第八章假设检验§1基本概念一、假设检验的基本原理在总体的分布

第八章 假设检验

§1 基本概念

一、假设检验的基本原理

在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性质, 提出某些关于总体的假设 例如, 提出总体服从泊松分布的假设;

假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断: 是接受, 还是拒绝

例1 、某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512) 问机器是否正常?

分析：μσ用和分别表示这一天袋X 装糖重总体的均值和标准差，

2 ~(,0.015),X N μ则

问题: 根据样本值判断机器正常（0.5μ=）或不正常（0.5 . μ≠） 提出两个对立假设 00:0.5H μμ== 10: H μμ≠

再利用已知样本作出判断是接受假设0H (拒绝假设1H ) ,还是拒绝假设0H (接受假设1H ).由于要检验的假设设计总体均值, 故可借助于样本均值来判断。

,X μ因为是的无偏估计量00 , || ,H x μ-所以若为真则不应太大

0|||, x x μ-衡量的大小可归结为衡量

的大小于是可以选定一个适当的正数

k ，当观察值0 ,x k H ≥时拒绝假设，反之当当观察值 x 满足

0,.k H <时接受假设。0~(0,1),X H Z N =

因为当为真时由标准正态分

布分位点的定义得/2k z α=，/20,,

z H α≥时拒绝/2z α<时接受0H 。

过程如下: 0.05,α=在实例中若取定/20.025 1.96,k z z α===则又已知

9, n =0.01

σ= 0.51x =由样本算得 2.21.96,

=

>即有于是拒绝

0H ,认为包装机工作不正常。

二、假设检验的相关概念

1、 原假设（零假设）0H 与备择假设（对立假设）1H

2、 显著性水平α 0, ,z k x μ=

≥如果则称与的差异是显著的则

0, H 拒绝0, , z k x μ=

<反之如果则称与的差异是,不显著的0 H 接受

α数称为显著性水平，0x μ上述关于与有无显著差异的判断是在显著性水平

. α之下作出的

3、拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域C 中的值时, 我们拒绝原假设

0H , 则称区域C 为0H 的拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点

4、 两类错误及记号 假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误有两类:

（1） 当原假设0H 为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出了拒绝0H 的判断, 称

做第一类错误, 又叫弃真错误, 这类错误是“以真为假”. 犯第一类错误的概率是显著性水平α00()P H H =拒绝为真

（2）当原假设0H 不真,而观察值却落入接受域, 而作出了接受0H 的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误, 这类错误是“以假为真”. 犯第二类错误的概率记为00()P H H β=接受为假

当样本容量n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大，若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量.

1、显著性检验 只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验

二、 假设检验的一般步骤

01., H 根据实际问题的要求提出原假设及备择1 H 假设

2. n α给定显著性水平以及样本容量

3 确定检验统计量以及拒绝域形式

004.{}P H H α=按为真拒绝求出拒绝域

§2 单个正态总体均值和方差的假设检验 一、单个正态总体均值μ的检验（水平α） 问题1 设总体2(,)X

N μσ，样本1,

,n X X ，给定检验水平α，待检验问题

00

10::H H μμμμ=≠（双边检验）

解：（1）若2σ为已知，由

0H 为真时 N(0,1)X Z =

，根据上分位点的概

念得2()P Z Z αα>=，所以0H 的拒绝域为2C Z Z α⎧⎫

=>⎨⎬⎩⎭，根据样本点可以判断

接受还是拒绝0H

（2）若2σ为未知，由

0H 为真时， T

(1)X t n =

-，同样根据上分位点

得2

((1))P T t n αα>-=，所以0H 的拒绝域为2

{(1)}C T t n α=>-，根据样本点可以

判断接受还是拒绝0H

问题2 设总体2(,)X

N μσ，样本1,

,n X X ，给定检验水平α，待检验问题

00

010:():H H μμμμμμ≥=<（单边检验）

解：（1）若2σ为已知，由

0H 为真时 N(0,1)X Z =

，根据上分位点的概

念得()P Z Z αα<-=，所以0H 的拒绝域为{}C Z Z α=<-，根据样本点可以判断接受还是拒绝0H

（2）若2σ为未知，由

0H 为真时， T

(1)X t n =

-，同样根据上分位点

得((1))P T t n αα<--=，所以0H 的拒绝域为{(1)}C T t n α=<--，根据样本点可