人教版九年级数学上册圆的基本性质练习题一.doc
人教版九年级数学上册 圆的基本性质 专题训练(含答案)
人教版九年级数学上册 圆的基本性质 专题训练一、单选题1．如图，AB 是⊙O 的直径，若⊙BAC=35°，则⊙ADC=（ ）A ．35°B ．55°C ．70°D ．110°2．如图，两弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD ⊥，若30A ∠=︒，则弧BD 的度数为（ ）.A ．30°B ．50︒C ．60︒D ．70︒ 3．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若110ADC ∠=︒，则AOC ∠的度数是（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒ 4．下列说法中，正确的是（ ）A ．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C ．90°的圆周角所对的弦是直径D ．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．5．已知在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3，则⊙O 的面积是（ ） A ．9π B ．16π C ．25π D ．64π 6．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，若056=∠OBC ，则A ∠的度数是（ ）.A ．28︒B ．30︒C ．34︒D ．56︒7．如图，在同圆中，弧AB 等于弧CD 的2倍，试判断AB 与2CD 的大小关系是（ ）A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．不能确定 8．如图所示，⊙O 的半径为13，弦的长度是24，ON AB ⊥,垂足为N ，则ON =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．119．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，若⊙OAB ＝26°，则⊙C 的大小为（ ）A ．26°B ．52°C ．60°D ．64°10．已知⊙ABC 内接于⊙O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，若⊙B ＝60°，⊙C ＝50°，则⊙ADB 的度数是（ ）A ．70°B ．80°C ．82°D ．85°11．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，点P 是弧BE 的一点，则⊙CPD 的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°12．如图, BC 是O e 的直径，AB 切⊙O 于点B ，8AB BC ==，点D 在⊙O 上，DE AD ⊥交BC 于E ，3BE CE =，则AD 的长是( )A B C ． D ．二、填空题13．如图，⊙O 中，直径20cm CD =，弦AB CD ⊥于点M ，:3:2OM MD =，则AB 的长是________cm .14．如图，⊙O 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知30OBA ∠=︒，点A 的坐标为()2,0，则点D 的坐标为________.15．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，使弧AB 经过圆心O ，则⊙OAB=_______°.16．若⊙O 的半径为4cm ，弦AB ＝4cm ，则点O 到AB 的距离为_____cm ．17．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60o ，则该直尺的宽度为____________cm ．18．如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，AB ＝10，BC ＝6，过O 作OE ⊙AB 交AC 于点E ，则OE 的长为_____．19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长CO 交圆于点E ，连接BE .若110A ∠=︒，70E ∠=︒ ，则OCD ∠=__________度.20．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，⊙ABD ＝58°，则⊙BCD ＝_____．三、解答题21．如图，已知⊙O 的直径6AB =，E 、F 为AB 的三等分点，M 、N 为»AB 上两点，且MEB NFB ∠=∠60︒=，求EM FN +的值.22．如图，已知AB 、MD 是⊙O 的直径，弦CD⊙AB 于E ．（1）若CD=16cm ，OD=10cm ，求BE 的长；（2）若⊙M=⊙D ，求⊙D 的度数．23．如图，BC 为⊙O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，点A 是弧BF 的中点，BF 和AD 相交于E ，求证：AE BE =．24．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切O e 于点A ，连结BC 交O 于点D ，E 是⊙O 上一点，且与点D 在AB 异侧，连结DE（1）求证：C BED ∠=∠；（2）若50C ∠=︒，2AB =，则»BD的长为（结果保留π）25．如图，AD 是⊙O 直径，B ，C 是圆上点且在AD 同侧．（1）如果30COD ︒∠=，则ACO ∠=________°．（2）如果2BOC COD ∠=∠，45BAD ∠=︒，求BAC ∠度数．26．如图，AB 是⊙O 的一条弦，C 、D 是⊙O 上的两个动点，且在AB 弦的异侧，连接CD ．（1）若AC=BC，AB平分⊙CBD，求证：AB=CD；（2）若⊙ADB=60°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值．参考答案1．B2．C3．D4．C5．C6．C7．B8．A9．D10．B11．B12．A13．1614．（0， 15．3016．1718．154 19．50° 20．32°．21 22．（1）4cm ；（2）30° 23．略 24．（1）略；（2）59π 25．（1）15（2）30BAC ∠=︒26．（1）略；（2．。
人教版九年级数学上册圆的基本性质习题.docx
初中数学试卷桑水出品圆的性质习题一、填空题1．圆可以看作是________________________________________________。
2．圆外一点到圆上点的最小距离为3cm，最大距离为9cm，那么这个圆的半径长为______cm 3．在半径为5cm的圆内有两条平行弦，分别为6cm和8cm，则两弦之间的距离为_____________cm.4．如图，在⊙O中，AB是直径，AB//CD，弧CD的度数为800，则∠AOC=______度。
5．若圆的一条弦把圆分成1：3的两段弧，则劣弧所对的圆周角为___________度。
6．圆内接四边形，∠A：∠B：∠C的度数比是2：3：7，则∠D的度数为____度。
7．⊙O的半径为10cm，弦AB的长是12cm，则AB的弦心距是__________cm。
8．内接于圆的平行四边形一定是__________。
二、选择题9．下面几个命题中正确的是（）A．任意一个平行四边形一定有外接圆B．任意一个平行四边形一定没有外接圆C．一个平行四边形可能有外接圆，也可能没有外接圆D．菱形一定有外接圆10．下列正确的命题是（）A．三点确定一个圆；B．任意三角形都有并且只有一个外接圆C．经过圆心且平分弦的直线，垂直于这条弦；D．直角所对的弦是直径11．已知：弧AB和弧CD是同圆上的两条劣弧，并且AB=2CD则（）A．AB=2CD B．AB<2CD C．AB>2CD D．AB与2CD大小无法确定12．下列正确的命题是（）A．圆心角相等，则它们所对的弧相等B．圆心角相等，则它们所对的弦相等C．弦相等，则它们所对的圆心角相等D．在同圆或等圆中，弦相等则它们所对的劣弧相等13．圆的弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数为（ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．30°或150°14．在半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ）338.8.34.32.D C B A15．如图，在⊙O 中，A ，B ，C 是圆上三点，若∠BOC=K ∠AOB ，那么∠CAB 是∠ACB 的（ ）倍倍倍倍2.1.2..KD K C K B K A16．AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，∠CAD=300，OB ⊥AD 交AC 于B ，OB=5，那么BC 等于（）235.33.5.3.-+D C B A三、解答下列各题17．如图，AC ⊥BC ，以C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于D ，已知AC=5 BC=12求：AD 的长18．已知：如图AB ，CD 是⊙O 的直径，AE 是弦且AE//CD ，求证：EC=BC19．如图AB 是⊙O 直径，CD ⊥AB ，M 是AC 上一点，AM 延长线交DC 延长线于F.求证：∠AMD=∠FMC⌒20．直线OC 垂直于⊙O 的弦AB ，交⊙O 于C 点，在⊙O 上取一点P ，线段AP 的延长线交直线OC 于E ，PB 交OC 于D 点求证：OC 2=OD ·OE21．在△ABC 中，∠A=600，BD ⊥AC 于D ，F 是AB 边上一点，E 是BC 中点，且有FE=BC 21，又已知△ABC 的面积为32cm 2. 求：△ADF 的面积22.如图AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB.（1）P 是优弧CAD 上一点（不与C 、D 重合）.求证：∠CPD =∠COB ；（2）点P ’在弧CD 上（不与C 、D 重合）时，∠CP ’D 与∠COB有怎样的数量关系?请证明你的猜想。
精品 九年级数学上册 圆的基本性质讲义+同步练习题
圆的基本性质知识点圆的定义几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。
其中，O为圆心，OA为半径。
集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。
其中，定点为圆心，定长为半径。
圆的书写格式：圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
与圆有关的线段半径：圆上一点与圆心的连线段。
确定一个圆的要素是圆心和半径。
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
表示方法：优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。
表示方法：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
注意：同弧或等弧对应的弦相等。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意:定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。
（2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。
例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC.例2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，如果AB=10cm，CD=8cm，求AE的长。
人教版九年级数学上册24.1 圆的基本性质同步练习含答案【精】
第二十四章圆24.1 圆（第一课时）知识点1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA 叫做。
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【特别注意】：1、在一个圆中，圆心决定圆的，半径决定圆的。
2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径。
2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦。
弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类。
3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴。
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是。
一、选择题1．下列命题正确的有（）①弦是圆上任意两点之间的部分②半径是弦③直径是最长的弦④弧是半圆，半圆是弧A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）A.38°B.52°C.76°D.104°3.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C 的度数是（）A.25°B.40°C.30°D.50°4．一个点到圆上的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cm或6.5 cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm5．如图，已知在⊙O中，AB、CD为直径，则AD与BC的关系是（）.B.AD∥BCC.AD∥BC且AD=BCD.不能确定BCDO6．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为( )A ．15°B ． 30°C ． 45°D ．60°二、填空题1.⊙O 的半径为2cm ，则它的弦长d cm 的取值范围是.2．⊙O 中若弦AB 等于⊙O 的半径，则△AOB 的形状是 .3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC =10cm ，则OD = cm.4．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB=2DE ，∠E=18°，∠C=______,∠AOC=________；5． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最长弦长为_______，最短弦长为________；三、解答题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，以B 为圆心，BC 为半径作⊙B ，A 、C 、D 、E 与⊙B 的位置关系如何？DC BA2、如图， M,N 为线段AB 上的两个三等分点，点A 、B 在⊙O 上，BDO CAABCO求证：∠OMN=∠ONM。
九年级数学上册《圆》练习题及答案解析
九年级数学上册《圆》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．下列说法正确的是（）A．直径是弦，弦是直径B．过圆心的线段是直径C．圆中最长的弦是直径D．直径只有二条2．下列语句不正确的有（）个．①直径是弦；①优弧一定大于劣弧；①长度相等的弧是等弧；①半圆是弧．A．1B．2C．3D．43．如图，在①O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦.A．2B．3C．4D．54．下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等5．下列由实线组成的图形中，为半圆的是（）A．B．C．D．6．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B ．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．若一条直线与一个圆有公共点，则二者相交二、填空题7．如图，已知在Rt△ABC 中，①ACB ＝90°，分别以AC ，BC ，AB 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，S 3，若S 3＝9π，则S 1+S 2等于_____．8．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于D ，交AC 于点E ，40BCD ∠=︒，则A ∠=______．9．如图，圆中扇子对应的圆心角α（180α）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则βα-的度数是__________．10．数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为________．11．如图，在O 中，AB 为直径，8AB =，BD 为弦，过点A 的切线与BD 的延长线交于点C ，E 为线段BD 上一点（不与点B 重合），且OE DE =．（1）若35B ∠=︒，则AD 的长为______（结果保留π）；（2）若6AC =，则DE BE=______．三、解答题12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以AC 为直径作O ，交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DF 是O 的切线；(2)若2CF =，4DF =，求O 的半径．13．如图，点A ，B 分别在①DPE 两边上，且PA PB =，点C 在①DPE 平分线上．(1)连接AC ，BC ，求证：AC BC =；(2)连接AB 交PC 于点O ，若60APB ∠=︒，6PA =，求PO 的长；(3)若PO OC ，且点O 是PAB △的外心，请直接写出四边形P ACB 的形状．参考答案与解析：1．C【详解】解：A 、直径是弦，但弦不一定是直径，不符合题意；B 、过圆心的弦是直径，但线段不一定是直径，不符合题意；C 、圆中最长的弦是直径，符合题意；D 、直径有无数条，不符合题意，故选C ．2．B【分析】根据圆的概念、等弧的概念、垂径定理、弧、弦直径的关系定理判断即可．【详解】解：①直径是弦，①正确；①在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，①错误；①在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，①错误；①半圆是弧，①正确；故不正确的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．B【详解】根据弦的概念，AB 、BC 、EC 为圆的弦，共有3条弦.故选B.4．B【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可．【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意；B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意；C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中．5．B【分析】根据半圆的定义即可判断．【详解】半圆是直径所对的弧，但是不含直径，故选B ．【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义．6．B【分析】利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可【详解】A 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；B 、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；C 、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D 、若一条直线与一个圆有公共点，则二者相交或相切，故本选项错误，故选B ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理.能清楚的知道每个定理的条件和它对应的结论是解题的关键.7．9π．【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S 1+S 2的值，从而可以解答本题．【详解】解：①①ACB ＝90°，①AC 2+BC 2＝AB 2，①S 1＝π（2AC ）2×12，S 2＝π（2BC ）2×12，S 3＝π（2AB ）2×12， ①S 1+S 2＝π（2AC ）2×12+π（2BC ）2×12＝π（2AB ）2×12＝S 3， ①S 3＝9π，①S 1+S 2＝9π，故答案为：9π．【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．8．20°．【分析】由半径相等得CB=CD，则①B=①CDB，在根据三角形内角和计算出①B=12（180°-①BCD）=70°，然后利用互余计算①A的度数．【详解】解：①CB=CD，①①B=①CDB，①①B+①CDB+①BCD=180°，①①B=12（180°-①BCD）=12（180°-40°）=70°，①①ACB=90°，①①A=90°-①B=20°．故答案为20°．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了三角形内角和定理．9．90°##90度【分析】根据题意得出α=0.6β，结合图形得出β=225°，然后求解即可．【详解】解：由题意可得：α：β=0.6，即α=0.6β，①α+β=360°，①0.6β+β=360°，解得：β=225°，①α=360°-225°=135°，①β-α=90°，故答案为：90°．【点睛】题目主要考查圆心角的计算及一元一次方程的应用，理解题意，得出两个角度的关系是解题关键．10．2【分析】在Rt①ABC中，根据勾股定理求出AC，即可求出CD．【详解】解：如图，①若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，①AB ＝10，BC ＝AD ＝6，在Rt ①ABC 中，AC 8，①CD ＝AC ﹣AD ＝8﹣6＝2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．11． 149π 2539 【分析】（1）根据圆周角定理求出①AOD =70°，再利用弧长公式求解；（2）解直角三角形求出BC ，AD ，BD ，再利用相似三角形的性质求出DE ，BE ，可得结论．【详解】解：（1）①270AOD ABD ∠=∠=︒，①AD 的长704141809ππ⋅⋅==； 故答案为：149π； （2）连接AD ，①AC 是切线，AB 是直径，①AB AC ⊥，①10BC ，①AB 是直径，①90ADB ∠=︒，①AD CB ⊥，①1122AB AC BC AD ⋅⋅=⋅⋅，①245 AD=，①325 BD==，①OB OD=，EO ED=，①EDO EOD OBD ∠=∠=∠，①DOE DBO△∽△，①DO DE DB DO=，①43245DE=，①52 DE=，①325395210 BE BD DE=-=-=，①5252393910DEBE==．故答案为：25 39．【点睛】本题主要考查圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质及判定定理，正确寻找相似三角形解决问题是解题的关键．12．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接OD、CD，由AC为①O的直径知①BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知①CDE=①DCE，由①ODC=①OCD且①OCD+①DCE=90°可得答案；（2）设①O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．（1）解：如图，连接OD、CD．①AC为①O的直径，①①ADC=90°，①①CDB=90°，即①BCD是直角三角形，①E为BC的中点，①BE=CE=DE，①①CDE=①DCE，①OD=OC，①①ODC=①OCD，①①ACB=90°，①①OCD+①DCE=90°，①①ODC+①CDE=90°，即OD①DE，①DE是①O的切线；（2）解：设①O的半径为r，①①ODF=90°，①OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，①①O的半径为3．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键．13．(1)证明见解析(2)(3)正方形，理由见解析【分析】（1）证明①P AC①①PBC即可得到结论；（2）根据已知条件得到①APC=①BPC=30°，OP①AB于O，求得AO=3，再利用勾股定理即可得到结论；P A B C在以O为圆心，OP为半径的圆上，再证明①APB=①PBC=①BCA=①CAP=90°，可得（3）先证明,,,OBP BPC POB根据正方形的判定定理即可得到结论．四边形APBC为矩形，再证明45,90,（1）证明：①点C在①DPE平分线上，① APC BPC ∠=∠ ，又①P A =PB ，PC =PC ，①①P AC ①①PBC （SAS ）；.AC BC（2）解：①,,60,PA PB APOBPO APB ①①APC =①BPC =30°，OP ①AB 于O ；①P A =6，①AO =3， 22633 3.OP（3） 解：如图，①点O 是①P AB 的外心，①OA =OB =OP ，而OP =OC ， ,,,P A B C 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上，,AB PC 为圆的直径，①①APB =①PBC =①BCA =①CAP =90°，①四边形APBC 为矩形，PC 平分,APB ∠45,APC BPC,OP OB 45,90,OBP BPC POB①四边形APBC 为正方形．【点睛】本题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，圆的确定，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．。
人教版九年级数学上册第24章 圆 专题复习练习题(含答案)
人教版九年级数学上册第24章圆专题复习练习题专题1 与圆的基本性质有关的辅助线作法1．如图，点A，B，C，D分别是⊙O上的四点，∠BAC＝50°，BD是直径，则∠DBC的度数是(A)A．40° B．50° C．20° D．35°6．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是(D) A．50° B．60° C．80° D．100°2．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D.若⊙O的半径为2，则CD3．如图，在⊙O中，∠OAB＝20°，则∠C的度数为110°．4．如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，AB＝6，则BD7．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，⊙O 的直径AB ＝2 3.若∠ACD ＝120°，则线段AD 的长为3．5.如图，⊙A 过点O ，C ，D ，点C 的坐标为(3，0)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，已知∠OBD ＝30°，则⊙A 的半径等于1．8．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ︵＝BC ︵.若∠AOB ＝58°，则∠D ＝29°．9．如图，⊙O 的弦AB ＝8，N 是AB ︵的中点，AN ＝25，则⊙O 的半径为5．10．如图，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，C ，D 为AB ︵的三等分点．弦AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，下列结论：①∠AOC ＝30°；②CE ＝DF ；③∠AEO ＝105°；④AE ＝CD ＝FB.其中正确的有①②③④．专题2 教材P90习题T14的变式与应用1.如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.判断△ABC的形状，并证明你的结论．解：△ABC为等边三角形．证明：∵∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴∠ACB＝60°.∴△ABC为等边三角形．【问题延伸1】求证：PA＋PB＝PC.证明：在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图．∵∠APC＝60°，∴△APD 是等边三角形．∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，∠ADC ＝120°. ∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°， ∴∠ADC ＝∠APB.在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABP ＝∠ACD ，∠APB ＝∠ADC ，AP ＝AD ，∴△APB ≌△ADC(AAS)． ∴BP ＝CD.又∵PD ＝AP ，∴PA ＋PB ＝PD ＋CD ＝PC.【问题延伸2】 若BC ＝23，点P 是AB ︵上一动点(异于点A ，B)，求PA ＋PB 的最大值．解：由上题知PA ＋PB ＝PC ，要使PA ＋PB 最大，则PC 为直径，作直径BG ，连接CG.∴∠G ＝∠BAC ＝60°，∠BCG ＝90°.∵BC ＝23，∴BG ＝4.即PA ＋PB 的最大值为4. 2．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求圆心O 到BC 的距离OD.解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠APC ＝60°，∠BAC ＝∠APC ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形． (2)连接OB ，OC.可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBD ＝∠OCD ＝12×(180°－120°)＝30°.∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝12OB ＝4.3．如图，点A ，B ，C ，D 在同一个圆上，且C 点为一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB ＝∠ABD ＝45°.(1)求证：BD 是该圆的直径； (2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD.证明：(1)∵∠ACB ＝45°， ∴∠ADB ＝∠ACB ＝45°. ∵∠ABD ＝45°， ∴∠BAD ＝90°. ∴BD 是该圆的直径．(2)在CD 的延长线上截取DE ＝BC ，连接EA. ∵∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD.∵∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS)． ∴∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE. ∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∴CE 2＝AC 2＋AE 2＝2AC 2，即CE ＝2AC. ∴2AC ＝DE ＋CD ＝BC ＋CD.专题3 切线的判定和性质综合1．如图，已知点O 为正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OA 的长为半径的⊙O 与BC 相切于点M ，与AB ，AD 分别相交于点E ，F.求证：CD 与⊙O 相切．证明：连接OM ，过点O 作ON ⊥CD ，垂足为N. ∵⊙O 与BC 相切于点M ， ∴OM ⊥BC.∵正方形ABCD 中，CA 平分∠BCD ， ∴OM ＝ON.∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．2．如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AB＝4，BD＝3，求CD的长．解：(1)证明：连接OC，∵DE⊥AE，∴∠E＝90°.∴∠CDE＋∠DCE＝90°.∵∠A＝∠CDE，∴∠A＋∠DCE＝90°.∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO.∴∠ACO＋∠DCE＝90°.∴∠OCD＝90°.∴OC⊥CD.又∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)∵AB＝4，BD＝3，∴OC ＝OB ＝12AB ＝2.∴OD ＝2＋3＝5.∴CD ＝OD 2－OC 2＝52－22＝21.3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，OE ∥AC 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点D ，连接DC 并延长交BA 的延长线于点F.(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)若∠ABC ＝30°，AB ＝8，求线段CF 的长．解：(1)证明：连接OC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵OE ∥AC ，∴∠OEB ＝∠ACB.∴OD ⊥BC ，由垂径定理，得OD 垂直平分BC. ∴DB ＝DC. ∴∠DBE ＝∠DCE.又∵OC ＝OB ，∴∠OBE ＝∠OCE. ∴∠DBO ＝∠OCD.∵DB 为⊙O 的切线，OB 是半径，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC.∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．(2)在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．∴∠COF＝60°.∴∠F＝30°.∵AB＝8，∴OC＝4.∴OF＝2OC＝8.在Rt△COF中，CF＝OF2－OC2＝4 3.4．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切；(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长．解：(1)证明：连接OC，过点O作OD⊥BP于点D.∵PA与⊙O相切，∴OC⊥PA.又∵∠APO＝∠BPO，∴OC ＝OD.∴OD 为⊙O 的半径． ∴直线PB 与⊙O 相切． (2)过点C 作CH ⊥PE 于点H. ∵OC ＝3，PC ＝4， ∴OP ＝OC 2＋PC 2＝5. ∵S △OCP ＝12CH ·OP ＝12OC ·PC ，∴CH ＝OC ·PC OP ＝125.∴OH ＝OC 2－CH 2＝95.∴EH ＝EO ＋OH ＝245.∴CE ＝EH 2＋CH 2＝1255.5．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点O 作OD ⊥AB ，交BC 的延长线于点D ，交AC 于点E ，F 是DE 的中点，连接CF.(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若∠A ＝22.5°，求证：AC ＝DC.证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF.∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∵OD⊥AB，∴∠OAC＋∠AEO＝90°.∴∠OCA＋∠FCE＝90°，即OC⊥FC.又∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线．(2)连接AD.∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°.∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°.∵AO＝BO，∴AD＝BD.∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°.∴∠ADB＝45°.∴∠CAD＝∠ADC＝45°.∴AC＝CD.6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．解：(1)直线CD与⊙O相切．理由：连接OC.∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD(SSS)．∴∠ODC＝∠OBC＝90°.∴OD⊥DC.又∵OD为⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切．(2)设⊙O的半径为r，CD＝CB＝x.在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2＋OB2，∴(4－r)2＝r2＋22.∴r＝1.5.在Rt△EDC中，∵DE2＋DC2＝EC2，∴x2＋42＝(2＋x)2.∴x＝3.在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝32＋32＝3 2.∴圆的半径为1.5，AC的长为3 2.7．如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB 交AF于点D，连接BC.(1)连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；(2)如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．解：(1)证明：连接OC，∵CD∥AB，BC∥OD，∴四边形BODC是平行四边形．∴OB＝CD.∵OA＝OB，∴CD＝OA.∴四边形ADCO是平行四边形．∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD.∴四边形ADCO是矩形．∴OC⊥CD.又∵OC为半圆的半径，∴CD是半圆的切线．(2)∠AED＋∠ACD＝90°.证明：连接BE，∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°.∴∠EBA＋∠BAE＝90°. ∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE.又∵∠ACD＝∠EBA，∴∠AED＋∠ACD＝90°.。
河北省中考数学复习 圆 第29讲 圆的基本性质试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
第29讲 圆的基本性质1. (2012，某某)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是(D)第1题图A. AE >BEB. 弧AD ＝弧BCC. ∠D ＝12∠AEC D. △ADE ∽△CBE 【解析】 ∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，∴AE ＝BE ，弧AC ＝弧BC .∴A ，B 两选项错误．∵∠AEC 不是圆心角，∴∠D ≠12∠AE C. ∴C 选项错误．∵∠AED ＝∠CEB ＝90°，∠DAE ＝∠BCE ，∴△ADE ∽△CBE .∴D 选项正确．2. (2015，某某)如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 相交于点F .下列三角形中，外心不是点O 的是(B)第2题图A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE【解析】 只有△ACF 的三个顶点不都在⊙O 上，故外心不是点O 的是△ACF .3. (2016，某某)如图所示的为4×4的网格图，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，点O 是(B)第3题图A. △ACD 的外心B. △ABC 的外心C. △ACD 的内心D. △ABC 的内心【解析】 由网格图，知点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点．根据三角形外心的定义，知点O 是 △ABC 的外心．圆的有关概念例1 下列语句正确的是(D)A. 长度相等的两条弧是等弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【解析】 能完全重合的两条弧是等弧，所以A 选项错误．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，所以B 选项错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C 选项错误．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D 选项正确.针对训练1 如图，半圆O 是一个量角器，△AOB 为一纸片，AB 交半圆于点D ，OB 交半圆于点C .若点C ，D ，A 在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B 的度数为(A)训练1题图A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】 如答图，连接OD ，则∠DOC ＝70°－45°＝25°，∠AOD ＝160°－70°＝ 90°.∵OD ＝OA ，∴∠ADO ＝∠A ＝45°.∵∠ADO ＝∠B ＋∠DOB ，∴∠B ＝45°－25°＝ 20°.训练1答图针对训练2 如图，点P 在线段AB 上，PA ＝PB ＝PC ＝PD .当∠BPC ＝60°时，∠BDC 的度数为(B)训练2题图A. 15°B. 30°C. 25°D. 60°【解析】 ∵PA ＝PB ＝PC ＝PD ，∴点A ，B ，C ，D 在以点P 为圆心，PB 的长为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BPC ＝12×60°＝30°.确定圆的条件例2 (2010，某某)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)例2题图A. 点PB. 点QC. 点RD. 点M【解析】如答图，连接BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点Q，则点Q即为圆心．例2答图针对训练3 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，0)，点B的坐标是(3，0)，在y 轴的正半轴上取一点C，使A，B，C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是(A)A. (0，3)B. (3，0)C. (0，2)D. (2，0)【解析】如答图，连接AC，CB.根据题意可证得△AOC∽△COB，∴OCOA＝OBOC，即OC2＝OA·OB.∴OC2OC＝ 3.故点C的坐标为(0，3).训练3答图针对训练4 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C，D，E三点，且此圆分别与AD，BC相交于P，Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：甲：连接DE，EC，作∠DEC的平分线EM，作DE的垂直平分线，交EM于点O，则点O即为所求．乙：连接PC，QD，两线段交于一点O，则点O即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(A)训练4题图A. 两人皆正确B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【解析】 对于甲，易知ED ＝EC ，∴△DEC 为等腰三角形．进而易知EM 为CD 的垂直平分线．∴点O 为两垂直平分线的交点，即点O 为△CDE 的外心．∴点O 为此圆的圆心．对于乙，∵∠ADC ＝90°，∠DCB ＝90°，∴PC ，QD 为此圆的直径．∴PC 与QD 的交点O 为此圆的圆心．因此甲、乙两人皆正确.圆的基本性质例3 (2018，某某裕华区模拟)如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，C 是优弧AB 上一点(不与点A ，B 重合)，则cos C 的值为(D)例3题图A. 43B. 34C. 35D. 45【解析】 如答图，作直径AD ，连接BD .∵AD 为直径，∴∠ABD ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝10，AB ＝6，∴BD ＝102－62＝8.∴cos D ＝BD AD ＝810＝45.∵∠C ＝∠D ，∴cos C ＝45.例3答图针对训练5 (2018，某某模拟)如图，在半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD .若DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的长是(A)训练5题图A. 8B. 10C. 11D. 12【解析】 如答图，作直径CF ，连接BF ，则∠FBC ＝90°.∵∠BAC ＋∠EAD ＝180°，∠BAC ＋∠BAF ＝180°，∴∠DAE ＝∠BAF .∴弧DE ＝弧BF .∴BF ＝DE ＝6.∴BC ＝CF 2－BF 2＝8.训练5答图 针对训练6 (2018，某某)已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数为(D)A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°【解析】 如答图．在Rt △OAD 中，∵OA ＝10，OD ＝5，∴cos ∠AOD ＝OD AO ＝12.∴∠AOD ＝60°.同理可得∠BOD ＝60°.∴∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝60°＋60°＝120°.∴弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°.训练6答图垂径定理例4 (2018，某某，导学号5892921)已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为(C)A. 2 5 cmB. 4 5 cmC. 2 5 cm 或4 5 cmD. 2 3 cm 或4 3 cm【解析】 如答图，连接AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 的位置如答图①所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝ 4 cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝52－42＝3(cm)．∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)．∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝45(cm)．当点C 的位置如答图②所示时，同理可得OM ＝3 cm.∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．∴在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝ 25(cm)．综上所述，AC 的长为2 5 cm 或4 5 cm.例4答图针对训练7 (2018，某某)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE 的长为(A)训练7题图A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm【解析】 ∵CD ⊥AB ，CD ＝8 cm ，∴CE ＝12CD ＝4 cm.在Rt △OCE 中，OC ＝5 cm ，CE ＝4 cm ，∴OE ＝OC 2－CE 2＝3 cm.∴AE ＝AO ＋OE ＝5＋3＝8(cm)．一、 选择题1. (2018，聊城)如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC . 若∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是(D)第1题图A. 25°° C. 30° D. 35°【解析】 ∵∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，∴∠B ＝85°－60°＝25°，∠CDO ＝95°. ∴∠AOC ＝2∠B ＝50°.∴∠C ＝180°－95°－50°＝35°.2. (2018，威海)如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，C 为弧AB 的中点．若∠ABC ＝30°，则弦AB 的长为(D)第2题图A. 12B. 5C. 532D. 53 【解析】 如答图，连接OA ，OC ，OC 与AB 相交于点E .∵∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝ 60°.由AB 为弦，C 为弧AB 的中点，易知OC ⊥AB ，AE ＝BE .在Rt △OAE 中，AE ＝OA · sin ∠AOC ＝5×32＝532，∴AB ＝2AE ＝5 3.第2题答图3. (2018，某某)如图，⊙A 过点O (0，0)，C (3，0)，D (0，1)，B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是(B)第3题图A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】 如答图，连接DC .∵C (3，0)，D (0，1)，∴∠DOC ＝90°，OD ＝1，OC ＝ 3.∴∠DCO ＝30°.∴∠OBD ＝∠DCO ＝30°.第3题答图4. (2018，某某)如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC ＝32°，则∠B 的度数是(A)第4题图A. 58°B. 60°C. 64°D. 68°【解析】 ∵OA ＝OC ，∴∠C ＝∠OAC ＝32°.∵BC 是直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠B ＝ 90°－32°＝58°.5. (2018，贵港)如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上．若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是(A)第5题图A. 24°B. 28°C. 33°D. 48°【解析】 ∵∠A ＝66°，∴∠COB ＝132°.∵CO ＝BO ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝12×(180°－132°)＝24°.6. (2018，某某)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为(C)第6题图A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【解析】 由圆周角定理，得∠ABC ＝∠ADC ＝35°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠CAB ＝90°－∠ABC ＝55°.7. (2018，某某)如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是弧AC 上的点．若∠BOC ＝40°，则∠D 的度数为(B)第7题图A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°【解析】 ∵∠BOC ＝40°，∴∠AOC ＝180°－40°＝140°.∴∠D ＝12×(360°－140°)＝110°.8. (2018，某某)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，B 是弧AC 的中点，则∠D 的度数是(D)第8题图A. 70°B. 55°° D. 35°【解析】 如答图，连接OB .∵B 是弧AC 的中点，∴∠AOB ＝12∠AOC ＝70°.由圆周角定理，得∠D ＝12∠AOB ＝35°.第8题答图9. (2018，滨州)已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆．若∠ABC ＝25°，则劣弧AC 的长为(C)A. 25π36B. 125π36C. 25π18D. 5π36【解析】 如答图，连接AO ，CO .∵∠ABC ＝25°，∴∠AOC ＝50°.∴劣弧AC 的长为50π·5180＝25π18.第9题答图10. (2018，某某)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F .若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长是(D)第10题图A. 3 cmB. 6 cmC. 2.5 cmD. 5 cm【解析】 如答图，连接OB .∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO ，BD ＝8，∴BE ＝DE ＝4.∵AE ＝2，∴在Rt △OEB 中，OE 2＋BE 2＝OB 2，即OE 2＋42＝(OE ＋2)2.解得OE ＝3.∴OB ＝3＋2＝5.∴EC Rt △EBC 中，BC ＝BE 2＋EC 2＝42＋82＝4 5.∵OF ⊥BC ，∴∠OFC ＝∠CEB ＝90°.∵∠C ＝∠C ，∴△OFC ∽△BEC .∴OF BE ＝OC BC ，即OF 4＝545.解得OF ＝ 5.所以OF 的长是 5 cm.第10题答图二、 填空题11. (2018，某某)在同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.【解析】 由圆周角定理，得弧AB 所对的圆周角为50°.12. (2018，某某模拟)如图，截面为圆形的油槽内放入一些油．若圆的直径为150 cm ，油的深度DC 为30 cm ，则油面宽度AB 是120cm.第12题图【解析】 ∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12AB .∵OC ＝OB ＝12×150＝75(cm)，∴OD ＝OC －CD ＝75－30＝45(cm)．在Rt △OBD 中，BD ＝OB 2－OD 2＝752－452＝60(cm)，∴AB ＝2BD ＝120 cm.13. (2018，某某)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－1，－2)．第13题图【解析】 如答图，连接AB ，CB ，作AB ，CB 的垂直平分线，相交于点D .所以点D 是过A ，B ，C 三点的圆的圆心．所以点D 的坐标为(－1，－2)．第13题答图14. (2018，某某)如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得AD ＝10 cm ，点D 在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为（ 533）cm.第14题图【解析】 如答图，连接OC ，OD ，OC 与AD 相交于点E .∵直尺一边与量角器相切于点C ，∴OC ⊥AD .∵AD ＝10，∠DOB ＝60°，∴∠DAO ＝30°.∴OE ＝533，OA ＝1033.∴CE ＝OC －OE ＝OA －OE ＝533.即该直尺的宽度是533cm.第14题答图三、 解答题15. (2018，枣庄)如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .(1)求线段AD 的长；(2)E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由．第15题图【思路分析】 (1)由勾股定理易求得AB 的长．可连接CD ，知CD ⊥AB ，易知Rt △ADC ∽Rt △ACB ，可得关于AC ，AD ，AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．(2)当ED 与⊙O 相切时，由切线长定理知EC ＝ED ，则∠ECD ＝∠EDC .连接OD ，证OD ⊥DE 即可．解：(1)如答图，连接CD . 在Rt △ACB 中，∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝5 cm. ∵BC 为直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴Rt △ADC ∽Rt △ACB . ∴AC AB ＝AD AC. ∴AD ＝AC 2AB ＝325＝95(cm)．(2)当E是AC的中点时，直线ED与⊙O相切．理由：如答图，连接OD.∵DE是Rt△ADC的中线，∴ED＝EC.∴∠EDC＝∠ECD.∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDO＝∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴ED⊥OD.∴直线ED与⊙O相切．第15题答图16. (2018，某某，导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．第16题图【思路分析】 (1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明四边形ABFC是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．(2)连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题．(1)证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BC.∵AB ＝AC ， ∴BE ＝CE . ∵AE ＝EF ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∵AC ＝AB ，∴四边形ABFC 是菱形． (2)解：如答图，连接BD . ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°. ∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2. ∴(7＋CD )2－72＝(2＋2)2－CD 2. 解得CD ＝1.∴AB ＝AC ＝AD ＋CD ＝7＋1＝8. ∴BD ＝82－72＝15. ∴S 半圆形＝12π·42＝8π，S 菱形ABFC ＝AC ·BD ＝815.第16题答图1. (2018，襄阳)如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上．若OA ⊥BC ，∠CDA ＝ 30°，则弦BC 的长为(D)第1题图A. 4B. 2 2C. 3D. 23【解析】 如答图．∵OA ⊥BC ，∴CH ＝BH ，弧AB ＝弧AC .∴∠AOB ＝2∠CDA ＝60°.∴BH ＝OB ·sin ∠AOB ＝ 3.∴BC ＝2BH ＝2 3.第1题答图2. (2018，某某)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半径OA 的中点，过点C 作DE ⊥AB ，交⊙O 于D ，E 两点，过点D 作直径DF ，连接AF ，则∠DFA ＝30°.第2题图【解析】 ∵C 是半径OA 的中点，∴OC ＝12OD .∵DE ⊥AB ，∴∠CDO ＝30°.∴∠DOA ＝60°.∴∠DFA ＝30°.3. (2018，某某，导学号5892921)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在弧BD 上．(1)求证：AE ＝AB ；(2)若∠CAB ＝90°，cos ∠ADB ＝13，BE ＝2，求BC 的长．第3题图【思路分析】 (1)由折叠得出∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC ，结合∠ABD ＝∠AED 知∠ABD ＝∠ACD ，从而得出AB ＝AC ，据此得证．(2)过点A 作AH ⊥BE 于点H ，由AB ＝AE 且BE ＝2知BH ＝EH ＝1.根据∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB 知cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝BH AB ＝13，据此得AC ＝AB ＝3，利用勾股定理可得答案．(1)证明：由折叠的性质，知△ADE ≌△ADC . ∴∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC . ∵∠ABD ＝∠AED ， ∴∠ABD ＝∠ACD . ∴AB ＝AC . ∴AE ＝AB .(2)解：如答图，过点A 作AH ⊥BE 于点H . ∵AB ＝AE ，BE ＝2， ∴BH ＝EH ＝1.∵∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB ， ∴cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝13.∴BH AB ＝13. ∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ＝3， ∴BC ＝3 2.第3题答图。
2021年人教版九年级数学上册《圆》单元基础测试卷(含答案)
2021年人教版九年级数学上册《圆》单元基础测试卷一、选择题1.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.82.已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6 B．8 C．10 D．123.下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心4.如图，在半径为13cm圆形铁片上切下一块高为8cm弓形铁片，则弓形弦AB长为（）A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm5.如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，P为弧AB上一点，则∠APB度数是（）A.100°B.110°C.120°D.130°6.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=( )A．54° B．64° C．27° D．37°7.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为( )A.15°B.18°C.20°D.28°8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，点P在AC的延长线上，PD是⊙O的切线，延长BC交PD于点E．则下列说法不正确的是（）A.∠ADC=∠PDOB.∠DCE=∠DABC.∠1=∠BD.∠PCD=∠PDA9.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．25° C．40° D．50°10.如图,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则⊙C半径为（）A.2.6B.2.5C.2.4D.2.311.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为( )A．π B．2π C．3π D．6π12.如图,从一张腰长为60cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗),则该圆锥的高A.10cmB.15cmC.10cmD.20cm二、填空题13.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为米．14.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1=55°，则∠2=_____°.15.如图,⊙O的半径为2,△ABC是⊙O的内接三角形,连接OB,OC,若∠BOC与∠BAC互补,则弦BC 的长为_________.16.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,若四边形ABCO为平行四边形,则∠ADB= ．17.若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有______个.18.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分面积为．19.一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB 为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC.(1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1=∠2.21.如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA=∠OAC=30°．(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求图中阴影部分的面积．22.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AC=4，CE=2，求⊙O半径的长．23.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E.（1）求证：BC平分∠ABD.（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径.24.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.25.如图，Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，⊙O为△ADB的外接圆，DH⊥AB于点H，现将△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于点C，连接OC交AD于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=10，求线段OG的长．26.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF.答案解析1.D．2.C3.D4.C.5.C6.C.7.B8.C9.B10.D.11.C.12.D13.答案为：8．14.答案为：35.15.答案为：2；16.答案为：30°．17.答案为：两.18.答案为：4﹣π．19.答案：（1）0.1 （2）0.1或0.7.20.解：(1)∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC＋∠CAD=39°＋39°=78°；(2)证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2＋∠BAE，∠CBE=∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE=∠1＋∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2.21.解：(1)证明：连接OB，交CA于E，∵∠C=30°，∠C=∠BOA，∴∠BOA=60°，∵BD∥AC，∴∠DBE=∠AEO=90°，∴BD是⊙O的切线；(2)解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠D=∠CAO=30°，∵∠OBD=90°，OB=8，∴BD=OB=8，∴S阴影=S△BDO﹣S扇形AOB=×8×8﹣=32﹣．22.解：（1）连接OA，∵∠ADE=25°，∴由圆周角定理得：∠AOC=2∠ADE=50°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC=90°，∴∠C=180°﹣∠AOC﹣∠OAC=180°﹣50°﹣90°=40°；（2）设OA=OE=r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2=OC2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，答：⊙O半径的长是3．23.（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4.24.（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°.（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线.25.解：（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，由翻折得：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，∴∠ODA=∠EAD，∴OD∥AE，∴∠ODE=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵将△AHD沿AD翻折得到△AED，∴∠OAD=∠EAD=30°，∴∠OAC=60°，∵OA=OD，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOG=60°，∵∠OAD=30°，∴∠AGO=90°，∴OG=2.5．26.（1）证明：（1）如图，连接OE.∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH.（3）证明：如图，连结DE.∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH.∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，。
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初中数学试卷
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圆的基本性质知识点（一）
知识点一: 圆的定义
第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转_______，_______所形成的图形叫作圆。
固定的端点 O 叫做________，线段 OA 叫做_______。
第二种：圆心为 O ，半径为 r 的圆可以看成是所有到________的距离等于_______的点的集合。
知识点二: 圆的相关概念
1. 弦：连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫作直径。
如图：____
2. 弧：圆上_________的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆_________，每一条弧都叫做半圆。
如图：____,____,_____,
3. 等圆：_____________的两个圆叫做等圆。
4. 等弧：在同圆或等圆中，____________的弧叫做等弧。
注： 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只
有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
5. 圆心角：顶点在_______, 两边_________的角叫做圆心角。
如图：____
6. 圆周角：顶点在_______且_________的角叫做圆周角。
如图：_______
知识点三： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____也相等，所对的________相等,所对的________也相等,；
即：∵AOB ∠=∠DOE ∴_________ , ___________ , ____________
2. 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的______相等、
所对的___相等, 所对的________也相等； 。
推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的________相等、所对的_____相等,所对的_____也分别相等。
3. 圆周角与圆心角的关系
（1）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______，都等于这条弧所对的圆心角的_________；
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴_________________ （2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是_______，90度的圆周角所对的
弦是_______,弧是________；
即：在⊙O 中, ∵
AB 是直径 ∴_________ , 或∵90C ∠=︒ ∴___________
B
A
B A
知识点四：垂径定理及其推论
1. 对称性：圆是中心对称图形，其对称中心是______
； 2. 圆是轴对称图形，其对称轴是_____________。
3.垂径定理及其推论：
（1）.垂径定理：垂直弦的直径_____弦，并且_____________。
如图：即∵_________________________ , ∴____________________
（2）.推论：平分弦（不是直径）的直径_________，并且___________。
如图：即∵_________________________ , ∴__________________________
知识点五：圆的内接四边形
1.定义：顶点在_____________________的四边形，叫做圆的内接四边形。
2.定理：圆的内接四边形的对角______，外角等于_________。
即：在⊙O 中 ∵四边形
ABCD 是内接四边形
∴_______________ , _________________ ,_____________.
圆的基本性质练习题
一. 选择题
1．⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离为（ ） A ． 2cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm 2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为
cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3
cm 2
B ．3cm C
． D ．9cm
3．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD
＝BD
AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
4．如图，∠AOB 是⊙O 的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．80° 5.如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD=30，则∠A 的度数为（ ）． A.30 B.45 C.60 D.75
6.如图,AB 是半圆的直径,D 是弧AC 的中点,∠ABC ＝50°,则∠DAB 等于( ) A.55° B.60° C.65° D.70°
7.如图,AB 为⊙O 的直径,C,D 为⊙O 上的两点,若AB ＝6,BC ＝3,则∠BDC ＝____度.
8. 已知⊙O 的半径为13 cm,弦AB ∥CD,AB ＝24 cm,CD ＝10 cm,则AB,CD 之间的距离为
A.17 cm
B.7 cm
C.12 cm
D.17 cm 或7 cm 二、填空题 9．（2009年长春）如图，点C 在以AB 为直径的O ⊙上，1030AB A =∠=，°，则BC 的 长为 ． 10．（2009年福州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD ∥AC ，若BD ＝1，则 BC 的长为 11．（2009年广西梧州）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ， 半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m ．
12．(2009年宁德市)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB 的度数等 于 ．
13. △ABC 的三个顶点都在⊙O 上,,若∠AOC ＝160°,则∠ABC 的度数是______________. 三．解答题：
14.已知在以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于点C,D(如图).
(1)求证：AC ＝BD ；
(2)若大圆的半径R ＝10,小圆的半径r ＝8,且圆心O 到直线AB 的距离为6,求AC 的长.
（3）)若AB ＝8,CD ＝4,求圆环的面积
15. 如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．
16．如图，已知AB=AC，∠APC=60°
（1）求证：△ABC是等边三角形（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．
17．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
18. 如图，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2的度数．•
B
19.
如图,
△
内接于,
∠=
,,的直径,,求的长.
D
A
第19题图。