Z变换详细讲解.pdf

(
z
z e
j0
z z e j0
)/2j
z2
z sin 0 2z cos0
1
余弦序列的 Z 变换:
ZT[e j0n ]
z z e j0
ZT[e j0n ]
z z e j0
ZT[cos 0n] ZT[(e j0n e ) j0n / 2]
(
z
z e
j 0
z z e j0
)/2
z(z cos0 ) z 2 2z cos0 1
•掌握Z变换的主要性质，特别是位移性和卷积定 理
•由连续信号的拉氏变换求离散（抽样） 信号的Z变换；S平面与Z平面的映象关 系
•离散系统的系统函数，单位样值(冲激) 响应及频率响应(意义，特点及求法)
•离散系统的构成
§8.1引言
*借助抽样信号的拉氏变换引出Z变换
抽样信号的拉氏变换：
xs (t) x(t).T (t) x(nT ) (t nT ) n0
§8.2.Z变换定义，典型序列的Z变换
*. 典型序列的Z变换(p375附录5）
• 单位样值序列 • 单位阶跃序列 • 斜变序列 • 指数序列 • 正弦余弦序列
(1) ZT[ (n)] (n)zn 1 (z 0)
n0
(2) ZT[ (n m)] (n m)zn
n0
(r) z(rm) zm ( p63 : 位移性）
n2
X (z) x(n)zn n
n n2
mn
nm
X (z) x(m)zm x(n)zn
圆内为收敛域，
若 n2 0
则不包括z=0点
m n2
nn2
j Im[z]
lim n x(n)zn 1
Rx2
n
lim n x(n) z 1
n
Re[ z]
z
1
lim n x(n)
Rx2
（1）右边序列：只在n n1 区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
X (z) x(n)zn nn1
n1 n
圆外为
收敛域
lim n x(n)zn 1
n
j Im[z]
lim n
n
x(n)
Rx1
z
Rx1
z Rx1
Re[ z]
收敛半径
（1）左边序列：只在n n2区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
x(n) Aa n 称x(n)为指数阶函数。
几类序列的收敛域
（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
n2
X (z) x(n)zn
n1 n n2
nn1
n1 0时，z 和n2 0时z 0外，所有z值都收敛
z 收敛域为除了0和 的整个 平面 j Im[z]
Re[ z]
例
ZT[ ne j0n ]
z
z e j0
ZT[ ne j0n ]
z
z e j0
ZT[ n cos 0n] ZT[ n (e j0n e ) j0n / 2]
z
z
( z e j0 z e j0 ) / 2
z2
z(z cos 0 ) 2z cos 0 2
(z )
§8.3 Z变换的收敛域(p49)
nu(n) z n
n0
1 (1 z1)2
z (z 1)2
ZT[anu(n)]
an z n
n0
1 1 az1
z
z a
( z a)
由此可以看出Z
变换的基本形式： z z-zm
正弦序列的 Z 变换:
ZT[e j0n ]
z z e j0
ZT[e j0n ]
z z e j0
ZT[sin 0n] ZT[(e j0n e ) j0n / 2 j]
.y(n) y(n 1) u(n) y(0) 1 求z.i.r和z.s.r. 解：＝1；齐次解yz.i.r (n) c 1n y (0) 1
求z.s.r y (0) y (0) 1 y (0) u(0) y (1) 1 求特解：y(n) an n
z.s.r yz.s.r (n) [c1(1n n)]u(n) 而而yy1((00))11 c11 yz.s.r (n) (1 n)u(n) 完全响应：y(n)=1+(n+1)u(n)
z.ir z.sr
本章要点(1) • Z变换的基本概念和基本性质 • 利用Z变换解差分方程 • 离散系统的系统函数 • 离散系统的频率响应 • 数字滤波器初步
本章要点(2)
•求序列的Z变换－利用Z变换的定义，借助Z变换 的性质，或采用幂级数展开法
•逆Z变换的确定－围线积分法（留数法）
部分分式法，幂级数展开法（长除法）。注意在 不同形式收敛域下逆变换的求法。
1,级数收敛。 1,级数发散。 1,不能肯定。
如果序列x(n)在每个有限的间隔内是有限的 且当n 时是指数阶的，则它的Z变换存在 于 z R之范围，这里R是收敛半径。 指数阶函数和指数阶序列之间存在着对应关系，
定义：如有一序列x(n)当n 时存在正数A, a和N 使所有的n N时都有
一.Z变换的收敛域
x(n)zn
n0
1.根据级数理论
2.借助于S平面与Z平面的映射
有限长序列
3.几类序列Z变换的收敛域 右边序列
左边序列
4.例子：
双边序列
lim *比项法：设
an1
1,级数收敛n。 an
1,级数发散。
1,不能肯定。
* 捡根法(柯西准则)
设：lim n an n
rm
(m 0 z 0, )
(m 0, z 0)
1
(3) ZT[ (n 1)] (n 1)zn (n 1)zn
n
n0
z1 0 z
(0 z )
ZT[u(n)]
u(n) z n
n0
Hale Waihona Puke Baidu
n0
zn
1
1 z
1
z
z 1
(z
1)
将上式两边分别对z1求导后，两边各乘z-1得
ZT[nu(n)]
对上式取拉氏变换：
xs (t)
0
xs
(t)estdt
0
n0
x(nT
)
(t
nT
)est
dt
交换积分与求和次序：
xs (s)
n0
x(nT )esnT ;令z
令：T
esT或s
1
1 T
ln
z
x(z) x(n)zn z esT z es
n0
定义：一个离散时间序列 x(n)的Z变换为Z 1的一个幂 级数（洛朗级数的特例)，Z 一般为复变数，每一项的系 数为x(n)相应的值数值。 （x(n)的生成函数 z n）
n
收敛半径
（1）双边序列：只在 n 区间内，
有非零的有限值的序列 x(n)
X (z) x(n)zn
n
n
1
X (z) x(n)zn x(n)zn