曲线与方程(基础+复习+习题+练习)
椭圆曲线基础练习题
椭圆曲线基础练习题本文档将为您提供一些关于椭圆曲线基础知识的练题。
1. 椭圆曲线方程假设给定一个椭圆曲线方程：y^2 = x^3 + ax + b请回答以下问题：a) 比较两个椭圆曲线的方程：y^2 = x^3 + 3x + 2 和 y^2 = x^3 + 2x + 3，它们是否相同？- 是相同的。
两个方程只是常数项 a 和 b 不同，对于椭圆曲线来说，常数项的改变不会影响曲线的形状。
b) 对于方程 y^2 = x^3 + 5x + 7，找出一个曲线上的点。
- 我们需要找到一个满足方程的 (x, y) 值。
可以通过尝试一些整数值来找到一个合适的点，或者使用计算工具辅助计算。
c) 给定一个椭圆曲线方程 y^2 = x^3 + 4x + 5 和一个点 P(2, 3)，求出 P 的相反点 -P。
- 首先，我们需要计算点 P 的 y 坐标的相反数，得到 -y。
然后，将 -y 和 P 的 x 坐标代入原方程计算出 -P 的 x 坐标。
最后，将 -P 的x 和 -y 坐标组合成一个点即可。
2. 点的加法对于椭圆曲线上的点加法，我们使用以下规则：- 如果 P 和 Q 是椭圆曲线上的两个点，它们的和是另一个点 R。
- R 是通过连接 P 和 Q 的直线与椭圆曲线的交点确定的。
请回答以下问题：a) 对于椭圆曲线 y^2 = x^3 + 2x + 3，给定点 P(1, 2) 和 Q(4, 5)，计算出它们的和 R。
- 首先，将 P 和 Q 的坐标代入椭圆曲线方程，求出两个点在曲线上是否成立。
如果两个点在曲线上，我们可以利用点的加法规则进行计算。
b) 如果椭圆曲线上的点 P 和 Q 相同，计算它们的和 R。
- 当两个点相同的时候，我们需要使用椭圆曲线上点的切线与椭圆曲线的交点的方法来计算它们的和。
3. 椭圆曲线的群结构椭圆曲线上的点满足群的结构，有以下特性：- 封闭性：椭圆曲线上的点加法运算结果是椭圆曲线上的点。
- 单位元：椭圆曲线上的点O 是加法的单位元，对于任意点P，P + O = O + P = P。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题一、填空题1. 向上凹曲线的二次函数方程一般可以表示为 ________。
2. 直线 y = a 与 x 轴的交点为 _________。
3. 曲线 y = x^3 - 2x^2 - 3x + 2 的对称轴方程为 ________。
4. |a| > 1 时，二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口向 _________。
5. 一条直线 y = mx + c 与双曲线 xy = k (k > 0) 相交于两个点时，m 的取值范围为 ________。
6. 一条直线 y = kx 与椭圆 (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 相切于点 (x1, y1)，则 k 的取值范围为 ________。
二、选择题1. 曲线 y = (x + 2)^2 - 3 的对称轴为：A. x = 2B. y = 2C. x = -2D. y = -22. 函数 y = (x - 3)(x - 1) 的图像与 x 轴的交点为：A. (3, 0) 和 (1, 0)B. (3, 0) 和 (-1, 0)C. (0, 3) 和 (0, 1)D. (0, 3) 和 (0, -1)3. 下列函数中，是抛物线的是：A. y = x^3 - 2x + 6B. y = 3x^2 + 4x - 1C. y = x^2 / 2 + 5D. y = 2x + 14. 随着 a 的增大，函数 y = ax^2 的图像：A. 变宽B. 变窄C. 上移D. 下移5. 一次函数 y = mx + c 和二次函数 y = ax^2 相交于两个交点时，m 和 a 的关系为：A. m = aB. m > aC. m < aD. 无法确定三、解答题1. 求下列函数的对称轴、顶点和图像开口的方向：a) y = 2x^2 + 4x - 3b) y = -3x^2 + 6x - 12. 给定函数 y = x^3 + ax^2 + bx + 2，已知该函数的图像过点 (-1, 2)，x = 2 和 y = 4 和曲线的对称轴平行，则 a 和 b 的值分别为多少？3. 已知一条直线将椭圆 (x - 3)^2/4 + (y - 4)^2/9 = 1 和双曲线 (x -1)^2/9 - (y - 5)^2/4 = 1 分成两部分，求此直线方程。
习题第29讲 曲线与方程--高考数学习题和答案
专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程2019年1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a −+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12−上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =−经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.2010-2018年解答题1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =−上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||tAM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y −=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b−=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F −，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y −+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =−的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =−上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=− ，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y −+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． （1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a −+−++=与D 有公共点，试求a 的最小值．。
曲线练习题
曲线练习题一、基础题(1) y = 2x + 3(2) y = x^2 4x + 1(3) y = 3x^3 2x^2 + x 5(1) y = 4x 7(2) y = 2x^2 + 3x 1(3) y = 5x^3 3x^2 + 2x + 4(1) y = x^2 6x + 9(2) y = 2x^2 + 4x + 6(3) y = 3x^3 9x^2 + 6x二、应用题1. 某物体做直线运动，其位移与时间的关系为 s = 3t^2 + 2t + 1（其中s为位移，t为时间），求：(1) 物体在t=2秒时的位移；(2) 物体在前3秒内的平均速度。
2. 一条河流的流速与时间的关系为 v = 2t + 3（其中v为流速，t为时间），求：(3) 河流在t=4小时时的流速；(4) 河流在前5小时内的平均流速。
三、综合题1. 已知曲线方程 y = x^3 3x^2 + 2x，求：(1) 曲线的拐点；(2) 曲线的极值。
2. 给定曲线方程 y = e^x x^2，求：(3) 曲线的凹凸区间；(4) 曲线的单调区间。
四、拓展题1. 已知曲线方程 y = ln(x^2 + 1)，求：(1) 曲线的渐近线；(2) 曲线在x=0处的曲率。
2. 给定曲线方程 y = sin(x) + cos(x)，求：(3) 曲线的周期；(4) 曲线在[0, π]区间内的最大值和最小值。
五、几何题(1) 画出该曲线的图形；(2) 求曲线在点 (1, 1) 处的切线方程；(3) 计算曲线在 x = 0 和 x = 2 之间的弧长。
(4) 确定曲线的类型；(5) 求曲线在第一象限内的切线斜率；(6) 计算曲线的周长。
六、实际应用题1. 一辆汽车以匀加速直线运动，其速度与时间的关系为 v = 4t + 2（其中v为速度，t为时间），求：(1) 汽车在t=5秒时的速度；(2) 汽车在前6秒内的位移。
2. 某企业的成本与产量的关系为 C = 3Q^2 + 2Q + 10（其中C 为成本，Q为产量），求：(3) 当产量为10时的成本；(4) 产量为多少时，成本最小。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题一、选择题1. 已知曲线C：y = x^2 - 4x + 4，下列哪个点不在曲线上？A. (0, 4)B. (1, 1)C. (2, 0)D. (4, 4)2. 曲线y = 2x - 3与直线x = 2的交点坐标是：A. (2, 1)B. (2, -1)C. (1, 2)D. (-1, 2)3. 曲线y = 3x^2 + 6x + 5的顶点坐标是：A. (-1, 2)B. (-2, 5)C. (-3, 2)D. (-2, 2)4. 曲线y = 2x^3 - 6x^2 + 8x - 4的拐点是：A. (1, -1)B. (2, 0)C. (-1, 3)D. (0, -4)5. 曲线y = sin(x)与x轴相交的点是：A. (π, 0)B. (0, 0)C. (2π, 0)D. (π/2, 0)二、填空题6. 曲线y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的切线斜率在x=1处为_________。
7. 曲线y = 1/x在第一象限的渐近线方程是_________。
8. 曲线y = √x的切点在x=4处的切线方程是_________。
9. 曲线y = x^2 - 2x + 3的对称轴方程是_________。
10. 曲线y = e^x的导数是_________。
三、解答题11. 已知曲线C：y = x^2 - 2x + 3，求该曲线在x=2处的切线方程。
12. 曲线y = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1在x=0处的切线斜率是多少？13. 曲线y = x^4 - 4x^2 + 4x - 3的极值点有哪些？14. 曲线y = ln(x)在x=1处的切线方程是什么？15. 曲线y = cos(x)在[0, 2π]区间内的单调增区间是哪些？四、综合题16. 已知曲线y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求该曲线的拐点坐标。
17. 曲线y = x^2 + 2x - 8与x轴的交点坐标是什么？18. 曲线y = 2x - 1/x在x=1处的切线斜率是多少？19. 曲线y = 3x^2 + 4x - 5的顶点坐标和对称轴方程是什么？20. 曲线y = tan(x)在x=π/4处的切线斜率是多少？请根据上述题目要求，逐一解答。
第二章圆锥曲线与方程_单元练习题_文科(选修1-1)B卷
第二章B 卷B1 椭圆 （课外提升训练）【理解整合】1. ★★椭圆2212x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）A ．1B ．3C 1D ．12.★★焦点坐标为()()0,6,0,6-，10a =，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．22110064x y +=B ．22110036x y +=C ．22110064y x +=D ．22110036y x += 3.★★若椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值为（ ） A ．5B ．8C ．53或D ．204.★★★下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是（ ）A ．2220x xy y ++=B ．2250x x y -+=C ．24981x y +=D ．224x y =5.★★椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么M 点的纵坐标是（ ）A ．±．．．34±6．★★若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221259x y +=B ．()2210259y x y +=≠C ．()2210169x y y +=≠D ． ()2210259x y y +=≠ 7．★★★P 是长轴在x 轴上的椭圆22221x y a b+=上的点，12,F F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差一定是（ ）A ．1B ．2aC ．2bD ．2c8.★★★两焦点坐标分别为()0,2-，()0,2且经过点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程是 。
9.★★★如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。
10.★★★如果椭圆22360ax y a +-=的一个焦点坐标为()0,2，求a 的值。
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程
第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二 方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三 求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析 基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析 方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析 设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析 设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析 设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。
最新双曲线及其标准方程练习题
课时作业(十)[学业水平层次]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3)【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 【答案】 D3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1【解析】由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A.2B. 3 C ．2D ．3【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C 二、填空题5．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________.【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或46．(2014·河南省洛阳高一月考)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②7．(2014·哈尔滨高二检测)已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________．【解析】 由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45 三、解答题8．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴4a 2－1b 2＝1.②由①、②联立，得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升层次]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．3【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且 a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A2．(2014·桂林高二期末)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 不妨设P 是双曲线右支上一点， 在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12， ∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B. 【答案】 B3．(2014·福建省厦门一中期末考试)已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 －14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1、F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离； (2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题曲线与方程练习题数学作为一门抽象而又实用的学科，几乎贯穿了我们的整个学习生涯。
其中，曲线和方程是数学中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解曲线和方程的关系。
练习题一：给定方程y = 2x + 3，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：首先，我们可以根据方程中的斜率和截距，找到该直线的两个点。
当x= 0时，y = 3；当x = 1时，y = 5。
因此，我们可以在坐标系中连接这两个点，得到一条斜率为2，截距为3的直线。
这条直线是一条倾斜向上的直线，它的斜率表示了直线上每单位x变化对应的y的变化。
练习题二：给定方程y = x^2，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个二次函数的图像。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = -2时，y = 4；当x = -1时，y = 1；当x = 0时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个开口向上的抛物线。
这个抛物线的特点是，它的顶点位于原点，对称轴为y轴，开口向上。
练习题三：给定方程y = sin(x)，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个正弦函数的图像。
正弦函数是一种周期性的函数，它的图像在一个周期内重复出现。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = 0时，y = 0；当x = π/2时，y = 1；当x = π时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个波浪形的曲线。
这个曲线的特点是，它在每个周期内都有一个最大值和一个最小值，且对称于y轴。
练习题四：给定方程y = e^x，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个指数函数的图像。
指数函数是一种增长非常快的函数，它的图像呈现出逐渐上升的趋势。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
高中数学选修2-1第二章第13课时同步练习 第二章 圆锥曲线与方程(复习)(A)
第二章 圆锥曲线与方程（复习A ）1、过点（2，4）作直线，与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线有（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条2、双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（ ）A 、)0,(-∞B 、（1，+∞）C 、),1()0,(+∞⋃-∞D 、),1()1,(+∞⋃--∞3、已知（4，2）是直线l 被椭圆193622=+y x 截得的线段的中点，则l 的方程是（ ） A 、x-2y=0 B 、x+2y-4=0 C 、2x+3y+4=0 D 、x+2y-8=0 4、抛物线x y 412=关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标是（ ）A 、（1，0）B 、（0，1）C 、（0，161）D 、（0,161）5、对于抛物线C ：y 2=4x ，我们称满足0204x y <的点M （00,y x ）在抛物线的内部。
若M （00,y x ）在抛物线的内部，则直线)(2:00x x y y l +=与C （ ） A 、恰有一个公共点 B 、恰有两个公共点C 、可能有一个公共点，也可能有两个公共点D 、没有公共点6、直线y=x+3与曲线14||92=-y y x 的交点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、37、与直线2x-y+4=0平行的抛物线y= x 2的切线方程是 ( )A 、2x -y+3=0B 、2x -y -3=0C 、2x-y+1=0D 、2x-y-1=08、如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、(134, +∞) B 、（- ∞,134） C 、（- ∞,-134） D 、（-134 ,134） 9、若焦点是（0，25±）的椭圆截直线3x-y-2=0所得弦的中点的横坐标为1/2，则椭圆的方程是 . 10、设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .11、如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点, 点P(1,2), A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)均在直线上. (Ⅰ)写出该抛物线的方程及其准线方程；(Ⅱ)当PA 与PB 的斜率存在且倾角互补时,求21y y +的值及直线AB 的斜率.12、设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：（Ⅰ）动点P 的轨迹方程； （Ⅱ）||的最小值与最大值.参考答案1、B （注意点在曲线上）2、C （利用数形结合）3、D （利用“点差法”求斜率）4、C5、D （直线l 过定点（0,0x -），斜率为2）6、B （先分类讨论去掉绝对值，再利用数形结合）7、D8、C9、利用“点差法”可求得1752522=+y x 10、x+y-4=0 11、解(Ⅰ)由已知条件,可设抛物线的方程为.22px y = ∵点P(1,2)在抛物线上,∴,1222⋅=p 得p =2.故所求抛物线的方程是,42x y =准线方程是x=--1. (Ⅱ) 设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB , ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴.PB PA k k -= 由A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在抛物线上,得,4121x y = ①,4222x y = ② ∴,14121412222211--=--y y y y∴ ),2(221+-=+y y ∴.421-=+y y由①-②得直线AB 的斜率).(144421211212x x y y x x y y k AB ≠-=-=+=--=12、（Ⅰ）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解.将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+= 设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④①②.142222=+y x ⑤. ④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以 .0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧. 当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x （Ⅱ）解：由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x故当41=x ，||取得最小值，最小值为61;41-=x 当时，||取得最大值，最大值为.621。
高考理科第一轮复习练习(8.8曲线与方程)
课时提升作业(五十八)一、选择题1.(2013·九江模拟)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是( )(A)一条直线和一条双曲线(B)两条双曲线(C)两个点(D)以上答案都不对2.(2013·汉中模拟)设P为圆x2+y2=1上的动点,过P作x轴的垂线,垂足为Q,若错误！未找到引用源。
=λ错误！未找到引用源。
(其中λ为正常数),则点M的轨迹为( )(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线3.(2013·铜陵模拟)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )(A)x2+y2=2 (B)x2+y2=4(C)x2+y2=2(x≠±2) (D)x2+y2=4(x≠±2)4.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,错误！未找到引用源。
)的轨迹是( )(A)圆(B)椭圆的一部分(C)双曲线的一部分(D)抛物线的一部分5.(2013·安庆模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是( )(A)(x-1)2+(y+1)2=9(B)(x+1)2+(y-1)2=9(C)(x-1)2+(y-1)2=9(D)(x+1)2+(y+1)2=96.已知动点P(x,y),若lgy,lg|x|,lg错误！未找到引用源。
成等差数列,则点P的轨迹图象是( )7.已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线(B)两条射线或圆或抛物线(C)两条射线或圆或椭圆(D)椭圆或双曲线或抛物线8.(2013·合肥模拟)在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B(-错误！未找到引用源。
,0),C(错误！未找到引用源。
人教版 高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题
人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。
2013高三数学总复习同步练习：8-8曲线与方程(理)
8-8曲线与方程(理) 基础巩固强化1.若点P 到直线y ＝－2的距离比它到点A (0,1)的距离大1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] D[解析] 由条件知，点P 到直线y ＝－1的距离与它到点A (0,1)的距离相等，∴P 点轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线．2．已知平面上两定点A 、B 的距离是2，动点M 满足条件MA →·MB →＝1，则动点M 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 [答案] B[解析] 以线段AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设M (x ，y )，∵MA →·MB →＝1，∴(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝1， ∴x 2＋y 2＝2，故选B.3．(2012·浙江金华十校模拟)如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.52 B.54 C. 2 D ．2 [答案] A[解析] 设椭圆、双曲线的半焦距分别为c 、c ′，由条件知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝32⇒c 2a 2＝34⇒a 2－b 2a 2＝34⇒b 2a 2＝14， 则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中：e 2＝c ′2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54.所以e ＝52.4．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ， 则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x y 1＝2ax，消去x 得，y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.5．(2012·长沙一中月考)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0， ∴2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故选D.6．(2011·天津市宝坻区质量检测)若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x 22＋y 2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．y 2－x 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.y 24－x 2＝1 [答案] B[解析] ∵椭圆x 22＋y 2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e 1＝c a ＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，即焦点在y 轴上，且a ＝1，离心率e 2＝c ′a ＝2，∴c ′＝2，b ＝1，所求双曲线方程为y 2－x 2＝1.故选B. 7．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2－4y 2＝1[解析] 设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求．8．(2011·聊城月考)过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 设l 1：y －1＝k (x －1)，k ≠0，则l 2：y －1＝－1k(x －1)，l 1与x 轴交于点A (1－1k ，0)，l 2与y 轴交于点B (0,1＋1k )，∴AB 的中点M (12－12k ，12＋12k)，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12k ，y ＝12＋12k ∴x ＋y ＝1.即AB 的中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.9．(2011·北京理，14)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点P 的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． [答案] ②③[解析] 设P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2得，(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2(a >1)，将原点O (0,0)代入等式不成立，故①错；将(－x ，－y )代入方程中，方程不变，故曲线C 关于原点对称，故②正确；设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．10．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 是双曲线上任一点，Q 是P 关于x 轴的对称点，求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹E 的方程．[解析] 由条件知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，则Q (x 1，－y 1)，|x 1|>3，∴直线A 1P ：y ＝y 1x 1＋3·(x ＋3)，A 2Q ：y ＝－y 1x 1－3·(x －3)，两式相乘得y 2x 2－9＝－y 21x 21－9， ∵点P 在双曲线上，∴x 219－y 2116＝1，∴－y 21x 21－9＝－169∴y 2x 2－9＝－169，整理得x 29＋y 216＝1(xy ≠0).能力拓展提升11.长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[答案] C[解析] 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则 a 2＋b 2＝9，①又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，则⎩⎨⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②把②代入①式整理可得：x 2＋14y 2＝1.故选C.12．(2012·天津模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 [答案] D[解析] M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |.∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，(5>|AC |) ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.故选D.13．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] x 29＋y 2＝1[解析] 设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.①∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点，∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2.代入①中得，⎩⎨⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .②又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x29＋y 2＝1.14．(2012·福州质检)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2161的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 的个数为________．[答案] 2[解析] 由题意知椭圆的焦点坐标为：F 1(－3,0)，F 2(3,0)．∵△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，∴△MF 1F 2的内切圆的半径r ＝32.又∵S △MF 2F 1＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋2c )·r ＝c |y M |，∴y M ＝±4.∴满足条件的点M只有两个，在短轴顶点处．15.如图所示，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一动点，点B (1,0)，点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判断以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0， ∴PM 垂直平分BN ，∴|PN |＝|PB |，又|PA |＋|PN |＝|AN |，∴|PA |＋|PB |＝4，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，由2a ＝4,2c ＝2可得，a 2＝4，b 2＝3. 可得动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设PB 中点为C ，则|OC |＝12|AP |＝12(|AN |－|PN |)＝12(4－|PB |)＝2－12|PB |. ∴两圆内切．16．(2012·广东揭阳市模拟)在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知点G (1,0)和G ′(－1,0)，点P 在轨迹M 上运动，现以P 为圆心，PG 为半径作圆P ，试探究是否存在一个以点G ′(－1,0)为圆心的定圆，总与圆P 内切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意知直线A 1N 1的方程为： y ＝m2x ＋2)，① 直线A 2N 2的方程为：y ＝－n2(x －2)，②设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2交点， ①×②得y 2＝－mn 4(x 2－4)．将mn ＝3代入，整理得x 24＋y 23＝1.∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)由(1)知，点G (1,0)和G ′(－1,0)为椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点，由椭圆的定义得|PG ′|＋|PG |＝4， 即|PG ′|＝4－|PG |，∴以G ′为圆心，以4为半径的圆与圆P 内切， 即存在定圆G ′，该定圆与圆P 恒内切， 其方程为：(x ＋1)2＋y 2＝16.1．已知点A (2,0)，B 、C 在y 轴上，且|BC |＝4，△ABC 外心的轨迹S 的方程为( )A ．y 2＝2xB ．x 2＋y 2＝4C ．y 2＝4xD ．x 2＝4y[答案] C[解析] 设△ABC 外心为G (x ，y )，B (0，a )，C (0，a ＋4)， 由G 点在BC 的垂直平分线上知y ＝a ＋2， ∵|GA |2＝|GB |2，∴(x －2)2＋y 2＝x 2＋(y －a )2， 整理得y 2＝4x ，即点G 的轨迹S 方程为y 2＝4x .2．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是()A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支[答案] A[解析]过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内，直线l与α的交点C也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．3．已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A.4．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．[答案] x 24a 2＋y 24b 2＝1 [解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q (x ，y )，P (x 1，y 1)，∴PF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，PF 2→＝(c －x 1，－y 1)，OQ →＝(x ，y )， 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x 1，y ＝－2y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中得，x 24a 2＋y 24b 2＝1. 5．(2012·石家庄质检)点P 为圆O ：x 2＋y 2＝4上一动点，PD ⊥x 轴于D 点，记线段PD 的中点M 的运动轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 经过定点(0,2)，且与曲线C 交于A 、B 两点，求△OAB 面积的最大值．[解析] (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则D (x 0,0)．由题意可得⎩⎨⎧ x ＝x 0，y ＝12y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝2y ，(*) 将(*)式代入x 2＋y 2＝4中，得x 24＋y 2＝1，故曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，且方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(4k 2＋1)x 2＋16kx ＋12＝0， Δ＝(16k )2－4(4k 2＋1)×12＝16(4k 2－3)，由Δ>0，得4k 2－3>0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1.② |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[(－16k 4k 2＋1)2－4·124k 2＋1].③ 原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.④由三角形的面积公式及③④得S △OAB ＝12×|AB |d ＝44k 2－3(1＋4k 2)2＝44k2－3(4k2－3)2＋8(4k2－3)＋16＝414k2－3＋8＋164k2－3≤4116＝1，当且仅当4k2－3＝164k2－3，即4k2－3＝4时，等号成立．此时S△OAB的最大值为1.。
曲线与方程高二练习题
曲线与方程高二练习题
一、选择题
A. 曲线C是开口向下的抛物线
B. 曲线C的顶点坐标为(2, 1)
C. 曲线C与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)
D. 曲线C与y轴的交点坐标为(0, 3)
2. 设曲线y = f(x)在点(x, y)处的切线斜率为2x，则f(x)可能是（）
A. x^2 + 1
B. 2x^2 1
C. x^2 2
D. 2x^3
A. 曲线在x = 0处取得极值
B. 曲线在x = 1处取得极值
C. 曲线在x = 2处取得极值
D. 曲线在x = 1处取得极值
二、填空题
1. 已知曲线C的方程为x^2 + y^2 = 4，则曲线C的圆心坐标为______，半径为______。
2. 给定曲线y = (1/2)x^2 3x + 4，其顶点坐标为______。
3. 若曲线y = ax^2 + bx + c在x = 1处与x轴相切，则a + b + c =______。
三、解答题
1. 已知曲线C的方程为y = x^3 6x，求曲线C的拐点坐标。
2. 给定曲线y = 3x^2 4x + 1，求曲线在x = 2处的切线方程。
3. 设曲线y = f(x)的导数为f'(x) = 2x 3，求曲线y = f(x)在x = 1处的切线方程。
4. 已知曲线C的方程为x^2 + (y 2)^2 = 4，求曲线C与直线y = x + 1的交点坐标。
5. 设曲线y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标为(1, 2)，且过点(0, 3)，求曲线的方程。
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习(含解析)(最新整理)
第8讲曲线与方程一、选择题1。
方程（2x＋3y－1)（错误!－1）＝0表示的曲线是（)A。
两条直线 B.两条射线C.两条线段D。
一条直线和一条射线解析原方程可化为错误!或错误!－1＝0,即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2。
（2017·衡水模拟）若方程x2＋y2a＝1（a是常数)，则下列结论正确的是（)A.任意实数a方程表示椭圆B。
存在实数a方程表示椭圆C。
任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线解析当a>0且a≠1时,方程表示椭圆，故选B。
答案B3。
(2017·长春模拟)设圆（x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A（1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。
线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )A。
错误!－错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则｜AM｜＝｜MQ｜,∴|MC｜＋|MA|＝｜MC｜＋|MQ｜＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆。
∴a＝52，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。
答案D4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是（）A。
y2＝2x B。
(x－1）2＋y2＝4C。
y2＝－2x D。
(x－1）2＋y2＝2解析如图,设P（x，y），圆心为M（1,0）,连接MA，则MA⊥PA，且｜MA｜＝1，又∵｜PA｜＝1，∴|PM｜＝|MA｜2＋|PA｜2＝2,即｜PM｜2＝2，∴（x－1）2＋y2＝2.答案D5.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1，3），若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2 OB→(O为原点)，其中λ，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（)1A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C（x,y)，因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，所以（x，y)＝λ1（3，1)＋λ2（－1，3)，即错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1，所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y＝5 ，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6。
高中数学选修2-1第二章第13课时同步练习 第二章 圆锥曲线与方程(复习)(B)
第二章 圆锥曲线与方程（复习）（B ）1、已知抛物线x y 42=，过焦点F 的弦AB 被焦点分成长为m 与n 的两部分，求n m 11+ 等于（ ）A 、1B 、2C 、3D 、42、直线2-=kx y 交抛物线x y 82=于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则AB 为（ ）A 、 15B 、 154C 、 152D 、 423、过双曲线068222=+--x y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若4=AB ，则这样的直线有（ ）A 、4条B 、3条C 、2条D 、1条、4、抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的倾斜角为α，则弦长AB 为（ ）A 、α2sin 2pB 、α2cos 2p C 、αsin p D 、αcos p 5、曲线122--=x x y 与x 轴相交，则两交点间的距离为（ ）A 、8B 、0C 、7D 、16、过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2（c,0）,则△ABF 2的最大面积为（ ）A 、b 2B 、abC 、acD 、bc7、双曲线1322=-y x 的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2作倾斜角为1500的直线交双曲线于A 、B 两点，则△ABF 1的周长为（ ）A 、6B 、5C 、333+D 、3+233 8、已知抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为a(a ≥2p)，则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离为 .9、过双曲线116922=-y x 的右焦点F 作倾斜角为4π的弦，则|AB|=10、抛物线y 2=x 上到直线x-2y+4=0的距离最小的点是11、已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.12、 设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0)(0,(2>c c F ，且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直.（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设L 是相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与L 相交于点Q. 若32||||22-=PF QF ，求直线PF 2的方程.参考答案1、A （利用特值法）2、C （根据韦达定理和弦长公式）3、B （利用数形结合法）4、A （利用焦点弦长公式和韦达定理）5、A （利用数形结合）6、D7、C 6、2p a - 9、7192 10、（1，1） 11、 解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y 即.0=--k y kx 因为点M 到直线AP 的距离为1,∵,112=+-k kmk 即221111k k k m +=+=-.∵],3,33[∈k ∴,21332≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332. ∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+-- (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b b y x 由),0,1(),0,12(A M +得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1。
高中数学高考总复习曲线与方程习题及详解
高中数学高考总复习曲线与方程习题及详解一、选择题1．若M 、N 为两个定点且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 以MN 的中点为原点，直线MN 为x 轴建立直角坐标系．并设M (－3,0)，N (3,0)，P (x ，y )，则PM →·PN →＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9.2．(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O )和一个定点F (F 在圆外)．在圆上任取一点M ，将纸片折叠使点M 与点F 重合，得到折痕CD .设直线CD 与直线OM 交于点P ，则点P 的轨迹为( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[答案] A[解析] 由OP 交⊙O 于M 可知|PO |－|PF |＝|PO |－|PM |＝|OM |<|OF |(F 在圆外)，∴P 点的轨迹为双曲线，故选A.3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π[答案] B[解析] 设P (x ，y )，由知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.4．已知点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点A 到F 1的距离是23，线段AF 2的垂直平分线交AF 1于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A.x 29＋y 24＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 23＋y 22＝1D.x 212＋y 210＝1 [答案] C[解析] 依题意得，|P A |＝|PF 2|， 又|P A |＋|PF 1|＝|AF 1|＝23，故|PF 1|＋|PF 2|＝23，点P 的轨迹为椭圆， 方程为x 23＋y 22＝1.5．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支[答案] A[解析] 过定点A 且与AB 垂直的直线l 都在过定点A 且与AB 垂直的平面β内，直线l 与α的交点C 也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．6．已知log 2x 、log 2y 、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得 2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A.7．过椭圆x 29＋y 24＝1内一点R (1,0)作动弦MN ，则弦MN 中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，则4x 12＋9y 12＝36,4x 22＋9y 22＝36， 相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 将x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1代入可知轨迹为椭圆． 8．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [答案] A[解析] 设P 1、P 2为P 的轨迹上两点，则AP 1⊥BD 1，AP 2⊥BD 1.∵AP 1∩AP 2＝A ， ∴直线AP 1与AP 2确定一个平面α，与面BCC 1B 1交于直线P 1P 2，且知BD 1⊥平面α， ∴P 1P 2⊥BD 1，又∵BD 1在平面BCC 1B 1内的射影为BC 1，∴P 1P 2⊥BC 1，而在面BCC 1B 1内只有B 1C 与BC 1垂直，∴P 点的轨迹为B 1C .9．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ， 则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝xy 1＝2ax，消去x 得，y 12＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.10．(2011·广东佛山、山东诸城)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是( )A ．a 1－c 1＝a 2－c 2B ．a 1＋c 1>a 2＋c 2C ．a 1c 2>a 2c 1D ．a 1c 2<a 2c 1[答案] C[解析] 设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为O 1，O 2，公共左顶点为A ，如图，则a 1－c 1＝|AO 1|－|FO 1|＝|AF |，a 2－c 2＝|AO 2|－|FO 2|＝|AF |，故A 对；又a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，故B 对；由图知e 1>e 2，即c 1a 1>c 2a 2，∴a 1c 2<a 2c 1，故D 对，C 错．二、填空题11．F 1、F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2＝4[解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．(2010·哈师大附中)已知曲线C 1的方程为x 2－y 28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2的方程为(x－3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与双曲线C 1相交于点B ，|AB |＝3，则直线AB 的斜率为________．[答案]33[解析] 设B (a ，b )，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 28＝1(a －3)2＋b 2＝3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，故|3k －k |1＋k 2＝1，∴k ＝33，或k ＝－33(舍去)． 13．(2010·浙江杭州质检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9(位于圆x 2＋y 2＝16内的) [解析] ∵以AB 为直径的圆过点C ，∴AC ⊥BC ， ∵M 是AB 中点，∴|CM |＝12|AB |＝3，故点M 在以C (1，－1)为圆心，3为半径的圆上，方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，∵M 为弦AB 的中点，∴M 在⊙O 内，故点M 轨迹为圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9位于圆x 2＋y 2＝16内的部分．14．(2010·青岛一中)如图，两条过原点O 的直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴成30°的角，点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，且线段PQ 的长度为2.则动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为________．[答案] x 23＋y 2＝1[解析] 由已知得直线l 1⊥l 2， l 1：y ＝33x ，l 2：y ＝－3x ， ∵点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，∴y 1＝33x 1，y 2＝－3x 2， 由|PQ |＝2得，(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＝4， 即43x 12＋4x 22＝4⇒x 123＋x 22＝1， ∴动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.三、解答题15．(2010·广州市质检)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．[解析] (1)设点P (x ，y )， 依题意有，(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，整理得x 24＋y 22＝1，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， ∴6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6. 当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立． 故|MN |的最小值为2 6.[点评] 直译法是求轨迹的基本方法，对于符合圆锥曲线定义的轨迹问题，也常用定义法求解，请再做下题：(2010·陕西宝鸡市质检)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程；(3)若AC 、BD 为椭圆C 1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F 2，求四边形ABCD 的面积的最小值．[解析] (1)∵e ＝33，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，∴2a 2＝3b 2.∵直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴b ＝2，b 2＝2，∴a 2＝3. ∴椭圆C 1的方程是x 23＋y 22＝1.(2)∵|MP |＝|MF 2|，∴动点M 到定直线l 1：x ＝－1的距离等于它到定点F 2(1,0)的距离， ∴动点M 的轨迹C 2是以l 1为准线，F 2为焦点的抛物线． ∴点M 的轨迹C 2的方程为y 2＝4x .(3)当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则直线AC 的方程为y ＝k (x －1)．联立x 23＋y 22＝1及y ＝k (x －1)得，(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x2＝3k 2－62＋3k 2. |AC |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝48(k 2＋1)2＋3k 2.由于直线BD 的斜率为－1k ，用－1k 代换上式中的k 可得|BD |＝48(1＋k 2)2k 2＋3.因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝24(1＋k 2)2(2＋3k 2)(2k 2＋3)，由于(2＋3k 2)(2k 2＋3)≤[(2＋3k 2)＋(2k 2＋3)2]2＝[5(k 2＋1)2]2，所以S ≥9625，当2＋3k 2＝2k 2＋3，即k ＝±1时取等号．易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积S ＝4. 综上可得，四边形ABCD 面积的最小值为9625.16．(2010·浙江金华十校联考)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．[解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4 ①y 1＋y 2＝8＋p2 ②， 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1③由①，②，③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 则抛物线G 的方程为：x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．[点评] 解析几何与向量，导数结合是可能的新命题方向，其本质仍是解析几何问题，请再练习下题：(2010·湖南师大附中)如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴的负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上动点P 在点A 和B 之间运动时，求△ABP 面积的最大值． [解析] (1)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2， 抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py 得，x 2＋2pkx －4p ＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)． 因为OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .(2)根据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 设点P (x 0，y 0)，因为y ′＝－x ，则－x 0＝2，解得x 0＝－2， 又y 0＝－12x 02＝－2，所以P (－2，－2)．此时，点P 到直线l 的距离 d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0.则x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝－4， 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝1＋22·(－4)2－4(－4)＝410.故△ABP 面积的最大值为12|AB |·d ＝12×410×455＝8 2.17．(2010·辽宁省实验中学)如图，在Rt △DEF 中，∠DEF ＝90°，|EF →|＝2，|EF →＋ED →|＝52，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1以E 、F 为焦点且过点D ，点O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点K 满足OK →＝13ED →，问是否存在不平行于EF 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 且|MK →|＝|NK →|，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知E (－1,0)，F (1,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x D ＝－c 可得y D ＝b 2a，∵|EF →＋ED →|＝52，EF →⊥ED →，|EF →|＝2，∴|ED →|＝32.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1b 2a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝3∴椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)∵OK →＝13ED →，∴K ⎝⎛⎭⎫0，12，当l ⊥EF 时，不符合题意， 故可设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m (k ≠0) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1消去y 得， (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0 ∵M 、N 存在，∴Δ>0即64k 2m 2－4(3＋4k 2)·(4m 2－12)>0， ∴4k 2＋3>m 2(※)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点H (x 0，y 0) ∴x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k 2， ∵|MK →|＝|NK →|，∴|MK |＝|NK |，|MK |＝|NK |⇔MN ⊥KH ⇔y 0－12x 0＝－1k ⇔3m 3＋4k 2－12－4km 3＋4k 2＝－1k ⇔m ＝－3＋4k 22代入(※)式得4k 2＋3>⎝⎛⎭⎫－3＋4k 222∴4k 2＋3<4，又k ≠0，∴－12<k <12且k ≠0∴l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12.。
高中理科数学20.1曲线与方程求曲线的方程导学案附分层练习题及答案解析
20．1 曲线与方程 求曲线的方程【知识网络】1．巩固前期学习的曲线的定义与性质，熟悉圆锥曲线的统一定义． 2．体会曲线与方程的对应关系．． 3．进一步感受数形结合的基本思想． 【典型例题】[例1]（1）圆心在抛物线x y 22=（0>y ）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A ．221204x y x y +---= B ．22210x y x y ++-+= C ．22210x y x y +--+= D ．041222=+--+y x y x（2）已知两点M （1，54 ），N （－4，－54 ），给出下列曲线方程：①4x ＋2y －1=0 ②x 2＋y 2=3 ③22x ＋y 2=1 ④22x ＋y 2=1在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程的代号是 （ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④（3）条件A ：曲线C 上所有点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；条件B ：以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上．则A 与B 关系是（ ）A ．A 是B 的充分不必要条件 B ．A 是B 的必要不充分条件C ．A 是B 的充要条件D ．A 既不是B 的充分条件也不是B 的必要条件 （4）已知曲线C ：x y ＋2x －ky ＋3=0经过点（－1，2），则k= ．（5）点（m,n)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y=0外，则m ，n 满足的条件是 ．[例2] 求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹方程．[例3] 已知三点A(-2-a,0)，P(-2-a ，t)，F(a,0),其中a 为大于零的常数，t 为变数，平面内动点M 满足⋅=0，且∣∣=∣∣+2． （1）求动点M 的轨迹；（2）若动点M 的轨迹在x 轴上方的部分与圆心在C(a+4,0)，半径为4的圆相交于两点S ，T ，求证：C 落在以S 、T 为焦点过F 的椭圆上．[例4] 已知点P(-3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足23,0-==⋅ （1） 当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（2） 设轨迹C 的准线为l ，焦点为F ，过F 作直线m 交轨迹C 于G ，H 两点，过点G 作平行于轨迹C 的对称轴的直线n ，且n l=E ，试问点E ，O ，H （O 为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由．【课内练习】1．方程()()0122=-+-xy y x 表示的图形是（ ）A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对．2．下列各组方程中表示同一曲线的是 （ ） A ．x 2=y 与x=y B ．y －2x ＋1=0与121y x -=- C ．y=|x|与x 2－y 2=0 D ．y －1=21y x+与y 2＋x －xy ＋1=03．到x 轴y 轴距离之积等于常数k （k ＞0）的点的轨迹所在象限是（ ）A ．一、三象限B ．二、四象限C ．第一象限D ．第一、二、三、四象限4．长为m 的一条线段AB ，其两段分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，则线段的中点轨迹是 （ ）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．一个以原点为圆心半径为m2 的圆．5． 到两定点（1，0），（－1，0）的距离之比等于2的点的轨迹方程是 ． 6．已知动抛物线以x 轴为准线，且经过点（0，1），则抛物线的焦点的轨迹方程是 ．7．椭圆221169x y +=上一点到其左准线的距离是2，则到右焦点的距离等于 ． 8．已知动点P 到定点(－3，0)的距离比它到直线x －1=0的距离大2，求动点P 的轨迹方程．9．抛物线y 2=2px(p ＞0)有一内接直角三角形，直角顶点为原点，一直角边的方程为y=2x ，斜边长为5 3 ，求抛物线的方程．10．已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且 21cos PF F ∠的最小值为91-．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围．20．1 曲线与方程 求曲线的方程A 组1．方程221||||x y x y +=表示的图形是 （ ） A ．一条直线 B ．两条平行线段 C ．一个正方形 D ．一个正方形（除去四个顶点） 2．已知线段AB=2，动点M 到A ，B 两点的距离的平方差是10，则动点的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．双曲线3．已知直角△ABC 的斜边BC 的两个端点分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上移动，顶点A 和原点分别在BC 的两侧，则点A 的轨迹是 （ ）A ．线段B ．射线C ．一段圆弧D ．一段抛物线4．抛物线y 2=6x 的斜率为2的平行弦的中点轨迹方程是 ．5．点Q 是双曲线x 2－4y 2=16上任意一点，定点A （0，4），则内分AQ → 所成比为12 的点P 的轨迹方程是 ．6．已知动圆过点F 1（－5，0）且与定圆x 2＋y 2－10x －11=0相外切，求动圆圆心的轨迹方程．7．已知常数0,(0,),(1,0)a c a i >==向量。
曲线和方程
曲线与方程
复习旧知
1.什么叫轨迹？轨迹与条件之间具 有什么关系？ 答：适合某种条件的点的集合叫轨 迹. 关系： (1)图形上的每一点都符合某一条件; (2)符合某一条件的点都在图形上. 2.直线的方程与方程的直线的概念 是怎样的?
新课开始
问题1:两坐标轴所成的角位于第一、 三象限的平分线l的方程是x-y=0包 y 含几方面内容？ x-y=0 答： 2 (1)直线l上的点的坐标 -2 都是方程x-y=0的解； (2)以方程x-y=0的解为 坐标的点都在直线上.
2 1
证明方法总结：
1、证明时应证明两方面：纯粹 性和完备性. 2、判断点M1、M2是否在圆上的 依据是：如果曲线C的方程是 f(x,y)=0,那么P0(x0,y0)在曲线C上 的充要条件是f(x0,y0)=0. 3、变式训练：x2+y2=25(y≥0)所 表示的曲线是怎样的？
2 课堂练习
• 课本P69练习1、2、3 • 补充练习： B,C在,A不在 1、判断A(2,-3),B(-1,2√2),C(-2+3cosα,3sinα)三 点是否在方程x2+y2+4x-5=0的曲线上？ 2、已知方程mx2+ny-4=0的曲线经过点A(1,-2)， B(-2,4)，则m=_____，n=____. (3)方程(3x-4y-12)[log2(x+2y)-3]=0的曲线经过 点A(0,-3),B(0,4),C(4,0),D(5/3,-7/4)中的( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
例3:已知一条曲线在x轴上方,它上面的 每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴 的距离差都是2,求这条曲线的方程.
解:设点M(x,y)是曲线上任一点, P={M||MA-MB|=2},即:
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课题：曲线与方程
考纲要求：.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系教材复习
1.曲线的方程与方程的曲线
C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元在直角坐标系中，如果某曲线
f(x,y)?0的实数解建立了如下关系：方程????21以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点的坐标都是这个方程的；那么，这个方程叫做曲线的方程，
这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
2.两曲线的交点
????CCC,C?yF00Fxx,y,?，则曲线的交点坐标的方程为，曲线的方程为设曲线
122121C,C .
即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线21 3.求动点轨迹方程的一般步骤
??yxP,P所①建系：建立适当的坐标系；②设点：设轨迹上的任一点；③列式：列出动点x,y 的方程满足的关系式；④代换：依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为式，并化简；⑤证明：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
4.求轨迹方程常用方法?????y0x1,Fy,x；直接法：直接利用条件建立之间的关系??2定义法：先根据定义得出动点的轨迹的类别，再由待定系数法求出动点的轨迹方程.
??3待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线的方程.先根据所求曲线类型设出相应曲线的方
程，再由条件确定其待定系数；
??????4y,QyxPx,代入法（相关点法）的变化而变化，并且：动点依赖于另一动点00??x,yx,y yxQ,yx,带入已知曲线又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将000000得要求的轨迹方程.
????yx5P,x,y之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，参数法：当动点的坐标x,y
均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程可考虑将.
5.对于中点弦问题，常用“点差法”：其步骤为：设点，代入，作差，整理.
基本知识方法
1.掌握“方程与曲线”的充要关系；
2.求轨迹方程的常用方法：轨迹法、定义法、代入法、参数法、待定系数法、直接法和交轨.. 要注意“查漏补缺，剔除多余”法、向量法典例分析：
考点一曲线与方程
问题1．??1f(x,y)?0C06上”(武汉调研)如果命题“坐标满足方程的点都在曲线是不正确的，那么下列命题正确的是
f(x,y)?0C.A上；的点都不在曲线坐标满足方程
f(x,y)?0CB.；上的点不都满足方程曲线f(x,y)?0CCC.上；坐标满足方程的点有些在曲线上，有些不在曲线f(x,y)?0CD..
至少有一个点不在曲线上，其坐标满足方程实用大全．
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??2f(x,y)?0C，则以下说法正确的是：上的点满足方程如果曲线f(x,y)?0CA.；的方程是曲线f(x,y)?0C.B；方程的曲线是
f(x,y)?0C.C上；坐标满足方程的点在曲线f(x,y)?0CD.上；的点不在曲线坐标不满足方程
??3判断下列结论的正误，并说明理由：
??3,0A x x?3；且垂直于①过点轴的直线的方程为xy??22；的点的直线的方程为轴距离为②
??????1,01,0A?0,?3CBBC△到xy?11；③到两坐标轴的距离乘积等于的点的轨迹方程为
ABCADD的方程为，的中点，则中线，，④为的顶点x?0.
??24?2x?1y?x所表示的曲线作出方程.
??????,01,015FF?C2011的距离的积等于常数北京）曲线是平面内与两个定点（和212(aa?1)
的点的轨迹.给出下列三个结论：
C过坐标原点；曲线①C关于坐标原点对称；曲线②
12PF△Fa CP. 的面积大于③若点在曲线上，则212其中，所有正确结论的序号是
实用大全．
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考点二直接法求轨迹方程
问题2．??10,A?xOy2011B点在直线全国新课标）在平面直角坐标系，中，已知点
（uuuruuuruuuruurruuuuurMB//OA，，BA?AB?MBMA?3?y?CMM. 点满足上，点的轨迹为曲线C的方程；（Ⅱ）略（Ⅰ）求.
考点三定义法求轨迹方程
问题3．a,b,c a?△ABCC?c?bBA??，且、所对的边分别为已知中，、AB?2C的轨迹方程，求顶点成等差数列，.
实用大全．
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考点四代入法（相关点法）求轨迹方程
问题4．
2225??yx2011P上的动点，设是圆（如图，陕西）4||MD|?PD|x PDPMD．轴上投影，为点是??1CMP的轨迹当的方程；在圆上运动时，求点4????3,02Cl被求过点上一点，且在5
所截线段的长度．且斜率为的直线5
实用大全．
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课后作业：
????22220x?4y???4..D.B.CA1.两个点两条直线表的图形是方程四条直线四个点
的方程是是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么设曲线
x?y?0|x|?|y|0?0y?|x|x?|y|?xy?.B.A..DC和
22?1?yx?BAC?60B,A(1,0)C ABC3.△在圆上运动时，内接于圆，且点，已知，当
BC中点的轨迹方程是11111122222222?x??yx?y.DA.B.C.?(x?)?)xyx?y??(x242244
2?xay?a?0a?0x???ay?x?y54.交点在曲线若两直线与上，则
2?xy?2x?k?0y(a,?a)(a?R)5.k的取值范围是，则若曲线通过点
实用大全．
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??2261?y?4?0x所表示的图形：画出方程
|BC|?437.BC△ABCllAA的上滑动，已知到，，求为定点，线段在定直线的距离为外心的轨迹方程.
??x?3y?2mm?2?0ll0x?my??6Rx8.?P的轨迹方程.
与：：设求两直线，的交点21
实用大全．标准文档
走向高考：
22?22))?(y?(x?3x?y?3?00110.lM的的方程为，直线（的方程为广东）设圆(2,1)P，那么的坐标为点
A.B.llMMPP上点点上，但不在直线在直线上，但不在圆在圆上C.D.llMPMP上上，也不在直线点既不在圆点既在圆上，也在直线上，
实用大全．
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2xPB?PA?),0)P(x,yA(?2,0)B(30411.P的轨迹是，动点满足、，则点()辽宁已知点
A.B.C.D.抛物线圆双曲线椭圆
y(2,0)?1,0)BA(201212.M、动点到两定点(如图，四川)M CMB??2MA??MABMBA.，，且设动点的轨迹为构成C.（Ⅰ）求轨迹略的方程；（Ⅱ）现笑人吧！、做索性就得更好，来给们，会做做笑都做如赠。
语；、果我们与不做会有人，如果不好与得好还有人笑那么我力的进是意你见的宝出您希谢脚眉除双修改编文档下，欢迎您的光临Word载后可辑击可删页页谢！望提您贵
意，的见我步动OAxB。
那些比你努力，不是有。
己奋斗的风景、最值太黑的
是你觉明最近什么时。
权利”会做“的奴隶做金钱为王。
我只知道年少、命玩你命的学在你不玩，以后。
我不知轻狂，道胜者、不要、权利；应学金钱、的主人、候离光？那就得黑暗时候。
得欣赏，是自的足迹、压力人比你而是牛×几依然比你努力倍的人
实用大全．。