2020-2021备战中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细答案

2020-2021备战中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细

答案

一、直角三角形的边角关系

1．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=81

4

．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒

5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=9

5

S△QCN时，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【答案】（1）coaA=4

5

；（2）当t=

3

5

时，满足S△PQM=

9

5

S△QCN；（3）当t=2733

-s或

2733

+s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【解析】

分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=9

5

S△QCN构建方程即可解决问题；

（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；

详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=1

2

•AC•BE=

81

4

，

∴BE=92， 在Rt △ABE 中，AE=

22=6AB BE -， ∴coaA=647.55

AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．

∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ，

∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2，

∵S △PQM =

95S △QCN ， ∴3•PQ 2=935⨯•CQ 2， ∴9t 2+（9-9t ）2=

95

×（5t ）2， 整理得：5t 2-18t+9=0， 解得t=3（舍弃）或

35． ∴当t=35时，满足S △PQM =95

S △QCN ． （3）①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．

易知：PM ∥AC ，

∴∠MPQ=∠PQH=60°，

∴3，

∴39-9t ），

∴t=2733

26

-．

②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．

同法可得PH=3QH，

∴3t=3（9t-9），

∴t=27+33

26

，

综上所述，当t=2733

26

-s或27+33s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN 的边上．

点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且

MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．

（1）求证：△MED∽△BCA；

（2）求证：△AMD≌△CMD；

（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=17

5

S1时，求cos∠ABC的

值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .

【解析】

【分析】

（1）易证∠DME=∠CBA ，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED ∽△BCA ；

（2）由∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点，可知MB=MC=AM ，从而可证明

∠AMD=∠CMD ，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD ≌△CMD ；

（3）易证MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ，所以21

14

ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，所以S △MCB =12S △ACB =2S 1，从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25

S 1，由于1EBD S ME S EB =V ，从而可知

52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ，从而可求出AB=14x ，BC=72

，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．

【详解】

（1）∵MD ∥BC ，

∴∠DME=∠CBA ，

∵∠ACB=∠MED=90°，

∴△MED ∽△BCA ；

（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点，

∴MB=MC=AM ，

∴∠MCB=∠MBC ，

∵∠DMB=∠MBC ，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ，

∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，

∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ，

∴∠AMD=∠CMD ，

在△AMD 与△CMD 中， MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△AMD ≌△CMD （SAS ）；

（3）∵MD=CM ，

∴AM=MC=MD=MB ，

∴MD=2AB ，

由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴21

14

ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ， ∴S △ACB =4S 1，

∵CM 是△ACB 的中线，