二面角(教师版)

二面角教师版一、基本观点(一).求二面角的主要方法：（1） 定义法：①找（作）二面角的平面角；【先证】②解三角形求出角。

【后算】 （2） 公式法：设二面角的度数为θ，则侧面三角形射影三角形S S =θcos多用于求无棱二面角。

(二) 求作二面角的平面角求作二面的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种：1.定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.2.三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在找面的垂线.3.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.二.求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.例题解析题1: 设P 是二面角α－l －β内一点，P 到面α、β的距离PA 、PB 分别为8和5，且AB ＝7，求这个二面角的大小。

解：作AC ⊥l 于c ，连结BC∵PA ⊥α，l ⊂α ∴PA ⊥l 又AC ⊥l ，AC∩PA ＝A∴l ⊥平面PAC ∴l ⊥PC ∵PB ⊥β，l ⊂β ∴PB ⊥l 又PB∩PC ＝P ∴l ⊥平面PBC ∴平面PAC 与平面PBC 重合，且l ⊥BC ∴∠ACB 就是所求的二面角△PAB 中，PA ＝8，PB ＝5，AB ＝7 ∴∠P ＝600 ∴∠ACB ＝1200题2. 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC = ∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55.（如图9—21）（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅰ）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C.又AB ∩AC =A ， ∴SA ⊥平面AB C. 由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ， 由三垂线定理，得SC ⊥BC .（Ⅱ）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角. 在Rt △SCB 中，BC =5，SB =55.得SC =22BC SB -=10在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°. 题3.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点。

（1）求证AM //平面BDE ；（2）求二面角A -DF -B 的大小； （3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60︒。

解: (Ⅰ)记AC 与BD 的交点为O,连接OE,∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE 。

∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE 。

(Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS ⊥DF 。

∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角。

在RtΔASB 中，,2,36==AB AS ∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º。

（Ⅲ）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AF AB = ， ∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE 平面ABF ，ADEFMC∴PQ ⊥QF 。

在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º， PF=2PQ 。

∵ΔPAQ 为等腰直角三角形， ∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形， ∴1)2(2+-=t PF ，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+- 所以t=1或t=3(舍去) 即点P 是AC 的中点。

题4.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB =2，AA 1=22，M 为棱A 1A 上的点，若A 1C ⊥平面MB 1D 1。

（Ⅰ）确定点M 的位置；（Ⅱ）求二面角D 1－MB 1－B 的大小。

解：（Ⅰ）连结A 1D ，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面ADD 1A 1为矩形，∵A 1C ⊥平面MB 1D 1， ∴A 1C ⊥D 1M ，因此A 1C 在平面AD 1上的射影A 1D ⊥D 1M ， ∴△A 1MD 1∽△D 1A 1D ，∴A 1M=,22241211==DD D A 因此M 是A 1A 的中点。

（Ⅱ）引A 1E ⊥B 1M 于E ，连结D 1E ，则A 1E 是D 1E 在平面BA 1上的射影，由三垂线定理可知D 1E ⊥B 1M ，∴∠A 1ED 1是二面角D 1－MB 1－B 的平面角的补角，由（Ⅰ）知，A 1M=2，则,322222tan 211111=+⨯==E A D A ED A ∴,311π=∠ED A∴二面角D 1－MB 1－B 等于.32π题 5. 如图所示，∆ADB 和∆CBD 都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直，∠=∠=︒=ADB CBD AD a 90,（I ）求异面直线AD 、BC 所成的角。

（II ）设P 是线段AB 上的动点，问P 、B 两点间的距离多少时,∆PCD 与∆BCD 所在平面成45︒的二面角?；DD解：（I ）∠=︒⇒⊥⊥⋂=⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒ADB AD BDADB CBD ADB CBD BD AD CBD BC CBD 90面面，面面面面AD BC ⊥⇒异面直线AD 、BC 所成角为90︒。

4分 （II ）过点P 作PE BD ⊥于E ，过点E 作EF CD ⊥于F ，连结PF 。

面面面面面是在面内射影是二面角的平面角ADB CBD ADB CBD BD PE BD PE CBD CD EF EF PF CBD CD PF EF CD PFE P CD B ⊥⋂=⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥⊥⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪⇒⊥⊥⎫⎬⎭⇒∠--⇒∠=︒PFE 45。

设PB x =，则在Rt PEB ∆中，PE BE x ==22， ∴=-DE a x 22在Rt DFE ∆中，EF DE a x ==-222212在Rt PEF ∆中，EF PE a x x x a =∴-=∴=-，，22122222() 题6.四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小的余弦值．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ， ∴AF CE ⊥．tan tan 2CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角．233AC CD CGAD ==，3DG =，3EG ==，CE =222cos 210CG GE CE CGE CG GE +-∠==-，题7: 如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，截面DAN 交PC 于M.CDEAB（Ⅰ）求PB与平面ABCD所成角的大小；（Ⅱ）求证：PB⊥平面ADMN；（Ⅲ）求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小.解：（I）取AD中点O，连结PO，BO.△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，BO为PB在平面ABCD上的射影，所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角由已知△ABD为等边三角形，所以PO=BO=3，所以PB与平面ABCD所成的角为45°.（Ⅱ）△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB，又，PA=AB=2，N为PB中点，所以AN⊥PB，所以PB⊥平面ADMN.（Ⅲ）连结ON，因为PB⊥平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影，因为AD⊥PO，所以AD⊥NO，故∠PON为所求二面角的平面角.因为△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以∠PON=45°，即所求二面角的大小为45°题8. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面P AB;（Ⅱ）求平面P AD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小的正弦值..解: （Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而PA⋂AB=A,因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面P AB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF =2AB =2=AP .在等腰Rt △P AF 中，取PF 的中点G ，连接AG . 则AG ⊥PF .连结HG ，由三垂线定理的逆定理得，PF ⊥HG .所以∠AGH 是平面P AD 和平面PBE 所成二面角的平面角（锐角）. 在等腰Rt △P AF 中， 22.2AG PA == 在Rt △P AB 中， 22225.55AP ABAP AB AH PBAP AB ====+所以，在Rt △AHG 中， 25105sin .52AH AGH AG ∠=== 故平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小的正弦值是10.5二面角作业班次 姓名题9.如图：在二面角βα--l 中，Ａ、Ｂα∈，Ｃ、Ｄl ∈，ＡＢＣＤ为矩形，，，αβ⊥∈PA p 且ＰＡ＝ＡＤ，Ｍ、Ｎ依次是ＡＢ、ＰＣ的中点，求二面角βα--l 的大小.解：连结PD ∵ABCD 为矩形∴AD ⊥DC, 即 又PA ⊥α,∴PD ⊥l ,∴∠PAD 为二面角βα--l 的平面角，又∵PA ⊥AD ，PA=AD∴∆PAD 是等腰直角三角形，∴∠PDA=450，即二面角βα--l 的平面角为450。