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信号与系统第四章连续系统的频域分析.ppt
2e
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
信号与系统分析PPT电子教案第四章连续时间系统的复频域分析
(ansn an1sn1 a1s a0 )Y (s) (bmsm bm1sm1 b1s b0 )F (s)
n1
Ai (s) y(i) (0 ) i0
• 可见,时域的微分方程通过取拉氏变换 化成复频域的代数方程,并且自动地引入 了初始状态。响应的拉普拉斯变换为
n1
Y (s)
yzi (t) L1[Yzi (s)] 5eet 3e2t , t 0
系统的全响应 y(t) yzs (t) yzi (t) 3 et 2e2t , t 0
或直接对Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。 y(t) L1[Y (s)] 3 et 2e2t , t 0
直接求全响应时,零状态响应分量和零输 入响应分量已经叠加在一起,看不出不同 原因引起的各个响应分量的具体情况。 这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引 入了初始状态。简化了微分方程的求解。
an
d n y(t) dt n
an1
d n1 y(t) dt n1
a1
dy(t) dt
a0 y(t)
bm
d m f (t) dt m
bm1
d
m1 f (t) dt m1
b1
df (t) dt
b0
f
(t)
对上式两边取拉普拉斯变换,并假定f(t)是因 果信号（有始信号），即t<0时,f(t)=0,因而
f (0 ) f (0 ) f (0 ) f (n1)(0 ) 0
零、极点图
线性系统的拉氏变换分析法
拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具, 它将描述系统的时域微积分方程变换为s域 的代数方程,便于运算和求解;同时,它将系统 的初始状态自然地含于象函数方程中,既可 分别求得零输入响应、零状态响应,也可一 举求得系统的全响应。
n1
Ai (s) y(i) (0 ) i0
• 可见,时域的微分方程通过取拉氏变换 化成复频域的代数方程,并且自动地引入 了初始状态。响应的拉普拉斯变换为
n1
Y (s)
yzi (t) L1[Yzi (s)] 5eet 3e2t , t 0
系统的全响应 y(t) yzs (t) yzi (t) 3 et 2e2t , t 0
或直接对Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。 y(t) L1[Y (s)] 3 et 2e2t , t 0
直接求全响应时,零状态响应分量和零输 入响应分量已经叠加在一起,看不出不同 原因引起的各个响应分量的具体情况。 这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引 入了初始状态。简化了微分方程的求解。
an
d n y(t) dt n
an1
d n1 y(t) dt n1
a1
dy(t) dt
a0 y(t)
bm
d m f (t) dt m
bm1
d
m1 f (t) dt m1
b1
df (t) dt
b0
f
(t)
对上式两边取拉普拉斯变换,并假定f(t)是因 果信号（有始信号），即t<0时,f(t)=0,因而
f (0 ) f (0 ) f (0 ) f (n1)(0 ) 0
零、极点图
线性系统的拉氏变换分析法
拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具, 它将描述系统的时域微积分方程变换为s域 的代数方程,便于运算和求解;同时,它将系统 的初始状态自然地含于象函数方程中,既可 分别求得零输入响应、零状态响应,也可一 举求得系统的全响应。
信号与系统PPT教学课件-第4章 信号的频域分析(一)
x(t)
a0 2
n1
An
cos n0t
n
其中 An an2 bn2 n arctan bn an
a0/2称为信号的直流分量，
An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
12
4.1.1 周期信号的Fourier级数表示
4. 对称特性
(1) 纵轴对称信号 ~x(t) ~x(t) ~x (t)
2. 掌握连续周期信号、连续非周期信号、离散周期信号、离 散非周期信号的频域分析方法，从数学概念、物理概念及 工程概念理解信号时域与频域的关系。
3. 掌握常见连续时间信号的频谱，以及傅里叶变换的基本性 质、物理含义及应用。
4. 深刻理解和灵活应用时域抽样定理和频域抽样定理。 5. 能够利用MATLAB进行信号的频域分析。
~x (t) 不连续时，|Cn|按1/n 的速度衰减 ~x (t)连续而其一阶导数不连续时，|Cn|按1/n2的速度衰减
29
4.1.2 周期信号的频谱
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号
的有效频带宽度,即
B
2π
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
A
t
T0 T0 / 2 0
T0 / 2 T0
an
2 T0
T0 T0
2 2
x(t)
cos(n0t)dt
4 T0
T0 0
2
x(t) cos(n0t)dt
bn
2 T0
T0 T0
2 2
x(t) sin(n0t)dt
0
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中
西安电子科技大学信号与系统课件ppt-第4章___连续系统的频域分析(共102张PPT)
n1
1 2
An{[cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
[cos(0t n ) j sin(n0t n )]}
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
1 2
An [cos(0t
n)
j sin(n0t
n )]
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
第4章 连续系统的频域分析
第4章 连续(liánxù)系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.2 信号的频谱
4.3 傅里叶变换的性质
4.4 线性非时变系统的频域分析(fēnxī)
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
《 信号与线性系统》
第一页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解(fēnjiě)与傅里叶级数
f (t)sin(2 nf )dt
bn
2 T
2 0
f (t) cos(2 nf )dt
c 2 2 f (t)dt T0
(4―7) (4―8) (4―9)
《 信号与线性系统》
第八页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
根 据 (gēnjù) 三 角 函 数 的 运 算 法 则 , 式 (4―6) 还 可 写 成 式
f (t) 1 F ( )e j td
2
(4―27)
《 信号与线性系统》
第二十六页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
式(4―24)和(4―27)是非常重要的一对式子,重写如
下(rúxià),并称前式为f(t)的傅里叶变换,后式为函数F(ω)的
1 2
An{[cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
[cos(0t n ) j sin(n0t n )]}
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
1 2
An [cos(0t
n)
j sin(n0t
n )]
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
第4章 连续系统的频域分析
第4章 连续(liánxù)系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.2 信号的频谱
4.3 傅里叶变换的性质
4.4 线性非时变系统的频域分析(fēnxī)
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
《 信号与线性系统》
第一页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解(fēnjiě)与傅里叶级数
f (t)sin(2 nf )dt
bn
2 T
2 0
f (t) cos(2 nf )dt
c 2 2 f (t)dt T0
(4―7) (4―8) (4―9)
《 信号与线性系统》
第八页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
根 据 (gēnjù) 三 角 函 数 的 运 算 法 则 , 式 (4―6) 还 可 写 成 式
f (t) 1 F ( )e j td
2
(4―27)
《 信号与线性系统》
第二十六页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
式(4―24)和(4―27)是非常重要的一对式子,重写如
下(rúxià),并称前式为f(t)的傅里叶变换,后式为函数F(ω)的
信号与线性系统分析 第4章 课件
0
t
−0.5
0.5 f(t)
0
t
13
半波整流波形
-T -T -T -T
f(t) F
f(-t)
T
t
F
fod(t)
T
t
F
T
t
F fev(t)
T
t
14
全波整流信号 f1(t)=E|sin0t|
f1(t) E
-T
Tt
a n T 4 0 T 2 f ( t ) cn o t ) d s 4 T ( t E 0 T 2 s i0 t n ) cn ( o t ) d s( t
4 T E 0 T 2 s i0 t n )c( n o 0 t) s d(t (令 0 )
2 E 1 cn o )s(
n 2 1
( n 0, 1 ) ,2,
f1 (t) 2 E 1 3 2 c2 o 0 ts ) 1 ( 2 c5 4 o 0 ts ) (
15
16
• f(t)为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相， 即对称于横轴 f(t)＝−f(tT/2)
f(t) 1
-T
Tt
奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含 偶次谐波。
f ( t ) a 1 c o t ) a s 3 c (3 o t ) s a 5 c (5 o t ) s ( b 1 s it ) n b 3 s (3 i t n ) b 5 s (5 i t n ) (
19
• 傅里叶级数小结：
f(t) a 2 0 n 1 a n co n t) s n ( 1 b n sin n t)(
f(t)A 2 0n 1A nco n s t＋ ( n)
信号与系统第四章-连续信号复频域分析
j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )
f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]
f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt
它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。
信号与系统分析第四章 连续时间系统的频域分析
(4.5)
Y(j)
H(j) F(j)
()y()f()
第四章 连续时间系统的频域分析
可见, |H(jω)|是角频率为ω的输出与输入信号幅度之 比, 称为系统的[HTH]幅频响应; φ(ω)是角频率为ω的输 出与输入信号的相位差, 称为系统的相频响应。 由于 H(jω)是h(t)的傅里叶变换, 因而当h(t)为实函数时, 由傅 里叶变换的性质可知, |H(jω)|关于ω偶对称, φ(ω) 关于ω 奇对称。
(4.1)
第四章 连续时间系统的频域分析
设系统的初始状态为零, 则y(t)为系统的零状态响应, 对上式两边取傅里叶变换, 并令 Yzs (jω)=F［y(t)］, F(jω)=F［f(t)］, 由时域微分性质, 可
[ j) ( n a n 1 ( j) n 1 a 1 ( j) a 0 ] Y z ( j s ) [ b m ( j) m b m 1 ( j) m 1 b 1 ( j) b 0 ] F ( j)
第四章 连续时间系统的频域分析
本章将讨论连续时间系统的频域分析。 系统的频 域分析就是把系统的激励和响应的关系应用傅里 叶变换从时域变换到频域, 在频域中求系统的响应或 分析系统的特性。 利用频域分析法求系统响应, 是 通过运用傅里叶级数或傅里叶变换, 将信号分解为一 系列正弦分量或虚指数信号(ejωt)之和或积分, 并将这 些单元信号作用于系统所得的响应进行叠加, 从而得 到完整的系统响应。
系统函数表征了系统的频域特性, 是频域分析的关 键。 系统函数的求解方法有如下几种:
第四章 连续时间系统的频域分析
(1) 若系统由微分方程给出, 则可以对微分方程两边 取傅里叶变换, 按照式(4.3)直接求取;
(2) 若给定系统的冲激响应, 则可以对其做傅里叶变 换来求取;
第04章 连续时间信号与系统的频域分析 课件
送信号而进行数据压缩，也需要先将信号
用三角函数展开式表示，然后只发送那些
振幅较大的正弦分量，较小振幅的正弦分
量对信号没有实质性贡献就不用发送，从 而可以加快信号传输的速度。
4.1.2周期信号的傅里叶级数 1.傅里叶级数的三角形式 2.频谱 3.傅里叶级数的复指数形式 4.两种形式间的关系
图4.9 直流信号及其频谱
3.单边指数信号
图4.10 单边指数信号及其频谱
4. 矩形脉冲
图4.11 矩形脉冲信号及频谱
5. 符号函数
图4.12 符号函数及其频谱
6. 单位阶跃信号
图4-13 阶跃信号及其频谱
4.3 傅里叶变换的性质
通过前面的学习我们知道，任一信号 可以有两种表示方法：时域表示x(t)和频域 表示 X(ω) 。对信号的时域与频域之间的对 应关系以及转换规律有一个深入的理解， 将会对实际的信号分析带来方便。为此， 我们有必要讨论一下傅里叶变换的基本性 质及其应用。
4.1 周期信号的傅里叶分析
4.1.1 周期信号表示为正弦信号的
线性组合
如果一个信号是周期的，那么对一切t， 存在某个正值的T1，有
x(t)=x(t+T1)
正弦信号就是一个典型的周期信号
x(t)=sin(ω1t)
其中 ω1=2π/T1 称为基波角频率。以此 为基础的一个正弦信号集可表示为
n(t)=sin(nω1t) n=0，1，2，…
第4章 连续时间信号与系统的频域分析
4.1 周期信号的傅里叶分析 4.2 非周期信号的傅里叶变换 4.3 傅里叶变换的性质 4.4 周期信号的傅里叶变换 4.5 系 统 的 频 域 分 析 4.6 连续时间信号的时域抽样 4.7 用MATLAB进行连续时间信号与系统的频域分析
《连续系统频域分析》课件
频域分析的优势
频域分析能够提供系统的频率响应和稳定性分析 ，适用于系统的稳定性和性能评估。
3
互补性
在实际应用中，时域分析和频域分析各有优势， 应结合使用以全面了解系统的特性和性能。
CHAPTER
06
总结与展望
频域分析的总结
频域分析的定义和
意义
频域分析是一种研究系统频率响 应的方法，通过将时域问题转换 为频域问题，可以更方便地分析 系统的频率特性、稳定性、传递 函数等。
CHAPTER
05
频域分析的局限性
频域分析的假设条件
线性时不变系统
频域分析适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统则不适 用。
周期信号
频域分析主要针对周期信号进行分析，对于非周期信号，需要采用 其他方法。
无初始条件
频域分析假设系统无初始条件，对于有初始条件的情况，需要进行 特殊处理。
频域分析的局限性
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号在复平面上的工具，它可以求解差分方程 和离散时间系统。
02
Z变换具有收敛性、唯一性和线性等性质，这些性质使得Z变换在解决 实际问题时具有广泛的应用。
03
Z变换的逆变换是将复平面上的函数转换回实数轴上的过程，它也是 通过数学公式实现的。
04
在实际应用中，Z变换被广泛用于数字信号处理、数字图像处理和数 字控制系统等领域。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换具有收敛性、唯一性和线性等性 质，这些性质使得拉普拉斯变换在解决实际问
题时具有广泛的应用。
在实际应用中，拉普拉斯变换被广泛用于电路分析、 控制系统分析和信号处理等领域。
拉普拉斯变换是分析线性时不变连续系统的工 具，它可以求解常微分方程和偏微分方程。
频域分析能够提供系统的频率响应和稳定性分析 ，适用于系统的稳定性和性能评估。
3
互补性
在实际应用中，时域分析和频域分析各有优势， 应结合使用以全面了解系统的特性和性能。
CHAPTER
06
总结与展望
频域分析的总结
频域分析的定义和
意义
频域分析是一种研究系统频率响 应的方法，通过将时域问题转换 为频域问题，可以更方便地分析 系统的频率特性、稳定性、传递 函数等。
CHAPTER
05
频域分析的局限性
频域分析的假设条件
线性时不变系统
频域分析适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统则不适 用。
周期信号
频域分析主要针对周期信号进行分析，对于非周期信号，需要采用 其他方法。
无初始条件
频域分析假设系统无初始条件，对于有初始条件的情况，需要进行 特殊处理。
频域分析的局限性
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号在复平面上的工具，它可以求解差分方程 和离散时间系统。
02
Z变换具有收敛性、唯一性和线性等性质，这些性质使得Z变换在解决 实际问题时具有广泛的应用。
03
Z变换的逆变换是将复平面上的函数转换回实数轴上的过程，它也是 通过数学公式实现的。
04
在实际应用中，Z变换被广泛用于数字信号处理、数字图像处理和数 字控制系统等领域。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换具有收敛性、唯一性和线性等性 质，这些性质使得拉普拉斯变换在解决实际问
题时具有广泛的应用。
在实际应用中，拉普拉斯变换被广泛用于电路分析、 控制系统分析和信号处理等领域。
拉普拉斯变换是分析线性时不变连续系统的工 具，它可以求解常微分方程和偏微分方程。
信号与系统第四章连续系统的频域分析
极点对系统频率响应的影响更为显著。极点 会使系统频率响应在某些频率处产生谐振峰 或反谐振峰，具体取决于极点的位置和数量。 极点越靠近虚轴，对频率响应的影响越显著。 同时，极点的实部决定了系统的阻尼程度， 虚部决定了谐振频率。
05 连续系统频域性能指标评 价方法
幅频特性曲线绘制方法
确定系统的传递函数
周期信号频谱特性
离散性
周期信号的频谱是离散的，即只在某些特定的频率点 上有值。
谐波性
周期信号的频谱由基波和各次谐波组成，各次谐波的 频率是基波频率的整数倍。
收敛性
随着谐波次数的增加，谐波分量的幅度逐渐减小，即 周期信号的频谱具有收敛性。
02 傅里叶变换及其在频域分 析中应用
傅里叶变换定义与性质
信号调制与解调
在通信系统中，通过傅里叶 变换实现信号的调制与解调 过程，将信息加载到载波信 号上进行传输。
信号滤波与处理
利用傅里叶变换设计数字滤 波器，对信号进行滤波处理 以去除噪声或提取特定频率 成分。
03 拉普拉斯变换及其在频域 分析中应用
拉普拉斯变换定义与性质
定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，用于 将时间域的函数转换为复平面上的函数。 对于连续时间信号$x(t)$，其拉普拉斯变 换定义为$X(s) = int_{0}^{infty} x(t) e^{st} dt$，其中$s$是复数频率。
VS
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移 性、微分性、积分性、初值定理和终值定 理等重要性质。这些性质使得拉普拉斯变 换在信号与系统的分析中非常方便和有效 。
典型信号拉普拉斯变换举例
单位阶跃信号
指数信号
正弦信号
余弦信号
单位阶跃信号的拉普拉斯变 换为$frac{1}{s}$。
信号与系统第四章__连续系统的复频域分析
L[et
sin 0t ]
L{ 1 2j
[e (
j0 )t
e( j0 )t ]}
1( 1 1 )
2 j s j0 s j0
(s
0 )2
02
即
eat
sin
0t
L
(s
0
a)2
02
8.冲激偶信号 ' (t)
3.阶跃信号u（t），则根据定义其拉普拉斯变换为
L[u(t)] u(t)est dt 1
0
s
1L 1
s
即
A L A
s
4. 余弦信号cosω0t
因为
cos0t
1 2
(e j0t
e
) j0t
L[cos0t]
1 2
L[e
] j0t
1 2
L[e
] j0t
j0
)
0 s2 02
即
sin
0t
L
s2
0 02
6.衰减余弦信号e-αt·cosω0t
因为
et
cos0t
1 (e( j0 )t 2
e( j0 )t )
L[et
cos0t]
L{1 2
[e (
j0 )t
e( j0 )t ]}
2j
j
F
(S
)est
ds
(t
)
（4-6）
式（4-5）、（4-6）称为单边拉普拉斯变换对。实际系统中
的信号都有原始信号，即t<0时， f(t)=0，所以我们只需要
最新课件-信号与线性系统分析第四章连续系统的频域分析44 推荐
符号简记
条件
傅里叶变换存在的充分条件
奇异函数(象阶跃、冲激 一类函数)，虽不满足上 述条件，但也存在傅里 叶变换
f (t)dt
绝对可积
从物理意义来讨论FT (a) F ( j ) 是一个密度函数的概念 (b) F ( j) 是一个连续谱 (c) F ( j ) 包含了从零到无限高频的所
有频率分量,分量的频率不成谐波关系
T
2 T
2
2
f (t)e jnt d t
2
E
T
Sa
n
2
E
T
Sa n
T
f
(t )
Fne jnt
n
E
T
Sa( n
n
2
)e jnt
E
T
Sa( n )e jnt
n
T
E FFnn
频谱特点
T
图中T 5
频带宽度B 2
2π
0O 2
或F 1
3、周期信号频谱特点
离散性
谐波性
收敛性 注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
从周期信号的FS推导非周期信号的FT
f (t) Fne jnt n
Fn
1 T
T
2 T
f (t)e jntdt, n 0,1,2,...
2
T d n
推导
傅里叶 逆变换
F ( j) f (t)e jtdt
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
傅里叶 变换
F ( jf ) f (t)e j2ftdt f (t) F ( jf )e j2ftdf
特点
F ( j) F ( j) e j() R() jX (）
信号与系统第4章 连续信号的频域分析
9
③收敛性。理论上说周期信号中包含无穷多个 谐波分量，各谐波分量的幅度（即幅度谱）虽然不 一定随 n的增大而单调减小，但总的趋势都是按照 一定规律衰减的。当 n→∞ 时，|Fn|→0，这体现了 周期信号频谱的收敛性。
10
4.3 非周期信号的频谱密度 4.3.1 非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的时间函数表达式为非周期函数， 因此不能进行傅里叶级数展开。但是，可以将非周 期信号视为周期 T→∞ 的周期信号，从而得到类似 的分解表达式。 周期信号的傅里叶系数为
27
4.5.1 基本周期信号的傅里叶变换 基本周期信号主要指的是正弦信号和复简谐信 号。周期信号都是功率信号，因此一定不满足绝对 可积条件，不能用定义求其傅里叶变换。为此，可 利用直流信号的傅里叶变换，根据频移性质求得。
8
4.2.2 周期信号频谱的特点 观察前面的周期矩形脉冲信号和全波整流余弦 信号的频谱，可以发现其中有些共同的特点。实际 上，所有周期信号的频谱都具有如下特点： ①离散性。周期信号的频谱 An，φn 或 Fn 都以 整数变量 n为自变量，频谱图由离散的谱线和点构 成，这样的频谱称为离散谱。所有周期信号的频谱 都为离散谱。 ②谐波性。周期信号的频谱中自变量 n的取值 对应各分量的频率，n只能取整数，因此各分量的 频率只能为原周期信号基波频率的整数倍。
16
4.4.1 线性性质
17
4.4.2 时移性质
时移性质说明，信号在时域中沿着时间轴的平 移，只是使信号的频谱密度在相位谱密度上有附加 的相移 -ωt0，而幅度谱密度不会发生变化。
18
4.4.3 尺度变换性质
19
4.4.4 对称性质 若 f（t）F（jω），则
20
4.4.5 频移性质
③收敛性。理论上说周期信号中包含无穷多个 谐波分量，各谐波分量的幅度（即幅度谱）虽然不 一定随 n的增大而单调减小，但总的趋势都是按照 一定规律衰减的。当 n→∞ 时，|Fn|→0，这体现了 周期信号频谱的收敛性。
10
4.3 非周期信号的频谱密度 4.3.1 非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的时间函数表达式为非周期函数， 因此不能进行傅里叶级数展开。但是，可以将非周 期信号视为周期 T→∞ 的周期信号，从而得到类似 的分解表达式。 周期信号的傅里叶系数为
27
4.5.1 基本周期信号的傅里叶变换 基本周期信号主要指的是正弦信号和复简谐信 号。周期信号都是功率信号，因此一定不满足绝对 可积条件，不能用定义求其傅里叶变换。为此，可 利用直流信号的傅里叶变换，根据频移性质求得。
8
4.2.2 周期信号频谱的特点 观察前面的周期矩形脉冲信号和全波整流余弦 信号的频谱，可以发现其中有些共同的特点。实际 上，所有周期信号的频谱都具有如下特点： ①离散性。周期信号的频谱 An，φn 或 Fn 都以 整数变量 n为自变量，频谱图由离散的谱线和点构 成，这样的频谱称为离散谱。所有周期信号的频谱 都为离散谱。 ②谐波性。周期信号的频谱中自变量 n的取值 对应各分量的频率，n只能取整数，因此各分量的 频率只能为原周期信号基波频率的整数倍。
16
4.4.1 线性性质
17
4.4.2 时移性质
时移性质说明，信号在时域中沿着时间轴的平 移，只是使信号的频谱密度在相位谱密度上有附加 的相移 -ωt0，而幅度谱密度不会发生变化。
18
4.4.3 尺度变换性质
19
4.4.4 对称性质 若 f（t）F（jω），则
20
4.4.5 频移性质
《信号与系统》第4章 连续系统的复频域分析 PPT课件
Re[ s] 0
4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
2. 时移性
3. 复频移
例 4.2-3 f1(t)=cos(ω0t)ε(t), f2(t)=sin(ω0t)ε(t)，求f1(t)和f2(t)的象函数。
例 4.2-4 f (t) et cos(0t) (t), a为实数.求f (t)的象函数.
d dt
e
2t
(t
)],
解
(1) 求f1(t)的单边拉氏变换。由于
f1(t)
d dt
[e2t (t)]
(t)
2e2t (t)
故根据线性得
F1(s)
L[
f1(t)]
1
s
2
2
s
s
2
若应用时域微分性质求解，则有
F1(s)
sL[e2t (t)] e2t (t)
eat (t)estdt
例 4.1-3 求反因果信号f3(t)=-e-βtε(-t)(β＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。
j
j
j
－ o
－ o
o
(a)
(b)
(c)
图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域 (a) F2(s)的收敛域； (b) F3(s)的收敛域； (c) F4(s)的收敛域
t
f ( )d
0
f (1) (0 ) t f ( )d 0
单边拉普拉斯变换为
L[ f (1) (0 )] L[ f (1) (0 ) (t)] f (1) (0 )
4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
2. 时移性
3. 复频移
例 4.2-3 f1(t)=cos(ω0t)ε(t), f2(t)=sin(ω0t)ε(t)，求f1(t)和f2(t)的象函数。
例 4.2-4 f (t) et cos(0t) (t), a为实数.求f (t)的象函数.
d dt
e
2t
(t
)],
解
(1) 求f1(t)的单边拉氏变换。由于
f1(t)
d dt
[e2t (t)]
(t)
2e2t (t)
故根据线性得
F1(s)
L[
f1(t)]
1
s
2
2
s
s
2
若应用时域微分性质求解，则有
F1(s)
sL[e2t (t)] e2t (t)
eat (t)estdt
例 4.1-3 求反因果信号f3(t)=-e-βtε(-t)(β＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。
j
j
j
－ o
－ o
o
(a)
(b)
(c)
图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域 (a) F2(s)的收敛域； (b) F3(s)的收敛域； (c) F4(s)的收敛域
t
f ( )d
0
f (1) (0 ) t f ( )d 0
单边拉普拉斯变换为
L[ f (1) (0 )] L[ f (1) (0 ) (t)] f (1) (0 )
精品课件-信号、系统分析与控制(MATLAB版)-第4章 连续信号的频域分析
• 1. 线性
F[ax(t) by(t)] aF[x(t)] bF[ y(t)] aX () bY()
• 设a、b为常数，则 （4.2.3）
• 利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若F[ 干x(t 基t0 )本] e信 jt0号X (之) 和。
• 2. 时移（时延）
• 时延（移）性说明波形在时间轴上的F时1[X延(。 设0 )] etj00t x为(t) 实常数，则
• T=8;A= 4; tao=1; • k=[-80:80]/T; • X=A*tao/T*sinc(k*pi*tao/T); • stem(k,X,'.'); • title('tao=1 T=8'); axis([-11,11,-0.2,0.6]); • line([-12,4.4],[0,0],'Color','b','Marker','>',‘ • MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','b'); • line([0,00]2,[/T-0.3,0.55],'Color','b','Marker','^',‘ • MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','b');
• X=subs(X,k,'k');subplot(3,1,1);
• stem(k,X,'.');title('频谱图');
• line([-20,20],[0,0]);xlabel('(k)');ylabel('X(k)');
最新课件-信号与线性系统分析第四章连续系统的频域分析46 推荐
F0
j
T/2 T / 2
f0
t
e j t d t
T
o
T
t
fT ( t ) Fne jn t
n
1 Fn T
T/2 T / 2
fT ( t
)e jn t dt
比较:
在
T 2
,T 2
内
f0t与
fTt 相 同
所以Fn
1 T
F0(
j
)
n
可由F0( j )求周期函数 fT(t )的谱系数Fn
n
利用冲激函数的抽样性质
F( j) F0 ( j) ( n) n
方法2
f0 (t)
-/2 0 /2 t
T (t)
（１）
-2T -T 0
T
fT (t)
2T t
-2T -T 0
T 2T t
fT (t) f0 (t nT ) f0 (t) T (t)
n
FT[ fT (t)] F0 ( j) ( n) F0 ( jn) ( n)
FT[
pT
(t)]
2
T
n
Sa( n
2
)
(
n)
Fn与F( j)比较
• 形状相似，含义不同
• Fn虚指数分量的幅度和相位 • F( j频)谱密度
Fn
E T
2π
O 2
例2 周期性单位冲激函数序列的傅里叶变换
T (t) (t mT) m
解
Fn
1 T
T
2 T
2
T
(t )e
jnt dt
1 T
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
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jt
1 j sgn()
t
例3 求t的频谱函数
解 (t) j
jt 2 () 2 ()
t j2 () 例9
例4 求Sa(t)的频谱函数
解
g
(t )
Sa(
2
)
Sa(t
2
)
2g
()
2g
()
2Sa(t) 2g2 ()
Sa(t) g2 ()
Sa(t)
1
g2 ()
2 0 2
t
10 1
四．尺度变换性质
若f t为偶函数 则F jt 2πf
证明：
f (t ) 1 F ( j )e jt d
2
f (t) 1 F ( j)e jt d
2
f () 1 F ( jt)e jtdt 2f () F( jt)e jtdt
2
F jt 2πf
若f (t) F( j) 则F jt 2πf
幅度频谱无变化，只影响相位频谱。
时移加尺度变换
相移t0
右 左
t0 t0
若f (t) F( j)
则f at b
1
F
j
e
j
b a
a a
例5 已知f (t) F( j),
则f (1 2t)
f (1 2t)
f (1 2t)
f (1 2t)
1
F
j
e
j
2
2 2
1
F
j
e
j
2
2 2
1
F( j) jG( j) j[Rg () jX g ()] jRg ( ) X g ( )
X () R( ) R() R() X () X () F( j) F( j) ,() ()
F ( j) F *( j)
三．对称性
1．性质 若f (t) F( j) 则F jt 2πf
•了解特性的内在联系； •用性质求F(ω)； •了解在通信系统领域中的应用。
主要内容
• 线性 • 奇偶性 • 对称性 • 尺度变换 • 时移特性和频移特性 • 卷积定理 • 微分和积分特性 • 能量谱与功率谱
一．线性性质
若f1(t) F1( j) , f2(t) F2( j)
则a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1( j) a2F2 ( j)
F
j
e
j
2
2 2
1
F
j
e
j
2
2), 求f1(t)、f2 (t)的傅里叶变换。
f (t)
f1(t)
f2 (t)
1
1
1
1 0 1 t 2
0
2 t 1 0 1 t
1
1
解 f (t) g2 (t) 2Sa()
f1(t) f (t 1) f (t 1)
0
F( j)是的实、偶函数.
若f(t)为t的实、奇函数，即 f (t) f (t)
F( j) j f (t)sin( t)dt j2 f (t)sin( t)dt jX ()
0
F( j)是的虚、奇函数.
2. 若f ( t ) F( j )，则f ( t ) F( j )
证明：由定义 F f ( t ) f ( t )e j t d t F( j )
复习
F( j) f (t)e jtdt f (t) 1 F ( j)e jtd
2
g
(t)
Sa
2
sgn( t) 2
j
e t (t) 1 , 0 j
(t) 1
E 2π E
(t) j
§4.5 傅里叶变换的性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
F ( j ) F ( j ) ,( ) ( )
F( j) R2 () X 2 ()
() arctan X () R()
F( j ) f ( t )cost dt j f ( t ) sint dt
若f(t)为t的实、偶函数，即 f (t) f (t)
F( j) f (t) cos( t)dt 2 f (t) cos( t)dt R()
F1
j
2Sa()(e j e j4Sa() sin( )
j ) j4
若f ( t
) F(
j
),则f at
1 a
F
j ,a为非零常数
a
证明 板书
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
( 3 ) a 1 f t F j F j
时域倒置，频域反相
next
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
back
f t
增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。
说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时 为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以 展宽频带为代价。
五．时移特性
若f (t) F( j), 则f (t t0 ) F( j)e jt0
证明 板书
若F( j) F( j) ej() , 则f (t t0 ) F( j) ej() t0
E
F
E
o t
2
2
f t 2
E
o
t
2π o 2π
2E 2F 2
π π
o
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。
（2）a>1 时域压缩，频域扩展。
back
f 2t
E
o
t
44
1 F
2 2
E
2
4π
o
4π
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量
可以得到
F f ( t ) f ( t )e j t d t u t f ( u )e j( ) u d u F ( j )
f(t)为实函数: F( j) F *( j)
若实函数 f ( t ) F( j )，则f ( t ) F( j )
3、f(t) = jg(t)是虚函数
2．意义 若F( jt)形状与F( j)相同 t 则F( jt)的频谱函数形状与 f t形状相同t ,
幅度差2π。
例1 求直流信号1的傅里叶变换
解 t 1
1 2π 1 2π
f (t)
1
0t
F j
2
0
例2 求1/t的频谱函数
解
sgn( t) 2
j
2 2 sgn( ) 2 sgn( )
a1, a2为常数
例： t 1 1 sgnt 22 F π 1 j
二．奇偶虚实性
1. 当f(t)是实函数
F( j ) f ( t )cost dt j f ( t ) sint dt
R( )
X ()
R( ) R( )
X ( ) X ( )
F ( j) F *( j)