2013年模式识别考试题和答案

2013–2014 学年度 模式识别 课程期末考试试题

一、计算题 （共20分）

在目标识别中，假定类型1ω为敌方目标，类型2ω为诱饵（假目标），已知先验概率P (1ω)=0.2和P (2ω)=0.8，类概率密度函数如下：

⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤-<≤=其它021210)(1x x x x

x p ω

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-<≤=其它0323211-)(2x x x x x p ω

1、求贝叶斯最小误判概率准则下的判决域，并判断样本x =1.5属于哪一类；

2、求总错误概率p (e )；

3、假设正确判断的损失λ11=λ22=0，误判损失分别为λ12和λ21，若采用最小损失判决准则，λ12和λ21满足怎样的关系时，会使上述对x =1.5的判断相反？

解：（1）应用贝叶斯最小误判概率准则如果

)()()(2112ωω=x p x p x l <>)()

(12ωωP P 则判 ⎩⎨⎧ωω∈21

x （2分）

得 l 12(1.5)=1 <

)()

(12ωωP P =4，故 x=1.5属于ω2 。（2分）

（2）P(e)= 212121)()()(εω+εω=P P e P

⎰⎰ΩΩωω+ωω=1

2

)()()()(2211x

d x p P x d x p P

=

dx

x x x ⎰⎰-+- 1.2

1

2

1.2

10.8d )2(0.2）（=0.08

（算式正确2分，计算错误扣1～2分）

(3) 两类问题的最小损失准则的似然比形式的判决规则为：

如果

)

)(())(()()(111212221221λ-λωλ-λω<

>ωωP P x p x p

则判

⎩⎨⎧ωω∈21

x 带入x=1.5得到 λ12≥4λ21

二、证明题（共20分）

设p(x)~N (μ,σ)，窗函数ϕ(x)~N (0,1)，试证明Parzen 窗估计1

1

ˆ()(

)N

i

N i N

N

x x p x Nh h ϕ=-=

∑

有如下性质：22

ˆ[()](,)N N E p x N h μσ+ 。

证明：（1）（为书写方便，以下省略了h N 的下标N ）

22

22

22

2222222222

222211()()()()]22111exp[()()]2221111exp{[()2()]}221

1111exp[()]exp{()[2222y x y x y p y dy dy

h h y x y dy

h x x y y dy

h h h x y h h μϕσμπσσ

μμπσσσσ

μπσσσ∞

∞

-∞

-∞∞

-∞∞

-∞

∞

-∞---=----=--=

-+-+++=-+-+-⎰

⎰⎰⎰

⎰2222()]}x h y dy h σμσ++

222222

2222222222221

1()exp[(exp()22()2

11()exp[22()1()]2()x x h y dy

h h h x h x h μσμπσσσσμπσσμσ∞

+=-+--+-=-+-=-+⎰

（1-1）

121211ˆ[()][()](,,...,)N

i N N N i x x E p

x p x x x dx dx dx Nh h ϕ∞

=-∞

-=∑⎰⎰⎰

因为样本独立

121211ˆ[()][()]()()...()N i N N N i x x E p

x p x p x p x dx dx dx Nh h ϕ∞

=-∞

-=∑⎰⎰⎰

111112221

{()()()[()]}()...()N

i N N i x x x x p x dx p x dx p x p x dx dx Nh h h ϕϕ∞∞

=-∞-∞--=+∑⎰⎰⎰⎰

1211222222333

1{()()()()()()[(

)]}()...()N

i

N N i x x x x p x dx p x dx p x dx Nh h h x x p x dx p x p x dx dx h

ϕϕϕ∞∞∞

-∞-∞-∞

∞

=-∞

--=++-⎰⎰⎰⎰⎰∑⎰

1

1

11()()(

)()N N

i i

i i i i i i x x x x p x dx p x dx Nh h Nh h ϕϕ∞

∞

==-∞

-∞

--==∑∑⎰

⎰

将（1-1）式代入，得

2

2

22221

11()1()ˆ[()]]]2()2()N

N i x x E p x Nh h h μμσσ=--=-=-++∑故

22

ˆ[()](,)N N E p x N h μσ+

证毕。

三、综合题（共20分）

设两类问题，已知七个二维矢量：

(1)1231{(1,0)',(0,1)',(0,1)'}X x x x ω====-∈

(2)45672{(0,0)',(0,2)',(0,2)',(2,0)'}X x x x x ω====-=-∈

（1）画出1-NN 最近邻法决策面；

（2）若按离样本均值距离的大小进行分类，试画出决策面。

解：