数学小演讲《哥尼斯堡七桥问题》
哥尼斯堡七桥问题简介
哥尼斯堡七桥问题简介在遥远的过去，有个地方叫哥尼斯堡，别看它名字拗口，实际上是个热闹的小镇，嘿，你知道吗？这地方有七座桥，听起来没啥了不起，但故事可精彩了。
想象一下，小镇上那些忙忙碌碌的居民，跨过桥，走过河，日子过得挺滋润。
然而，他们心里总有一个疑问，那就是：有没有办法一次性走遍所有的桥，且不重复走同一座？真是个令人抓狂的谜题！小镇上有个聪明的家伙，名字叫欧拉，他可不是一般人，脑袋瓜子灵活得很。
他就像个侦探，准备深入探讨这个问题。
你说，他是不是特别酷？于是，欧拉开始了他的调查，拿起纸笔，开始在地图上画出这些桥。
他认真得像个孩子在画涂鸦，哈哈。
每当他连接起一座桥，就像在编织一张无形的网。
他发现，哥尼斯堡的桥不只是一座座，它们背后隐藏着复杂的关系。
这就像我们生活中的人际网络，交错着，交织着。
有些桥连接了几个地方，有些则在偏僻的角落，几乎没人去。
这时候，欧拉意识到，桥的数量和走的路线之间的关系，真是错综复杂，就像家庭聚会时，大家都是那么亲近，却又总有那么一点小摩擦，哈哈！欧拉发现了一个神奇的规律，只有在某些情况下，人们才能顺利走完所有的桥而不重复。
简单来说，桥的连接方式就像一个拼图，得拼对了，才能完成这个挑战。
如果有超过两个地方是“单身”状态，意思就是有奇数条桥连着，那你就没办法实现这个目标了。
哇，这真是个有趣的发现，像是在揭开生活中的秘密，神秘又让人兴奋！人们常说“万事开头难”，可这个桥的问题更像是一场脑力游戏，越想越觉得有趣。
可想而知，欧拉的想法引起了小镇的轰动，大家都围着他，期待他的答案。
像是在看一场大型秀，所有人都坐得笔直，屏住呼吸。
欧拉当然不是一个只会摆弄数字的学者，他热爱生活，热爱与人分享知识。
于是，他用简单明了的语言，给大家解释这个复杂的问题。
很多人都瞪大了眼睛，仿佛刚刚发现新大陆，心里那种兴奋劲儿，简直像是在期待一场盛大的节日。
最终，欧拉告诉大家，哥尼斯堡的七桥问题其实是一个数学问题，后来还发展成了图论的基础，这可真是个大新闻！小镇上的人们似乎都明白了些什么，虽然数学对于他们来说，有时候像是一道难以逾越的高墙，但这一次，他们看到了希望。
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。
将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。
他认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如下图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。
格尼斯堡七桥问题解法
格尼斯堡七桥问题解法一、问题背景格尼斯堡七桥问题，是欧拉在1735年提出的一个著名的数学难题。
该问题描述为：有一座连通的城市，其中包含七座桥，如何从任意一个地方出发，经过每座桥恰好一次，最终回到原地。
二、传统解法1.暴力搜索最简单直观的方法是暴力搜索。
遍历所有可能情况，判断是否符合条件。
但是由于状态空间巨大（7个节点有51840种排列方式），这种方法不可行。
2.欧拉回路算法欧拉回路算法是解决格尼斯堡七桥问题最常用的方法之一。
它基于欧拉定理：如果一个图中所有顶点度数均为偶数，则该图存在欧拉回路。
通过构建图模型，并计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉回路。
如果存在，则可以通过遍历欧拉回路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉回路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
三、新解法1.图论与拓扑学结合将图论和拓扑学结合使用，可以更好地解决格尼斯堡七桥问题。
首先，将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
然后，通过计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉通路。
如果存在欧拉通路，则可以通过遍历欧拉通路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉通路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
2.基于网络流的解法基于网络流的解法是一种更高效、更准确的方法。
它基于最大流最小割定理：如果一个网络中所有源点到汇点的路径都满流，则该网络存在一组最大流，并且这组最大流等于所有源点到汇点路径上边权之和。
通过构建网络模型，并计算每个节点之间的容量和费用，可以求出从任意一个节点出发经过每座桥恰好一次回到原地所需的最小费用和路径。
具体步骤如下：（1）将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
（2）对于每个节点i，设其入度为diin，出度为diout，则其容量为min(diin,diout)。
容量表示从该节点出发经过该边的最大流量。
（3）对于每条边(i,j)，其费用为1。
哥尼斯堡七桥问题给我们的启示
哥尼斯堡七桥问题给我们的启示
哥尼斯堡七桥问题是欧洲数学家欧拉在18世纪提出的一个著名的数学问题，这个问题是如何通过哥尼斯堡城市中的七座桥，每座桥只能过一次，将城市中的四块陆地分隔开来。
这个问题最终被欧拉用图论的方法解决了，也成为了现代数学和计算机科学的基础之一。
哥尼斯堡七桥问题给我们的启示是：
创新思维：欧拉在解决这个问题时，采用了新颖的图论方法，这种创新的思维方式对于解决其他问题也同样适用。
抽象思维：欧拉将哥尼斯堡城市的地图抽象成为图形，通过对图形的分析和计算，解决了这个问题。
这种抽象思维方式，对于解决其他问题也同样重要。
多角度思考：欧拉在解决这个问题时，考虑了不同的角度和方法，最终找到了解决问题的突破口。
在日常生活和工作中，也需要多角度思考问题，寻找解决问题的最佳方法。
团队协作：欧拉在研究这个问题时，与其他数学家和科学家进行了交流和合作，共同解决了这个问题。
在工作中也需要团队协作，共同解决问题，取得更好的成果。
总之，哥尼斯堡七桥问题是一个启示我们创新思维、抽象思维、多角度思考和团队协作的经典案例。
哥尼斯堡七桥问题
现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
拓扑学应用实例
前面所提的哥尼斯堡七桥问题、四色问题？ 左手套能否在空间掉转位置后变成右手套？ 一条车胎能否从里朝外的把他翻转过来？ 一只有把的茶杯与救生圈更相似，还是与花瓶更相
互相衔接的两两不同的一串“弧”称为“路”。路中弧的端 点称为路的“顶点”。如果起点与终点相同称为“闭路”。 如果闭路的顶点又不相同，称为“圈”。如下所示：
路
闭路
圈
网络与一笔画问题
于是我们可以给出一笔画的理论叙述。
“一笔画”问题相当于给定一个网络。问： “有没有可能把所有的弧排成一条路”。
如果一个网络的全部弧可以排成一条路，那 么我们称这个网络为一个一笔画。
纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后 把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？ 如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一 个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求。 能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈？
莫比乌斯带的发现
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科 学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学 家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验， 也毫无结果。
当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消 遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只 能经过一次而多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相 当长的时间里，始终未能解决。
而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的 走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是 很大的工作量。
哥尼斯堡七桥问题的结论
哥尼斯堡七桥问题的结论哥尼斯堡七桥问题，这个名字听起来是不是有点像某个神秘的谜题，或者像是某种古老的传说？但其实它可是数学史上一个相当有趣，也不算特别复杂的问题。
让我们从头说起吧！话说在18世纪，哥尼斯堡（今天是俄罗斯的加尔东，那个地方在一条大河上有七座桥，大家都知道，桥嘛，就是用来跨河的嘛）。
可是问题来了，这七座桥摆得那么乱，怎么才能走过去，一桥不重复，甚至连一次都不漏掉？这可是个难题啊！走过去，过每座桥一次就得了，但不能走重复的，这不就像在玩某种跨河的游戏吗？这问题一度让很多聪明人都摸不着头脑。
特别是当时那位大数学家欧拉，他看到这个问题后，忍不住拿起了笔和纸，开始思考。
你想啊，欧拉这个人，脑袋瓜子灵光，简直能把天上的星星都给数清楚。
于是他就开始琢磨怎么才能解决这个问题。
他不拘一格，想得也很简单。
他说，这问题其实跟图有点像。
你知道，图嘛就是一堆点和连线，而那些桥啊，其实就能看作是图中的“边”，而那些岛屿什么的，就是“点”。
从这个角度来看，欧拉瞬间豁然开朗！他有一个聪明的想法——要走遍这些桥，得看看图里的点到底有多少条边。
说白了，就是要检查一下每个“岛”上面的桥数是奇数还是偶数。
你说欧拉这个人聪不聪明？他发现了一个至关重要的规律——如果一个图中有多个点的连接数是奇数，那么从一个点出发走完所有边的概率基本为零，也就是说，根本就不可能走完所有桥而不重复。
而哥尼斯堡的七座桥，连接数正好是奇数。
想啊，哥尼斯堡的岛屿就像是这些点，而每座桥就像是连接点的边。
想要从一个点出发，走遍所有的边，根本做不到，除非你能拥有神仙的运气。
这个结论真的是一语破天啊！欧拉说了：如果图中有超过两个点的连接数是奇数，那就绝对没有办法走遍所有的桥了！也就是，这个问题没有解。
哦，也有个例外，那就是图中最多只有两个点有奇数条边，或者每个点都只有偶数条边。
那样的话，也许就能有个完美的解法。
但是，哥尼斯堡的问题就是那么不凑巧，七桥问题就是一个典型的“不可能完成的任务”。
七桥问题
哥尼斯堡七桥哥尼斯堡七桥问题也叫做欧拉七桥问题，曾经悬而未解，后得以被数学家欧拉证明。
欧拉曲线也是从七桥问题开始的。
相传在哥尼斯堡这座古老的城市有一个传说，有两条河流在这里交汇，将这座城市分成了四个部分，居民于是在城里造了七座桥将这四个部分连接起来，便利了这里的交通。
但也由此产生了一个疑问，城市里有没有一种路线能一次走完所有的桥，并且每座桥都只走一次。
这个问题难倒了当时所有的市民，同时也引来的欧拉的观注。
欧拉作为一个数学家，以他独有的方式将桥梁跟陆地看成是由点和线连起来的一个图，能不能一次走完七座桥就变成了能不能一笔画完这个图的问题。
如果这个图能够一笔画完，一定存在一个终点和起点，而除去终点和起点，只看中间将会经过的点，欧拉的认为，每通过一条线进入一个点，必定还有一条线能离开这个点，这样进入的线与出去的线肯定相等，也就是说，连接这些点的线必将是偶数。
而在欧拉设想的这个图中，每个点的相邻的线都是奇数，所以不可能一笔画完这个图，一次走完七座桥的路线也就不存在。
欧拉将对此问题的研究化为了一个几何问题，这种几何区别于以前的几何主要是交点的位置、线段的长短甚至它们的面积都不重要，重要的是点、线之间的相关关系，这就是数学上图论的先河。
可见，对数学问题的研究，甚至大到数学学科的开创，也是从生活实践中得来的，生活中何尝又不存在真理呢？反观欧拉曲线，其中每次所画的线都符合上述欧拉的观点，不同的是，曲线不一定是闭合的，甚至就是一条直线也有可能，终点和起点也不一定是同一个点。
事实上，如果能一笔画完一条曲线，那么这条曲线包含奇数条边的点的数目不是0就是2，如果点连接的边都是偶数的话终点与起点肯定在同一个点上，并且可以任选一个点作为终点和起点一笔画完，而如果有两个点连接的边是奇数，那么终点跟起点就在这两个点上，要一笔画完这条曲线，必定是从其中一个奇数点开始，终止于另一个奇数点。
欧拉曲线，你会玩了吗？。
哥尼斯堡七桥问题
一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
哥尼斯堡七桥问题和一笔画
哥尼斯堡七桥问题1.七桥问题在现在的地图上，你很难找到哥尼斯堡这个城市。
但是它在地理上的奇特之处使得它成为数学史上最为著名的城市之一。
这个中世纪的德国城市坐落于普雷格尔河的两岸，河的中央有两座大的岛屿，这两座岛屿通过7座桥，与河的两岸彼此连接。
后来成为附近小镇市长的数学家卡尔·戈特利布·埃勒对这些桥和岛屿十分着迷。
他一直在考虑一个问题：在所有桥都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍，思考一下这个问题？放弃了吗，放弃是明智的，因为这是不可能办到的。
但是大数学家莱昂哈德·欧拉在试图解释这个数学问题时，开拓了一个新的数学领域。
卡尔曾向欧拉写信求助解决这个问题，开始欧拉认为这个问题和数学无关，所以并不是很关注，但是随着他对这个问题的深入思考，他逐渐发现了其中蕴含的重大意义。
他发现这个问题属于一个全新的几何学范畴，他称之为“位置几何”学，也就是现在著名的图论，欧拉最初的想法是，在岛屿或河岸内部行走的路线实际上并不重要，这样我们就可以把地图简化成四个区域，它们分别用一个点来表示，现在我们称之为结点。
它们之间的线代表桥，这样简化的图使我们比较容易计算每个节点的度，也就是节点之间桥的数量。
为什么度很重要呢？试想根据这个问题的规定，一旦有人想要通过一座桥到达一个岛屿，他就必须通过另一座桥离开。
也就是说进入节点和离开节点的桥必须以成对的方式出现的。
这意味着连接每个区域桥的数量一定是偶数，唯一可能的例外是在路程的起点和终点。
在这张图上所有四个节点的度很明显都为奇数，于是无论选择什么样的路线，你总会重复经过某一座桥，欧拉用这个证明发展出了一个通用的理论。
适用于存在两个或两个以上节点的图，每一个边仅经过一次的欧拉路径只可能出现在以下两种情况里：第一，当仅有两个节点为奇数度时而其它的节点都是偶数度时，这样我们就以其中一个拥有奇数度的节点作为起点，另一个作为终点；第二，当所有的节点都是偶数度时，那么欧拉路径就从同一个位置开始和结束，这被称为欧拉回路。
简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。
简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。
欧拉的哥尼斯城堡七桥问题是数学史上具有重要意义的问题之一，它以其简单的描述和深刻的解决方法而闻名于世。
在这篇文章中，我将从探讨欧拉的哥尼斯城堡七桥问题的背景和含义开始，逐步深入讨论其解答过程和所带来的启示，从而帮助您更全面、深刻和灵活地理解这一经典问题。
1. 哥尼斯城堡七桥问题的背景和含义哥尼斯城堡七桥问题最早出现在康托尔夫的信末提及的题，它涉及到了一座连接着市区两岸的岛屿与河岸的七座桥，问题是：是否存在一条路径，可以恰好经过每座桥一次且只一次？这个问题看似简单，实质上却涉及了数学中的图论问题，是一道离散数学的经典问题。
通过解答这个问题，我们不仅能够深入理解图论的基本概念，还能够从中感受到数学家们的奇妙思维和深刻见解。
2. 哥尼斯城堡七桥问题的解答过程让我们来看看欧拉是如何解答这一问题的。
欧拉通过巧妙的建模与抽象，将问题转化为了图论中的一个基本问题——欧拉回路的存在性问题。
他发现，只有当每个顶点的度数都是偶数时，才可能存在欧拉回路。
而对于哥尼斯城堡的七座桥来说，其中有两座桥的度数是奇数，因此不可能存在符合要求的路径。
这一广义化的解答方法，为后来图论领域的发展奠定了基础，也引发了人们对数学方法和思维方式的深刻思考。
3. 哥尼斯城堡七桥问题的启示从欧拉的解答过程中，我们不仅能够感受到他对数学方法的精妙应用，还能从中领悟到解决问题的普适性原则。
欧拉的解决方法不依赖于特定的桥的数量和位置，而是基于对整个图结构的抽象分析，这种抽象的思维方式为解决其他复杂问题提供了有益的启示。
欧拉的解答方法还向我们展示了数学家们的严谨和求真精神，这种精神对于我们解决其他领域的问题同样具有深远的影响。
4. 个人观点和理解对于欧拉的哥尼斯城堡七桥问题，我深感敬佩。
欧拉通过对具体问题的抽象分析，不仅解决了问题本身，还奠定了图论领域的基础，为后人提供了解决其他复杂问题的方法和思路。
在我看来，欧拉的解答方法不仅展现了数学的美感，更启示我们在解决其他问题时应该注重抽象思维和普适性原则，追求真理的精神。
哥尼斯堡七桥问题与数学抽象
为了让大家理解“抽象”的优势， 了解“抽象”的思想、原则、方法和作用
实践“抽象”的过程， 学会“抽象”的手段，喜欢“抽象”。
案例：“哥尼斯堡七桥问题”
一、哥尼斯堡七桥问题
C
A
B
D
问题：能不能找到一条路线，使得散步 时不重复地走遍这七座桥。
欧拉：全新的问题；三步抽象
地图抽象：点线图
问题的抽象：“一笔画问题”
这正是哈里发的失误所在。
神奇的莫比乌斯带
我们通常讲的平面、曲 面通常有两个面，就像 一张纸有两个面一样。
但德国数学家莫比乌斯 (1790～1868)在 1858年发现了莫比乌 斯带，它只有一个面！
实验一：如果在裁好的一张纸条正中间画一 条线，粘成“莫比乌斯带”，再沿线剪开， 把这个圈一分为二。猜一猜，剪开后的结果 是什么，是两个圈儿吗？
不过，在橡皮几何里也有一些图形的性质保持不变 。例如：点变化后仍然是点，线变化后依旧是线， 相交的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交 。
简单地说，拓扑学就是研究有形的物体在连续变换 下，怎样还能保持性质不变。
拓扑学研究的课题极为有趣。比 如：左手戴的手套能否在空间掉 转位置后变成右手戴的手套？一 个车胎能否从里面朝外头把它翻 转过来？是否存在只有一个面的 纸张？一只有耳的茶杯与救生圈 或花瓶比较，与哪一个更相似些 ？诸如此类，都属于拓扑学研究 的范畴。许多难以置信的事情， 在拓扑学中似乎都有可能。
结论
一个点线图是“一笔画”的充分必要条件 它是连通的并且奇结点的个数为0或2。
——（一笔画原理）。 哥尼斯堡七桥问题:“不重复地走过七座桥” 是不可能的。
欧拉在圣彼得堡科学院发表了有关的论 文，开创了“图论”的先河，也开创了“拓 扑学”的先河
数学史上著名的哥尼斯堡七桥问题
数学史上著名的哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题是数学史上一道著名的问题，引起了许多数学家的关注和研究。
这个问题的发现者是瑞士数学家欧拉，他在1736年提出了这个问题并给出了解决方法，从而开创了图论的研究领域。
哥尼斯堡七桥问题的描述是：哥尼斯堡城市由一座岛屿和两岸的陆地组成，岛屿上有七座桥连接着不同的地方，问题是是否能够从一个地方出发，经过每座桥仅一次，返回出发地点。
这个问题看似简单，但却涉及到了许多复杂的数学概念和原理。
为了解决这个问题，欧拉引入了图论的概念。
他将岛屿、桥梁和地点抽象成为图的节点和边，通过分析节点和边的关系，他成功地解决了这个问题。
欧拉的解决方法是基于一个重要的原则：如果一个图中有多于两个奇数度的节点，那么无法找到一条路径经过每条边仅一次。
在哥尼斯堡的情况下，岛屿上的每个地点都是奇数度的，因此无法找到这样一条路径。
这一解决方法成为了图论的基础，也为后来的数学研究提供了重要的思路和方法。
哥尼斯堡七桥问题的解决不仅是一个具体问题的解决，更是对图论的奠基。
图论是一门研究图及其性质的学科，它广泛应用于计算机科学、网络科学、运筹学等领域。
图论的发展也推动了数学的发展，为许多实际问题的解决提供了重要的工具和方法。
除了在数学领域有重要的应用，哥尼斯堡七桥问题也在其他领域产生了广泛的影响。
例如，在城市规划中，人们借鉴了哥尼斯堡七桥问题的解决方法，避免了在设计桥梁和交通规划时出现无解的情况。
此外，在计算机科学中，图论的应用也得到了广泛的关注，例如在网络路由、图像处理和社交网络分析等方面。
总的来说，哥尼斯堡七桥问题是一个具有重要历史意义的问题，在数学史和学科发展史上都占有重要的地位。
它的解决不仅推动了图论的发展，也为其他领域的问题解决提供了重要的思路和方法。
哥尼斯堡七桥问题的解决不仅是一项数学成就，更是对人类思维能力的一种挑战和突破。
通过对这个问题的研究，我们能够更好地理解数学的力量和应用，同时也能够培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
哥尼斯堡七桥问题
七桥问题的起源
18世纪初，哥尼斯堡的居民开 始对城市中的七座桥梁产生了 浓厚的兴趣。
当时，人们开始思考是否能够 遍历这七座桥梁，每座桥只过 一次，最后回到起始点。
这个问题引起了广泛的关注和 讨论，成为了著名的哥尼斯堡 七桥问题。
02
问题描述
七座桥与哥尼斯堡城市的关系
哥尼斯堡是位于普鲁士王国的一个城市，拥有七座桥梁连接 城市的各个部分。这些桥梁是该城市的重要交通枢纽，也是 文化和历史遗产。
05
结论
哥尼斯堡七桥问题的历史地位和意义
1 2
开启图论研究先河
哥尼斯堡七桥问题被视为图论和欧拉路径研究的 起点，为后续图论学科的发展奠定了基础。
推动数学发展
该问题的解决推动了数学领域中拓扑学和几何学 的发展，对数学理论产生了深远的影响。
3
Hale Waihona Puke 激发探索精神哥尼斯堡七桥问题激发了人们对数学和图论的兴 趣，促使更多人投身于数学研究，推动数学科学 的进步。
物等，以推动数学和其他学科的共同发展。
THANKS
感谢观看
03
欧拉的研究
欧拉对七桥问题的初步探索
欧拉对七桥问题的初步探索始于对哥尼斯堡城市结构的观察。他注意到城市中的七座桥，并 思考是否可以从哥尼斯堡的一个地方开始，遍历所有的桥，每座桥只过一次，最后回到开始 的地方。
欧拉注意到，尽管哥尼斯堡的居民可能认为这是一个有趣的问题，但并没有实际的数学模型 或理论来支持或解决这个问题。
哥尼斯堡七桥问
• 引言 • 问题描述 • 欧拉的研究 • 七桥问题的扩展和影响 • 结论
01
引言
哥尼斯堡背景介绍
01
哥尼斯堡是普鲁士王国的城市， 位于普鲁士东部的奥得河畔，是 重要的交通枢纽和商业中心。
哥尼斯堡七桥问题
一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
哥尼斯堡七桥问题与数学抽象
1
思维是数学的灵魂；抽象思维是数 学思维中最根本、最基础的部分。
抽象就是把同类事件中最关键、最 根本的本质性的东西拿出来，加以归纳 综合，使其具有更大Fra bibliotek推广性和普适性 。
学会数学“抽象”是一种基本的数 学素养。
“抽象”是数学的武器，数学的优势 。
我们应该喜欢“抽象”，学会“抽 象”的手段。
不过，在橡皮几何里也有一些图形的性质保持不变 。例如：点变化后仍然是点，线变化后依旧是线， 相交的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交 。
简单地说，拓扑学就是研究有形的物体在连续变换 下，怎样还能保持性质不变。
拓扑学研究的课题极为有趣。比 如：左手戴的手套能否在空间掉 转位置后变成右手戴的手套？一 个车胎能否从里面朝外头把它翻 转过来？是否存在只有一个面的 纸张？一只有耳的茶杯与救生圈 或花瓶比较，与哪一个更相似些 ？诸如此类，都属于拓扑学研究 的范畴。许多难以置信的事情， 在拓扑学中似乎都有可能。
把问题转化为数学方式的叙述：找到“一个 图形是一笔画”的充分必要条件，并且对是 一笔画的图形给出一笔画的方法。
三步抽象的作用
第一步抽象是把地图抽象成“点线图 ”（把岛和岸抽象成点，把桥抽象成线 ），既简化了问题的条件，又突出了问 题的本质；
第二步抽象是把问题抽象成“一笔画 问题 ”，明确了问题的本质；
第三步抽象是把这个问题转化为数学 方式的叙述，便于我们数学方式的理性 思维。
三个层次的课堂讨论， 与欧拉共思考，同探索
欧拉把图形上的点分成了两类；请考虑：如 果是你，你会分成哪两类？
为了“一笔画”成功，图形中的偶结点多一 些好，还是奇结点多一些好？
奇结点少一些好， 少到几个才能“一笔画”呢？
第二讲 从哥尼斯堡七桥问题谈起
第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美，游人众多.在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？对于这个貌似简单的问题，许多人跃跃欲试，但都没有获得成功.直到1836年，瑞士著名的数学家欧拉才证明了这个问题的不可能性。
欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了.那么，什么叫一笔画？什么样的图可以一笔画出？欧拉又是如何彻底证明七桥问题的不可能性呢？下面，我们就来介绍这一方面的简单知识。
数学中，我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形叫做图（如图（a））；图中的点叫做图的结点；连接两结点的线叫做图的边.如图（b）中，有三个结点：E、F、G，四条边：线段EG、FG以及连接E、F的两段弧.从图（a）、（b）中可以看出，任意两点之间都有一条通路（即可以从其中一点出发，沿着图的边走到另一点，如A到I的通路为A→H→I或A→D→I…），这样的图，我们称为连通图；而下图中（c）的一些结点之间却不存在通路（如M与N），像这样的图就不是连通图。
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。
为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的八个结点全是奇点，上图（b）中E、F为奇点，G为偶点。
容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，沿箭头所指方向，经过F、G、E，最后到达奇点F；同理，从奇点F出发也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点G出发，却不能一笔画出.这是为什么呢？事实上，这并不是偶然现象.假定某个图可以一笔画成，且它的结点X既不是起点，也不是终点，而是中间点，那么X一定是一个偶点.这是因为无论何时通过一条边到达X，由于不能重复，必须从另一条边离开X.这样与X连结的边一定成对出现，所以X必为偶点，也就是说：奇点在一笔画中只能作为起或终点.由此可以看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
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为题，在彼得堡科学院作了一个
有趣的报告，把问题归结为如下 图形的“一笔画”问题。即连续
一笔画出这条曲线，既不重复也
不遗漏。
C
A
D
B
在图中，从A、B、C、D中每个点出发时，都有奇数条叉道。所以它 们都不能作为“路过”的点（这是因为“路过”的点，要有进有出，必 是偶数条叉道）。显然，A、B、C、D四点不可能都不是“路过”的点， 所以这个问题是不可能的。
作为一个趣题，已经有了一个确
切的答案，但它的意义远不止于此。 可以看到，“一笔画”问题与图形的
A
大小、形状无关，即图形作了某种变
形，能否一笔画出的答案不变（如七 桥问题画成右图的样子，与答案无 B C
关）。这就是现代“拓扑学”研究的
问题，所以哥尼斯堡七桥问题和欧拉， 成为“拓扑学”的先驱。 D
应当知道，“一笔画”问题对于解决最短邮路问题和其他规划问题是
哥尼斯堡七桥问题
这是一个广泛流传于民间的数学问题。 俄国的加里宁格勒，18世纪称为哥尼斯堡，普雷格尔河贯穿
全市。它有两个支流们建造了七座大桥把河的两岸连接起来。
于是有人提出这样的问题：一个人能不能一次走完这七座 大桥，既不重复也不遗漏？
这个问题使不少人大伤脑筋，
很有实际意义的。
1.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。 2.凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）一定可以一笔画成。 3.其他情况的图都不能一笔画成。