高考数学双曲线
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
数学高考知识点双曲线
数学高考知识点双曲线双曲线是高考数学中的重要知识点之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。
本文将从双曲线的定义、图像、性质和应用几个方面进行讨论。
一、双曲线的定义双曲线是平面上一类点的集合，满足到两个给定点的距离的差等于一个常数的条件。
具体来说，对于给定的两个焦点F1和F2，双曲线上任意一点P到F1的距离减去到F2的距离得到的差等于常数c，即PF1 - PF2 = c。
二、双曲线的图像双曲线的图像呈现出两个分离的无限曲线，它们相对于两个焦点对称。
双曲线图像的形状与离心率有关，离心率越大，曲线的形状越扁平；离心率越小，曲线的形状越尖锐。
三、双曲线的性质1. 双曲线的离心率 e = c / a，其中c为焦点之间的距离，a为焦点到对称轴的距离。
2. 双曲线有两条渐进线，渐近线是曲线与直线无限相接的情况，双曲线的渐进线与曲线的极限形态相关。
3. 双曲线有两个对称轴，与椭圆和抛物线不同的是，双曲线的对称轴与曲线相交而不是切线。
4. 双曲线有焦点和顶点，它们在平面上是两个对称的点，顶点位于曲线的中心位置。
四、双曲线的应用1. 物理学中的双曲线：双曲线在天体力学、声学和光学中有广泛的应用。
例如，双曲线可以描述天体的轨迹，声学中的雷达测距原理也建立在双曲线的概念上。
2. 经济学中的双曲线：双曲线可以用来分析货币的供给和需求，以及金融市场的波动和趋势。
3. 电子工程中的双曲线：双曲线在电路分析和信号处理中有一定的应用。
例如，高频电路中的天线和滤波器设计使用了双曲线的原理。
总结起来，双曲线是高考数学中的一个重要知识点，它的定义、图像、性质和应用都有着广泛的应用领域。
掌握了双曲线的相关知识，不仅有助于理解几何和代数中的概念，还能在物理学、经济学和电子工程等领域中找到更多的应用。
因此，对于准备参加高考的学生来说，理解和掌握双曲线的相关知识是十分重要的。
高考数学一轮复习双曲线的定义、方程及性质
双曲线的定义、方程及性质
CONTENTS
01
考点·分类突破
02
课时·过关检测
/目录
01
目录
双曲线的定义及应用
【例1】
2 2
（1）（2020·全国Ⅲ卷）设双曲线C： 2－ 2 ＝1（a＞0，b＞0）的
左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的
8
2
B. －y2＝1
8
2
C.x2－ ＝1（x≤－1）
8
2
D.x2－ ＝1（x≥1）
8
目录
解析 （2）设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得｜MC1｜
＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以点M的轨迹是以点
C1（－3，0）和C2（3，0）为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，
3
坐标为（±2，0），A错误；双曲线C的渐近线方程为y＝± x＝± 3x，B正
2
3
确；因为22－
3
＝1，所以点（2，3）在双曲线C上，C正确；直线mx－y－m＝0
即y＝m（x－1），恒过点（1，0），当m＝± 3时，直线与双曲线C的一条渐近
线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误.
目录
2 2
面积为4，则a＝
A.1
B.2
C.4
D.8
（
）
目录
解析 （1）法一：设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P为双曲线右支上一点，则
1
2
△ ＝ mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝ ＝ 5，所以a＝1，故选A.
高考数学——双曲线-考点复习
3
考向一 双曲线的定义和标准方程
1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值 为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一 支．同时注意定义的转化应用． @#网
2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意 a、b、c 的关系易错易混.
y= ±bx a
y= ±ax b
=e 2=c c (e > 1) 2a a
2．等轴双曲线的概念和性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为 x2 − y2 = λ(λ ≠ 0) ； （2）渐近线方程为 y = ± x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于 2a ，离心率 e = 2 ．
（2）符号语言： MF1 − MF2 = 2a，0 < 2a < F1F2 .
（3）当 MF1 − MF2 = 2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的双曲线的一支； 当 MF1 − MF2 = −2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应的双曲线的一支； 当 2a =| F1F2 | 时，轨迹为分别以 F1，F2 为端点的两条射线； 当 2a >| F1F2 | 时，动点轨迹不存在．
得 | PF2 |2 =8a,则双曲线的离心率的取值范围是
.
PF1
【答案】(1,3]
4．已知点 P 为双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b
>
0) 右支上一点，点 F1, F2 分别为双曲线的左、右焦点，点 I
是
△PF1F2 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 S△IPF1
高考双曲线抛物线知识点
高考双曲线抛物线知识点高考数学考试中，高中数学知识占据了很大的比重，其中双曲线和抛物线是高考必考的重要知识点。
本文将对双曲线和抛物线的相关概念、特点以及应用进行介绍，帮助考生全面理解和掌握这两个知识点。
1. 双曲线的概念和特点双曲线是由二次方程的图像所得，常见的双曲线方程有两种形式：$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ 和 $y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1$，其中 a 和b 是正实数。
双曲线的形状特点是两支分离，且与坐标轴无交点。
双曲线的中心在坐标原点 O(0,0) 处。
在坐标平面上，双曲线的两个分支分别向 x 轴和 y 轴无限延伸。
2. 双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用。
例如，光的折射是双曲线的一个重要应用。
当一束光从一个介质折射到另一个介质中时，光的传播路径将形成一个双曲线。
这个现象在眼镜、显微镜、望远镜等光学仪器中都有应用。
此外，双曲线还广泛应用于电磁场、无线通信和经济学等领域。
在电磁场中，电荷的分布和电场力线之间的关系可以由双曲线来描述。
在无线通信中，天线辐射和接收的信号模式也可以用双曲线表示。
在经济学中，供求关系也可以通过双曲线来进行分析和预测。
3. 抛物线的概念和特点抛物线是由二次方程的图像所得，常见的抛物线方程是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a、b 和 c 是实数且a ≠ 0。
抛物线的形状特点是开口方向，即上开或下开，取决于抛物线方程中 a 的正负。
抛物线的对称轴是与 y 轴平行的直线，其方程为 x = h，其中 h 是实数。
抛物线的顶点是位于对称轴上的点，其坐标为 (h, k)，其中 k 是实数。
4. 抛物线的应用抛物线在现实生活中也有许多实际应用。
例如，抛物线的形状是喷泉水柱的弹射轨迹，喷泉中的水从喷嘴射出后形成一个抛物线形状的水柱。
这种形状使得喷泉的水能够均匀地覆盖大面积区域，增加景观效果。
此外，抛物线还广泛应用于桥梁设计、体育运动和火箭发射等领域。
2024年高考数学---双曲线及其性质
1)与双曲线 x2 - y2 =1(a>0,b>0)渐近线相同的双曲线方程可设为 x2 - y2 =λ
a2 b2
a2 b2
(λ≠0);
2)过两个已知点的双曲线方程可设为mx2+ny2=1(mn<0)或mx2-ny2=1(mn>0).
例1 (2022辽宁鞍山一中月考,13)与椭圆 x2 + y2 =1有公共焦点,且离心率
基础篇
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线.
2.标准方程
焦点在x轴上: x2 - y2 =1(a>0,b>0);
a2 b2
焦点在y轴上: y2 - x2 =1(a>0,b>0).
a2 b2
3.焦点三角形问题
考点三 直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题,相交弦问题及其他
综合问题,常用下面的方法解题:
联立双曲线C的方程 x2 - y2 =1(a>0,b>0)与直线l的方程y=kx+m(m≠0),消去
a2 b2
y,整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
c2 a2
=
a2 b2 a2
=
1
b2 a2
求解.
2.列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关
于e的方程(或不等式)求解.
3.构造焦点三角形,利用定义转化为焦点三角形三边的关系,如图,e= c =
a
2c = | F1F2 |
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解44 双曲线(含解析)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点44 双曲线一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考点题型分析考点题型一 双曲线的定义【例1-1】(2022·浙江省德清县第三中学)已知双曲线22:14x G y -=的左､右焦点分别为1F ､2F ，若点P 在G 的右支上，且21PF =，则1PF =( ) A ．3B ．5C ．251D ．251+【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为2214x y -=，所以2a =又212PF PF a -=，所以1245PF PF =+=故选：B【例1-2】．(2022·河北张家口市)已知12(6,0),(6,0)F F -，动点P 满足21|PF PF a -=∣，当a 分别为4和12时，点P 的轨迹分别为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线 D ．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，得1212F F =当4a =时，21124PF PF a F F -==<，可知点P 的轨迹为双曲线左支； 当12a =时，211212PF PF a FF -===，可知点P 的轨迹为以1F 为端点的一条射线.故选：C【例1-3】．(2022·全国课时练习)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________. 【答案】4【解析】由双曲线方程知：12||2F F c == 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222121212121212||||||2||||cos (||||)||||F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，∴21212||||8(||||)PF PF PF PF ⋅=--，而12||||||2PF PF -=， ∴12||||4PF PF ⋅=. 故答案为：4.【举一反三】1．(2022·上海普陀区)设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】C【解析】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．(2022·上海市)已知两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN -=，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线C ．一条射线D ．双曲线的右支【答案】C【解析】由两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN MN -==， 所以动点P 的轨迹是一条射线.故选：C3．(2022·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，()12,0F -，()22,0F ，12PF PF a -=(a ∈R )，若点P 的轨迹为双曲线，则a 的取值范围是( ) A ．()0,4 B ．(]0,4 C ．()4,+∞ D ．()()0,44,+∞【答案】A【解析】12PF PF a -=，由点P 的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PF PF F F <=-，所以04a <<故选: A4．(2022·全国高三专题练习)已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为____________【解析】双曲线22:13x C y -=，则223,1a b ==，所以2224c a b =+=，利用双曲线定义知，122PF PF a -==两边平方得221212||||122||||PF PF PF PF +=+⋅，且12||24F F c ==，1260F PF ∠=由余弦定理22212212121212||||||122||||161cos 2||||2||||2PF PF FF PF PF F PF PF PF PF PF +-+⋅-∠===⋅⋅， 解得：12||||4PF PF ⋅=，则121211||||sin 604222PF F S PF PF =⋅⋅∠=⨯⨯=考点题型二 双曲线的标准方程【例2-1】(2022·福建龙岩市)“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A ．【例2-2】．(2022·全国课时练习)过点(1,1)，且ba=( ) A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -=【答案】D【解析】由ba=222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a -=，将点(1,1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=.同理，焦点在y 轴上时，双曲线方程为22112y x -=.故选：D【举一反三】1．(2022·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，2a =离心率52e =，求双曲线的标准方程； (2)11a c +=，3c a -=，焦点在y 轴上，求双曲线的标准方程．【答案】(1)224121x y -=；(2)2211633y x -=.【解析】(1)由题意可得252a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，5c ∴=，b =因为双曲线的焦点在x 轴上，因此，双曲线的标准方程为224121x y -=； (2)由已知条件可得113a c c a +=⎧⎨-=⎩，解得74c a =⎧⎨=⎩，b ∴==因为双曲线的焦点在y 轴上，因此，双曲线的标准方程为2211633y x -= 2．(2022·浙江)已知曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，( )A ．若E 表示双曲线，则2m >B ．若12m <<，则E 表示双曲线C ．若E 表示椭圆，则2m >D ．若12m <<且32m ≠，则E 表示椭圆 【答案】D【解析】因为曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，当()()120m m -->解得2m >或1m <时曲线表示双曲线；当102012m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩即12m <<且32m ≠时曲线表示椭圆；故选：D3．(2022·江苏南通市)命题:p “34m <<”是命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”，则()()350m m -->，即()()350m m --<， 解得35m <<由于命题p 能推出命题q ，命题q 不能推出命题p 则命题p 是命题q 的充分不必要条件 故选：C考点题型三 直线与曲线的位置关系【例3】(2022·全国课时练习)若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，求实数k 的取值范围． 【答案】22k -<<【解析】4x 2－y 2＝16渐近线方程为2y x =±，因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，所以k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由0∆>可得()241640k ⨯->，解得22k -<<.【举一反三】1．(2022·徐汇区·上海中学)已知直线()1y kx k =+∈R 与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】k =k =【解析】由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得()223220k x kx ---=，因为直线与双曲线有一个公共点，所以230k -=或()()()2223024320k k k ⎧-≠⎪⎨∆=----=⎪⎩，解得k =k =2．(2022·江苏南通市)直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有( )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390kx k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=.综上所述，k 的取值有4个.故选：D.3．(2022·陕西宝鸡市)如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ．考点题型四 弦长【例4】(2022·全国高三专题练习)直线x ＋y ＝1与双曲线4x 2－y 2＝1相交所得弦长为( )A．3B．3CD【答案】B【解析】将直线1x y +＝代入2241x y -＝得23220x x +-=. 设两交点()()1122,,,A x y B x y ，则12122233x x x x +-=-＝，，123AB x ∴=-==.故选:B ． 【举一反三】1．(2022·辽宁朝阳市·高三月考)直线0x y -=与双曲线2222x y -=有两个交点为A ，B ，则AB =( ) A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【解析】由22220x y x y ⎧-=⎨-=⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩4AB ==.故选：C ．2．(2022·全国高三专题练习)过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k--＝8，解得k ＝1. 所以x 1x 2＝2232321012k k k -+--＝10. 所以|AB |.故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -=， ① 222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2. 由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝.故选：D考点题型五 离心率与渐近线【例3】(2022·浙江湖州市)双曲线2214y x -=的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)2y x=±【解析】由题可知1a=，2b=，故c=e==渐近线方程为：by xa=±即2y x=±.2y x=±【举一反三】1．(2022·浙江杭州市·学军中学)双曲线22143x y-=的渐近线方程是___________；离心率为___________.【答案】2y x=±2【解析】由双曲线方程得：2,a b==，则c=因此渐近线方程是2y x=±；离心率为2ca=故答案为：2y x=±；22．(2022·湖北高三一模)已知12,F F分别是双曲线C的左､右焦点，若双曲线C上存在一点M满足1212::12:13:5MF MF F F=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【解析】设121212,13,5MF k MF k F F k===双曲线的离心率122125521312F Fc kea MF MF k k====--.故答案为：53．(2022·河北张家口市)已知椭圆221259x y+=和双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>有共同焦点12,,F F P是它们的一个交点，且123F PFπ∠=，则双曲线的离心率为_____________.【答案】13【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为a ， 根据椭圆及双曲线的定义：121210,2PF PF PF PF a +=-=， 所以125,5PF a PF a =+=-，12128,3F F F PF π=∠=， 由余弦定理可得，2264(5)(5)2(5)(5)cos 3a a a a π=++--+-，整理得213a =，13c e a ===..。
高考数学(文科)总复习 9.4 双曲线及其性质
- a,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM= b
y0= 2 y0 =
x0 2x0
y1 y2 =-
x1 x2
23,又知kAB=-1,∴-
3 2
×(-1)=- a ,∴ a =- 3 ,故选A. bb2
答案 A
方法技巧
方法1 求双曲线的标准方程的方法
1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定 2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出双曲线方程. 2.待定系数法:根据双曲线焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根 据条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出双曲线的标准方程.
考点清单
考点一 双曲线的定义及其标准方程
考向基础 1.双曲线的定义 (1)双曲线的定义用符号表示为 ||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|. (2)当|MF1|-|MF2|=2a时,轨迹为焦点F2所对应的双曲线的一支. 当|MF1|-|MF2|=-2a时,轨迹为焦点F1所对应的双曲线的一支. 当2a=|F1F2|时,轨迹为分别以F1、F2为端点的两条射线. 当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
x2 y2
过两个已知点,则双曲线方程可设为 m + n =1(mn<0),也可设为Ax2+By2= 1(AB<0).
例1 设双曲线与椭圆 x2 + y2 =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个 27 36
交点的坐标为( 15 ,4),则此双曲线的标准方程是
.
解析 解法一:椭圆 2x72 + 3y62 =1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为 ay22 -
的距离d= | 4 | ≤ 2 ,即2b2+8≥16,∴b2≥4,又知双曲线离心率e= c =
高考数学一轮复习第七章第六讲双曲线课件
项目
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
(续表)
项目
范围 性 对称性 质 顶点
渐近线
ax22－by22＝1(a>0，b>0) x≥a或x≤－a，y∈R
对称轴：坐标轴 A1(－a，0)，A2(a，0)
y＝±bax
ay22－bx22＝1(a>0，b>0) x∈R，y≤－a或y≥a 对称中心：原点 A1(0，－a)，A2(0，a)
(5)双曲线的离心率公式可表示为 e＝ 1＋ba22.
考点一 双曲线的定义
1. x2＋(y－3)2－ x2＋(y＋3)2＝4 表示的曲线方程为( )
A.x42－y52＝1(x≤－2)
B.x42－y52＝1(x≥2)
C.y42－x52＝1(y≤－2)
D.y42－x52＝1(y≥2)
解析： x2＋(y－3)2的几何意义为点 M(x，y)到点 F1(0，3)的 距离， x2＋(y＋3)2的几何意义为点 M(x，y)到点 F2(0，－3)的距 离，则 x2＋(y－3)2－ x2＋(y＋3)2＝4 表示点 M(x，y)到点 F1(0， 3)的距离与到点 F2(0，－3)的距离的差为 4，且 4<|F1F2|，所以点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半 轴长 a＝2，半焦距 c＝3，所以 b2＝c2－a2＝5，则 x2＋(y－3)2－
解析：因为|PF2|为 F2(c，0)到直线 y＝bax 的距离， 则|PF2|＝ b|b2＋c| a2＝b，所以 b＝2.
联立，得y＝bax， y＝－ab(x－c)，
可得 x＝ac2，y＝acb，即 Pac2，acb.
高三双曲线的知识点总结
高三双曲线的知识点总结高三阶段是学生面临高考冲刺阶段的重要时期。
在数学中，双曲线是一个重要的概念，它在高等数学中具有广泛的应用。
在此，我将对高三阶段学习中的双曲线相关知识点进行总结和归纳。
一、双曲线的基本定义双曲线是指平面上到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的集合。
一般来说，双曲线可以分为两类：横向双曲线和纵向双曲线。
- 横向双曲线的方程一般形式为：(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1，其中(a > 0, b > 0)。
- 纵向双曲线的方程一般形式为：(y - k)² / a² - (x - h)² / b² = 1，其中(a > 0, b > 0)。
双曲线的标准方程：双曲线的标准方程一般形式为x^2 / a^2 -y^2 / b^2 = c，其中a、b、c是常数。
二、双曲线的图像特征从双曲线的方程可以看出，双曲线的图像具有以下特点：1. 具有两个分支：双曲线有两个分离的分支，分别沿焦点的两侧延伸。
2. 双曲线的对称轴：对称轴是双曲线的一条轴线，通过双曲线的中心点，垂直于双曲线的两个分支，并且与两个分支都相交。
3. 焦点和直线的关系：焦点是双曲线的一个重要特点，它与双曲线上的点之间的距离之差等于常数。
同时，双曲线上的每个点到焦点的距离之和等于双曲线的长轴的长度。
4. 双曲线的渐近线：双曲线的渐近线是双曲线的两个分支在无限远处趋于的直线。
横向双曲线的渐近线是y = ±(b / a) * x，纵向双曲线的渐近线是y = ±(a / b) * x。
5. 双曲线的离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，它决定了双曲线的形状。
离心率的计算公式为e = √(a^2 + b^2) / a。
三、双曲线的性质和应用1. 高中阶段，双曲线的主要性质是焦点、顶点、长轴、短轴之间的关系。
双曲线 2025年高考数学基础专项复习
2.待定系数法
（1）若焦点位置不确定时,先确定焦点位置在 轴还是 轴上，设出标准方程，再由题中条件确定 , 的值，即“先定型，再定量”；若不能确定焦点位置，可以设双曲线的方程为 .
教材知识萃取
（2）常见设法①与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为 ;②若双曲线的渐近线方程为 ,则双曲线方程可设为 ;
教材知识萃取
③与双曲线 共焦点的双曲线方程可设为 （ ，且 ）;④与椭圆 共焦点的双曲线方程可设为 .
教材素材变式
1.［人A选必一P121练习第3题变式］已知方程表示双曲线，则 的取值范围是( )
D
A. C. D.
【解析】由题意得,解得或 ,故选D.
2.［多选］［人A选必一P108例3变式］设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点 ，且它们的斜率之积为常数 ，则下列结论正确的是( )
A
图1
图2
A. B. C. D.
【解析】设双曲线与圆在第一象限的交点为,由题意可知,为坐标原点,点在直线上,圆 的直径为6,半径为3,故圆的方程为,联立得解得,则,.因为,所以 ,设双曲线的方程为,将,,的坐标分别代入并解方程组得, ,所以双曲线的方程为 ,故选A.
5.中等［人A选必一P128习题3.2第11题变式］已知,分别为直线和上的点，且（ 为坐标原点）的面积为2，则线段的中点 的轨迹方程为( )
图2
图1
变式1 变设问如图，设双曲线的左焦点和右焦点分别是 ， ，点是 右支上的一点，则 的最小值为( )
C
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】由双曲线可得,,所以,所以, .由双曲线的定义可得,所以,所以 .由双曲线的性质可知,（双曲线上的点到焦点的距离都不小于）令,则,所以 .令,则在上单调递增,（易忽视 的范围,错误地使用基本不等式求最值）所以当时,取得最小值，为,此时点为双曲线的右顶点,故 的最小值为7.
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2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》
双曲线
1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2－
y2
b2＝1
(a>0，b>0)
y2
a2－
x2
b2＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±
b
a x y＝±
a
b x
离心率e＝
c
a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a
2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双
曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做
双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；
当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．
2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？
提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.
3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？
提示 离心率受到影响．∵e ＝c a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，故当a >b >0时，1<e <2，当a ＝b >0时，
e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0<a <b 时，e > 2.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n
＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n
＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22
＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )
题组二 教材改编
2．若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. 5
B ．5 C. 2
D ．2 答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b
＝0，即bx ±ay ＝0，。