Z变换详细讲解.pdf
2.7 Z变换
本书只讨论第一种Z变换
பைடு நூலகம்
二、z变换的收敛域与零极点
1.收敛域：对于任意给定序列x(n)，使其z变换
X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 用符号ROC(range of convergence)表示。 根据级数理论，级数收敛的充要条件是：
n =−∞
∑
∞
x ( n) z
−n
≤
n =−∞
其z变换：X ( z ) =
n =−∞
∑
0
x(n ) z − n + ∑ x(n) z − n
n =1
n2
前式Roc: 0 ≤ z < Rx + 后式Roc: < z ≤ ∞ 0
∴当n2 ≤ 0时，Roc : 0 ≤ z < Rx+ 当n2 > 0时，Roc : 0 < z ≤ ∞ 即左边序列的收敛域是某个圆的内部 z < Rx+
列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。
2. X(z)在收敛域内不能有极点，故：
右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有 大 右边序列 限极点所在圆之外 之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 左边序列 小 限极点所在圆之内 之内
四、Z变换的基本性质与定理 变换的基本性质与定理 1、线性 、
若
则
Z [ x(n)] = X ( z ) Rx− < z < Rx+
例1 求x(n) = −a nu (−n − 1)的z变换及其收敛域 ：
解：X(z)= ∑ x(n) z = ∑ −a u ( −n − 1) z
−n n n =−∞ n =−∞ ∞ ∞ −n
= ∑ −a z = ∑ −a z
_2第二章z变换
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
Z变换详细讲解2
f (t)
j
F
(s)e
st
ds
由于z esT , dz Te sT
Tz
j
ds
f (t) f (nT ) f (n)
F (s) f (n)z n F (z) n
e sT e snT z n
ds 1 dz dz Tz z
j
j
c
10
f (n) 1 F (z)z n1dz 令z re j
n0
zm x(n m)z(nm) zm x(k)zk
n0
k m
zm
x(k ) z k
m1
x(k ) z k
k 0
k 0
zm
X
(z)
m1
x(k ) z k
k 0
15
（3）双边右移序列旳单边Z变换
X (z) x(n)u(n)zn n0
ZT[x(n m)u(n)] x(n m)zn
.画出下列系统函数所表示系统的建立级联和 并联形式的结构图。
H (z) 3z3 5z 2 10z z3 3z2 7z 5
解：
H
(
z
)＝
(
z z
(3z 2 1)(
z2
5z 10) 2z 5)
1 1 z 1
3 5z 1 1 2z 1
10z 2 5z2
1
H (z)
1 1 z1
br z r
r 0
N
ak zk
k 0
请注意这里 与解差分有 何不同？
因果！
22
（2）定义二：系统单位样值响应h(n) 旳Z变换
• 鼓励与单位样值响应旳卷积为系统零状
态响应
y(n) x(n)*h(n)
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
04第四讲 Z 变 换
这是一个环状区域.如果Rx->Rx+ ,则无公共收敛区域,X(z)无 收敛域,也即在Z平面的任何地方都没有有界的X(z)值,因此就不 存在Z变换的解析式, 这种Z变换就没有什么意义.
第2章 Z变换 例1-9 x(n)=a|n|, a为实数,求其Z变换及收敛域. 解 这是一个双边序列,其Z变换为
X ( z) =
n
(1-54)
式中,z是一个复变量,它所在的复平面称为Z平面.我们常用Z [x(n)]表示对序列x(n)进行Z变换,也即
Z [ x(n)] = X ( z )
(1-55)
第2章 Z变换 这种变换也称为双边Z变换,与此相应的单边Z变换的定义如下:
X ( z ) = ∑ x ( n) z n
n =0
n
= ∑a z
n =0
∞
n n
1 = ∑ (az ) = 1 az 1 n =0
1 n
∞
|z|>|a| 这是一个无穷项的等比级数求和,只有在|az-1|<1即|z|>|a|处收敛 如图1-24所示.故得到以上闭合形式的表达式,由于 ,
故在z=a处有一极点(用"×"表示),在z=0处有一个零点(用"○" 表示),收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部.
∞
(1-56)
这种单边Z变换的求和限是从零到无穷,因此对于因果序列, 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的.单边Z变换只有在少 数几种情况下与双边Z变换有所区别.比如,需要考虑序列的起 始条件,其他特性则都和双边Z变换相同.本书中如不另外说明, 均用双边Z变换对信号进行分析和变换.
第2章 Z变换 2. Z变换的收敛域 变换的收敛域 显然,只有当式(1-54)的幂级数收敛时,Z变换才有意义. 对任意给定序列x(n),使其Z变换收敛的所有z值的集合称为 X(z)的收敛域. 按照级数理论,式(1-54)的级数收敛的充分必要条件是满 足绝对可和的条件,即要求
第三章Z变换(数字信号处理)
n2
X (z) x(n)zn
n
第三章 序列的Z变换
当 n2≤0
n2
n2
n2
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
n
n
n
当 n2>0
n2
0
n2
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
n
n
n 1
第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=∞点 不收敛）。 第一项根据前式的论述，当
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F(z), a] Re s[F(z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最后将x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列， 无须计算n≥0情况， 当n≥0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极 点留数之和
Z R 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域
第二章Z变换
20
❖ 例：已知x(n)=cos(ω0n)u(n)，求它的z变换。 解：
Z
[cos(
0
n
)u
(
n
)]＝
Z
e
j
0
n
e j0n 2
u(n)
1 2
e j0nu(n)
1 2
e j0nu(n)
因为已知
试利用部分分式法求Z反变换。
X (z)
z2
,
( z 2 )( z 0 .5 )
| z | 2
X (z)
z
z ( z 2 )( z 0 .5 )
X (z)
z
A1 A2
z ( z 2 )( z 0 .5 ) z 2 z 0 .5
A1
(
z
2)
X
(z) z z 2
z
z 0 . 5 z 2
1
２．１ ２．２ ２．３ ２．４
２．５
Ｚ变换的定义与收敛域 Ｚ反变换 Ｚ变换的基本性质和定理 序列的Ｚ变换与连续信号的拉普拉斯 变换、傅立叶变换的关系 离散系统的系统函数、系统的频率响 应
2
２．１ Ｚ变换的定义与收敛域
２．１．１ Ｚ变换的定义
对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为
X(z) x(n)zn n
超前。
证：Z [ x ( n m ) ] x ( n m ) z n z m x ( k ) z k z m X ( z )
n
k
对双边序列，移位后收敛域不会发生变化；但是 单边序列在z=0或z=∞处收敛域可能有变化．
例如，Z[δ(n)=1]=1，在z平面处处收敛，但是
第2章--Z变换及Z传递函数
F(z)
z za
z z eaT
z sin T z2 2z cosT 1
z(z cosT ) z2 2z cosT 1
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
则：
fi (kT )
1
ai z z zi
i 1, 2, , n
n
f * (t) fi (kT) (t kT) k 0 i1
第2章 Z变换及Z传递函数
3．留数法
设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换 f(kT)值，可由下式计算
f (kT ) 1 F (z)
1
i0
则
G(z)
F(z) 1 z 1
7．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F(z) z
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (t)eat F(z eaT )
9．微分定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
G1 (z) G2 (z)
第2章 Z变换及Z传递函数
由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的 Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。
在一般情况下，很容易证明：
G1G2 (z) G1 (z) G2 (z)
在进行计算时，应引起注意。
第2章 Z变换及Z传递函数
pi )F (z)zk1
n
f
(kT )
z变换通俗理解
z变换通俗理解摘要：1.Z 变换的定义与背景2.Z 变换的性质3.Z 变换的应用领域4.Z 变换与其他变换的关系5.Z 变换的局限性及发展前景正文：Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。
它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
1.Z 变换的定义与背景Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。
Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。
2.Z 变换的性质Z 变换具有以下几个重要性质：（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。
3.Z 变换的应用领域Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。
例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。
4.Z 变换与其他变换的关系Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。
Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。
在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。
5.Z 变换的局限性及发展前景尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。
为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。
Z变换定义与性质
z sin0
z2 2z cos0 1
尺度变换性质
如果： f (n) F (z)
则： a n f (n) F ( z )
a
若 a = -1： (1)n f (n) F (z)
a0
a可为实数或复数
例2
f (n) an (n)
(n) z
z 1
an (n)
z
a z 1
z za
a
尺度变换性质
Z变换的性质
线性性质 尺度变换性质 时移性质 z域微分特性 卷积和特性
线性性质
如果： f1(n) F1(z)
f2 (n) F2 (z)
则： af1(n) bf2 (n) aF1(z) bF2 (z)
例1：
Z sin(0n) (n)
1 2 j
z z e j0
z z e j0
故
F(z) z za
za
图1 右边序列的收敛域
右边序列的收敛域是Z平面以原点为圆心，
以 a 为半径的圆外区域。
z变换定义和收敛域
。
例2 已知 f (n) bn(n 1),求其双边Z变换及收敛域
解
1
F(z) bn zn (b1z)n 1 (b1z)n
n
n1
n0
1
lim
n
1 (b1z)n 1 b1z
n0
记为： F (z) Z f (n)
称为序列f (n) 的 双边z变换
称为序列f (n) 的 单边z变换
原函数
Z反变换的定义
Ñ f (n) 1
F (z)zn1dz
2π j c
z变换对： f (n) Z -1 F ( z)
简记为： f (n) F(z)
Z变换
数字信号处理第四章Z变换授课教师：胡双红QQ:79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院教学内容Z变换意义Z变换定义Z变换性质Z反变换Z域系统描述差分方程Z变换意义总结DTFT：)便于计算正弦稳态响应；＋利用H(e jw)乘以H(e jw)，可计算LTI系统对绝对可加序列x(n)的响应＋将X (e jw－有用信号u(n)、nu(n)，由于不是绝对可加，DTFT不存在－系统由初始条件或者变化输入引起的暂态响应不能应用DTFT计算针对上述特点，我们引入DTFT的推广：Z变换。
其双边形式提供另一种域：Z域，使很大一类序列和系统都能在其中分析；其单边形式能用于在初始条件或变化输入下求系统响应。
§4.1 双边Z变换定义要点Z变换计算ROC性质定义：要点①复频率z=|z|e jw ，其中|z|为幅度，w 是实频率。
②ROC 是用幅度|z|定义的，所以其形状为圆环。
③如果R x+< R x-，则ROC 是一个零空间，z 变换不存在。
④函数|z|=1(即z=e jw )是z 平面内的单位圆，如果ROC 包括单位圆，在单位圆上对X(z)求值因此离散时间傅里叶变换X(e jw )也称为z 变换X(z)的特例. ⑤ROC 是一个鉴别特征，保证z 变换的唯一性。
()[]n x e n x e X z X n jw jw e z jw Ζ===∑∞−∞=−=)()(|)(例1变换求小结：ROC性质ROC总被某个圆所界定，因收敛条件由幅度|z|决定ROC是一个连通的区域，不会分成几片。
ROC内不包含极点；至少有一个极点位于ROC的边界上;右序列(n>n0)的ROC总是位于半径为Rx-的圆外；左序列(n<n0)的ROC总是位于半径为Rx+的圆内；双边序列的ROC总是一个位于Rx-<|z|< Rx+的圆环。
有限长序列(n2<n<n1)的ROC是整个z平面；若n1<0 ，ROC 不包括z=∞，若n2>0，ROC 不包括z=0；§4.2 z变换的性质性质常见信号Z变换利用conv_m计算表达式乘积 复杂信号z变换简单计算复共轭1 zz ∀变换3⎦⎣解：应用样本移位性质，ROC不变matlab确认>> b=[0,0,0,0.25,-0.5,0.0625];>>a=[1,-1,0.75,-0.25,0.0625];>> [delta,n]=impseq(0,0,8);x =1 0 0 0 0 0 0 0 0>> x=filter(b,a,delta)x =0 0 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 0.0938 >>x=[(n-2).*(0.5).^(n-2).*cos(pi*(n-2)/3)].*stepseq(2,0,8) x =0 0 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 0.0938例：设X1(z)=z+2+3z-1和X2(z)=2z2+3z+4+5z-1，求X3(z)=X1(z)X2(z)。
《信号与系统》第十章Z变换【最经典的奥本海默信号与系统课件,PDF版】
x[ n] z
n
n
a z
n n 1
1
n
a z 1 a z 1 1 1 a z 1 az n 1
1 即 a u[ n 1] 1 1 az
n Z
z a
说明： 1）Z变换由代数表达式和收 敛域组成； 2）例1和例2的零极点图和收 敛域如图所示. 3）如果X(z)的ROC包括单位 圆，则x[n]的DTFT 存在。
3. Z域尺度变换：
X ( z / z0 ) z R 时 X ( z )收敛，故 | z / z0 | R 时，
0
收敛。 j z e z z0 R 当 0 时，即为频移特性。 若 z0是一般复数
0 z0 r0 e j，则 X ( z / z0 )的零极点
不仅要将 X ( z ) 的零极点逆时针旋转一个角 度0 ，而且在径向有 r0 倍的尺度变化。
lim( z 1) X ( z ) Res[ X ( z ),1]
z 1
Z平面上极点位置与信号模式的关系示意图
10.3 Z-反变换
一.Z-反变换：
The Inverse Z-Transform
令
z re
j
dz jre d jzd
j
当ω从0→2π时，z沿着ROC内半径为 r 的圆变化一周。 其中 C 是 ROC 中逆时针 方向的圆周。 二. 反变换的求取： 1. 部分分式展开法： 当X(z)是有理函数时，可将其展开为部分 分式 Ai X (z) 1 1 aiz i
Properties of the Z-transform
Z变换的许多性质与DTFT的性质相似，其 推 论方法也相同。故主要讨论ROC的变化。 1. 线性：
《z变换的性质》课件
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
实验四_Z变换
实验四 Z 变换【实验目的】 通过MATLAB 仿真离散时间系统，研究其时频域特性，加深对离散系统的冲激响应，频率响应分析和零极点分布概念和理解。
【实验原理】1.Z 变换原理（1）.Z 变换 在数字信号处理的分析方法中，除时域分析方法外，还有变换域分析方法。
后者通常指Z 变换和傅里叶变换法。
变换域分析的最大优点是将离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化，也使得对系统的特性分析更为方便。
对于离散时间信号，设序列为x (n )，则其Z 变换定义为： ，其中z 为复变量，是一个以时部为横坐标，虚部为纵坐∑+∞-∞=-=n n z n x z X )()(标构成的平面上的变量。
Z 变换记作，X (z )存在的z 的集合称为收敛域])([ )(n x z X Z =（ROC ），一般为+-<<x x R z R 由于ROC 是由定义的，因此一般为环形区域。
根据ROC 的特点，可以判定序列是右边序z 列、左边序列、双边序列等。
Z 变换具有一些重要的特性，是傅里叶变换的推广，包括线性、时移特性、频移特性、尺度变换、共轭、翻褶、Z 域微分、序列相乘、序列卷积等一系列性质。
（2）.系统函数离散线性时不变（LTI ）系统的系统函数H (z )定义为：H (z ) = Z[h (n )] = (4.4)∑+∞-∞=-n n z n h )(若用差分方程表示系统，则有 )k -n (b )k -n (a M 0k k N0k x y k ∑∑===如果系统起始状态为零，直接对上式的两边Z 变换，并利用移位特性，有 ∑∑=-=-==N 0M 0)()()(k k k k k k z a z b Z X z Y z H 因此，系统函数H (z )的分子和分母的系数正好等于差分方程的系数。
归一化，即使得0a y (n )前的参数为1，此时可以对上式的分子、分母进行因式分解，可得∏∏=-=-=N k k M m z z z H 1111m )p -(1)c -(1K )(得到系统的增益函数K 、零点、极点。
第5章Z变换
基本要求
Z变换
1、深刻理解Z变换的定义，收敛域和基本 性质 2、会根据Z变换的定义和性质求一些常用 序列的Z变换 3、深刻理解Z变换与拉普拉斯变换的关系 4、正确理解Z变换的性质的应用条件 5、能用幂级数展开法、部分分式法及留数
法求Z反变换
1
第五章
5.1
5.2
Z变换
Z变换及其收敛域
Z反变换
2
5.1
Z变换及其收敛域
一、由抽样信号的拉氏变换引出Z变换
设xs(t)是连续信号x(t)的理想抽样信号，
则
xs (t ) x(t ) T (t ) x(nT ) (t nT )
n 0
其中T为抽样时间 对上式两边取拉氏变换，得到：
X S ( s) xs (t )e dt
在一个收敛半径Rx2，级数在以原点为中心、
Rx2为半径的圆内绝对收敛
综合此两项，左边序列的收敛域为
jIm[z]
0 z Rx 2
0
Re[z]
16
3、收敛域的形式
双边序列
这类序列是指当n为任意值时，x(n)皆有值的序列，可 看作一个左边序列和一个右边序列之和。 其Z变换为
X ( z)
n
nz
n
z 2 ( z 1)
4、指数序列 a nu(n)
的Z变换
n n
z a u( n ) a u( n ) z
n n 0
(az )
n 0
1 n
当
az
1
1 ，级数收敛
1 z z a u(n ) 1 za 1 az
Z变换详解
第四章 Z 变换1 Z 变换的定义(1) 序列)(n x 的ZT ：[]∑∞=-==0)()()(n n z n x n x Z z X(2) 复变函数)(z X 的IZT ：[])()(1z X Z n x -=，s e z =是复变量。
(3) 称)(n x 与)(z X 为一对Z 变换对。
简记为)()(z X n x ZT⇔或 )()(z X n x ⇔(4) 序列的ZT 是1-z 的幂级数。
n z -代表了时延，1-z 是单位时延。
(5) 单边ZT ：[]∑∞=-∆==0)()()(n n z n x z X n x Z(6) 双边ZT ：[]∑∞-∞=-∆==n n B B z n x z X n x Z )()()(2 ZT 收敛域ROC(1) 定义：使给定序列)(n x 的Z 变换)(z X 中的求和级数收敛的z 的集合。
(2)∑∞-∞=-n nzn x )(收敛的充要条件是它∞<∑∞-∞=-n n z n x )((3) 判别其收敛性的方法：(对∑∞=0n na )(i)比值法：⎪⎩⎪⎨⎧=><ρ=+∞→不一定发散收敛,1,1,1lim 1n n n a a(ii)根值法：⎪⎩⎪⎨⎧=><ρ=→∞不一定发散收敛,1,1,1limnnn a (4) 有限长序列的ROC(i) 序列)(n x 在1n n <或2n n >(其中21n n <)时0)(=n x 。
(ii) 收敛域至少是∞<<z 0。
(iii)序列的左右端点只会影响其在0和∞处的收敛情况： (a) 当0,021><n n 时，收敛域为∞<<z 0(∞=,0z 除外) (b) 当0,021≤<n n 时，收敛域为∞<≤z 0(∞=z 除外) (c) 当0,021>≥n n 时，收敛域为∞≤<z 0(0=z 除外)(4) 右边序列的ROC(i) 序列)(n x 在1n n <时0)(=n x 。
第十章Z变换
1
n
m
j Im[z ]
圆内为收敛域，若 n2 0 则不包 括z=0点，这里包括0点。
Rx2
Re[z]
1 3
16
例10.7：求有限长序列
8
1 x ( n) [u ( n) u ( n 8)] 3
n
n
的z变换。
1 8 z 8 ( 1 )8 1 1 1 ( 1 z ) 3 3 解：X ( z ) z 7 1 1 z 1 z (z 1) 3 n 0 3 3
n 0
z 1 1 z b z b
Im
Z平面
Re
b 1/b
1 ROC : b z b
18
§10.3 Z变换的逆变换
The Inverse Z-Transform
由 所以
X z X re j F xnr n
xnr n F 1 X re j
11
例10.5 求x n n , x n n n 1, x n n n 1 的Z变换。看ROC是否包含0和 ？ 性质4：如果 x[n] 是一右边序列，|z|=r0的圆位于ROC内， 那么|z|>r0的全部有限值都一定在这个ROC内，但可能不包 括
1 X re (re ) d X z z n1dz 2j 2
j j n
Z反变换公式
积分域为：收敛域内任一圆周。为什么？
与拉普拉斯反变换类似，还有另外的较为简单
的方法可以求得与X(z)相对应的序列。常用有两种： （1）部分分式法
（2）幂级数展开法
20
（1）部分分式法 当 X ( z ) 是有理函数时，可将其展开为部分分式：
Z变换详细讲解1
几类序列的收敛域
（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
n2
X (z) x(n)zn
n1 n n2
nn1
n1 0时，z 和n2 0时z 0外，所有z值都收敛
z 收敛域为除了0和 的整个 平面 j Im[z]
Re[ z ]
.y(n) y(n 1) u(n) y (0) 1 求z.i.r和z.s.r.
解：＝1；齐次解yz.i.r (n) c 1n y (0) 1
求z.s.r y (0) y (0) 1 y (0) u(0) y (1) 1 求特解：y(n) an n
z.s.r yz.s.r (n) [c1(1n n)]u(n) 而而yy1((00))11 c11 yz.s.r (n) (1 n)u(n) 完全响应：y(n)=1+(n+1)u(n)
z0 8 13(0.5)1
2 8 13(0.5) 3.5
（2）部分分式法
X
(z)
b0 b1z br1zr1 br zr a0 a1z ak1zk1 ak zk
只有一 阶极点
kr
A0
b0 a0
X
(z)
A0
k m1
Am z z pm
k r A0 0
X
(z)
k
m1 1
Am pm z 1
x(n) Re s[ X (z)z n1]zzm
n
Re
s
z3 2z2 1 z(z 1)(z 0.5)
z
n1
z zm
n 2, n 0, n 1,
z1 1, z1 1, z1 1,
z2 0.5 z2 0.5, z2 0.5,
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•由连续信号的拉氏变换求离散（抽样） 信号的Z变换；S平面与Z平面的映象关 系
•离散系统的系统函数，单位样值(冲激) 响应及频率响应(意义，特点及求法)
•离散系统的构成
§8.1引言
*借助抽样信号的拉氏变换引出Z变换
抽样信号的拉氏变换：
xs (t) x(t).T (t) x(nT ) (t nT ) n0
n2
X (z) x(n)zn n
n n2
mn
nm
X (z) x(m)zm x(n)zn
圆内为收敛域，
若 n2 0
则不包括z=0点
m n2
nn2
j Im[z]
lim n x(n)zn 1
Rx2
n
lim n x(n) z 1
n
Re[ z]
z
1
lim n x(n)
Rx2
n
收敛半径
（1）双边序列：只在 n 区间内，
有非零的有限值的序列 x(n)
X (z) x(n)zn
n
n
1
X (z) x(n)zn x(n)zn
rm
(m 0 z 0, )
(m 0, z 0)
1
(3) ZT[ (n 1)] (n 1)zn (n 1)zn
n
n0
z1 0 z
(0 z )
ZT[u(n)]
u(n) z n
n0
n0
zn
1
1 z
1
z
z 1
(z
1)
将上式两边分别对z1求导后，两边各乘z-1得
ZT[nu(n)]
z.ir z.sr
本章要点(1) • Z变换的基本概念和基本性质 • 利用Z变换解差分方程 • 离散系统的系统函数 • 离散系统的频率响应 • 数字滤波器初步
本章要点(2)
•求序列的Z变换－利用Z变换的定义，借助Z变换 的性质，或采用幂级数展开法
•逆Z变换的确定－围线积分法（留数法）
部分分式法，幂级数展开法（长除法）。注意在 不同形式收敛域下逆变换的求法。
x(n) Aa n 称x(n)为指数阶函数。
几类序列的收敛域
（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
n2
X (z) x(n)zn
n1 n n2
nn1
n1 0时，z 和n2 0时z 0外，所有z值都收敛
z 收敛域为除了0和 的整个 平面 j Im[z]
Re[ z]
.y(n) y(n 1) u(n) y(0) 1 求z.i.r和z.s.r. 解：＝1；齐次解yz.i.r (n) c 1n y (0) 1
求z.s.r y (0) y (0) 1 y (0) u(0) y (1) 1 求特解：y(n) an n
z.s.r yz.s.r (n) [c1(1n n)]u(n) 而而yy1((00))11 c11 yz.s.r (n) (1 n)u(n) 完全响应：y(n)=1+(n+1)u(n)
nu(n) z n
n0
1 (1 z1)2
z (z 1)2
ZT[anu(n)]
an z n
n0
1 1 az1
z
z a
( z a)
由此可以看出Z
变换的基本形式： z z-zm
正弦序列的 Z 变换:
ZT[e j0n ]
z z e j0
ZT[e j0n ]
z z e j0
ZT[sin 0n] ZT[(e j0n e ) j0n / 2 j]
1,级数收敛。 1,级数发散。 1,不能肯定。
如果序列x(n)在每个有限的间隔内是有限的 且当n 时是指数阶的，则它的Z变换存在 于 z R之范围，这里R是收敛半径。 指数阶函数和指数阶序列之间存在着对应关系，
定义：如有一序列x(n)当n 时存在正数A, a和N 使所有的n N时都有
对上式取拉氏变换：
xs (t)
0
xs
(t)estdt
0
n0
x(nT
)
(t
nT
)est
dt
交换积分与求和次序：
xs (s)
n0
x(nT )esnT ;令z
令：T
esT或s
1
1 T
ln
z
x(z) x(n)zn z esT z es
n0
定义：一个离散时间序列 x(n)的Z变换为Z 1的一个幂 级数（洛朗级数的特例)，Z 一般为复变数，每一项的系 数为x(n)相应的值数值。 （x(n)的生成函数 z n）
一.Z变换的收敛域
x(n)zn
n0
1.根据级数理论
2.借助于S平面与Z平面的映射
有限长序列
3.几类序列Z变换的收敛域 右边序列
左边序列
4.例子：
双边序列
lim *比项法：设
an1
1,级数收敛n。 an
1,级数发散。
1,不能肯定。
* 捡根法(柯西准则)
设：lim n an n
例
ZT[ ne j0n ]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
z e j0
ZT[ ne j0n ]
z
z e j0
ZT[ n cos 0n] ZT[ n (e j0n e ) j0n / 2]
z
z
( z e j0 z e j0 ) / 2
z2
z(z cos 0 ) 2z cos 0 2
(z )
§8.3 Z变换的收敛域(p49)
§8.2.Z变换定义，典型序列的Z变换
*. 典型序列的Z变换(p375附录5）
• 单位样值序列 • 单位阶跃序列 • 斜变序列 • 指数序列 • 正弦余弦序列
(1) ZT[ (n)] (n)zn 1 (z 0)
n0
(2) ZT[ (n m)] (n m)zn
n0
(r) z(rm) zm ( p63 : 位移性）
(
z
z e
j0
z z e j0
)/2j
z2
z sin 0 2z cos0
1
余弦序列的 Z 变换:
ZT[e j0n ]
z z e j0
ZT[e j0n ]
z z e j0
ZT[cos 0n] ZT[(e j0n e ) j0n / 2]
(
z
z e
j 0
z z e j0
)/2
z(z cos0 ) z 2 2z cos0 1
（1）右边序列：只在n n1 区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
X (z) x(n)zn nn1
n1 n
圆外为
收敛域
lim n x(n)zn 1
n
j Im[z]
lim n
n
x(n)
Rx1
z
Rx1
z Rx1
Re[ z]
收敛半径
（1）左边序列：只在n n2区间内，有非零的有限值的序列 x(n)