椭圆综合测试题(含答案)

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中职数学椭圆、双曲线、抛物线测试卷(含答案)

数学拓展模块第二章椭圆、双曲线、抛物线(试卷A )一、选择题：（本大题有15个小题，每小题3分，共45分。

在每小题所给出的选项中只有一个符合题目要求）1.已知椭圆221169+=x y 上一点到椭圆的一个焦点的距离为3,则P 到另一个焦点的距离为( ). A .3 B .4 C .5 D .62.椭圆2211625+=x y 的焦距是( ). A .6 B .4 C .10 D .93.已知椭圆方程是224520+=x y ,则它的离心率是( ).A .2B .C .D . 124.长轴是短轴的2倍,且经过点P (-2.0)的椭圆方程是( ).A . 2214+=x yB . 221416+=x yC . 221164+=x y 或2214+=x y D . 221416+=x y 或2214+=x y 5.焦点在x 轴上，长轴长为8.离心率为12，那么椭圆的标准方程为( ). A .2211612+=x y B . 2211612-=x y C . 2211216+=x y D . 2211216-=x y6.与椭圆2211625+=x y 有共同的焦点且过点(-的双曲线的方程是( ). A .22154-=y x B . 22153-=y x C . 22154-=x y D . 22153-=x y 7.双曲线的两个焦点坐标是1F (0,-5), 2F (0,5)，且2a =8.则双曲线的方程为( ).A .221169-=y x B . 2211625-=y x C . 2211625-=x y D . 2216425-=x y 8.若双曲线焦点在x 轴上，且它的一条渐进线方程为34=y x ,则离心率是( ).A .54B . 4C . 7D . 79.双曲线221169-=x y ，若过右焦点2F ,且在双曲线右半支上的弦AB 长为5，另一焦点为1F 则△AB 1F 的周长为( ).A .16B .11C . 26D .610.设()0,απ∈，方程221sin cos αα+=x y 表示中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线，则α的取值范围是( ).A . ()0,π В. [)0,π C . ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D .,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.抛物线250-=x y 的准线方程是( ).A . 54=-x B . 52=x C . 54=y D . 54=-y 12.顶点在原点，准线方程为y =4的抛物线标准方程为( ). A . 216=y x B . 216=-y x C . 216=x y D . 216=-x y13.顶点在原点，对称轴是y 轴，顶点与焦点的距离等于2的抛物线方程是( ). A . 24=±x y B . 24=±y x C . 28=±x y D . 28=±y x 14.顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过点（2，-3)的抛物线方程是( ). A . 292=y x 或243=-x y B . 292=-y x C . 292=-y x 或243=x y D . 243=-x y 15.顶点在坐标原点，焦点是(0，-1)的抛物线的标准方程是( ). A . 24=x y B . 24=-x y C . 24=-y x D . 24=y x 二、填空题（本在题有15个小空，每空2分，共30分） 16.已知椭圆221625400+=x y ,其离心率为___________.17.已知椭圆的右焦点F (3,0)，F 到右顶点距离为3,则椭圆的方程为___________.18.已知曲线的方程22194+=--x y k k为椭圆的标准方程，则k 的取值范围为___________.19.椭圆各22214+=x y a 与双曲线器22212-=x y a 有相同的焦点，则2a =___________. 20如果方程222+=x ky 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是___________.21.已知1F ，2F 是椭圆221259+=x y 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于M .N 两点，则△MN 2F 的周长是___________.22.双曲线222516400-=x y 的两条渐近线方程是___________.23.双曲线的实轴长为6，离心率2=e ，焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程为___________. 24.双曲线2288-=kx ky 的一个焦点是(0，3),那么k =___________.25.与双曲线221916-=x y 有相同的渐近线,且过点(3,-C 的双曲线方程是___________. 26.方程22125-=--x y k k表示双曲线，则k 的取值范围是___________. 27.抛物线214=-y x 的焦点坐标是___________.28.抛物线上24=-y x 上一点M 到焦点的距离是6，则M 到准线的距离是___________. 29.若抛物线22=y px 上到焦点距离为3的点的横坐标为2.则p =___________.30.抛物线218=-y x 的准线方程是___________.三、解答题：（本大题共45分）31.已知椭圆的短轴长是2，中心与抛物线24=y x 的顶点重合，椭圆的一个焦点是此抛物线的焦点，求该椭圆的方程及离心率.32.椭圆的长轴是短轴的3倍,过点P (3,0),求椭圆的标准方程.33.一椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，焦距为的焦点，且双曲线的实半轴比椭圆的长半轴小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为73，求此椭圆和双曲线的方程。

椭圆与椭球体单元测试题(含答案)

椭圆与椭球体单元测试题(含答案)
1. 椭圆的定义是什么？
椭圆是指平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。

2. 椭圆的主要性质有哪些？
- 椭圆是一个闭合曲线。

- 椭圆的长轴和短轴是两个相交于圆心的直径。

- 椭圆的离心率小于1。

- 椭圆的焦点与任意一点到两个焦点的距离之和相等。

3. 下面哪个不是椭圆的特征？
a) 离心率小于1
b) 平面曲线
c) 两个焦点的距离之和等于常数
d) 形状接近正圆，长轴和短轴相等
答案：d) 形状接近正圆，长轴和短轴相等
4. 什么是椭球体？
椭球体是指三维空间中到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。

5. 椭球体的主要性质有哪些？
- 椭球体是一个闭合曲面。

- 椭球体的长轴和短轴是两个相互垂直的轴线。

- 椭球体的离心率小于1。

- 椭球体的焦点与任意一点到两个焦点的距离之和相等。

6. 下面哪个不是椭球体的特征？
a) 离心率小于1
b) 三维曲面
c) 两个焦点的距离之和等于常数
d) 形状接近球体，长轴和短轴相等
答案：d) 形状接近球体，长轴和短轴相等
参考答案
1. b
2. a
3. d
4. a
5. a
6. d。

高二数学椭圆试题答案及解析

高二数学椭圆试题答案及解析1.若，则方程表示的曲线只可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得或依次验证各选项中两图形能否同时成立，如A中若直线成立则，就表示双曲线，验证可得C正确【考点】直线椭圆图像点评：通过观察两图像在坐标系下的位置判定系数是否同时成立，若能同时成立则图像可能正确，考查学生的视图能力，较难2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为________.【答案】4【解析】易知椭圆的右焦点为，因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以。

【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质。

点评：注意椭圆中关系式与双曲线中的不同。

3.已知椭圆的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，过椭圆右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于两点．（1）求椭圆标准方程；（2）设点，且，求直线方程．【答案】（1）（2）【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

（1）结合抛物线的定义和性质得到参数a,b，c的关系式得到结论。

（2）利用直线与椭圆方程联立方程组，得到二次方程，结合韦达定理和向量的关系式得到直线的求解。

解：（1）抛物线焦点为（2，0）椭圆方程为：………………5分（2）设与联立得设 AB中点………………9分均满足方程：…………14分4.（本小题满分12分）已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，，且点M在直线上，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程．【答案】解：设、两点的坐标分别为（ I）；（II）【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）结合已知中直线方程与椭圆方程联立，和设出点A,B的坐标，然后得到关于系数a,b的关系式，然后得到椭圆的方程中比例关系，进而研究其性质。

（2）由上可知，椭圆中b,c关系，然后利用对称性，设出点的坐标，借助于坐标关系式得到椭圆的方程。

解：设、两点的坐标分别为（ I）由得：…………2分由知是的中点，点的坐标为………………………4分又点在直线上：…………………6分（II）由（1）知，设椭圆的右焦点坐标为，设关于直线的对称点为，则有解得：……………10分由已知，，. ………11分所求的椭圆的方程为……………12分5.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为A．B．C．D．【答案】D【解析】点到椭圆的两个焦点的距离之和为6.已知椭圆的焦点在轴上，点在上，且的离心率，则的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的方程是,应选C.7.已知动点到两定点、的距离之和为定值．（1）求的轨迹方程；（2）若倾斜角为的直线经过点，且与的轨迹相交于两点、，求弦长．【答案】（1）．（2）的方程是．．【解析】（1）由椭圆的定义可得，，∴.即得到P的轨迹方程；（2）写出直线方程与（1）中的椭圆方程联立，利用两点间的距离公式和韦达定理可求得弦长．解：（1）依题意可知的轨迹是以、为焦点的椭圆，设其方程为，则有，，∴，故的轨迹方程是．……7分（2）的方程是．设，，由消去得，故弦长．……14分8.椭圆上有一点P到左焦点的距离是4，则点P到右焦点的距离是A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】解：利用椭圆的定义可知，椭圆上有一点P到左焦点的距离是4，则点P到右焦点的距离是10-4=6，因此选择D.9.如图，已知椭圆的离心率为，且经过点平行于的直线在轴上的截距为，与椭圆有A、B两个不同的交点（Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ) 求的取值范围；（III）求证:直线、与轴始终围成一个等腰三角形．【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查转化与化归的思想方法,以及学生的运算能力.解：（Ⅰ）设椭圆方程为………1分离心率为所以,可得由经过点,解得,…………………………3分∴椭圆方程为……………………………4分（Ⅱ）∵直线平行于，且在轴上的截距为又……………………………………………………5分由……………………………………6分∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，（III）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可…………9分设则由……………………………………………………10分而故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分10.已知A（m，0），|m|≤2，椭圆，点P在椭圆上运动，求|PA|的最小值．【答案】见解析.【解析】本试题主要研究椭圆上点到定点距离的最值问题。

高中椭圆练习题(答案-基础题)

一、选择题：1.下列方程表示椭圆的是（）A.22199x y += B.2228x y --=- C.221259x y -= D.22(2)1x y -+= 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D .不能确定3.已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为（）A.(B.(0,C.(0,3)±D.(3,0)±4.椭圆222222222222211()x y x y a b k a b a k b k+=+=>>--和的关系是 A ．有相同的长.短轴B ．有相同的离心率 C ．有相同的准线D ．有相同的焦点5.已知椭圆22159x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（）A.3B.2C.3D.66.如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--⋃+∞ C.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ D.任意实数R 7.“m>n>0”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32倍，则椭圆的焦距是（）B.4C.6D.9.关于曲线的对称性的论述正确的是（） A.方程220x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程330x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2210x xy y -+=的曲线关于原点对称D.方程338x y -=的曲线关于原点对称第11题10.方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22221x y a b+=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（）. A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点. 二、填空题：（本大题共4小题，共20分.）11.（6分）已知椭圆的方程为：22164100x y +=，则a=___，b=____，c=____，焦点坐标为：___ __，焦距等于______;若CD 为过左焦点F1的弦，（如图）则∆2F CD 的周长为________.12.（6分）椭圆221625400x y +=的长轴长为____，短轴长为____，焦点坐标为四个顶点坐标分别为___ ，离心率为；椭圆的左准线方程为 13.（4分）比较下列每组中的椭圆：（1）①229436x y += 与②2211216x y += ，哪一个更圆（2）①221610x y +=与②22936x y +=，哪一个更扁 14.（4分）若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（30分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，-3），（0,3），椭圆的短轴长为8；（2）两个焦点的坐标分别为（），），并且椭圆经过点2)32F CcD1F（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点12P P 、16.（12分）已知点M 在椭圆221259x y +=上，M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为'P ，并且M 为线段P 'P 的中点，求P 点的轨迹方程17.（12分）设点A ，B 的坐标为(,0),(,0)(0)a a a ->，直线AM,BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为(01)k k k ->≠且求点M 的轨迹方程，并讨论k 值与焦点的关系.18.（12分）当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆22916144x y +=相切，相交，相离？19.(14分)椭圆221(045)45x y m m+=<<的焦点分别是1F 和2F ，已知椭圆的离心率3e =过中心O 作直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，若2ABF V 的面积是20，求：（1）m 的值（2）直线AB 的方程参考答案1.选择题：二.填空题：11 10,8，6，（0，6±），12，40 12 10，8，（3,0±），（-5,0）.（5,0）.（0，-4）.（0,4），35，253x=-13 ②，② 1435三.解答题：15.（1）解：由题意，椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y xa ba b+=>>由焦点坐标可得3c=，短轴长为8，即28,4b b==，所以22225a b c=+=∴椭圆的标准方程为2212516y x+=（2）由题意，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>由焦点坐标可得c=2a==6 所以2b=22a c-=9-5=4，所以椭圆的标准方程为22194x y+=(3)设椭圆的方程为221mx ny+=（0,0m n>>），因为椭圆过12P P、61321m nm n+=+=⎧∴⎨⎩解得1913mn==⎧⎨⎩所以椭圆的标准方程为：22193x y+=16.解：设p点的坐标为(,)p x y，m点的坐标为00(,)x y，由题意可知022yyx xx xy y====⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩①因为点m在椭圆221259x y+=上，所以有22001259x y += ② ，把①代入②得2212536x y +=，所以P 点的轨迹是焦点在y 轴上，标准方程为2212536x y +=的椭圆. 17.解：设点M 的坐标为(,)x y ，因为点A 的坐标是(,0)a -，所以，直线AM 的斜率()AM y k x a x a =≠-+，同理直线BM 的斜率()BM y k x a x a=≠-.由已知有(),y y k x a x a x a=-≠±+-g 化简得点M 的轨迹方程为22221()x y x a a ka +=≠±当01k <<时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当1k >时，表示焦点在y 轴上的椭圆.18.解：{22916144y x m x y =++=…… … … ①②①代入②得22916()144x x m ++=化简得222532161440x mx m ++-=222(32)425(16144)57614400m m m ∆=-⨯-=-+当0,∆=即5m =±时，直线l 与椭圆相切；当0∆>，即55m -<<时，直线与椭圆相交；当0∆<，即5m <-或5m >时，直线与椭圆相离.19.解：（1）由已知3c e a ==，a ==5c =，所以222452520m b a c ==-=-=（2）根据题意21220ABF F F B S S ==V V ，设(,)B x y ，则121212F F B S F F y =V g ，12210F F c ==，所以4y =±，把4y =±代入椭圆的方程2214520x y +=，得3x =±，所以B 点的坐标为34±±（，），所以直线AB 的方程为4433y x y x ==-或。

(完整版)椭圆练习题(含答案)

解析几何——椭圆精炼专题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7．已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（） A ．相同的短轴 B ．相同的焦点 C ．相同的离心率 D ．相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为；最小值为． 15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12 .化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。

椭圆经典题型练习 (精选题) 含答案

椭圆经典题型练习一．选择题（共13小题）1．设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线bx+y=b2相切，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）3．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．6D．34．椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值是（）A．B．C．D．5．已知点M（﹣4，0），椭圆的左焦点为F，过F作直线l（l的斜率存在）交椭圆于A，B两点，若直线MF恰好平分∠AMB，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=8，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知椭圆的左焦点为F1，离心率为，P是椭圆C上的动点，若点Q（1，1）在椭圆C内部，且|PF1|+|PQ|的最小值为3，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F作x 轴的垂线，交C于点P，若=2，cos∠OPF=，则椭圆C的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=1 9．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是（）A．2B．C．4D．10．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则△AFB周长的取值范围是（）A．（2，4）B．C．（6，8）D．（8，12）11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣112．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△AF1F2的周长为6且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．13．已知点A（0，0），B（2，0）．若椭圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则椭圆W的离心率是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）14．已知点P圆C：（x﹣4）2+y2=4上，点Q在椭圆上移动，则|PQ|的最大值为．15．已知点A在椭圆+y2=1上，且O、A、P三点共线（O是坐标原点），=24，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为16．直线y=kx+k与焦点在y轴上的椭圆+=1总有两个公共点，则实数m的取值范围是．17．过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），则此椭圆的离心率为18．椭圆右焦点为F，存在直线y=t与椭圆C交于A，B 两点，使得△ABF为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率e=．19．已知F1，F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，则△PF1F2面积的最大值为．20．已知点P（x，y）在椭圆上运动，则最小值是三．解答题（共10小题）1．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．2．已知p：实数m使得椭圆的离心率．（1）求实数m的取值范围；（2）若q：t≤m≤t+9，p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．3．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O 到直线AB的距离为定值，并求出该定值．4．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．5．已知椭圆的离心率为且经过点．（1）求椭圆方程；（2）直线y=kx+m交椭圆于不同两点A，B，若，△OAB（O是坐标原点）的面积等于，求直线AB的方程．6．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．7．设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率．（2）若直线MN在y轴上的截距为3，且|MN|=7|F1N|，求a，b．8．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且C过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k＜0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，l，OQ 的斜率成等比数列，求k值．9．已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过F且垂直于x轴的弦长为3，直线l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，且与椭圆C交于A，B两点，Q为椭圆的右顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）用S1，S2分别表示△ABF和△ABQ的面积，求S1•S2的最大值．椭圆练习参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆x2+y2=c2，以F1F2为直径的圆与直线bx+y=b2相切，可得：，即a2﹣c2=ac，因为e=∈（0，1），所以e=．故选：C．2．【解答】解：方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m），即，方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y 轴上的椭圆，可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：B．3．【解答】解：如图所示，椭圆，可得a=5，b=3，c==4．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，可得（m+n）2﹣3mn=6即102﹣3mn=64，解得mn=12．∴△F1PF2的面积S=mnsin60°==3．故选：B．4．【解答】解：由椭圆=1，可得a=5，b=4，c==3．如图所示，设△ABF2的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF2．设内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=．则==•|F1F2|，∴4a=|y2﹣y1|×2c，∴|y2﹣y1|==．故选：D．5．【解答】解：设F（﹣c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，可得（b2+4k2）x2+8ck2x+4k2c2﹣4b2=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，由直线MF恰好平分∠AMB，可得k AM+k BM=0，即有+=0，可得k（x1+c）（x2+4）+k（x2+c）（x1+4）=0，化为2x1x2+（c+4）（x1+x2）+8c=0，可得2•+（c+4）•（﹣）+8c=0，化简可得c=1，则椭圆的离心率e==，故选：C．6．【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），另一个焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2a=|PF|+|PF'|，即|PF'|=2a﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|=8﹣2a，由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|=1，可得﹣1≤8﹣2a≤1，解得≤a≤，又c=2，可得e=∈[，]，故选：A．7．【解答】解：如图所示，设右焦点为F2．|PF1|+|PQ|=2a﹣（|PF2|﹣|PQ|）≥2a﹣|QF2|=3，∴2a﹣=3，=a2=b2+c2，联立解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的标准方程为=1．故选：A．8．【解答】解：∵|OF|=c，PF⊥x轴，cos∠OPF=，∴sin∠OPF=，∴cos∠OPF=，|OP|===c，∵=2，∴|OP|•c•cos∠OPF=|OP|•c•=c•c•=2，解得c2=2，即c=∴|OP|=，∴|PF|=×=1，∴P（，1），∴+=1∵a2﹣b2=c2=2，∴a2=4，b2=2，∴+=1故选：B．9．【解答】解：如图，设F2是椭圆的右焦点，∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，∴AF=BF2．∴|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4，故选：C．10．【解答】解：∵椭圆的左焦点为F（﹣，0），右焦点F2（，0），直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，连结BF2，则AF=BF2，AB=2OB，由一的定义可知：BF+BF2=2a=4，OB∈（1，2）则△AFB周长的取值范围是（6，8）．故选：C．11．【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．故选：D．12．【解答】解：由椭圆的定义可得2（a+c）=6，所以a+c=3①，当A在上（或下）顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即最大值为bc=②，由①②及a2=c2+b2联立求得a=2，b=，c=1，椭圆方程为+=1，故选：A．13．【解答】解：过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，C坐标为（1，），C点的坐标代入椭圆方程得，解得m=6，所以椭圆的离心率为：=．故选：C．二．填空题（共7小题）14．【解答】解：∵点Q在椭圆上移动，∴可设Q（cosθ，2sinθ），由圆C：（x﹣4）2+y2=4，可得圆心C（4，0），半径r=2．∴|CQ|===≤5，当且仅当cosθ=﹣1时取等号．∴|PQ|的最大值=5+r=7．故答案为：7．15．【解答】解：∵O、A、P三点共线（O是坐标原点），=24，∴|OA|•|OP|=24，设OP与x轴夹角为θ，设A（x，y）在第一象限，B为点A 在x轴的投影，则OP在x轴上的投影长度为|OP|cosθ==24×=24×=24×≤24×=8．当且仅当x=时等号成立．则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为8．故答案为：8．16．【解答】解：直线y=kx+k恒过（﹣1，0），直线与焦点在y轴上的椭圆+=1总有两个公共点，可得：解得m∈（1，4）．故答案为：（1，4）．17．【解答】解：设直线l上的占P（t，t+9），取F1（﹣3，0）关于l的对称点Q （﹣9，6），根据椭圆定义，2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|≥|QF2|==6 ，当且仅当Q，P，F2共线，即，即=﹣时，上述不等式取等号，∴t=﹣5．∴P（﹣5，4），据c=3，a=3，离心率为：e==．故答案为：．18．【解答】解：要使△ABF为等腰直角三角形，则B（c，2c）．，又a2=b2+c2，∴b2=2ac，⇒c2+2ac﹣a2=0，⇒e2+2e﹣1=0，且0＜e＜1，∴e=﹣1．故答案为：﹣1．19．【解答】解：F1，F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点，a=2，b2+c2=4，P是椭圆上一点，△PF1F2面积的最大值时，P在椭圆的短轴的端点，此时三角形的面积最大，S=bc≤=2，当且仅当b=c时，三角形的面积最大．故答案为：2．20．【解答】解：根据题意，点P（x，y）在椭圆上运动，则有，变形可得：+=，变形可得x2+2（y2+1）=5，则=[x2+2（y2+1）]（）=×[1+4++]=×[5++]≥（5+2×2）=；即最小值是，故答案为：三．解答题（共10小题）1．【解答】解：（I）∵F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．…（3分）（II）设直线l的方程为x=my﹣1，由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，…（5分）∵AF2⊥BF2，∴•=0，∴•=（x1﹣1）（x2﹣1）=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4=﹣2m×+4==0∴m2=7．…（10分）∴△ABF2的面积S=×|F1F2|×=．2．【解答】解：（1）当0＜m＜2时，∵，又，∴，∴，当m＞2时，∵，又，∴解得4＜m＜8．综上所述实数m的取值范围：或4＜m＜8．（2）∵q：t≤m≤t+9，p是q的充分不必要条件，∴⊆[t，t+9]，∴，解得．3．【解答】解：（1）由题意知，e==，a==2，又a2=b2+c2，所以a=2，c=，b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1；（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±；此时，原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km（﹣）+m2=，由OA⊥OB得k OA k OB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，所以=0，即m2=（1+k2），所以原点O到直线AB的距离为d==，综上，原点O到直线AB的距离为定值．4．【解答】解：（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得：a=2，c==b．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=．直线QA的方程为：y=（x﹣m），可得：M．直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得N．∵MF1⊥NF1，∴•=0．又F1（﹣，0）．∴+•=0，化为：2[x1x2﹣m（x1+x2）+m2]+=0，∵x1+x2=t（y1+y2）﹣2，x1x2=（ty2﹣）=t2y1y2﹣t（y1+y2）+2．∴（2t2+8+4m+m2）y1y2﹣（2+2mt）（y1+y2）+4+4m+2m2=0，∴（2t2+8+4m+m2）•﹣（2+2mt）+4+4m+2m2=0，化为：（m2﹣4）（t2﹣1）=0．∵∀t∈R上式都成立，∴m2﹣4=0，解得m=±2．5．【解答】解：（1）椭圆的离心率为且经过点，可得e==，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=，b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）直线y=kx+m与椭圆x2+2y2=2联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，可得|AB|=•==•=，①由△OAB（O是坐标原点）的面积等于，设O到AB的距离为d，可得|AB|d=，即d=，即有=，即3m2=2+2k2②联立①②解得m=1，k=±；m=﹣1，k=±，则直线AB的方程为y=±x+1或y=±x﹣1．6．【解答】解：（1）如图所示，椭圆C：=1的离心率为，∴=，△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=16，∴a=4，∴c=2，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程+=1；（2）设过点P（2，1）作直线l，l与椭圆C的交点为D（x1，y1），E（x2，y2），则，两式相减，得（﹣）+4（﹣）=0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴直线l的斜率为k==﹣=﹣=﹣，∴此弦所在的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），化为一般方程是x+2y﹣4=0．7．【解答】解：（1）根据及题设知，5b2=24ac将b2=a2﹣c2代入5b2=24ac解得或（舍去），故C的离心率为；………………………………………………（4分）（2）由题意得，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，3）是线段MF1的中点，故，即b2=6a①………………………………………………（7分）由|MN|=7|F1N|得|DF1|=3|F1N|，设N（x1，y1）则，即代入C的方程，得②……………………………………………（10分）将①及代入②得解得故8．【解答】解：（1）由题意可得，解得，因此，椭圆C的方程为；（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），由，消去y整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∵直线l与椭圆交于两点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（m2﹣1）=4（4k2﹣m2+1）＞0，设点P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，，∴y1+y2=（kx1+m）（kx2+m）=，∵直线OP、l、OQ的斜率成等比数列，∴，整理得，∴，又m≠0，所以，，结合图象可得，故直线l的斜率为定值．9．【解答】解：椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；由，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．10．【解答】解：（1）由已知c=1，，又a2=b2+c2，解得．∴椭圆C的方程为：；（2）当l斜率不存在时，AB=，得S1•S2=6．当l斜率存在时，设为直线为y=kx+m，由l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，得m2+2km=1…（*）联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．|AB|=．Q到直线的距离，S1•S2==．将（*）式代入得S1•S2=，令t=m2+1∈（1，+∞）．∴S1•S2==．综上，S1•S2的最大值为6．。

直线与椭圆综合应用(含答案)

1、（北京文科19）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线l ：y=x+2上，且AB ∥l ．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y=x.设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩得1,x =±所以12AB x -=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，所以12.2ABCh SAB h === （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y=x+m. 由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-= 因为A ，B 在椭圆上，所以212640.m ∆=-+＞设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.则21212334,,24m m x x x x -+=-=所以12AB x =-=又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即BC =所以22222210(1)11.AC AB BC m m m =+=--+=-++所以当m=-1时，AC 边最长.（这时12640=-+＞）此时AB 所在直线的方程为y=x-1.2、（福建厦门理工学院附中·2010届高三12月考（文））已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平分弦AB ，求点B 的坐标和实数m 的值．解：（Ⅰ）由2a ＝4，得a ＝2离心率为a c ，c ＝3………………………2分222c a b -=＝13、且过点(2,1)A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:10l x y --=与椭圆C 交于不同的两点,M N ，的值.【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

椭圆专题训练卷(含解析)

椭圆专题训练卷一、单选题1．（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．102．（2020·全国高三课时练习（理））设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“216x ＋29y ≤1”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2019·浙江省春晖中学高二月考）已知椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于( ) A ．4B ．5C ．7D ．84．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且OA （O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）A B C D5．（2020·四川资阳高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=6．（2020·全国高三课时练习（理））已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．347．（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为( )A ．2B ．34C ．12D ．148．（2020·甘肃城关兰大附中高三月考（理））已知1F ，2F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（）A ．4B ．2C D 9．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高三其他（文））已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=( )A ．B ．4C ．3D ．110．（2019·宁波市第四中学高二期中）设椭圆22221x y a b+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2aN c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是（）A ．(0B ．1)C ．5)6， D ．5(,1)6二、多选题11．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，焦距为2，过点F的弦长最小值不小于2，则该椭圆的离心率可以是( ) A ．45B ．23C ．12D ．1312．（2019·辽宁葫芦岛高二月考）椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则||PF 的值可能是（） A ．1B ．3C ．4D ．813．（2020·岳麓湖南师大附中高二期末）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（） A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6 B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆面积的最大值为3 C ．存在点P ，使12PF PF ⊥ D ．1PF 的取值范围是[1,3]14．（2020·山东中区济南外国语学校高三月考）我们通常称离心率为512-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 三、单空题15．（2020·商丘市回民中学高二期末（理））若椭圆的方程为221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.16．（2020·河北桃城衡水中学高三其他（文））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 的短轴长为2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为________.17．（2020·河南中原郑州一中高三其他（文））已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN 的周长为6，则FAN 的面积为_____.四、双空题18．（2019·浙江高二学业考试）椭圆2214x y +=的离心率是___________，焦距长是________.19．（2020·上海高二课时练习）椭圆22192x y +=的焦点为F 1,F 2，点P 在椭圆上，若14PF =，2PF =_______；12F PF ∠的小大为__________．20．（2019·浙江高二期中）若方程22121x y m m+=+-表示椭圆，则实数m 的取值范围是______；当1m =-时，椭圆的焦点坐标为______.21．（2020·福建高三其他（理））已知椭圆22:143x y C +=的焦点是12,F F ，,A B 是C 上（不在长轴上）的两点，且1//2F A F B .M 为1F B 与2F A 的交点，则M 的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____. 五、解答题22．（2020·上海高二课时练习）已知椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4）.求它的标准方程.23．（2019·于都县第二中学高二月考（文））焦点在x 轴上的椭圆的方程为2214x ym+=，点(2,1)P 在椭圆上.（1）求m 的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 24．（2019·永济市涑北中学校高二月考（理））设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；（2）求点到直线距离的最大值.25．（2019·河南宛城南阳中学高二月考（理））已知椭圆的两焦点为12(1,0),(1,0)F F -，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项. (1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足1260F PF ︒∠=，求12PF F ∆的面积．26．（2019·牡丹江市第三高级中学高二期末（文））已知点(2,1)P -在椭圆()222:102x yC a a +=>上，动点,A B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线AB 的斜率．27．（2018·西藏拉萨中学高二期末（理））椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 6．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，若43OA OB ⋅>-，求k 的取值范围．一、单选题1．（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．2．（2020·全国高三课时练习（理））设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“216x ＋29y ≤1”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】“|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域，“216x ＋29y ≤1”表示的平面区域N 为椭圆216x ＋29y ≤1及其内部，则如图显然N 在M 内，故选：B ．3．（2019·浙江省春晖中学高二月考）已知椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于（） A ．4 B ．5C ．7D ．8【答案】D 【解析】∵ 椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，∴ 22a m =-，210b m =-， ∵ 焦距为4， ∴ 24c =即24c =，在椭圆中：222a b c =+即2(10)4m m -=-+，解得：8m =，故选：D4．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且OA （O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）A ．3B ．3C ．2D ．3【答案】B 【解析】依题意可知3ab ,即3b =,又c ===,所以该椭圆的离心率3c e a ==. 故选:B5．（2020·四川资阳高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选：A 点睛：求椭圆标准方程的两种思路方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定22a b ，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．(2)待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a b ，的方程组．如果焦点位置不确定，也可把椭圆方程设22100()mx ny m n m n >>≠＋＝，，的形式．6．（2020·全国高三课时练习（理））已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A 【解析】试题分析：如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)bb a AM y x a Ec a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.7．（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线2:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（） A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A ，则24y x =由2AB c =，可知22OA x y c =+=2224x x c ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得22x =，所以221,33A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭把点A 代入椭圆方程得到222222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=，因01e <<，所以可得3e =故选A 项.8．（2020·甘肃城关兰大附中高三月考（理））已知1F ，2F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（） A ．4 B ．2C ．32D ．332【答案】A 【解析】延长2F N 交1MF 的延长线于点P ,作图如下：因为MN 为12F MF ∠的角平分线，且2F N MN ⊥，所以2MF MP =，所以2111MF MF MP MF F P -=-=，因为,O N 分别为122,F F F P 的中点，所以ON 为12PF F ∆的中位线，所以1122ON F P ==，所以21124MF MF F P ON -===. 故选：A9．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高三其他（文））已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=( )A ．23B ．4C ．3D ．1【答案】C 【解析】连接2PF ,设椭圆的基本量为,,a b c ，()()()()2212121QF QF QO OF QO OF QO QF ⋅=+⋅+=-,()221222222322PF PF QN NO c c a c b ⎛⎫=+-=+-=-== ⎪⎝⎭故答案为：C10．（2019·宁波市第四中学高二期中）设椭圆22221x y a b+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2aN c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是（） A ．2(0， B ．21) C ．25)6， D ．5(,1)6【答案】D 【解析】∵点,2a N c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆的外部，∴222214c a a b +＞，2212b a ＜，由椭圆的离心率22121122c b e a a ==--=＞，122MF MN a MF MN +=-+，又因为2MF MN -+≤2NF ，且22aNF =，要11232MF MN F F +<恒成立，即22a MF MN -+≤32222a a c +<⨯，则椭圆离心率的取值范围是5,16⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ．二、多选题11．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，焦距为2，过点F的弦长最小值不小于2，则该椭圆的离心率可以是( ) A ．45B ．23C ．12D ．13【答案】CD 【解析】由22c =,则1c =.过点F 的弦长最小值为222b a≥,即22b a ≥即有222a c a -≥,即2210a a --≥,解得:a ≥或152a(舍),122c e a=≤=. 故选: CD.12．（2019·辽宁葫芦岛高二月考）椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则||PF 的值可能是（） A ．1 B ．3C ．4D ．8【答案】BC 【解析】由题意可得4a =，16122c ，则26a cPF a c .故选：BC .13．（2020·岳麓湖南师大附中高二期末）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（）A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD 【解析】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为003y b <=,则12PF F ∆项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大. 此时,122PF PF a ===,又122F F =,则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=；当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .14．（2020·山东中区济南外国语学校高三月考）我们通常称离心率为12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD 【解析】2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列则2112212||||||A F F A F F ⋅=()()222a c c ∴-=2a c c ∴-=13e ∴=不满足条件，故A 错误；对于B ：11290F B A ∠=︒222211112A F B F B A ∴=+ ()2222a c a a b ∴+=++220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得e =或e = 故B 正确；对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭21POA B k k =即2b c ab a =--解得bc =222a b c =+2c e a ∴===不满足题意，故C 错误；对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，ab ∴=422430c a c a ∴-+=42310e e ∴-+=解得232e +=（舍去）或232e =e ∴=故D 正确故选：BD 三、单空题15．（2020·商丘市回民中学高二期末（理））若椭圆的方程为221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________. 【答案】4或8 【解析】因为221102x y a a +=--是椭圆的方程，所以100a ->且a 20->，所以210a <<,由椭圆的方程可得()2c 102122a a a =---=-，又2c 4=，所以1224a -=，解得4a =或8a =. 故答案为4或816．（2020·河北桃城衡水中学高三其他（文））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 的短轴长为2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为________.【答案】2212524x y +=【解析】椭圆的短轴长为，即2b =，∴b = .∵两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，∴1225c a =⨯，得5a c =，又因为222a b c =+，故可解得1c =，5a =，故该椭圆的标准方程为2212524x y +=.故答案为：2212524x y +=.17．（2020·河南中原郑州一中高三其他（文））已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN 的周长为6，则FAN 的面积为_____.【解析】如图所示，由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为3y x b =-，把35y b =代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵N 在直线MN 上，∴34355b a b =-，解得3b a =又222a b c =+，∴222)3b c =+，解得3b c =，令3y x b =-=0，则3M ⎫⎪⎭，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =，由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∵FMN 的周长为6，∴226a c +=， ∵3b a =2a c =，∴1,2,3c a b === ∴()13883255FANSFM b b c b ⎡⎤=⋅⋅--=⋅=⎢⎥⎣⎦故答案为：35. 四、双空题18．（2019·浙江高二学业考试）椭圆2214x y +=的离心率是___________，焦距长是________.323【解析】椭圆2214x y +=得：2,1,a b c ===2214x y +=椭圆的焦距长为：19．（2020·上海高二课时练习）椭圆22192x y +=的焦点为F 1,F 2，点P 在椭圆上，若14PF =，2PF =_______；12F PF ∠的小大为__________．【答案】2 ；23π；【解解：因为由椭圆的定义，我们可知1221222121212121222||||cos 21642812422PF PF a PF a PF PF PF F F PF F F PF PF PF +=∴=-+-∆∠=⨯+-==-⨯⨯中，20．（2019·浙江高二期中）若方程22121x y m m+=+-表示椭圆，则实数m 的取值范围是______；当1m =-时，椭圆的焦点坐标为______. 【答案】11(2,)(,1)22---； (0,1),(0,1)-. 【解析】①根据椭圆的方程特征，方程22121x y m m+=+-表示椭圆，则201021m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得：11(2,)(,1)22m ∈---； ②1m =-时，椭圆的方程2212y x +=，焦点在y 轴，其坐标分别为(0,1),(0,1)-故答案为：①11(2,)(,1)22m ∈---；②(0,1),(0,1)- 21．（2020·福建高三其他（理））已知椭圆22:143x y C +=的焦点是12,F F ，,A B 是C 上（不在长轴上）的两点，且1//2F A F B .M 为1F B 与2F A 的交点，则M 的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____. 【答案】椭圆 45【解析】设()11,A x y ，()22,C x y 则()22,B x y --，1AF 的斜率不为0，可设1:1AF l x my =- 则122:11BF y y l x x =+-①，211:11AF y y l x x =--② 所以()12121221212121211112224y y y y y y y y x x x x my my m y y m y y ⋅=⋅=⋅=+------++ 联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2242303m y my ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，得122243m y y m +=+，122343y y m -=+ 所以222316133y x m -=--+由①②得()12122112y y x x m y y y y ++-+=-，所以35x m y = 所以22231316353y x x y -=-⎛⎫-+⎪⎝⎭整理得222215344x x +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以M 的轨迹所在的曲线是椭圆，14554e == 故答案为：椭圆；45.五、解答题22．（2020·上海高二课时练习）已知椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4）.求它的标准方程.【答案】2212516x y +=或221167y x +=【解析】（1）若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)x ya b a b+=>>.将点（0，4）代入，得4b =.由26c =，解得3c =.22225∴=+=a b c ，从而椭圆方程为2212516x y +=；（2）若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y xa b a b+=>>.将点（0，4）代入，得4a =.由26c =，解得3c =，2227b a c =-=，从而椭圆方程为221167y x +=. 综上所述，椭圆的标准方程为2212516x y +=或221167y x +=.23．（2019·于都县第二中学高二月考（文））焦点在x 轴上的椭圆的方程为2214x ym+=，点2,1)P 在椭圆上.（1）求m的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长22、焦距22、离心率2 2【解析】（1）由题意，点(2,1)P在椭圆上，代入，得222114m+=，解得2m=（2）由（1）知，椭圆方程为22142x y+=，则2,2,2a b c===椭圆的长轴长24a=；’短轴长222b=；焦距222c=；离心率22cea==.24．（2019·永济市涑北中学校高二月考（理））设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；（2）求点到直线距离的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知得，得椭圆（2）设，则当时，.25．（2019·河南宛城南阳中学高二月考（理））已知椭圆的两焦点为12(1,0),(1,0)F F -，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项.(1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足1260F PF ︒∠=，求12PF F ∆的面积．【答案】(1) 22143x y +=;(2) 3【解析】(1)设所求椭圆方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，根据已知可得2221212242,2,413F F PF PF a a b a c =∴+==∴==-=-=, 所以此椭圆方程为22143x y +=； (2)在12PF F ∆中，设12,PF m PF n ==，由余弦定理得：22242cos604()22cos60163m n mn m n mn mn mn︒︒=+-⋅∴=+--⋅=- 121134sin 6004322PF F mn S mn ︒∆=∴=⋅=⨯=26．（2019·牡丹江市第三高级中学高二期末（文））已知点(2,1)P -在椭圆()222:102x y C a a +=>上，动点,A B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线AB 的斜率．【答案】（1）22182x y +=；（2）12. 【解析】（1）将(2,1)P -代入22212x y a +=, 得()2222112a -+=,28a =. 故椭圆方程为22182x y +=. （2）当直线AB 斜率不存在时不合题意,故设直线:AB y kx m =+,1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为00(,)M x y ,由22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222()148480k x kmx m +++-=, 0122()14214km x x x k +=-=+,00214m y kx m k =+=+, 直线OP 经过弦AB 的中点,则OM OP k k =,0012y x =-, 142m km =--,12k ∴=,即直线AB 的斜率为12. 27．（2018·西藏拉萨中学高二期末（理））椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 到短轴的一个端点的距离是6．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，若43OA OB ⋅>-，求k 的取值范围．【答案】解（I ）（II ）【解析】（I ）由已知，；,故椭圆C 的方程为………………4分（II ）设则A、B坐标是方程组的解．消去，则，………………7分所以k的取值范围是………………12分。

人教版高中数学选择性必修第一册-3.1 椭圆习题课测试卷(含解析)

3.1椭圆测试卷（原卷版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝12．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.23273．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12D.3－14.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.325．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝4237．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．8．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．11．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C.12D ．－1212．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，下顶点为B ，离心率为32，且△BF 1F 2的面积为3.则椭圆C 的标准方程为________，若点P 在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，则直线AP 的斜率为________．13．已知中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4，且椭圆M 过点(1，3)．(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点C (0，1)的直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且AC →＝2CB →，求直线l 的方程．1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4D.433或433．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.34．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AM→＝2MB→，且直线l与圆O(O为坐标原点)：x2＋y2＝47相切于点N，求MN的长．11．已知椭圆C过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．3.1椭圆测试卷（解析版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1答案D2．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A 3．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12 D.3－1答案D解析在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1.所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1.故选D.4.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32答案B解析设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为2sin 60°＝433，即长半轴长为233，所以半焦距为33，故离心率为12.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，答案C解析依题意，以F 1，F 2为直径且过点M 的圆在椭圆内，得c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2.故－22＜e ＝c a <22，又0<e <1，所以0<e <22.6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)＋y 124＝1，＋y 224＝1，两式相减，得x 12－x 222＋y 12－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2，即k AB ·k OM ＝－2，所以A 不正确；对于B ，由k AB ·k OM ＝－2，M (1，1)，得k AB ＝－2，所以直线l 的方程为y －1＝－2(x －1),即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线l 的方程为y ＝x ＋1，k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，由x ＋2，＋y 24＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.7．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．答案x 215＋y 210＝18．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．答案35解析2＋4y 2＝16，＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0，Δ＞0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－212所以弦长|MN |x 1－x 2|＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54×（4＋24）＝35.9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．答案x ＋y －3＝0[2，8＋42]解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 124＝1，＋y 224＝1，即x 12－x 22＋2(y 12－y 22)＝0，变形为y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.又AB 的中点为点Q (2，1)，则有x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，即直线AB 的斜率为－1，所以弦AB 所在直线的方程为y ＝－(x －2)＋1，即x ＋y －3＝0.设P (x 0，y 0)，又F (－2，0)，所以OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋2，y 0)，所以OP →·FP →＝2x 0＋x 02＋y 02＝2x 0＋x 02＋4－x 022＝12(x 0＋2)2＋2.又－22≤x 0≤22，所以当x 0＝－2时，OP →·FP →有最小值2；当x 0＝22时，OP →·FP →有最大值8＋42，所以OP →·FP →∈[2，8＋42]．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解析(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，x ＋m ，＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①由Δ＝(6m )2－4×4×(3m 2－12)＞0，得m 2＜16.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB的中点为E(x0，y0)，则x1＋x2＝－3m2，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2，满足Δ＞0.此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322.所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.11．过点M(－2，0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)y12＝1，①y22＝1.①－②，得（x1＋x2）（x1－x2）2＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.即2x·（x1－x2）2＋2y(y1－y2)＝0.∴k1＝y1－y2x1－x2＝－x2y.又k2＝yx，∴k1·k2＝－12.12．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，离心率为32，且△BF1F2的面积为3.则椭圆C的标准方程为________，若点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，则直线AP的斜率为________．答案x24＋y2＝1310解析由题意可知ca＝32，S△BF1F2＝bc＝3.又a2－b2＝c2，所以b＝1，c＝3，a＝2，所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.以AP为直径的圆过B点，即AB⊥BP.因为k AB＝－ba＝－12，所以k BP＝2.所以直线BP的方程为y＝2x－1.2x－1，y2＝1，＝0，＝－1＝1617，＝1517，所以点PAP的斜率k AP＝1517－01617＋2＝310.13．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，3)．(1)求椭圆M的方程；(2)若过点C(0，1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，且AC→＝2CB→，求直线l的方程．解析(1)设椭圆M的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．∵2c＝4，∴c＝2，∴a2－b2＝c2＝4.又椭圆M过点(1，3)，∴3a2＋1b2＝1.b2＝4，＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝2.∴椭圆M的方程为y26＋x22＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.设此时点A，B的坐标为(0，－6)和(0，6)，不满足AC→＝2CB→，∴直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，kx＋1，＋x22＝1，消去y并整理，得(3＋k2)x2＋2kx－5＝0.则Δ＝4k2＋20(3＋k2)＝24k2＋60>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2k3＋k2，x1x2＝－53＋k2.又∵AC→＝2CB→，∴(－x 1，1－y 1)＝2(x 2，y 2－1)，∴x 1＝－2x 2，∴x 1＋x 2＝－x 2＝－2k3＋k 2，x 1x 2＝－2x 22＝－53＋k 2，∴8k 2（3＋k 2）2＝53＋k 2，即8k 23＋k 2＝5，解得k 2＝5，∴k ＝± 5.故直线l 的方程为y ＝±5x ＋1.1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关答案B2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4 D.433或43答案D解析由正弦定理得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2×4＝8，∴sin ∠F 1PF 2＝32.∴cos ∠F 1PF 2＝±12，符合题意．由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴|PF 1||PF 2|＝16或163.∴S △F 1PF 2＝12PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝433或4 3.3．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.3答案A 解析不妨令A (－a ，0)，B (a ，0)．设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a <x <a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x.又椭圆的离心率为32，所以b a ＝1－e 2＝12，所以|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x 2＝2b a ＝1(当且仅当|y |x ＋a ＝|y |a －x，即x ＝0时等号成立)．故选A.4．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案B解析可求出|AB |＝5，设P (4cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，则P 点到AB 的距离为d ＝|12（cos θ＋sin θ）－12|5＝245.∴θ＝π或3π2，∴这样的点P 有2个．5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．答案x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1解析依题意可得a ＝2c ，a －c ＝3，∴c ＝ 3.∴a ＝23，b 2＝9.故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．答案75275＋R解析由题意得a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得a ＝275＋R ，c ＝75.所以离心率e ＝c a ＝75275＋R.7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案22解析设椭圆的左焦点为F 1，O 为坐标原点，连接OQ ，QF 1，QF ，由F 关于直线l ：y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |.又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF .所以F 1Q ∥l .不妨设|QF 1|＝ck (k ＞0)，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案33解析利用直线与直线、直线与椭圆的位置关系求交点坐标，再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确定离心率．直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.不妨令∴kBF 1＝－b 2a －0c －（－c ）＝－b 2a 2c＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac(x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a.∴k AD ＝b 2a ＋b 22a c＝3b 22ac .∵AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1.∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac .∴3e 2＋2e －3＝0.∴e ＝－2±4－4×3×（－3）23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝33.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析(1)∵2a ＝4，∴a ＝2.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2b2＝1.∵椭圆C，∴14＋94b2＝1.∴b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设O 到l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，则d ＝r ＝1.即|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2.①＋y 23＝1，kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝192k 2－48m 2＋144＝144k 2＋96＞0.设A ，B 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.∴y 1·y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.②将①代入②，得x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32，∴－5－5k 23＋4k 2＝－32，∴k ＝±22.10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O (O 为坐标原点)：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求MN 的长．解析(1)2＝3，1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，∴原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1.由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.y 2＝1，ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则Δ＝16(t 2－m 2＋4)＝12m 2＋48＞0.∴y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.∵y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，∴y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，＝74m 2－1，消去t 2，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，∴±233，连接ON ，在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121，∴MN 的长为42121.11．已知椭圆C 过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)．因为点A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋－12＝0.由Δ＝36(2k ＋1)2＞0，得k ≠－12.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A所以x E y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得k ≠12，且x F y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。

高中椭圆经典练习题1(含答案)

高中椭圆经典练习题【编著】黄勇权一、填空题：1、已知椭圆的焦点为（3,0），长轴是短轴的2倍，则椭圆的方程是。

2、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴为4，且过点（ 132 ， 233 ），则椭圆的离心率是。

3、直线y=21x+1于椭圆12y 3x 22=+相交于A 、B 两点。

则线段AB 的长度是。

4、如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒．则椭圆的离心率。

5、F1、F2分别为椭圆1by a 2222=+x 的左右两个焦点，过左焦点F1作x 轴垂线交椭圆于P ，若∠21PF F =45°，则椭圆的离心率为。

6、F1、F2分别为椭圆15y 922=+x 的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，若∠21PF F =60°，则△21PF F 的面积为。

7、椭圆16y 822=+x ，点M 不与C 的焦点重合，A 、B 是M 关于焦点对称的点，若另外一点N ，使得N 与点M 连线的中点落在椭圆上，则=+BN AN 。

1by 22=（a ＞b ＞0），过点M(4,1)作斜率k= -2的直线，与椭圆相交9、F 为椭圆15y 922=+x 的右焦点，P 为椭圆上的一点，并在第一象限，且PF=2，点M 在FP 上，若2PM=MF,O 为椭圆的中心，那么线段OM 的长度= 。

120y 2=+有一动点P （x ，y ），点M 地坐标为（4，0），有另一动点N ，若MN =1，且0=•PN MN,则丨PN 丨的最大值= 。

二、选择题1、椭圆1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的长轴是短轴的3倍，且过（3，2），则椭圆其中一个焦点的坐标是（）A 、（0102，）B 、（010，）C 、（053，）D 、（05，） 2、已知椭圆C ：18y a x 222=+（a ＞b ＞0）的离心率为31，则椭圆的焦距为（） A 、6 B 、3 C 、2 D 、1 过点（ 3， 2），则椭圆的右准线方程是（） A 、 x=3 62 B 、 x= 2 63 C 、x= 3 32 D41b y 22=+（a ＞b ＞0）的左右两个焦点为F1、F2，过F2的直线交椭圆于M 、N 两点，若MN F 1∠=60°，MN M F =1,则椭圆的离心率为（）1by 22=+（a ＞b ＞0）的左焦点到右顶点的距离是8，右焦点到左准线的距离是20，，则椭圆的方程：（）A 、116y 2022=+xB 、112y 1622=+xC 、136y 4022=+xD 、132y 3622=+x7、已知椭圆12m y 1m x 222=++的焦距为4，则椭圆的离心率为（）A 、51 B 、 510 C 、 131 D 、1326213y 2=，直线过P （1,-1）交椭圆于A 、B ，若P 为线段AB 的中点，那么直线AB 的方程为（）A 、 3x-4y-7=0B 、 3x-4y+7=0C 、 3x-4y+1=0D 、3x-4y-1=01by 22=+（a ＞b ＞0）与直线y+x=1相交于A 、B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长度是（）10、过P （-2,0）的直线斜率为k1（k1≠0），与椭圆1222=+y x 交于A 、B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为k2，则k1k2的值为（）A 、 - 12B 、 12C - 13D 、 13三、解答题16y 2=+的左右焦点是F1，F2，P 是第一象限内该椭圆上的点，且F 1P ⊥F 2P ，则P 的横坐标为。

完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)

完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)A组基础过关1.选择题1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于多少？A。

2B。

2/3C。

1/2D。

1/3解析：由题意得2a=2b，所以a=b，又a²=b²+c²，所以b=c，所以a=2c，e=c/a=1/2，答案为C。

2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是什么？A。

(x²/81)+(y²/72)=1B。

(x²/81)+(y²/9)=1C。

(x²/81)+(y²/45)=1D。

(x²/81)+(y²/36)=1解析：依题意知2a=18，所以a=9，2c=3×2a，所以c=3，所以b=a-c=81-9=72，所以椭圆方程为(x²/81)+(y²/72)=1，答案为A。

3.椭圆x²+4y²=1的离心率是多少？A。

2/3B。

2C。

1/2D。

3解析：先将x²+4y²=1化为标准方程，得(x/1)²+(y/(1/2))²=1，所以a=1，b=1/2，所以c=√(a²-b²)=√(3)/2，所以e=c/a=√(3)/2，答案为A。

2.解答题1.设F₁、F₂分别是椭圆4x²+y²=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF₁⊥PF₂，则点P的横坐标为多少？解析：由题意知，点P即为圆x²+y²=3与椭圆4x²+y²=1在第一象限的交点，解方程组x²+y²=3和4x²+y²=1，得点P的横坐标为√(2/3)，答案为√(2/3)。

2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程是什么？解析：依题意设椭圆G的方程为a²x²+b²y²=1(a>b>0)，因为椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以2a=12，所以a=6，又因为椭圆的离心率为2，所以c=a/2=3，所以b=√(a²-c²)=3√5，所以椭圆G的方程为36x²+45y²=1，答案为C。

椭圆周长专项练习60题(有答案)

椭圆周长专项练习60题(有答案)
1. 椭圆的定义
椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义是到两个焦点之间的距离之和等于常数2a（椭圆的长轴长度）的点的集合。

2. 椭圆的性质
- 椭圆的最长直径被称为长轴，长度为2a。

- 椭圆的最短直径被称为短轴，长度为2b。

- 焦距是椭圆上离两个焦点最近和最远的两点之间的距离，长度为2c。

- 椭圆的焦距、长轴和短轴满足以下关系：c² = a² - b²。

- 椭圆的离心率e满足以下关系：e = c / a。

3. 椭圆周长计算公式
椭圆的周长C可以通过以下公式计算：
C = 2π√((a² + b²) / 2)
4. 椭圆周长专项练题（共60题）
1. 椭圆的长轴长度为6，短轴长度为4，求椭圆的周长。

答案：C = 2π√((6² + 4²) / 2) ≈ 2π√(52 / 2) ≈ 2π√26
2. 椭圆的长轴长度为10，离心率为0.8，求椭圆的短轴长度。

答案：e = c / a，由此可求得焦距c，再根据焦距和长轴长度可求得短轴b。

3. ...
60. ...
以上是关于椭圆周长的专项练习，希望对你的学习有所帮助！。

数学选修椭圆练习题及详细答案(含准线练习题)

1 / 3 数学选修2-1椭圆练习题及详细答案（含准线练习题）1．若椭圆my 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值范围是。

答案：－3<m <02．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是。

答案：9x 2＋y 2=13. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。

答案：4x 2＋5y 2=24提示：∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距, ∴4c 2=(a ＋c )(a －c ),解得a 2=5c 2, ∴b 2=4c 2, 将4 x 2＋5y 2=m 与2x －y －4=0联立，代入消去y 得24x 2－80x ＋80－m =0, 由弦长公式l =2k 1+|x 1－x 2|得354=5×1840m 3-,解得m =24,∴椭圆的方程是4x 2＋5y 2=24 4．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。

|PF1|²=(x - c)² + y²=[a²(x - c)² + a²y²]/a²=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² /***--根据b²x² + a²y² = a²b² ***/=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²=[(a²-b²)x² - 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²=(a² - cx)²/a²∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex同理可证：PF2 = a + ex5. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（）。

高中数学椭圆练习题(含答案)

椭圆练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7．已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（） A ．相同的短轴 B ．相同的焦点 C ．相同的离心率 D ．相同的长轴8．椭圆192522=+yx 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（） A ．2 B ．－2C ．21 D ．－21 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为；最小值为．15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P到定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1：2，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F1（0，52）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+byax(a＞b＞)0与直线1=+yx交于P、Q两点，且OQOP⊥，其中O为坐标原点．（1）求2211ba+的值；（2）若椭圆的离心率e满足33≤e≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12.化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。

（完整）高二数学椭圆试题（有答案）

（完整）⾼⼆数学椭圆试题（有答案）⾼⼆数学椭圆试题⼀：选择题1.已知⽅程表⽰焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1 B．m＞﹣2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1 解：椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1⼜∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故选D2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．8解：将椭圆的⽅程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D3．椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是（）A．B．C．D．解：由椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1，化成标准⽅程：由于，∴椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是2a=2=．故选B．4．已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离⼼率为（）A．B．C．D．解：由椭圆定义有4a=8∴a=2，所以k+2=a2=4∴k=2．从⽽b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以，故选A5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹⽅程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的⽅程是故选B．6．⽅程=10，化简的结果是（）A．B．C．D．解：根据两点间的距离公式可得：表⽰点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表⽰点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，因为|F1F2|=2＜10，所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，所以b2=21．所以椭圆的⽅程为：．故选D．7．设θ是三⾓形的⼀个内⾓，且，则⽅程x2sinθ﹣y2cosθ=1表⽰的曲线是（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在x轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，所以，θ∈（，π），且|sinθ|＞|cosθ|，所以θ∈（，），从⽽cosθ＜0，从⽽x2sinθ﹣y2cosθ=1表⽰焦点在y轴上的椭圆．故选D．8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直⾓三⾓形，则椭圆的离⼼率是（）A．B．C．D．解：设点P在x轴上⽅，坐标为，∵△F1PF2为等腰直⾓三⾓形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离⼼率e=故选D9.从椭圆上⼀点P向x轴作垂线，垂⾜恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离⼼率是（）A．B．C．D．解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），则+=1，∴y0=，∴P（﹣c，），⼜A（a，0），B（0，b），AB∥OP，∴k AB=k OP，即==，∴b=c．设该椭圆的离⼼率为e，则e2====，∴椭圆的离⼼率e=．故选C．10.若点O和点F分别为椭圆的中⼼和左焦点，点P为椭圆上的任意⼀点，则的最⼤值为（）A．2B．3C．6D．8解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以==，此⼆次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最⼤值，故选C．11.如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的⼀个焦点，若椭圆上存在⼀点P，满⾜以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离⼼率为（）A．B．C．D．解：设线段PF的中点为M，另⼀个焦点F′，由题意知，OM=b，⼜OM是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，⼜MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，⼜OF=c，直⾓三⾓形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，⼜a2﹣b2=c2，可求得离⼼率e==，故答案选B．12．椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离⼼率e=（）A．B．C．D．解：由题意可得直线AB的⽅程为即bx+ay﹣ab=0，F（c，0）∴F（c，0）到直线AB的距离d==，|AF|=a﹣c则∴a2=3b2∴a2=3a2﹣3c2即3c2=2a2∴=故选B13．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的⼀点，且|PF1||PF2|的最⼤值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c=．则椭圆的离⼼率的取值范围为（）A．[，]B．[，1）C．[，1）D．[，]解：∵|PF1|?|PF2|的最⼤值=a2，∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴，∴．故椭圆m的离⼼率e的取值范围．故选A．14．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离⼼率的取值范围是（）A．B．C．D．解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代⼊得，根据椭圆的⼏何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c，故，即，⼜e＜1，故该椭圆离⼼率的取值范围是．故选B．⼆：填空题15.已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上⼀点，且．若△PF1F2的⾯积为9，则b=3．解：由题意知△PF1F2的⾯积=，∴b=3，故答案为3．16．若⽅程表⽰焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是4＜k＜7．解：∵+=1表⽰焦点在y轴上的椭圆，∴k﹣1＞7﹣k＞0．∴4＜k＜7．故k的取值范围是4＜k＜7．故答案为：4＜k＜7．17.已知椭圆的焦距为2，则实数t=2，3，6．解：当t2＞5t＞0即t＞5时，a2=t2，b2=5t此时c2=t2﹣5t=6解可得，t=6或t=﹣1（舍）当0＜t2＜5t即0＜t＜5时，a2=5t，b2=t2此时c2=a2﹣b2=5t﹣t2=6解可得，t=2或t=3综上可得，t=2或t=3或t=6故答案为：2，3，618.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=．解：利⽤椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为19.在平⾯直⾓坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆⼼，a 为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离⼼率为．解：设切线PA、PB互相垂直，⼜半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直⾓三⾓形，故，解得，故答案为．20.若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的⽅程是．解：设切点坐标为（m，n）则即∵m2+n2=1∴m即AB的直线⽅程为2x+y﹣2=0∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c﹣2=0；b﹣2=0解得c=1，b=2所以a2=5故椭圆⽅程为故答案为三：解答题21.已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上⼀点．（1）求|PF1|?|PF2|的最⼤值；（2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的⾯积为，求b的值．解：（1）∵P点在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=|2a=20，∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|?|PF2|≤=100，∴|PF1|?|PF2|有最⼤值100．（2）∵a=10，|F1F2|=2c．设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20①，在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，所以根据余弦定理可得：t12+t22﹣2t1t2?cos60°=4c2②，由①2﹣②得3t1?t2=400﹣4c2，所以由正弦定理可得：=．所以c=6，∴b=8．22.如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另⼀个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离⼼率；（Ⅱ）已知△AF1B的⾯积为40，求a，b 的值．解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°?a=2c?e==．（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，在三⾓形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°（2a﹣m）2=m2+a2+am．?m=．△AF1B⾯积S=|BA||F1F2|sin60°=40a=10，∴c=5，b=5．23.已知中⼼在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的⽅程；（2）是否存在平⾏于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的⽅程；若不存在，说明理由．解：（1）依题意，可设椭圆C的⽅程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为F（﹣2，0），从⽽有，解得c=2，a=4，⼜a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的⽅程为．（2）假设存在符合题意的直线l，其⽅程为y=x+t，由得3x2+3tx+t2﹣12=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，另⼀⽅⾯，由直线OA与l的距离4=，从⽽t=±2，由于±2?[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．24.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离⼼率；（2）设点P（0，﹣1）满⾜|PA|=|PB|，求E的⽅程解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，⼜2|AB|=|AF2|+|BF2|，得l的⽅程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满⾜⽅程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，得，故a2=2b2所以E的离⼼率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从⽽故椭圆E的⽅程为．25.设椭圆的左焦点为F，离⼼率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的⽅程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若，求k的值．解：（I）根据椭圆⽅程为．∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴=，∵离⼼率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的⽅程为；（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6kx+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，⼜A（﹣，0），B（，0），∴=（x1﹣，y1）?（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）?（﹣x1．﹣y1）=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．26.设椭圆E：，O为坐标原点（Ⅰ）求椭圆E的⽅程；（Ⅱ）是否存在圆⼼在原点的圆，使得该圆的任意⼀条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且？若存在，写出该圆的⽅程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）因为椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，所以解得所以椭圆E的⽅程为（2）假设存在圆⼼在原点的圆，使得该圆的任意⼀条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线⽅程为y=kx+m解⽅程组得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即8k2﹣m2+4＞0，要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以⼜8k2﹣m2+4＞0，所以，所以，即或，因为直线y=kx+m为圆⼼在原点的圆的⼀条切线，所以圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满⾜或，⽽当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或存在圆⼼在原点的圆，使得该圆的任意⼀条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．因为，所以，①当k≠0时因为所以，所以，所以当且仅当时取”=”．2当k=0时，27.已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上⽅的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的⽅程；（2）求线段MN的长度的最⼩值；（3）当线段MN的长度最⼩时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的⾯积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的⽅程为（4分）（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的⽅程为y=k（x+2），从⽽，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从⽽即，（6分）⼜B（2，0）由得，∴，（8分）故⼜k＞0，∴当且仅当，即时等号成⽴．∴时，线段MN的长度取最⼩值（10分）（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：⼜所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最⼩值．（3）由（2）可知，当MN取最⼩值时，此时BS的⽅程为，∴（11分）要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的⾯积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平⾏于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．⼜因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满⾜条件．（14分）。

椭圆、双曲线测试题(含答案)

椭圆、双曲线测试题(含答案)章末综合测评(二)：圆锥曲线与方程本次测评共分为一、二两大题，时间为120分钟，满分150分。

一、选择题1.椭圆 $x^2+my^2=1$ 的焦点在 $y$ 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 $m$ 的值是（）A。

1.B。

2.C。

4.D。

11/4解析：由题意可得 $2=2\times2$，解得 $m=11/4$。

故选D。

2.下列双曲线中，渐近线方程为 $y=\pm2x$ 的是（）A。

$x^2-4y=1$。

B。

$4x^2-y=1$。

C。

$x^2-2y=1$。

D。

$2x^2-y=1$解析：由渐近线方程为 $y=\pm2x$，可得 $2=\pm x$，所以双曲线的标准方程可以为 $x^2/4-y^2/1=1$ 或 $-x^2/4+y^2/1=1$，舍去 C。

故选 A。

3.若双曲线 $a^2-b^2=1$ 的一条渐近线经过点 $(3,-4)$，则此双曲线的离心率为（）A。

$\sqrt{3}/5$。

B。

$4/3$。

C。

$\sqrt{5}/3$。

D。

$3/2\sqrt{2}$解析：由双曲线的渐近线过点 $(3,-4)$，知 $a=3$，又$b^2=c^2-a^2=16-9=7$，故$e=\sqrt{1+b^2/a^2}=\sqrt{16/9+7/9}=\sqrt{23}/3$，故选 D。

4.平面内有定点 $A$、$B$ 及动点 $P$，设命题甲是“$|PA|+|PB|$ 是定值”，命题乙是“点 $P$ 的轨迹是以 $A$、$B$ 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的（）A。

充分不必要条件。

B。

必要不充分条件。

C。

充要条件。

D。

既不充分也不必要条件解析：点 $P$ 在线段 $AB$ 上时，$|PA|+|PB|$ 是定值，但点 $P$ 的轨迹不一定是椭圆，反之成立，故选 B。

5.已知动圆 $E$ 与圆 $A$：$(x+4)^2+y^2=2$ 外切，与圆$B$：$(x-4)^2+y^2=2$ 内切，则动圆圆心 $E$ 的轨迹方程是（）A。

椭圆精品大题(带答案)

椭圆精品题库试题高中文数1.(2013年河南省十所名校高三第三次联考，12,5分) 四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，且AB＋BD＝AC＋CD．则下列结论中错误的是()A．若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高所在直线异面B．若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高长度相等C．AB＝AC且DB＝DCD．∠DAB＝∠DAC2.（2013年四川成都高新区高三4月模拟，15,5分）在直角坐标系内，点实施变换后，对应点为，给出以下命题：①圆上任意一点实施变换后，对应点的轨迹仍是圆；②若直线上每一点实施变换后，对应点的轨迹方程仍是则；③椭圆上每一点实施变换后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线：上每一点实施变换后，对应点的轨迹是曲线，是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，则的最小值为.以上正确命题的序号是（写出全部正确命题的序号）.3.（2013年四川成都高新区高三4月模拟，13,5分）在区间内任取两个数，则使方程的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率为 .4.(2013北京海淀区5月模拟卷，19,14分）已知椭圆C: 的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.(I) 求椭圆C的方程；(II) 若直线交椭圆C于A，B两点，在直线上存在点P, 使得ΔPAB 为等边三角形, 求k的值.5.(2013年天津市高三第六次联考，18,13分）如图所示，F1、F2为椭圆C：的左、右焦点，D、E分别是椭圆C的右顶点和上顶点，椭圆的离心率e＝，＝1－ . 若点M(x0, y0) 在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）问是否存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆过坐标原点？若存在，求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．6.（2013年四川成都高新区高三4月模拟，21,14分）设椭圆的离心率，是其左右焦点，点是直线（其中）上一点，且直线的倾斜角为.(Ⅰ) 求椭圆的方程；（Ⅱ）若是椭圆上两点，满足，求（为坐标原点）面积的最小值.7.(2013年山东省高三4月巩固性练习，22,13分)已知点F1和F2是椭圆M: 的两个焦点，且椭圆M经过点.（1）求椭圆M的方程；（2）过点P(0,2) 的直线l和椭圆M交于A、B两点，且, 求直线l的方程；（3）过点P(0,2) 的直线和椭圆M交于A、B两点，点A关于y轴的对称点为C，求证：直线CB必过y轴上的定点，并求出此定点坐标.8.(2013年河南省十所名校高三第三次联考，20,12分）已知圆C：的半径等于椭圆E：（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：的距离为，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：.答案高中文数：1.A：2.①③④：3.：4.(I) 由题意得点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点, 所以该菱形的对角线分别是，所以，所以,所以椭圆的方程为.………………4分(II) 由(I) 知椭圆：. 设由椭圆的对称性知且O是线段AB的中点，由于△PAB是等边三角形，所以点P在线段AB的垂直平分线上，又点P在直线上，所以点P是直线与线段AB的垂直平分线的交点.当时，直线AB即轴，所以，所以线段的垂直平分线是轴，又直线与轴的交点,所以, 所以是等边三角形,所以符合题意；当时，则线段的垂直平分线为，直线的方程与椭圆C的方程联立得消去，整理得,所以，则，所以，解方程组得即，所以,又为等边三角形，所以,所以，解得（舍去），或,综上所得，或.………………14分：5.（I）=，所以，解方程组解得，所以椭圆C的标准方程为.………………………. 5分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时不妨设，所以对应的“椭点”坐标为，，所以与不垂直，此时以PQ为直径的圆不过坐标原点．所以此时不合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，所以对应的“椭点”坐标为，直线的方程与椭圆C的方程联立得消去，整理得(4k2+1) x2＋8k2x＋12k2－4＝0，所以，又以PQ为直径的圆过坐标原点，所以，所以，所以，又，所以，解得，所以，即此时直线的方程为或.综上所得，存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆过坐标原点，且直线的方程为或.………………………13分：6.（Ⅰ）由题意得，，∴，又，∴，∴∴有解得，∴椭圆的方程是.………………….. ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆的方程是.当直线的斜率不存在时，AB轴，又，∴设，∴，整理得，∴的面积是，当直线的斜率存在时，设直线AB的方程是，设，直线AB的方程和椭圆E的方程联立得消去，整理得,∴，∴==1，整理得，又原点O到直线AB的距离，∴的面积是，∴，∴，当且仅当时取“=”，∴，又，∴面积的最小值为.……………………. ……14分：7.（1）由焦点F1得c=，所以，所以设椭圆M的方程是，又点在椭圆M上，所以，解得，,所以椭圆M的方程为.…………………4分（2）由（1）知椭圆方程为.当直线的斜率不存在时，则, 或.当时，，所以；当时，，所以；又，所以此时不合题意.当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，B(x1, y1), A(x2, y2), 则，直线的方程与椭圆M的方程联立得消去，整理得.所以，解得.且.又，所以，所以.所以，所以，所以，解得，所以，所以直线l的方程是.………………9分（3）当直线AB的斜率存在时，设过点P(0,2) 的直线AB方程为：，B(x1, y1), A(x2, y2), 则C(-x2, y2). 所以，由（2）知，.又，所以直线CB的方程为：，所以令x=0，得=.所以直线CB必过y轴上的定点.当直线AB的斜率不存在时，直线AB是y轴，此时也过定点.综上所得，直线CB必过y轴上的定点.…………………. 13分：8.（Ⅰ）设点，直线l的方程化为一般方程为,所以到直线的距离为，整理得，因为在圆内，所以，所以，所以；又圆的半径等于椭圆的短半轴长，所以，所以，所以椭圆方程为.…………………………………………（6分）（Ⅱ）圆C的半径，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，是切点，所以，所以为直角三角形，又，,所以，又A在椭圆上，所以，所以，所以，很明显，所以，由（Ⅰ）知，所以，很明显，所以，所以，同理可得，所以，所以.……………（12分）。