的多层和高层工业与民用建 筑、多跨不等高单层工业厂房 等，质量比较分散，则应简化 为多质点体系来分析，这样才 能得出比较符合实际的结果。 一般，对多质点体系，若 只考虑其作单向振动时，则体 系的自由度与质点个数相同。
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第三章重点、难点和基本要求
重点和难点： 1、重要术语、概念、定义 2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算 3、底部剪力法 4、结构抗震验算 基本要求： 掌握结构抗震验算基本方法
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§3-4多自由度弹性体系的地震反应
一、多质点和多自由度体系 二、两自由度弹性体系的自由振动 1、两自由度运动方程的建立 2、两自由度弹性体系的运动微分方程组 3、两自由度弹性体系的自由振动 三、多自由度弹性体系的自由振动 1、n自由度体系运动微分方程组 2、n自由度弹性体系的自由振动 四、振型分解法 1、两自由度体系振型分解法 2、n自由度体系振型分解法
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由此可求得 ω的两个正实根，它们就是体系的两个自振圆频率。其 中较小的一个用ωl表示，称为第一频率或基本频率，较大的一个ω2 称为第二频率。 利用式 T 2 / 可由ωl和ω2求得体系的两个自振周期，即 T1=2π/ω1 和 T2=2π/ω2，且 T1 ＞ T2 ，T1 称为第一周期或基本周期， T2称为第二周期。
2 （ 2） （
k12 0 2 k 22 m2
展开行列式，可得ω2的二次方程 ： 上式称为频率方程，解之得：
2
k11 k 22 k k k k ） 2 11 22 12 21 0 m1 m2 m1 m2
1 k k k k11 k 22 k12 k 21 1 k （ 11 22 ） （ 11 22 ） 2 m1 m2 2 m m m1m2 1 2
两自由度弹性体系分别按频率ω1和ω2作简谐振动时，两个振型的 变形曲线及两质点上相应的惯性力如图所示。 ji mi 2 j x ji ，其中i为质点编号，j为振型 x 惯性力可表示为 mi 序号，而且主振型变形曲线可视为体系上相应的惯性力引起的静 力变形曲线，因为由 可知，结构在任一瞬时的位移就是 F (t ) kx(t ) 等于惯性力所产生的静力位移。 在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动 叠加而成的复合振动。
2 2 12 12 1 1 11 22 22 1 2 11 11 11 12 21 21 12
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3）、自由振动方程的通解
两自由度弹性体系自由振动方程式的通解为其特解即 分别对应两个自振圆频率的质点位移的线性组合，也 即：x （ X 11 sin （1t 1） X 21 sin （ 2t 2） 1 t）
第三章 地震作用和结构抗震验算
一、课程内容 二、重点、难点和基本要求
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第三章 课程内容
§3-1 概述 §3-2 单自由度弹性体系的地震反应 §3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用——地震反应谱法 §3-4 多自由度弹性体系的地震反应 §3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用——振型分解反应谱法 §3-6 底部剪力法和时程分析法 §3-7 水平地震作用下的扭转效应 §3-8 结构的竖向地震作用 §3-9 结构自振周期的近似计算 §3-10 地震作用计算的一般规定 §3-11 结构抗震验算
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3、两自由度弹性体系的自由振动
以两自由度体系为例，令方程组等号右边荷载项为零， 由于阻尼对体系自振周期影响很小，故略去阻尼，即 1 t） 得该体系无阻尼自由振动方程组： m1 x （ k11 x （ k12 x（ 0 1 t） 2 t）
m2 x （ k 21 x （ k 22 x（ 0 2 t） 1 t） 2 t）
m1 X 11 X 21 m2 X 12 X 22 0 由于ω1≠ω2，所以： 上式所表示的关系，称为主振型的正交性，它反映了主 振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在两个不同 振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。 物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不 在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会 转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振 动时不会激起该体系其它振型的振动。
设两个质点作同频率、同相位的简谐振动，则上列微 （ X 1 sin （t ） 分方程组的解为： x 1 t）
x（ X 2 sin （t ） 2 t）
式中 X1和X2——分别为质点1和质点2的位移振幅； ω——振动频率； φ——初相位。 （k11 m1 2）X 1 k12 X 2 0 经整理后得下列振幅方程 ：
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5）、主振型的正交性
根据功的互等定理，第一主振型上的惯性力在第二主振 型的位移上所做的功等于第二主振型上的惯性力在第一 主振型的位移上所做的功，这样可得到：
2 2 （m112 X 11）X 21 （m112 X 12）X 22 （m1 2 X 21）X 11 （m2 2 X 22）X 12 2 （12 2 ）（m1 X 11 X 21 m2 X 12 X 22） 0 整理后得到：
式中Cij——质点j产生单位速度，而其它质点保持不动时， 在质点i处产生的阻尼力； kij——质点j产生单位位移，而其它质点保持不动时， 在质点i处引起的弹性反力； mi——集中在质点i的质量。 求解上述运动方程组，一般采用振型分解法。该法需要 利用多自由度弹性体系的振型，它们是由分析体系的自 由振动得来的。为此，须先讨论多自由度体系的自由振 动问题。
在质点1处所需施加的水平力； k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时， 在质点1处引起的弹性反力； c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时， 在质点1处产生的阻尼力； c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时， 在质点1处产生的阻尼力； m1——集中在质点1上的质量。
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2）、主振型
由于线性齐次方程组的系数行列式等于零，所以两个频 率方程并不是独立的，振幅方程的解只能是两质点位移 振幅的比值，如：X 2 m1 2 k11 或 X 2 k21
X1 k12
X1
m2 2 k22
当 1 ，振幅比值为： X m k 当 2 ，振幅比值为： X k 式中： X ji ——体系按频率ωj (频率序号j=1，2)自由振 动时，质点i (质点编号i=1，2)的位移振幅。 （t） X 12 sin （1t 1） x11 （t） X 11 sin （1t 1）和 x12 当 1 ，质点位移： （t） X 22 sin （ 2 t 2） x21 （t） X 21 sin （ 2 t 2） 当 2 ，质点位移： 和 x22 式中 x ji ——体系按频率ωj(频率序号j=1，2)自由振动 时，质点i (质点编号i=1，2)的位移
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j 1 j 1
2、n自由度弹性体系的自由振动
对于n自由度体系，由上式可得其自由振动方程组： n （i=1，2，…，n） i t） mi x （ k ij x（ ） 0 j t
k21 X 1 （k22 m2 2）X 2 0
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1）、自振频率和自振周期
上式为 Xl和 X2 的线性齐次方程组；体系在自由振动时， X1和X2不能同时为零，否则体系就不可能产生振动。 为使上式有非零解，其系数行列式必须等于零，即：
k11 m1 2 k 21
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二、两自由度弹性体系的自由振动
左图为一两自由度弹性体系在 水平地震作用下，在时刻t的变 形情况。Xg(t)为地震时地面运 动的水平位移，质点1和质点2 沿地面运动方向产生的相对于 地面的水平位移分别为x1(t)和 （ x2(t)，而相对速度则为 x 1 t） （ 1 t） x （ 和 x ，相对加速度为 2 t） x （ x （ 2 t） 和 ，绝对加速度分别为 g t） 1 t） x （ x （ + 和 + 。 x （ 2 t） g t）
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