多项式计算
多项式运算初中数学知识点之多项式的四则运算法则
多项式运算初中数学知识点之多项式的四则运算法则多项式是数学中一个重要的概念，也是初中数学中需要掌握的知识点之一。
在多项式的学习中，四则运算是必不可少的一部分。
本文将介绍多项式的四则运算法则，以及它们的应用。
一、多项式的基本概念首先，我们来回顾一下多项式的基本概念。
多项式是由一系列代数式通过加法和减法运算组合而成的表达式。
它的形式可以表示为：P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0其中，P(x)为多项式的表示形式，an, an-1, …, a1, a0为常数项，n为多项式的次数，x为变量。
二、多项式的四则运算法则1. 多项式的加法运算多项式的加法运算规则非常简单，只需要将对应的系数相加即可。
例如，对于两个多项式 P(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 Q(x) = 2x^2 + 4x + 3，它们的和为：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 + 4x + 3)= 3x^2 + 2x^2 + 2x + 4x + 1 + 3= 5x^2 + 6x + 42. 多项式的减法运算多项式的减法运算也遵循类似的规则，即将对应的系数相减。
例如，对于两个多项式 P(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 Q(x) = 2x^2 + 4x + 3，它们的差为：P(x) - Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) - (2x^2 + 4x + 3)= 3x^2 - 2x^2 + 2x - 4x + 1 - 3= x^2 - 2x - 23. 多项式的乘法运算多项式的乘法运算是比加法和减法复杂一些的运算。
多项式的乘法运算需要使用分配律的原理，将每一项相乘后再进行合并。
例如，对于两个多项式 P(x) = 3x + 2 和 Q(x) = 2x^2 + 4x + 3，它们的乘积为：P(x) * Q(x) = (3x + 2) * (2x^2 + 4x + 3)= 3x * 2x^2 + 3x * 4x + 3x * 3 + 2 * 2x^2 + 2 * 4x + 2 * 3= 6x^3 + 12x^2 + 9x + 4x^2 + 8x + 6= 6x^3 + 16x^2 + 17x + 64. 多项式的除法运算多项式的除法运算是最为复杂的一种运算，需要使用长除法的方法进行计算。
多项式的运算
多项式的运算多项式是代数中的基本概念之一，它由常数、变量和指数幂的乘积组成。
在数学中，多项式的运算是解决代数问题的重要手段之一。
本文将介绍多项式的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。
一、多项式的加法和减法多项式的加法和减法是最基本的运算，其操作规则比较简单。
1. 加法对于两个多项式的加法，只需要将相同次数的项的系数相加，保留相同的指数。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x^2 + 4x + 1将两个多项式相加得到：(A + B) = (3x^2 + 2x^2) + (5x + 4x) + (2 + 1)(A + B) = 5x^2 + 9x + 32. 减法多项式的减法与加法类似，只需将减数中各项的系数取相反数，然后按照加法的规则进行计算。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x^2 + 4x + 1将两个多项式相减得到：(A - B) = (3x^2 - 2x^2) + (5x - 4x) + (2 - 1)(A - B) = x^2 + x + 1二、多项式的乘法多项式的乘法是将两个多项式的每一项分别相乘，并将同类项合并。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x + 1将两个多项式进行乘法运算得到：(A * B) = (3x^2 * 2x) + (3x^2 * 1) + (5x * 2x) + (5x * 1) + (2 * 2x) + (2 * 1)(A * B) = 6x^3 + 3x^2 + 10x^2 + 5x + 4x + 2(A * B) = 6x^3 + 13x^2 + 9x + 2三、多项式的除法多项式的除法是将一个多项式除以另一个多项式，在实际计算中可采用长除法的方法进行。
例如：被除多项式：6x^3 + 16x^2 + 9x + 2除数多项式：2x + 1进行除法运算得到：3x^2 + 7x + 1____________________2x + 1 | 6x^3 + 16x^2 + 9x + 2- (6x^3 + 3x^2)_______________13x^2 + 9x + 2- (13x^2 + 6.5x)______________2.5x + 2- (2.5x + 1.25)___________0.75通过长除法运算可以得到商多项式为：3x^2 + 7x + 1，余数为0.75。
求多项式系数快速方法
求多项式系数快速方法求多项式系数快速介绍多项式系数是数学中常见的概念，用于表示多项式中各项的系数。
在某些算法和计算中，我们需要快速计算多项式系数。
本文将介绍几种常用的方法。
1. 暴力法暴力法是一种简单直接的方法，适用于多项式的规模较小的情况。
1.定义一个数组coefficients，用于存储多项式的系数。
2.通过遍历多项式的每一项，将其系数依次存入coefficients数组中。
优点：实现简单。
缺点：对于规模较大的多项式，效率较低。
2. 动态规划动态规划是求解多项式系数的常用方法之一。
1.定义一个二维数组dp，用于存储多项式各项的系数。
2.初始化dp数组。
3.通过递推关系式计算dp数组中的各项系数。
优点：效率较高。
缺点：实现相对复杂。
3. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值原理的方法，适用于需要高精度计算多项式系数的情况。
1.定义一个函数，用于计算多项式在给定点上的值。
2.根据插值原理，在给定的数据点上计算多项式的系数。
优点：计算精度较高。
缺点：实现较为复杂。
4. 快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效的计算多项式系数的方法，适用于多项式规模较大的情况。
1.将多项式转换为多项式在单位根上的离散傅里叶变换。
2.计算离散傅里叶变换的结果。
优点：计算速度快。
缺点：实现相对复杂。
结论本文介绍了几种常用的求解多项式系数的方法，包括暴力法、动态规划、牛顿插值法和快速傅里叶变换。
不同的方法适用于不同规模和精度要求的多项式计算。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来求解多项式系数。
多项式计算课程设计
多项式计算课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握多项式的定义与性质；2. 学生能熟练运用多项式的加减乘除法则进行计算；3. 学生能解决实际问题中涉及的多项式计算问题。
技能目标：1. 学生能通过实际操作和练习，提高多项式计算的速度和准确性；2. 学生能运用所学的多项式知识解决复杂的数学问题，提升解决问题的能力；3. 学生能通过小组讨论与合作，培养团队协作能力和沟通技巧。
情感态度价值观目标：1. 学生对数学学科产生浓厚的兴趣，形成积极的学习态度；2. 学生在解决多项式计算问题的过程中，培养耐心、细心和自信的品质；3. 学生通过多项式的学习，认识到数学在现实生活中的重要性，树立正确的价值观。
分析课程性质、学生特点和教学要求：1. 课程性质：本课程为初中数学课程，是学生数学基础知识的巩固和拓展；2. 学生特点：初中生具有较强的逻辑思维能力和好奇心，但部分学生对数学学习存在恐惧心理；3. 教学要求：教师应注重启发式教学，引导学生主动探究和发现多项式的性质，提高学生的实践操作能力。
1. 掌握多项式的定义、性质和计算法则；2. 能独立解决实际生活中的多项式计算问题；3. 形成积极的学习态度，提高数学学科的兴趣和自信心。
二、教学内容1. 多项式的定义与性质- 多项式的概念- 多项式的系数与次数- 多项式的项与同类项2. 多项式的加减法- 同类项的合并- 多项式的加减运算- 实际问题中的多项式加减法3. 多项式的乘法- 单项式乘多项式- 多项式乘多项式- 实际问题中的多项式乘法4. 多项式的除法- 多项式除以单项式- 多项式除以多项式- 实际问题中的多项式除法5. 多项式的应用- 利用多项式解决实际问题- 多项式在几何、物理等学科中的应用教学内容安排与进度：第一课时：多项式的定义与性质第二课时：多项式的加减法第三课时：多项式的乘法第四课时：多项式的除法第五课时：多项式的应用及综合练习教材章节关联：本教学内容与教材中关于多项式的章节紧密相关，涵盖了教材中多项式的定义、性质、计算法则及应用等知识点，确保了教学内容的科学性和系统性。
多项式的基本概念与运算法则
多项式的基本概念与运算法则多项式是高中数学中的重要内容之一，它广泛应用于代数运算、函数研究和数学建模等方面。
本文将介绍多项式的基本概念以及常用的运算法则。
一、多项式的基本概念多项式是由常数项、一次项、二次项等有限个单项式按照加法运算构成的代数表达式。
多项式的一般形式可以表示为：P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中，P(x)为多项式的名称，an、an-1、...、a1、a0为系数，n为多项式的次数，x为自变量。
多项式的次数由最高次数的单项式决定，而系数则代表单项式的系数。
例如，对于多项式P(x) = 3x4 + 2x3 - 5x2 + x - 7，其次数为4，系数分别为3、2、-5、1和-7。
二、多项式的运算法则1. 加法运算多项式的加法运算是指将相同次数的单项式相加。
例如，对于多项式P(x) = 3x2 - 2x + 5和Q(x) = 2x2 + x - 3，它们的和可以表示为：P(x) + Q(x) = (3x2 - 2x + 5) + (2x2 + x - 3) = 5x2 - x + 2。
2. 减法运算多项式的减法运算是指将相同次数的单项式相减。
例如，对于多项式P(x) = 3x2 - 2x + 5和Q(x) = 2x2 + x - 3，它们的差可以表示为：P(x) - Q(x) = (3x2 - 2x + 5) - (2x2 + x - 3) = x2 - 3x + 8。
3. 乘法运算多项式的乘法运算是指将两个多项式相乘。
例如，对于多项式P(x) = 3x2 - 2x + 5和Q(x) = 2x - 3，它们的乘积可以表示为：P(x) * Q(x) = (3x2 - 2x + 5) * (2x - 3) = 6x3 - 13x2 + 11x - 15。
在进行多项式的乘法运算时，需要应用分配律和乘法法则，逐项相乘后将同次幂的项进行合并，并按次数从高到低排列。
多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘的运算法则
多项式(polynomials)是一种重要的数学表达式，一般由变量和常数按照一定的形式组成，而多项式的乘法运算是一种重要的运算法则，用来计算多项式的乘积。
本文研究多项式乘法的运算规则，并介绍一下多项式乘法的算法。
一、多项式乘法的运算规则
多项式乘法的基本运算法则是：两个多项式相乘时，每个项的系数相乘，指数相加。
例如：
（x+2x+1）×（3x-2x+5）
= (x×3x)+(2x×3x)+(1×3x)+(x×-2x)+(2x×-2x)+(1×
-2x)+(x×5)+(2x×5)+(1×5)
= 3x-2x+6x+2x-4x+5x+5x+10x+5
=3x+4x+11x+10x+5
二、多项式乘法的算法
1.首先，确定乘法的多项式的项数，并确定各项的指数值。
2.然后，将各项的指数相加，乘法结果有几项，就将各项的系数相乘，得到乘法结果。
3.最后，把乘法结果按照指数由高到低的顺序排列，形成最终的乘法结果。
三、多项式乘法的应用
多项式乘法的应用十分广泛，是复杂的算术运算的基础。
它可以用于研究多项式函数的导数、微分形式，也可以用于解方程、求解函
数的最大值和最小值，以及用于各种数学建模和应用中。
最重要的是，它是进行多变量函数求值和求和的基础。
四、结论
本文介绍了多项式与多项式相乘的运算规则与算法，以及多项式乘法在数学中的重要应用，可以用于解各类多变量函数的求值和求和等问题，为数学建模和应用提供了重要的基础。
多项式的乘法和除法
多项式的乘法和除法多项式是数学中常见且重要的一种代数表达形式。
在代数学中，多项式是由一系列的项组成的，每个项包含了一个系数和一个变量的幂次。
多项式的乘法和除法是数学中常用的运算方法，用于求解各种实际问题以及推导出更复杂的表达式。
一、多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式相乘的运算。
多项式的乘法有以下几个要点：1. 每个项与其他多项式的每个项进行乘法运算，然后将结果相加。
例如，对于多项式A和多项式B相乘，结果可以表示为A *B = (a0 * b0) + (a1 * b0 + a0 * b1) + (a1 * b1) + ...2. 在乘法运算中，需要使用代数学中的乘法法则，即将两个项的系数相乘，将两个项的幂次相加。
例如，对于两个项：a * xn 和b * xm，它们相乘的结果为：(a * b) * xn+m。
3. 多项式乘法的结果是一个新的多项式，其中包含了之前的多项式的所有项的乘积和。
在计算过程中，需要将同类项进行合并，即将具有相同幂次的项的系数相加。
举例来说，我们有两个多项式：A = 2x^2 + 3x + 1 和 B = 4x + 1。
我们可以按照上述步骤进行乘法运算：A *B = (2x^2 * 4x) + (2x^2 * 1 + 3x * 4x) + (2x^2 * 1 + 3x * 1) +(1 * 4x + 1 * 1)= 8x^3 + 2x^2 + 12x^2 + 3x + 2x^2 + 3x + 4x + 1= 8x^3 + 16x^2 + 10x + 1根据上述计算，我们得到了多项式 A 和 B 相乘的结果为 8x^3+ 16x^2 + 10x + 1。
二、多项式的除法多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。
多项式的除法有以下几个要点：1. 除法的核心思想是通过多项式的乘法来逆转乘法运算。
具体而言，如果多项式 A 除以多项式 B 的结果为多项式 C，那么 C 与B 相乘的结果应该等于 A。
多项式计算
2. 多项式的四则运算 1 多项式的加减运算
多项式的加减运算非常简单，即相应向量相加减。 2 多项式乘法
conv(P1,P2)：多项式相乘，其中，P1、P2是两个多项式系数向量。 3 多项式除法
[Q,r]=deconv(P1,P2)：多项式相除，其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返 回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函 数，因此有下式成立。
例4 某工业过程需要对工件进行高温加热，热量由一个燃烧装置产生。该装置中共有两条输送管 道，一条管道按固定量提供燃料，一条管道注入空气。空气能够帮助燃烧，但是过高的空气流量 又会带走热量，降低加热效率。经过数十次空气流量实验，技术部门取得了相应的结果数据，并 通过曲线拟合得知空气流量与加热效率在[0, 2]范围内基本满足多项式p(x)=-38.89x2+126.11x3.42（x表示空气流量），请推算空气流量在[0, 2]范围内什么水平时，加热效率为最高。
3 -5 0 -4 10 3 >> f-g1 ans =
3 -5 0 -10 0 9 >> conv(f,g) ans=
9 0 -34 -6 -20 64 15 -18 >> [Q,r]=deconv(f,g) Q=
1.0000 -3.3333 6.5556 -16.5926 r=
0 0 0 0 107.6296 -43.7778 >> conv(g,Q)+r ans =
5.2 多项式计算 多项式的表示 多项式的四则运算 多项式的求导 多项式的求值 多项式的求根
专题五 数据分析与多项式计算
1. 多项式的表示
在MATLAB中，n次多项式用一个长度为n+1的行向量表示。如有n次多项式：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
=f
3. 多项式的求导 在MATLAB中，多项式求导函数为polyder()，其调用格式为：
（1）p=polyder(P)：求多项式P的导函数。
（2）p=polyder(P,Q)：求P×Q的导函数。 （3）[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母 存入q。
例2 已知两个多项式：
专题五 数据分析与多项式计算
5.2 多项式计算
多项式的表示 多项式的四则运算
多项式的求导
多项式的求值 多项式的求根
1. 多项式的表示 在MATLAB中，n次多项式用一个长度为n+1的行向量表示。如有n次多项式：
p ( x) an x n an 1 x n 1 an 2 x n 2 a1 x a0
若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多 项式，其调用格式为： p=poly(x) 例如，在以上语句之后，继续输入命令： >> p=poly(x) p= 1.0000 8.0000 0.0000 0.0000 -10.0000 =a
例4 某工业过程需要对工件进行高温加热，热量由一个燃烧装置产生。该装置中共有两条输送管 道，一条管道按固定量提供燃料，一条管道注入空气。空气能够帮助燃烧，但是过高的空气流量 又会带走热量，降低加热效率。经过数十次空气流量实验，技术部门取得了相应的结果数据，并 通过曲线拟合得知空气流量与加热效率在[0, 2]范围内基本满足多项式p(x)=-38.89x2+126.11x3.42（x表示空气流量），请推算空气流量在[0, 2]范围内什么水平时，加热效率为最高。 >> p=[-38.89,126.11,-3.42]; >> q=polyder(p) q = -77.7800 126.1100 >> roots(q) ans = 1.6214 >> polyval(p,1.6214) ans= 98.8154 >> x=0:0.1:2; >> plot(x,polyval(p,x),1.6214,98.8154,'rp');
设A为方阵，P代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含义是： A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)) 而polyval(P,A)的含义是： A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))
思考：polyval(p,x)与polyvalm(p,x)有没有可能相等？如果有可 能，在什么情况下相等？
2. 多项式的四则运算
（1）多项式的加减运算
多项式的加减运算非常简单，即相应向量相加减。 （2）多项式乘法 conv(P1,P2)：多项式相乘，其中，P1、P2是两个多项式系数向量。 （3）多项式除法
[Q,r]=deconபைடு நூலகம்(P1,P2)：多项式相除，其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返
回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函 数，因此有下式成立。
则在MATLAB中，p(x)表示为向量形式：
an , an1 , an2 ,, a1 , a0
在MATLAB中创建多项式向量时，要注意三点：
（1）多项式系数向量的顺序是从高到低。 （2）多项式系数向量包含0次项系数，所以其长度为多项式最高次数 加1 。 （3）如果有的项没有，系数向量相应位置应用0补足。
a( x) 3x 3 x 2 6
b( x ) x 2
计算两个多项式的乘积的导函数、商的导函数。 >> a=[3 1 0 -6]; 这个语句等价于： >> b=[1 2]; >> d=conv(a,b) >> polyder(a) d = ans = 3 7 2 -6 -12 9 2 0 >> polyder(d) >> c=polyder(a,b) ans = c = 12 21 4 -6 12 21 4 -6 >> [p,q]=polyder(a,b) p = 6 19 4 6 思考：对于[p,q]=polyder(a,b)，如 q = 果换成先求商再求导，结果一样吗？ 1 4 4
P1=conv(Q,P2)+r
2 5 4 2 例1 设 f ( x) 3 x 5 x 7 x 5 x 6，g ( x) 3 x 5 x 3 ，求 f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)/g(x)。
>> f=[3,-5,0,-7,5,6]; g=[3,5,-3]; g1=[0,0,0,g]; >> f+g1 ans = 3 -5 0 -4 10 3 >> f-g1 ans = 3 -5 0 -10 0 9 >> conv(f,g) ans= 9 0 -34 -6 -20 64 15 -18 >> [Q,r]=deconv(f,g) Q = 1.0000 -3.3333 6.5556 -16.5926 r = 0 0 0 0 107.6296 -43.7778 >> conv(g,Q)+r ans = 3.0000 -5.0000 0 -7.0000 5.0000 6.0000
4. 多项式的求值
polyval(p,x)：代数多项式求值，其中，p为多项式系数向量，x可以 是标量、向量或矩阵。若x为标量，则求多项式在该点的值；若x为向
量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值。
polyvalm(p,x)：矩阵多项式求值，其调用格式与polyval相同，但含 义不同。polyvalm函数要求x为方阵，以方阵为自变量求多项式的值。
例3 以多项式x4+8x3-10为例，取一个2×2矩阵为自变量，分别用 polyval和polyvalm计算该多项式的值。 >> a=[1,8,0,0,-10]; >> x=[-1,1.2;2,-1.8]; >> y1=polyval(a,x) y1= -17.0000 5.8976 70.0000 -46.1584 >> y2=polyvalm(a,x) y2= -60.5840 50.6496 84.4160 -94.3504
5. 多项式的求根
在MATLAB中，多项式求根函数为roots(p)，其中p为多项式的系数向量。 例如，求多项式 x4+8x3-10的根。 >> a=[1,8,0,0,-10]; >> x=roots(a) x = -8.0194 + 0.0000i 1.0344 + 0.0000i -0.5075 + 0.9736i -0.5075 - 0.9736i