整式及其运算

一、 知识点详解

整式的有关概念

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个

数或一个字母也是代数式。

2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 23

13-。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。

多项式

1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项多项式

中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式

的次数。

①单项式和多项式统称整式。

②用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。

③注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。

（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。

2、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

3、去括号法则

①括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。

②括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。

4、整式的运算法则

整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=•

),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n =

22))((b a b a b a -=-+

2222)(b ab a b a ++=+

2222)(b ab a b a +-=-

整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数

二、 例题详解

考点1: 单项式 多项式 整式

例1. 找出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．

x －7，13x ，23a ，8a 3x ，－1，x ＋13．

练习1. 在代数式－2x 2，ax ，12x ，2x 3，1＋a ，－b ，3＋2a ，x ＋y 2中单项式共有（ ）

A. 2个

B. 4个

C. 6个

D. 8个

2. 已知单项式－x m y 2z 7的次数是8，求m 的值．

考点2：同类项

例1.如果13x a ＋2y 3与－3x 3y 2b －1是同类项，那么a 、b 的值分别是 （ ）

A. ⎩⎨⎧a ＝1b ＝2

B. ⎩⎨⎧a ＝0b ＝2

C. ⎩⎨⎧a ＝2b ＝1

D. ⎩⎨⎧a ＝1b ＝1

练习、1．如果2x 3n y m+4与-3x 9y 2n 是同类项，那么m 、n 的值分别为（ ）

A ．m=-2，n=3

B ．m=2，n=3

C ．m=-3，n=2

D ．m=3，n=2

2、合并同类项：226x y x y -+= ，3356

x x -= 考点3：整式运算及运用

例1. 222(26)4(353)a a a a --+- ()()()232

3337235x x x x x ⋅-+⋅

2222()()3()x x xy y y x xy y xy y x ++-+++- 233222211(2)22

x y x y x y xy -+÷

22(1)(2)22()ab ab a b ab ⎡⎤+--+÷-⎣⎦ [5a 4·a 2－（3a 6）2÷（a 2）3]÷（－2a 2）2

例2．已知a ＋b ＝5，ab ＝7，求2

2

2b a +，a 2－ab ＋b 2的值．

例3

例4

例5．已知x 2－5x ＋1＝0，求221x

x +的值．

例6．已知a 2＋6a ＋b 2－10b ＋34＝0，求代数式（2a ＋b ）（3a －2b ）＋4ab 的值．

例7、若x 2－2x ＋10＋y 2＋6y ＝0，求（2x ＋y ）2的值．

三、 课堂练习

1、已知关于x 的多项式（m ﹣2）x 2﹣mx+3中的x 的一次项系数为﹣2，则这个多项式是 次 项式．

2、当k= 时，多项式2x 2﹣4xy+3y 2与﹣3kxy+5的和中不含xy 项．

3、有这样一道题：有两个代数式A ，B ，已知B 为4x 2﹣5x ﹣6．试求A+B ．马虎同学误将A+B 看成A ﹣B ，结果算得的答案是﹣7x 2+10x+12，则该题正确的答案： ．

4. 若5m+n =565n-m ，则m= ．

若a m =2，a n =5，则a m+n 等于 ．

5、计算：（x ﹣y ）2（x ﹣y ）3﹣（x ﹣y ）4（y ﹣x ）= ．

6、若（x ﹣2）（x ﹣n ）=x 2﹣mx+6，则m= ，n= ．

7、要使（x 2+ax+1）（﹣6x 3）的展开式中不含x 4项，则a= ．

8、若（x+y+z ）（x ﹣y+z ）=（A+B ）（A ﹣B ），且B=y ，则A= ．

9、已知（a+b+1）（a+b ﹣1）=63，则a+b= ．

10、计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）= （结果可用幂的形式表示）．．

11、计算：（1+a+b ）2= ．

12、若|x+y ﹣5|+（xy ﹣6）2=0，则x 2+y 2的值为 ．

13、已知31=+x x ，则代数式221x

x +的值为 ． 14、已知a 2b 2+a 2+b 2+16=10ab ，那么a 2+b 2= ．

15、计算(1) (3b + 2) (3b —2) (2) （a+2b －3）(a －2b+3)

(3) (y+2)(y －2)－(y －1)(y+5) (4) (－2m+5)2