08-课件：55.2 迭代法

大连理工大学
罗晓芳
算法思想:利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，每次执行这组指令(或步骤)时，都从变量原值推出一个新值。

关键步骤：
1、确定迭代变量:也就是直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量。

2、建立迭代关系式: 指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。

3、对迭代过程进行控制。

在什么时候结束迭代过程?
迭代算法一般结构
小猴在一天内摘了若干个桃子，当天吃掉一半多一个；第二天吃掉剩下的一半桃子多一个；以后每天都吃尚存桃子的一半零一个。

直到第7天早上要吃时，只剩下一个了，问小猴共摘了多少个桃子？
例4：小猴吃桃子问题
问题分析：先从最后一天推出倒数第二天的桃子，再从倒数第二天推出倒数第三天的桃子，……
设第n天的桃子为x,它是前一天的桃子数的一半少一个
x n = x
n-1
/2-1
前一天的桃子数为：x
n-1=(x
n
+1)×2
(递推公式）设迭代变量x x=(x+1)*2
#include "stdio.h"
int main()
{
int i, x;x=1；printf("第7 天的桃子数为：1只\n");for(i=6; i>=1; i--){
x=(x+1)*2;
printf("第%d 天的桃子数为：%d 只", i , x);printf("\n");}
return 0;小猴吃桃子问题
迭代关系，迭代:原值推出新值//迭代变量赋初值思考:
小猴在一天内摘了94个桃子，
当天吃掉一半多一个；以后每天都吃尚存桃子的一半多一个，问小猴直到第几天早上要吃时只剩下一个了？
例5：用迭代法求a 的算术平方根。

公式：x n =0.5*(x n-1+a/x n-1)
确定初值为x0,新值为x1 取a/2为x0的初值，迭代结束条件:|x1-x0|<=10-5.
#include <stdio.h>#include <math.h>int main( )
{ float a, x0, x1;scanf("%f",&a);
x0=a/2; x1=(x0+a/x0)/2; while (fabs(x1-x0)>1e-5){
x0=x1;x1=(x0+a/x0)/2; }
printf("sqrt(a)=%f\n", x1);
零
非零
|x1-x0|>10-5？
x0=x1x1=(x0+a/x0)/2
x0=a/2x1=(x0+a/x0)/2
输出a ，x1
迭代:原值推出新值// 迭代变量赋初值//新值变原值//将循环结束
条件取反
1.分析：程序采用逐位分离的方法。

2.设x 为正整数，a=x%10分离个位
3.y=(a+5)%10每位加5后取个位
4.从个位开始保证逆序
5.x=x/10 为下次分离做准备，
6.
直到x=0结束。

例6：输入一个正整数，将其每位加5后取个位值逆向输出。

#include "stdio.h"int main( ){
int x, y ;
printf("Enter x:");
scanf("%d",&x);while(x!=0){
y=( (x%10)+5)%10;printf("%d", y);
x=x/10;}
//迭代变量赋初值迭代:原值推出新值例如：x=2645 输出结果是0917
x=2645 a=5 y=0x=264 a=4 y=9x=26 a=6 y=1x=2 a=2 y=7x=0
（x 是弧度i 取值[1,100] ）例7：利用公式求sinx 的近似值
（循环嵌套）
...
)!
1i 2()1(!5!3sinx 1
i 21i 5
3
+--+⋅⋅⋅-+-=-+x x x x 1. 第i 项的分子是x 的2*i-1次方，例如i=3时，第i 项分子是x 52. 第i 项的分母是的(2*i-1)!，例如i=3时，第i 项分母是5!
3. 第i 项的运算符号是(-1)i+1
4. 双重循环实现sinx 的计算，内循环实现第i 项的分子和分母的计算，外循环实现累加
#include <stdio.h> #include <math.h> int main(){ int i,j;
double sum=0,flag=1;double x,t;
printf("输入角度\n");
scanf("%lf",&x); x=x*3.1415926/180; /*度化为弧度*/for(i=1;i<=100;i++){
t=1;
for(j=1;j<=2*i-1;j++)t=t*j;
sum=sum+flag*pow(x, 2*i-1)/t;flag=-flag;}
printf("sum=%f\n",sum);return 0;}
//开始求阶乘，注意容器在此处清空！
...
)!
1i 2()1(!5!3sinx 1
i 21i 5
3+--+⋅⋅⋅-+-=-+x
x x x
例8：利用公式求sinx 的近似值
(迭代法)
分析：循环累加问题也是迭代法的应用，本题采用两次迭代S i =S i-1+t 。

t i =-k*t i-1
1.
设i 为项数,s 为累加和，s=s+级数的下一项
2.第i 项的绝对值：x 2i-1/(2i-1)! 第i 项的运算符号(-1)i+1
3.第i+1项的绝对值等于x 2(i+1)-1/(2(i+1)-1)!= x 2i+1/(2i+1)!
4.因此,第i+1项的绝对值等于第i 项的绝对值乘x 2再除以(2i)*(2i+1)
5.
级数的下一项可用下面表达式实现：
下一项= -(上一项)*x*x/((2*i)*(2*i+1));
...
)!
1i 2()1(!5!3sinx 1
i 21i 5
3
+--+⋅⋅⋅-+-=-+x
x x x
#include "stdio.h "
int main()
{ int i;
double x,t,s=0;scanf("%lf ",&x);
x=x*3.1415926/180; ; /*度化为弧度*/t=x;for(i=1;i<=100;i++){
s=s+t;
t=-t*x*x/((2*i)*(2*i+1));}
printf("sin(x)=%f\n ",s);return 0;}//迭代关系，迭代:原值推出新值//迭代变量赋初值11
程序演示
...
)!1i 2()1(!5!3sinx 1
i 21i 5
3+--+⋅⋅⋅-+-=-+x
x x x
#include <stdio.h>int main ( ){ int i;
float temp, s=0, m=1.0, n=2.0;for (i=1; i<=10; i++){
s += m/n;temp = m+n;m = n;n = temp;}
printf (“s = %f ”, s);return 0;}
例9：求分数序列前10项之和⋅
⋅⋅，，，，85533221从第二项起，每一项的分子是前一项的分母，每一项分母是前一项分子与分母之和。

项数分子m 分母n
112221+2332+34
5
3+5
12
程序演示
每一项都是斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21 从第二项开始前后两数的商。

斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21S 1=1,S 2=1 S i =S i-1+S i-2 i>=3。