大学物理 上海交通大学 16章 课后习题答案

习题16

16-1．如图所示，金属圆环半径为R ，位于磁感应强度为B 的均匀磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v 在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a 、b 间的电势差。

解：（1）由法拉第电磁感应定律

i d dt εΦ

=-

，考虑到圆环内的磁通量不

变，所以，环中的感应电动势0i ε=；

（2）利用：()a

ab b v B dl

ε=⨯⋅⎰，有：22ab Bv R Bv R

ε=⋅=。

【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】

16-2．如图所示，长直导线中通有电流A I 0.5=，在与其相距cm 5.0=d 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长cm 0.4=l ，宽cm 0.2=a 。

不计线圈自感，若线圈以速度cm/s 0.3=v 沿垂直于长导线的方向向右 运动，线圈中的感生电动势多大？

解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。

首先用0l B dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得：

02I B r μπ=， 则矩形线圈内的磁通量为：

00ln 22x a

x

I I l x a l dr r x μμππ++Φ=⋅=⎰

，

由

i d N

d t εΦ=-，有：011()2i N I l d x

x a x dt μεπ=--⋅

+

∴当x d =时，有：

041.92102()i N I l a v

V

d a μεπ-=

=⨯+。

解法二：利用动生电动势公式解决。

由0

l B dl I

μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得：

02I B r μπ=

，

考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势，

近端部分：11NB l v ε=， 远端部分：

22NB lv

ε=，

则：12εεε=-=00411

() 1.921022()N I N I a l v l v V

d d a d d a μμππ--==⨯++。

16-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为I 的电流，长为l 的金属棒ab 与长直导线共面且垂直于导线放置，其a 端离导线为d ，并以速度v 平行于长直导线作匀速运动，求金属棒中的感应电动势ε并比较U a 、U b 的电势大小。

解法一：利用动生电动势公式解决：

()d v B dl ε=⨯⋅02I v dr

r μπ=⋅，

∴

02d l

d

v I dr r μεπ+=-

⎰

0ln 2v I d l

d μπ+=-，

由右手定则判定：U a >U b 。

解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。 作辅助线，形成闭合回路''abb a ，如图，

S

B d S Φ=⋅⎰02d l

d

I y dr r μπ+=⎰0ln 2I y d l

d μπ+=， ∴

d dt εΦ

=-00ln ln

22I Iv d l d y d l d dt d μμππ++=-⋅=-。 由右手定则判定：U a >U b 。

16-4．电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为

120， 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v 平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。

解法一：（用等效法）连接AO 、OB ，圆弧形导线与AO 、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与

AOB 直导线的电动势相等。

200()ln 2

22R AO R Iv

I v v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰，

500225

()ln 224R OB R

Iv Iv v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰，

∴

05

ln

22AB AO OB

Iv μεεεπ=+=-。

解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为θ，那

么，

00022(2cos )2(2cos )I I I

B x R R R μμμππθπθ===

--，再由()v B dl ε=⨯⋅⎰有： sin d B Rd v εθθ=⋅⋅，∴

2030sin 2(2cos )I Rv d R π

μεθθπθ=-⋅-⎰05

ln

22Iv μπ=-。 16-5．电阻为R 的闭合线圈折成半径分别为a 和a 2的两个圆，如图所

示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按

0sin B B t ω=的规律变化。已知cm 10=a ，T 10220-⨯=B ，rad/s 50=ω，Ω=10R ，求线圈中感应电流的最大值。

解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。

2220(4)3cos i d d B

a a a B t dt dt επππωωΦ=-

=--⋅+=，

∴203cos i

a B t I R R επωω==

A

πR ωB a πI 32202max 1042.910501021.035--⨯=⨯⨯⨯⨯==。

dr

r

'

b '

a y A

O

B

A

O

B

θ