3.1.1《不等关系与不等式》(人教版必修5)

某人为自己制定的月支出计划中，规定
手机费不超过150元，他所选用的中国电
信卡的收费标准为：
月租费 每分钟通话费
中国电信卡
30元
0.40元
求这个人月通话时间的取值范围。 即：30+0.4x≤150. 解得x≤300.
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我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式。
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例1．比较x2－x与x－2的大小。
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0， 所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2.
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例2．当p，q都是正数且p+q=1时，试比 较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。 解：(px+qy)2－(px2+qy2)
4x y 10
分析:设分别生产 甲．乙两种肥料为 x吨,y吨
18x 15y 66 x 0 y 0
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在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别 为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有 以下三种：
（1）点A和点B重合； （2）点A在点B的右侧； （3）点A在点B的左侧。 在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由 此可得到结论： 对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立。
3.1.1 不等关系与不等式
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在考察事物之间的数量关系时，经常
要对数量的大小进行比较，我们来看下
面的例子。 国际上常用恩格尔系数（记为n）来衡
量一个国家和地区人民的生活水平的高低。
它的计算公式是
n
食品消费额 消费支出总额 100%
。
有关机构还制定了各种类型的家庭应达 到的恩格尔系数的取值范围：
例 3 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
=p(p－1)x2+q(q－1)y2+2pqxy.
因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p， 因此(px+qy)2－(px2+qy2)
=－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，
因为p，q为正数，因此(px+qy)2<px2+qy2. 当且仅当x=y时，不等式中等号成立。
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数轴上的任意两点中，右边点对应的 实数比左边点对应的实数大。
AO
x B
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练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长 为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式组？
分析:
设698mm与 518mm分别x 与y个
698x 518y 4000
x 0
等式是：___v_≤_4_0___
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于 2.3%，用不等式可以表示为：( )
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
C.
f ≥ 2.5%
p
≥
2.3%
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2
2
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2. 比较 x 3 与 x2 x 1的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
∵ x2+1>0，
=(x－1)(x2+1),
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1， 当x<1时，x3<x2－x+1.
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家庭 类型
n
贫穷 n>60%
温饱
小康
富裕
50%<n≤6 40%<n≤5 30%<n≤4
0%
0%
0%
最富裕 n≤30%
例．根据某乡镇家庭抽样调查的统计，2003年 每户家庭年平均消费支出总额为1万元，其中食 品消费额为0.6万元。预测2003年后，每户家庭 年平均消费支出总额每年增加3000元，如果 2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平 （即恩格尔系数n满足条件40%<n≤50%），试 问这个乡镇每户食品消费额平均每年的增长率 至多是多少？（精确到0.1）
∴Leabharlann Baidum b 0∴bm b
am a
am a
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课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 2)2 _<____ 6 2 6;
< ⑵ ( 3 2)2 ____( 6 1)2;
⑶ 1 __<____ 1 ;
52
6 5
> ⑷若0 a b ， log1a ____ log1 b.
y
0
x, y N
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练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，
生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐
4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要
的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有
库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上
进行生产。请用不等式组把此实例中的不等
关系表示出来。
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如果a－b是正数，则a>b；如果a>b， 则a－b为正数；
如果a－b是负数，则a<b；如果a<b， 则a－b为负数；
如果a－b等于零，则a=b；如果a=b， 则a－b等于零。
通常，“如果p，则q”为正确命题，则 简记为p q ，读作“p推出q”.
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如果 p q且q p 都是正确的命题，记为
p q 读作“p等价于q或q等价于p”。
上述结论可以写成：
ab0a b
a b 0 a b
ab0a b
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判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0
作差比较法
abab0
这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
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现实世界和日常生活中，既有相等 关系，又存在着大量的不等关系，如： 1、今天的天气预报说：明天早晨最低温 度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
7℃≤t≤13℃ 2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
AB+AC>BC或……
3、a是一个非负实数。 a≥0
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4、右图是限速40km/h的路标，指 示司机在前方路段行驶时，应使汽 车的速度v不超过40km/h ，写成不
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例 4 已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
ab ma ab bm (a m)a
m(a b) (a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0