第7讲 树和二叉树讲解
第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念
第一层
树的特 点？
第二层 第三层 第四层
复习：二、树的基本术语
1.结点A、D的度？树的度？ 2;3;3; 2.根结点？分支结点？叶子结点？ A;BCDE;GHIJF;
在二叉链中，空指针的个数？
b A
B∧
C
∧D
∧E∧
∧F∧
∧G∧
n个结点 2n个指针域 分支数为n-1 非空指针域有n-1个 空指针域个数 = 2n-(n-1) = n+1
n=7 空指针域个数=8
39/10
40/10
二叉树
当n=3，结果为ห้องสมุดไป่ตู้。
第n个Catalan数
41/23
有n个结点并且高度为n的不同形态的二叉树个数是多少？ 该二叉树：有n层，每层一个结点，该结点可以
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结点个数为n，树形可以唯一确定 叶子结点个数为n0，树形不能唯一确定 n为奇数时，n1=0； n为偶数时，n1=1。 n0=n2+1 高度h= log2(n+1)，是n个结点高度最小的二叉树
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含有60个叶子结点的二叉树的最小高度是多少？
在该二叉树中，n0=60，n2=n0-1=59，n=n0+n1+n2=119+n1。 当n1=0且为完全二叉树时高度最小。 此时高度h=log2(n+1)= log2120=7。
作为双亲结点的左孩子，也可以作为右孩子 这样的二叉树的个数=1×2×…×2=2n-1。
例如，当n=3时有22=4个这样的二叉树。
树与二叉树h
SBNode nodes[MAXSIZE]; } SBTree;
举例
结点 左子
右子
1
26 34
1
2
6
2
3
4
3
0
4
4
0
0
4
4
0
0
特点:
6
0
0
找子方便,找父 结点不便.
三、二叉链表存储结构
第一层 第二层
( A ( B ( E (K,L),F),C(G),D( H (M),I,J )))
第四层 第三层
二、基本术语
结点：包括一个数据元素及若干个指向其它子树 的分支；例如，A，B，C，D等。
叶结点：无后件结点为叶结点；如K，L，M。 根结点：无前件的结点为根；例如，A结点。
子结点：某结点后件为该结点的子结点；例如，
方法描述： 从根结点a开始访问， 接着访问左子结点b， 最后访问右子结点c。
即：
根
A 访问根结点 B 先序遍历左子树 C 先序遍历右子树
a
左子 右子
bc
二、中序法（InOrder）
方法描述：
从左子结点b开始访问，
接着访问根结点a，
最后访问右子结点c。
即：
根
A 中序遍历左子树 B 访问根结点 C 中序遍历右子树
计算机学院
自动化学院
各种社会组织机构；
在计算机领域中，用树表示源
程序的语法结构；
2101 2102
2103
在OS中，文件系统、目录等组
织结构也是用树来表示的。
树-二叉树
信息学奥赛培训之『树——二叉树』树——二叉树为何要重点研究二叉树？ 引 ： 为何要重点研究二叉树 ？ （1）二叉树的结构最简单，规律性最强； （2）可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。
一、二叉树基础1. 二叉树的定义 二叉树是一类非常重要的树形结构，它可以递归地定义如下： 二叉树 T 是有限个结点的集合，它或者是空集，或者由一个根结点以及分别称为左 子树和右子树的两棵互不相交的二叉树。
因此，二叉树的根可以有空的左子树或空的右子树，或者左、右子树均为空。
二叉树有 5 种基本形态，如图 1 所示。
图1 二叉树的 5 种基本形态在二叉树中，每个结点至多有两个儿子，并且有左、右之分。
因此任一结点的儿子 不外 4 种情况：没有儿子；只有一个左儿子；只有一个右儿子；有一个左儿子并且有一 个右儿子。
注意：二叉树与树和有序树 的区别 二叉树与度数不超过 2 的树不同，与度数不超过 2 的有序树也不同。
在有序树中，11如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，则称该树为有序树，否则称为无序树。
-1-信息学奥赛培训之『树——二叉树』虽然一个结点的儿子之间是有左右次序的，但若该结点只有一个儿子时，就无须区分其 左右次序。
而在二叉树中，即使是一个儿子也有左右之分。
例如图 2-1 中(a)和(b)是两棵 不同的二叉树。
虽然它们与图 2-2 中的普通树(作为无序树或有序树)很相似，但它们却 不能等同于这棵普通的树。
若将这 3 棵树均看作是有序树，则它们就是相同的了。
图2-1 两棵不同的二叉树图2-2 一棵普通的树由此可见，尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
不是 ．．2. 二叉树的性质图3 二叉树性质１： 在二叉树的第 i 层上至多有 2 i −1 结点(i>=1)。
性质２： 深度为 k 的二叉树至多有 2 k − 1 个结点(k>=1)。
性质３： 对任何一棵二叉树 T，如果其终端结点数为 n0,度为 2 的结点数为 n2,则 n0=n2+1。
《二叉树的概念》课件
05
二叉树的应用
Chapter
在数据结构中的应用
二叉搜索树
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子树上的所有元素都小于 该节点，右子树上的所有元素都大于该节点。这种数据结构可以用于快速查找 、插入和删除操作。
AVL树和红黑树
这两种二叉树都是自平衡二叉搜索树，它们通过调整节点的左右子树的高度来 保持树的平衡，从而在插入、删除等操作时具有较好的性能。
VS
详细描述
平衡二叉树的特点是，它的左右子树的高 度差不会超过1，且左右子树都是平衡二 叉树。平衡二叉树的性质还包括，它的所 有叶节点的层数相等，且所有非叶节点的 左右子树的高度差不超过1。平衡二叉树 的查找、插入和删除操作的时间复杂度为 O(log n)，其中n为节点数。
04
二叉树的遍历
Chapter
决策树
在机器学习和人工智能领域，决策树 是一种重要的分类和回归方法。其基 础结构就是二叉树，通过构建决策树 ，可以解决分类和回归问题。
THANKS
感谢观看
代码表示法
总结词：严谨规范
详细描述：使用编程语言的语法结构来表示二叉树，每个节点用对象或结构体表示，节点间的关系通 过指针或引用表示，严谨规范，易于编写和调试。
03
二叉树的性质
Chapter
深度最大的二叉树
总结词
深度最大的二叉树是指具有最大 可能深度的二叉树。
详细描述
在二叉树中，深度最大的二叉树 是满二叉树，即每个层级都完全 填满，没有空缺的节点。满二叉 树的深度等于其节点总数减一。
02
二叉树的表示方法
Chapter
图形表示法
总结词：直观明了
详细描述：通过图形的方式展示二叉树的结构，每个节点用圆圈或方框表示，节 点间的关系用线段表示，直观易懂，易于理解。
第7章树和二叉树(2)-数据结构教程(Java语言描述)-李春葆-清华大学出版社
二叉树也称为二分树，它是有限的结点集合，这个集合或者是空，或者由 一个根结点和两棵互不相交的称为左子树和右子树的二叉树组成。 二叉树中许多概念与树中的概念相同。 在含n个结点的二叉树中，所有结点的度小于等于2，通常用n0表示叶子结 点个数，n1表示单分支结点个数，n2表示双分支结与度为2的树是不同的。
度为2的树至少有3个结点，而二叉树的结点数可以为0。 度为2的树不区分子树的次序，而二叉树中的每个结点最多有 两个孩子结点，且必须要区分左右子树，即使在结点只有一棵 子树的情况下也要明确指出该子树是左子树还是右子树。
2/35
归纳起来，二叉树的5种形态：
Ø
4/35
3. 满二叉树和完全二叉树
在一棵二叉树中，如果所有分支结点都有左孩子结点和右孩子结点，并且 叶子结点都集中在二叉树的最下一层，这样的二叉树称为满二叉树。
可以对满二叉树的结点进行层序编号，约定编号从树根为1开始，按照层 数从小到大、同一层从左到右的次序进行。
满二叉树也可以从结点个数和树高度之间的关系来定义，即一棵高度为h 且有2h-1个结点的二叉树称为满二叉树。
R={r} r={<ai，aj> | ai，aj∈D， 1≤i，j≤n，当n=0时，称为空二叉树；否则其中
有一个根结点，其他结点构成根结点的互不相交的左、右子树，该 左、右两棵子树也是二叉树 } 基本运算： void CreateBTree(string str)：根据二叉树的括号表示串建立其存储结构。 String toString()：返回由二叉树树转换的括号表示串。 BTNode FindNode(x)：在二叉树中查找值为x的结点。 int Height()：求二叉树的高度。 … }
5
E
数据结构详细教案——树与二叉树
数据结构详细教案——树与二叉树一、教学目标1.了解树和二叉树的基本概念和特点；2.掌握树和二叉树的基本操作；3.能够通过递归遍历树和二叉树。
二、教学重难点1.树和二叉树的基本概念和特点；2.递归遍历树和二叉树。
三、教学内容1.树的概念和特点1.1树的定义树是n（n>=0）个节点的有限集。
当n=0时，称为空树；如果不为空树，则1. 树有且仅有一个特殊节点被称为根（Root）；2.其余节点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1，T2，...，Tm，其中每个集合又是一棵树。
1.2节点间的关系- 父节点（parent）是当前节点的直接上级节点；- 子节点（child）是当前节点的直接下级节点；- 兄弟节点（sibling）是具有同一父节点的节点；- 祖先节点（ancestor）是通过从当前节点到根的任意路径可以到达的节点；- 子孙节点（descendant）是通过从该节点到子树的任意节点可以到达的节点。
1.3树的特点-树是一个有层次的结构，可以看作是一个鱼骨图；-树中的每个节点都可以有多个子节点，但只有一个父节点；-树中的节点之间是唯一的，不存在重复节点；-树中的任意两个节点之间都有且仅有一条路径连接。
2.二叉树的概念和特点2.1二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多只能有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
2.2二叉树的特点-二叉树的度最大为2，即每个节点最多有两个子节点；-二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点；-对于任意一颗二叉树，如果其叶子节点数为n0，度为2的节点数为n2，则有n0=n2+1；-完全二叉树是一种特殊的二叉树，除了最后一层的叶子节点外，每一层的节点都是满的。
四、教学过程1.讲解树和二叉树的基本概念和特点，引导学生理解树和二叉树的定义和节点间的关系。
2.分析树和二叉树的基本操作，并通过实例演示操作过程，让学生掌握操作的步骤和方法。
3.运用递归算法遍历树和二叉树的过程，详细讲解前序遍历、中序遍历和后序遍历的定义和实现方法。
数据结构PPT树和二叉树PPT学习教案
InsertChild(&T, &p, i, c) // 将以c为根的树插入为结点p的第i棵子树
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删除类：
ClearTree(&T) // 将树清空 DestroyTree(&T) // 销毁树的结构 DeleteChild(&T, &p, i)
KL
M
任何一棵非空树是一个二元组 Tree = （root，F）
其中：root 被称为根结点 F 被称为子树森林
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对比树型结构和线性结构 的结构特点
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线性结构
第一个数据元素 (无前驱)
树型结构
根结点 (无前驱)
最后一个数据元素 (无后继)
多个叶子结点 (无后继)
数据结构PPT树和二叉树
会计学
1
引言
数据结构可分为线性结构和非线性结构两大类。前面几 章主要研究的是线性结构。一般的，线性结构只能用来描 述数据元素之间的线性顺序关系，而很难反映元素之间的 层次(分支)关系。本章将要讨论一种非线性数据结构，所 谓非线性结构是指在结构中至少存在一个数据元素，它具 有两个或两个以上的直接后继或直接前驱。
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基本操作： 查找类 插入类 删除类
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查找类：
Root(T) // 求树的根结点 Value(T, cur_e) // 求当前结点的元素值 Parent(T, cur_e) // 求当前结点的双亲结点 LeftChild(T, cur_e) // 求当前结点的最左孩子
20+21+ +2k-1 = 2k-1 。
树和二叉树知识考点整理
树和二叉树知识考点整理●树的基本概念●树的定义●n个结点的有限集●n=0代表空树●满足条件●只有一个根的结点●其余结点是互不相交的有限集，每个集合本身是一棵树，是根的子树●树是一种递归的数据结构●树的根结点没有前驱，其余结点只有一个前驱●树中所有结点可以有零个或多个后驱●基本术语●双亲、兄弟、孩子、祖先●度：孩子个数●分支结点：度大于0●叶子结点：度为0●深度：从下往上；●高度：从上往下；●有序树：从左到右是有次序的●路径和路径长度：路径是从上往下的●森林：m棵互不相交的树的集合。
●树的基本性质●结点数=所有结点度数之和+1●度为m的树中第i层上至多有m的i-1次分个结点●高度为h的m叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点●具有n个结点的m叉树的最小高度为「logm（n（m-1）+1）]●二叉树的概念●定义●一种树形结构，特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）并且二叉树的子树有左右之分，次序不可颠倒●二叉树与度为2的有序树区别●度为2的可以有三个结点，二叉树可以是空树●度为2的有序树的孩子左右之分是根据另一个孩子而言的；二叉树无论有没有，都要确定左右●特殊的二叉树●满二叉树●树中每一层都含有最多的结点●完全二叉树●高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当，每个结点都与高度为h的满二叉树中的编号一一对应●二叉排序树●用途：可用于元素的排序、搜索●左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又是一棵二叉排序树●二叉树的性质●非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点树加1，即n0=n2+1●非空二叉树上第k层至多有2^（k-1）个结点●高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点●具有n个结点的完全二叉树的高度为log2（n+1）取顶或者log2n取底+1●二叉树的存储结构●顺序存储结构●只适合存储完全二叉树，数组从0开始●链式存储结构●顺序存储的空间利用率太低●至少三个指针域：数据域、左指针域、右指针域●增加了指向父结点后，变为三叉链表的存储结构●在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域●二叉树的遍历和线索二叉树●二叉树的遍历●先序遍历●根左右●应用：求树的深度●中序遍历●左根右●后序遍历●左右根●应用：求根到某结点的路径、求两个结点的最近公共祖先等●三个遍历时间复杂度都是O(n)●递归算法和非递归算法的转换●层次遍历●需要借助队列●步骤●二叉树根结点入队，然后出队，访问出队结点，若有左子树，左子树根结点入队●遍历右子树，有右子树，右子树根结点入队。
数据结构树和二叉树知识点总结
数据结构树和二叉树知识点总结
1.树的概念：树是一种非线性的数据结构，由节点和边构成，每个节点只能有一个父节点，但可以有多个子节点。
2. 二叉树的概念：二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点，一个是左子节点，一个是右子节点。
3. 二叉树的遍历：二叉树的遍历分为前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。
前序遍历是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树；中序遍历是先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树；后序遍历是先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。
4. 二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它满足左子树中所有节点的值均小于根节点的值，右子树中所有节点的值均大于根节点的值。
因此，二叉搜索树的中序遍历是一个有序序列。
5. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的插入和删除操作可以保证树的平衡性，从而提高树的查询效率。
6. 堆：堆是一种特殊的树结构，它分为最大堆和最小堆两种。
最大堆的每个节点的值都大于等于其子节点的值，最小堆的每个节点的值都小于等于其子节点的值。
堆常用于排序和优先队列。
7. Trie树：Trie树是一种特殊的树结构，它用于字符串的匹配和检索。
Trie树的每个节点代表一个字符串的前缀，从根节点到叶子节点的路径组成一个完整的字符串。
以上是数据结构树和二叉树的一些基本知识点总结，对于深入学
习数据结构和算法有很大的帮助。
数据结构教程李春葆课后答案 树和二叉树
FindMinNode(b,min);
printf("Min=%c\n",min);
}
}
14. 假设二叉树中每个结点值为单个字符，采用二叉链存储结构存储。设计一个算法 将二叉链 b1 复制到二叉链 b2 中。
解：当 b1 为空时，置 b2 为空树。当 b1 不为空时，建立 b2 结点（b2 为根结点），置 b2->data=b1->data；递归调用 Copy(b1->lchild，b2->lchild)，由 b1 的左子树建立 b2 的左 子树；递归调用 Copy(b1->rchild，b2->rchild)，由 b1 的右子树建立 b2 的右子树。对应的 算法如下：
结点最少的情况是第 6 层为最下层，即 1～5 层构成一棵满二叉树，其结点总数为 25-1=31，再加上第 6 层的结点，总计 31+8=39。这样最少的结点个数为 39。
7. 已知一棵满二叉树的结点个数为 20～40 之间，此二叉树的叶子结点有多少个？ 答：一棵高度为 h 的满二叉树的结点个数为 2h-1，有：20≤2h-1≤40。 则 h=5，满二叉树中叶子结点均集中在最底层，所以叶子结点个数=25-1=16 个。
num2=LeftNode(t,2*i+1);
num+=num1+num2;
}
return num;
}
else return 0;
}
else return 0;
}
12. 假设二叉树中每个结点值为单个字符，采用二叉链存储结构存储。设计一个算法 计算一棵给定二叉树 b 中的所有单分支结点个数。
解：计算一棵二叉树的所有单分支结点个数的递归模型 f(b)如下：
第7章树和二叉树(4)-数据结构教程(Java语言描述)-李春葆-清华大学出版社
if (p.node.rchild!=null)
//有右孩子时将其进队
qu.offer(new QNode(p.lno+1,p.node.rchild));
}
}
return cnt;
}
7/31
解法2
层次遍历中某层的最右结点last
last
A
B
C
D
EF
G
last的作用确定一层是否遍历完成！
8/31
用cnt变量计第k层结点个数（初始为0）。设计队列仅保存结点引用， 置当前层次curl=1，用last变量指示当前层次的最右结点（根结点）进队。 将根结点进队，队不空循环：
int curl=1;
//当前层次,从1开始
BTNode<Character> last;
//当前层中最右结点
last=bt.b;
//第1层最右结点
qu.offer(bt.b);
//根结点进队
while (!qu.isEmpty())
{ if (curl>k) return cnt; p=qu.poll(); if (curl==k) cnt++; if (p.lchild!=null) { q=p.lchild; qu.offer(q); } if (p.rchild!=null) { q=p.rchild; qu.offer(q); } if (p==last) { last=q; curl++; }
}
Queue<QNode> qu=new LinkedList<QNode>(); //定义一个队列qu
QNode p;
qu.offer(new QNode(1,bt.b)); //根结点(层次为1)进队
树、二叉树、满二叉树、完全二叉树概念分清
树、⼆叉树、满⼆叉树、完全⼆叉树概念分清⾃由树⾃由树是⼀个连通的，⽆回路的⽆向图。
令G=(V，E)为⼀个⽆向图。
下⾯的表述是等价的。
1) G是⾃由树。
2) G中任意两个顶点由唯⼀⼀条简单路径得到。
3) G是连通的，但从E中去掉任何边后得到的图都是⾮连通的。
4) G是⽆回路的，且|E|=|V|-1。
5) G是连通的，且|E|=|V|-1。
6) G是⽆回路的，但添加任何边到E中得到的图包含回路。
⼆叉树在计算机科学中，⼆叉树是每个节点最多有两个⼦树的树结构。
通常⼦树被称作“左⼦树”（left subtree）和“右⼦树”（right subtree）。
⼆叉树的每个结点⾄多只有⼆棵⼦树(不存在度⼤于2的结点)，⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒。
⼆叉树的第i层⾄多有2^(i-1)个结点；深度为k的⼆叉树⾄多有2^k-1个结点；（等⽐数列1+2+4+…+2^(k-1) = 2^k-1）。
对任何⼀棵⼆叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。
树和⼆叉树的三个主要差别：1) 树的结点个数⾄少为1，⽽⼆叉树的结点个数可以为0；2) 树中结点的最⼤度数没有限制，⽽⼆叉树结点的最⼤度数为2；3) 树的结点⽆左、右之分，⽽⼆叉树的结点有左、右之分。
满⼆叉树⼀棵深度为k，且有2^k-1个节点的树是满⼆叉树。
另⼀种定义：除了叶结点外每⼀个结点都有左右⼦叶且叶⼦结点都处在最底层的⼆叉树。
这两种定义是等价的。
从树的外形来看，满⼆叉树是严格三⾓形的，⼤家记住下⾯的图，它就是满⼆叉树的标准形态：所有内部节点都有两个⼦节点，最底⼀层是叶⼦节点。
性质：1) 如果⼀颗树深度为h，最⼤层数为k，且深度与最⼤层数相同，即k=h;2) 它的叶⼦数是： 2^(h-1)3) 第k层的结点数是： 2^(k-1)4) 总结点数是： 2^k-1 (2的k次⽅减⼀)5) 总节点数⼀定是奇数。
6) 树⾼：h=log2(n+1)。
【信息技术 】用二叉树排序 —树与二叉树 课件 年教科版(2019)高中信息技术选择性必修1
(6)节点B的父节点 A 、兄弟节 点 C、D、孩子节点 E、F。
二
叉
树
二叉树的基本概念
二叉树是n（n≥0）个节点的有限集合： ① n = 0时，二叉树是一棵空树。。 ② 当n ≠ 0时，二叉树是由一个根节点(N)和两个互不相交的集合被称为
树的基本概念
定义：是n（n>=0）个节点的有限集合 若n=0,称为空树； 若n>0，则它满足如下两个条件； 1）有且仅有一个特定的称为根的节点； 2）其余节点可分为m（m>=0）个互不相交的有限集合
T1,T2,T3.....Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树。
节点A有 三棵子树
节点B有 两棵子树
树与二叉树
A
B
C
D
E
F
G
H
I
树
树是一种重要的非线性数据结构， 直观的看，它是数据元素（在树中称 之为节点）按分支关系组织起来的结 构，与自然界的树很像。
树
日常生活中很多事 物可以用树形图来表 示，如家族族谱、动 物分类等，如图所示
树
日常生活中很多事 物可以用树形图来表 示，如家族族谱、动 物分类等，如图所示
练一练 二
满二叉树
完全二叉树
完全二叉树
非完全二叉树 非完全二叉树
二叉树的基本遍历
对二叉树各个节点进行访问，即是遍历 操作。
1、前序遍历（根 左 右） 先访问根节点，再访问左子树，最
后访问右子树。
如右图的前序遍历顺序为： A-B-C
1A B2 C
二叉树的基本遍历
2、中序遍历（左 根 右） 先访问左子树，再访问根节点，最
软件技术--树与二叉树
（3 ） 若*p结点的左子树和右子树均不为空。
五、哈夫曼树的应用
1、什么是哈夫曼树
假设有n个权值{w1，w2，…，wn}，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wi，则其中带 权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫 曼树。
2、 树的基本术语
结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。 叶子结点：度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结 点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。 树中结点之间的关系：在描述结点之间的关系时，通常用家族关 系来形象的称呼结点之间的联系。结点的子树的根称为该结点的孩 子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parents）或父结点。 同一个双亲的孩子之间称为兄弟（Sibling）。 结点的层次（Level）：一棵树从根开始定义起，根为第一层，根的 孩子为第二层，…，依此类推。若某结点在第i层，则其子树的根就 在第i＋1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
(4) 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n＋1。
3、几种特殊的二叉树
• 满二叉树：深度为K，且存在2K-1个结点的二叉树。 • 完全二叉树：至多只有最下面两层上的结点度数可以小于
2，并且最下层结点都集中在该层最左边的位置。 • 平衡二叉树：或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
每次插入一个结点的递归算法
struct node {anytype data; struct node *lchild; struct node *rchild; } *root; void insnode(t,d) struct node *t; anytype d;
树和二叉树教案1
教学过程一、导入树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构。
在日常生活同学们经常见到树。
树有一个树根。
有许多树枝，在树枝上长有很多树叶。
就象我们今天要讲的树，是一种层次结构。
二、新授(一)树1．树的定义树（tree）是由n (n≥0) 个结点组成的有限集合。
它是树型结构的简称，是一种重要的非线性数据结构，应用广泛。
如：磁盘上的文件目录结构、家族成员关系、单位的组织机构、书的内容组织、算术表达式等。
任何一棵非空树是一个二元组：Tree = （root，F）其中：root被称为根结点，F被称为子树森林2．基本术语森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合有向树：有确定的根，树根和子树根之间为有向关系（自上到下，自左到右）有序树：树中结点的各子树从左到右是有次序的，不能互换无序树：树中结点的各子树从左到右是没有次序的子女：结点的子树的根是该结点的孩子双亲：孩子结点的根结点兄弟：具有同一双亲的结点堂兄弟：双亲在同一层的结点祖先：从根到该结点所经历分支上的所有结点子孙：以某结点为根的子树中的任一结点学生活动：请同学门总结树形与线形的异同(二) 二叉树1.二叉树的定义二叉树(BinaryTree)是n(n≥0)个结点的有限集，它或者是空集(n=0)，或者由一个根结点及两棵互不相交的、分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。
2．二叉树的五种基本形态二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。
3．二叉树不是树的特例（1）二叉树与无序树不同二叉树中，每个结点最多只能有两棵子树，并且有左右之分。
二叉树并非是树的特殊情形，它们是两种不同的数据结构。
（2）二叉树与度数为2的有序树不同在有序树中，虽然一个结点的孩子之间是有左右次序的，但是若该结点只有一个孩子，就无须区分其左右次序。
而在二叉树中，即使是一个孩子也有左右之分。
4、满二叉树和完全二叉树是二叉树的两种特殊情形。
a、满二叉树一棵深度为k且有2k-1个结点的二又树称为满二叉树。
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（1）中序遍历根结点的左子树； （2）访问根结点； （3）中序遍历根结点的右子树。
结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0
叶子：K，L，F，G，M，I，J
结点A的孩子：B，C，D
A
结点B的孩子：E，F
结点I的双亲：D 结点L的双亲：E
树的度：3
B
C
D
结点B，C，D为兄弟
E
F G H I J 结点K，L为兄弟
KL
结点A的层次：1 结点M的层次：4
M
树的深度：4
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
一般树的遍历（续）
A
B
C
D
EFG
H
I
J K LM
NO
先序遍历：A B E F I G C D H J K L N O M
后序遍历：E I F G B C J K N O L M H D A 层次遍历：A B C D E F G H I J K L MN O
7.2二叉树的定义及特点 • 定义：
•
二叉树是结点的有限集合，这个集合或者是空
• 4 孩子兄弟表示法 • 孩子兄弟表示法就是用指针既表示出每个结
点的孩子结点，也表示出每个结点的兄弟结点。
root
A∧
B
C∧
∧D
E
∧F ∧
∧ G∧
∧H
∧ I∧
7.9 树的遍历及应用
• 树的用法之一就是许多操作系统中的目录结构
• 如果要列出目录中所有文件的名字，输出格式是：层次 为di的文件将在di次跳格（tab）缩进后打印其名
右子树 。 • 根据遍历算法访问根结点的次序，我们介绍三
种遍历算法分别为前序遍历（DLR）、中序遍历 （LDR）和后序遍历（LRD）。
• 前序遍历（DLR）递归算法为： • 若二叉树为空则算法结束；否
则： • （1）访问根结点； • （2）前序遍历根结点的左子树； • （3）前序遍历根结点的右子树。
•
leftChild
data
rightChild
• 二叉链存储结构的二叉树
• （a）不带头结点的二叉树 （b）带头结点 的二叉树
root
root
∧
A
A
B∧
C
B∧
C
∧D
∧ E∧
∧ F∧
∧ G∧
∧D
∧ E∧
∧ F∧
∧ G∧
(a)
(b)
• 3 二叉树的仿真指针存储结构
• 二叉树的仿真指针存储结构是用数组存储 二叉树中的结点 。
• 二叉树的仿真二叉链存储结构
•
data leftChild rightChild
0
A
1
2
1
B
3
-1
2
C
4
5
3
D
-1
6
4
E
-1
-1
5
F
-1
-1
6
G
-1
-1
7.3 以结点类为基础的二叉树设计
• 7.3.1 二叉树结点类 • 7.3.2 二叉树的遍历 • 1 二叉树遍历的基本方法 • 一棵二叉树由三部分组成：根结点、左子树和
• 性质4 对于一棵非空的二叉树，如果叶结 点个数为n0，度为2的结点数为n2，则有n0= n2+1。
• 性质5 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照
从上至下和从左至右的顺序对所有结点从0开始顺序 编号，则对于序号为i的结点，有：
• （1）如果i>0，则序号为i结点的双亲结点的序 号为 (i-1)/2（“/”表示整除）；如果i=0，则序号为 i结点为根结点，无双亲结点。
的双亲结点。 • 对于使用仿真指针的双亲表示法来说，
每个结点应有两个域，一个是数据元素域， 另一个是指示其双亲结点在数组中下标序号 的仿真指针域。
• 树及其使用仿真指针的双亲表示法
A BC DE F G HI
(a)
data 0A 1B 2C 3D 4E 5F 6G 7H 8I
parent -1 0 0 1 1 1 2 4 4
• 7.2.3 二叉树的性质
• 性质1 若规定根结点的层次为0，则一棵非 空二叉树的第i层上最多有2i（i≥0）个结点。
• 性质2 若规定空二叉树树的深度为-1(即根 结点的深度为0)，则深度为k的二叉树的最大 结点数是2k+1-1（k≥-1）个。
• 性质3 具有n个结点的完全二叉树的深度k 为不超过log2(n+1)-1的最大整数。
● 哈夫曼树和哈夫曼编码，哈夫曼编码的软件设 计方法
● 树与二叉树的转换，树的遍历
7.1 树
• 7.1.1 树的定义 • 树是由n（n≥0）个结点构成的满足以下条件的结点集合： • （1）当n>0时，有一个特殊的结点称为根结点，根结点
没有前驱结点； • （2）当n>1时，除根结点外的其他结点被分成m（m>0）
• private void listAll(int depth)
• { printName(depth); //Print the name of the object;
• if(isDeirectory())
• for each file c in this directory (for each child)
• if(isDirectory())
• for each file c in this directory(for each
child)
•
totalSize+=c.size();
• return totalSize();
•}
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
先根遍历得到的结点序列为：A B E J F C G K L D H I 后根遍历得到的结点序列为：J E F B K L G C H I D A
• 7.1.2 树的表示方法 • 1 直观表示法
A
B
C
D
A
E
F
G
H
I
J
K
L
(a)
(b)
• 2 形式化表示法
• 树的形式化表示法主要用于树的理论描述。树 的形式化表示法定义树T为T=（D，R）其中D为 树T中结点的集合，R为树T中结点之间关系的集 合。当树T为空树时D=￠；当树T不为空树时有 D={Root}∪DF，其中Root为树T的根结点，DF 为树T的根Root的子树集合，DF可由下式表示：
(b)
• 2 孩子表示法 • 孩子表示法就是用指针表示出每个结点的孩子
结点。 • 常规指针的孩子表示法
root
A
∧
B
C
∧∧
D ∧∧ ∧ E
F ∧
∧∧∧
G∧ ∧ ∧
H∧ ∧ ∧
I∧∧∧
• 3 双亲孩子表示法
• 双亲孩子表示法就是用指针既表示出每个
结点的双亲结点，也表示出每个结点的孩子结
点。
data parent head 0 A -1
部结点
树的基本术语
树的度——一棵树中最大的结点度数 孩子——结点子树的根称为该结点的孩子 双亲——孩子结点的上层结点叫该结点的双亲 兄弟——同一双亲的孩子之间互成为兄弟 祖先——结点的祖先是从根到该结点所经分支上
的所有结点 子孙——以某结点为根的子树中的任一结点都成
为该结点的子孙
A
A
B D
F (a)
C E
G
B D
F
C E
G (b)
数组 A B C ∧ D E ∧ ∧ ∧ F ∧ ∧ G 下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(c)
2 二叉树的链式存储结构
• 二叉树的链式存储结构是用指针建立二叉
树中结点之间的关系。
•
二叉链存储结构的每个结点包含三个域 。
第7讲 树和二叉树
• 7.1 树 • 7.2 二叉树 • 7.3 二叉树的设计 • 7.4 线索二叉树 • 7.5树与二叉树的转换
• 本章主要知识点： ● 树的定义、表示方法和存储结构
● 二叉树的定义、性质和存储结构，满二叉树和 完全二叉树的概念
● 二叉树的前序、中序、后序和层序遍历算法 ● 二叉树中序和层序游标类的设计方法 ● 线索二叉树的基本概念
child next
1
2∧
1B 0
3
4
5∧
2C 0
6∧
3D
1
∧
4E
1
7
8∧
5F
1
∧
6G
2
∧
7H
4
∧
8I
4
∧
• 4 孩子兄弟表示法 • 由于每个结点的孩子数可以变化很大并且事
先不知道，建立到各个孩子结点的链接不可行
• class TreeNode •{ • Object element; • TreeNode firstChild; //第一个孩子 • TreeNode nextSibling; //下一个兄弟 •}
• 2 后根遍历 • 树的后根遍历递归算法为： • （1）按照从左到右的次序后根遍历根结点的每一
棵子树；
• （2）访问根结点。
• 例如：计算文件系统某目录下所有文件占用的磁 盘区块的总数（由于目录也是文件，也有大小）
• public int size()
•{
• int totalSize=sizeOfThisFile();
• DF = D1∪D2∪…∪Dm （1≤i, j≤m, Di∩Dj=￠）