基本初等函数的图像与性质专题
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
基本初等函数的图像与性质
在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。
一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。
它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。
二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。
幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。
3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。
② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。
③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。
2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。
专题二 第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质
函数，
所以由15<(15)b<(15)a<1 得 0<a<b<1，
所以0<
a b
<1.
所以y＝ax，y＝bx，y＝( a )x在(－∞，＋∞)上都是
b
递减函数，
从而ab<aa，( a)a<1得ba>aa， b
故ab<aa<ba，
答案选B.
答案 B
(2)已知函数 f(x)＝2x－21x，函数 g(x)＝ffx－，xx，≥x0<，0，
变式训练1
(1)(2013·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，
f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))等于( C )
A.－5
B.－1 C.3 D.4
解析
lg(log210)＝lg
1 lg 2
＝－lg(lg
2)，
由f(lg(log210))＝5，
得a[lg(lg 2)]3＋bsin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，
2
则实数a的取值范围是( )
A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－1,0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)
思维启迪 可利用函数图象或分
类讨论确定a的范围；
解析 方法一 由题意作出y＝f(x)的图象如图. 显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a).故选C.
方法二 对a分类讨论：
当a>0时，log2a>log 1 a，即log2a>0，∴a>1. 2
当a<0时，log 1 (－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；3y1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1(1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；.当10<<a 时，a 值越大，xa y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==xf x xxx g ⎪⎫⎛=1)((4)()n n n b a ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2xy =3x y =21xy =1-=x y定义域 R RR [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21xy =O=y xCy =Oxyy在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性 在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
六大基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
六大基本初等函数图像及其性质_9000
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（此中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0C0y yy Cx y 0xO O平行于x 轴的直线y 轴自己定义域R定义域R 二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数；1y y x1.幂函数的图像：2y x2y xy x3y x1O x2.幂函数的性质；性质y x y x231y x1y x y x2函数定义域R R R[0,+ ∞ ){x|x ≠ 0}值域R[0,+ ∞ )R[0,+ ∞ ){y|y ≠ 0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单一性增[0,+∞) 增增增(0,+∞ )减(-∞ ,0] 减(-∞ ,0)减公共点（ 1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ( , )，他们的图形都经过原点，并当α>1 时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形对于原点对称；α为偶数时图形对于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除掉x=0 的全部实数；3）当α为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）假如 m>n 图形于 x 轴相切，假如m<n,图形于 y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称； m， n均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一确实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 之外的一确实数。
三、指数函数 y a x(x是自变量,a是常数且a0， a1)，定义域是 R ；[ 无界函数 ]1.指数函数的图象：yy a x y a xy(a 1)(0a1)(0,1)y1(0,1)y1 O x O x2.指数函数的性质；性质y a x(a1)y a x(0 a 1)函数定义域R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x0 时，y 1单一性在（，）是增函数在（，）是减函数1 ）当a 1时函数为单调增 , 当0a 1时函数为单调减；2 ）不论x为何值 ,y 总是正的,图形在 x 轴上方；3 ）当x 0时 , y 1, 所以它的图形通过 (0,1) 点。
(完整版)基本初等函数图像及其性质表
函数名 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 解析式)0()(≠+=a b ax x f)0()(≠=k xkx f图像定义域 R R {}0|≠x xR值域 R），（∞+0 必过点）（b ,0），（c 0 )1,(1,--k k ）（）（1,0 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数不是周期函数单调性在R 上单增)2-a b-∞，（为减),2+∞-ab （为增 ）为减，（0-∞）为减，（∞+0为减为增，101<<>a a最大最小值在R 不存在最大最小值开口向上有最小值ab ac y 442min-=不存在最大最小值在R 上不存在最大最小值奇偶性非奇非偶函数为奇函数00≠=b b偶函数为非奇非为偶函数，00≠=b b 奇函数 非奇非偶函数对称性为常数。
对称，函数图像关于直线任何一点对称；关于图像上t t x a y +=1-对称直线函数图像关于abx 2-= 函数图像关于原点对称； 对称。
直线和关于对称，直线图像关于x y x y -==既不成中心对称也不成轴对称。
渐近线 无 无.00==y x 直线或者直线.0=y 直线)0()(2≠++=a cbx ax x f )10()(≠=a a a x f x且＞0＞a＞a 0＞k ),44[2+∞-ab ac ），（），（∞+⋃∞00-a y =)10(<<a xa y =)1(>a xyO1函数名 对数函数 幂函数的一个例子 双钩函数含绝对值函数解析式)10(log ≠>=a a y xa且)0(≥=x xyba b x a x y <-+-=设为了研究方便 图像O 1yx)10(log <<=a y xa)1(log >=a y xaOyxxy =11定义域 ()∞+，0[)∞+，00}x |{x ≠R值域R[)∞+，0(][)∞+∞，，ab ab 22--[)+∞-,a b必过点）（0,1()1,1)2,(2,ab abab ab--）（),(,a b b a b a --）（周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数单调性单调递减。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（此中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0C0y yy Cx y 0xO O平行于x 轴的直线y 轴自己定义域R定义域R 二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数；1y y x1.幂函数的图像：2y x2y xy x3y x1O x2.幂函数的性质；性质y x y x231y x1y x y x2函数定义域R R R[0,+ ∞ ){x|x ≠ 0}值域R[0,+ ∞ )R[0,+ ∞ ){y|y ≠ 0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单一性增[0,+∞) 增增增(0,+∞ )减(-∞ ,0] 减(-∞ ,0)减公共点（ 1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ( , )，他们的图形都经过原点，并当α>1 时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形对于原点对称；α为偶数时图形对于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除掉x=0 的全部实数；3）当α为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）假如 m>n 图形于 x 轴相切，假如m<n,图形于 y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称； m， n均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一确实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 之外的一确实数。
三、指数函数 y a x(x是自变量,a是常数且a0， a1)，定义域是 R ；[ 无界函数 ]1.指数函数的图象：yy a x y a xy(a 1)(0a1)(0,1)y1(0,1)y1 O x O x2.指数函数的性质；性质y a x(a1)y a x(0 a 1)函数定义域R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x0 时，y 1单一性在（，）是增函数在（，）是减函数1 ）当a 1时函数为单调增 , 当0a 1时函数为单调减；2 ）不论x为何值 ,y 总是正的,图形在 x 轴上方；3 ）当x 0时 , y 1, 所以它的图形通过 (0,1) 点。
（完整）六大基本初等函数图像及其性质
标准实用文案大全六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）≠C 0=C 平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R 定义域R二、幂函数αx y=，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数xy =2xy =3xy =21x y =1-=xy 定义域R R R [0,+[0,+∞∞) {x|x {x|x≠≠0} 值域R [0,+[0,+∞∞) R [0,+[0,+∞∞) {y|y {y|y≠≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+[0,+∞∞) ) 增增增增(0,+(0,+∞∞) ) 减减(-(-∞∞,0] ,0] 减减(-(-∞∞,0) ,0) 减减公共点（1,11,1））xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21x y =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α，他们的图形都经过原点，并当α>1>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm 时，时，n n 为偶数时函数的定义域为（为偶数时函数的定义域为（0, +0, +0, +∞），∞），∞），n n 为奇数时函数的定义域为（为奇数时函数的定义域为（--∞,+,+∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（1 ,11 ,11 ,1）；）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,m<n,图形于图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；轴对称；m m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，）当α为负有理数时，n n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
4、基本初等函数图像及其性质
基本初等函数图像以及性质一、指数函数的图象及性质函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象0<a <1a >1图象特征在x 轴上方，过定点(0，1)当x 逐渐增大时，图象逐渐下降当x 逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域 R 值域(0，＋∞)单调性 减增 函数值 变化 规律当x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1当x <0时，0<y <1； 当x >0时，y >1在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x (a ＞1，b ＞1，0＜c ＜1，0＜d ＜1)的图象，如图所示．作出直线x ＝1，分别与四个图象自上而下交于点A (1，a )，B (1，b )，C (1，c )，D (1，d )，得到底数的大小关系是：a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0.根据y 轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．考点一 指数函数的图像例1、如果函数在R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．｜a ｜＞ B ．＜｜a ｜＜ C ．｜a ｜＞ D ．｜a ｜＜3x a x f )2()(2-=22331、已知指数函数(0,1)x y a a a =>≠在[]1,2上的最大值比最小值大2a，则a =例2、函数y ＝a x －a －1(a >0且a ≠1)的图象可能是( )A BC D1、函数f (x )＝21－x 的大致图象为( )2、函数y＝xa x|x|(a>1)的图象大致是()例3、若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．1、若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．2、若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．考点二指数函数单调性的应用例4、设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a1、已知函数f(x)＝a x＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．2、如果函数y＝a2x＋2a x－1(a>0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为()A.13B．1C．3 D.13或33、(2017·合肥模拟)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有() A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0 对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．作出直线y＝1，分别与四个图象自左向右交于点A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)，得到底数的大小关系是：b＞a＞1＞d＞c＞0.根据直线x＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．考点三对数的图像例5、函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()1、【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1xya=，1(2log)ay x=+(a>0，且a≠1)的图象可能是2、已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1B．a>1，0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1，0<c<13、(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝log a(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为()A BC D例6、函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上，且m >0，n >0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．281、(2017·河北五校质监)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋n y ＋2＝0上，其中m >0，n>0，则2m ＋1n 的最小值为 ( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92 考点六 解不等式以及定义域 例7、求不等式的解集 （1）()113log 3<+x （2） 0log )12(21≥-x1、已知集合=⋂>-=<=N M x x N x M x x 则},0)1(log |{},33|{21322A ．)23,0(B ．)2,23(C ．)23,1(D ．(0,1)2、设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)例8、求下列函数的定义域 （1）)1(log 121-=x y （2）y =1、【2018年江苏卷】函数f (x )＝log 13（4x －5）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 2、（2016年全国II 卷高考）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D）y =考点七 复合函数的定义域 例9、求下列函数的单调区间（1） xx y 2221-⎪⎭⎫⎝⎛= （2）20.2()log (45)f x x x =-++1、【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞2、【2014江苏高考】若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)3、(2016·青海平安一中月考)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．考点八 比较大小例10、(2017·天津一模)已知a ＝log 25，b ＝log 5(log 25)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.52，则a ，b ，c的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<2、【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3、已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b考点九 数形结合例11、已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1) B ．[13，1) C ．(23，1) D ．[23，1)1、(2017·合肥月考)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（ ）A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)2、(2016·南京师大附中等四校联考)若函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，x ≤2，log a x ，x ＞2(a >0且a ≠1)的值域是[2， ＋∞)，则实数a 的取值范围是________．。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C （其中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0yy Cy 0xO平行于 x 轴的直线定义域 R二、幂函数 y x， x 是自变量，是常数；1. 幂函数的图像：y y x3y x2y x1O2.幂函数的性质；性质y x y x2y x3函数定义域R R R值域R[0,+ ∞ )R奇偶性奇偶奇单调性增[0,+ ∞) 增增(-∞ ,0]减公共点（ 1,1）C 0yOy轴本身定义域 Ry x1y x 2x1y x 2[0,+ ∞ )[0,+ ∞ )非奇非偶增xy x 1{x|x ≠ 0}{y|y ≠ 0}奇(0,+∞) 减(-∞ ,0) 减第 1 页1）当 α 为正整数时，函数的定义域为区间为x ( ,)，他们的图形都经过原点，并当α >1 时在原点处与 x 轴相切。
且 α为奇数时，图形关于原点对称；α 为偶数时图形关于 y 轴对称；2）当 α 为负整数时。
函数的定义域为除去 x=0 的所有实数；3）当 α 为正有理数m时， n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞）， n 为奇数时函数的定义域为（ -n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）如果 m>n 图形于 x 轴相切，如果m<n,图形于 y 轴相切，且 m 为偶数时，还跟y 轴对称； m ， n均为奇数时，跟原点对称；5）当 α 为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数ya x(x 是自变量,a 是常数且a0 ， a1 )，定义域是R ；[ 无界函数 ]1. 指数函数的图象 ：yaxyyy ax(a 1)(0 a1)(0,1)y 1(0,1)y 1OxOx2. 指数函数的性质 ；性质y a x(a 1)y a x(0 a 1)函数定义域 R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x 0 时， y1单调性 在（， ）是增函数 （， ）在是减函数1 ） 当 a1时 函 数 为 单 调 增 , 当 0 a 1时函数为单调减；2 ） 不 论 x 为 何 值 , y 总 是 正 的 , 图 形 在 x 轴 上 方 ；3 ） 当 x 0 时 , y1,所以它的图形通过(0,1)点 。
基本初等函数图像及性质大全(初中-高中)
（3）二次函数图象的性质
图像
定义域
对称轴
顶点坐标
值域
单调区间
递减
递增
递增
递减
①.二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是
②当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时， ；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当 时， ．
二、幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数．
（2）幂函数的图象
过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ．
1、一次函数与二次函数（一）一次Fra bibliotek数一次
函数
，
符号
图象
性质
随 的增大而增大
随 的增大而减小
（二）二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式： ②顶点式：
③两根式：
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
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1 1 2a ③f(x＋a)＝ 或 f(x＋a)＝－ ，则周期 T＝______ fx fx (a＞0)
训 练 高 效 提 能
基 础 要 点 整 合
(2)函数图象的对称性 若函数 f(x)满足： ①f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x)＝f(2a－x)，则 f(x)图象的 对称轴为_______. x＝a ②f(a＋x)＝－f(a－x)，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 f(x)图
nlogaM ；(6)alogaN＝____ N ； (5)logaMn＝_______ n logbN logaN n m (7)logaN＝ ；(8)logamN ＝___________. logba
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基 础 要 点 整 合
考 点 核 心 突 破
2．融会贯通函数的三个基本性质 (1)函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质，除增 函数与减函数的定义外，要注意其等价形式：设 x1，x2∈ [a，b]，且 x1≠x2，则 fx1－fx2 增函数 ， ① ＞0⇔f(x)在[a，b]上是_______ x1－x2 fx1－fx2 减函数 ． ＜0⇔f(x)在[a，b]上是_________ x1－x2 ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数 ______， 减函数 ． (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是________
解 题 规 范 流 程
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基 础 要 点 整 合
(2)函数的奇偶性
奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，需注意： ①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数 或偶函数的必要不充分条件． f(－x)＝f(x) 是定义域上的 f(－x)＝－f(x) ② _______________ 或 _____________ 恒等式． (3)函数的周期性 周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地， 对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值： f(x) (T≠0)，则f(x)是周期函数，____ 若f(x＋T)＝ ______ T 是它的一个周期．
m n (1)am· an＝______ amn ； am＋n ；(2)(a ) ＝_____
解 题 规 范 流 程
logaM＋logaN ； (3)loga(MN)＝_____________
M logaM－logaN ； (4)loga N ＝_______________
考 点 核 心 突 破
x≥0 即 xx－1＞0
解 题 规 范 流 程
，
，
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考 点 核 心 突 破
所以解得 x＞1，即定义域为(1，＋∞)，选 B.
[答案] (1)D (2)B
基 础 要 点 整 合
考 点 核 心 突 破
【拓展归纳】(1)求函数值的方法 形如 f(g(x)) 的函数求值时，应遵循先内后外的原则； 而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准 确地找出利用哪一段求解；特别地，对具有周期性的函 数求值要用好其周期性． (2)求函数定义域的类型及相应方法 ①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使 解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等 式(组)即可． ②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外， 还应使实际问题有意义． 【易错提示】 函数的定义域必须写成集合或区间 的形式．
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
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基 础 要 点 整 合
3．通盘把握抽象函数的周期性和对称性 (1)函数的周期性 若函数 f(x)满足
解 题 规 范 流 程
|a－b| ①f(x＋a)＝f(x＋b)，则周期 T＝________ 2a (a＞0) ②f(x＋a)＝－f(x)，则周期 T＝____
基 础 要 点 整 合
解 题 规 范 流 程
第2讲 函数、基本初等函数的图象性质
考 点 核 心 突 破
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基 础 要 点 整 合
基础要点整合
一、构建知识网络
解 题 规 范 流 程
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基 础 要 点 整 合
二、梳理基础知识
1．熟练运用指数与对数运算的八个公式 设 a＞0，且 a≠1，b＞0 且 b≠1，M＞0，N＞0，则
解 题 规 范 流 程
(a,0) ． 象的对称中心为______
考 点 核 心 突 破
a＋b x＝ 2 ③f(a＋x)＝f(b－x)， 则 f(x)图象的对称轴为_________.
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基 础 要 点 整 合
考点核心突破
考点一：函数及其表示
[考情一点通] 题型 选择或填空 难度 中档偏下
解 题 规 范 流 程
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【考点集训】
基 础 要 点 整 合
1．(2013· 新华中学模拟)若 f(x)＝ 的定义域为________．
1 x (2)(2013· 临沂一模)函数 f(x)＝ln ＋ x 2 的定义域为 x－1
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
A．(0，＋∞) C．(0,1)
B．(1，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)
பைடு நூலகம்
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基 础 要 点 整 合
(1)f(2 013)＝22 013－2 008＝25＝32，所以 32π 2π f[f(2 013)]＝f(32)＝2cos ＝2cos ＝－1，选 D. 3 3 [自主解答] x≥0， (2)要使函数有意义，则有 x ＞0 x－1
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
(1)以分段函数为载体，求函数值． 考查 (2)与不等式(组)的解法交汇命题，考 内容 查函数的定义域.
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基 础 要 点 整 合
【 例 1 】 (1)(2013· 烟 台 一 模 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ πx 2cos ， x≤2 000， 3 则 f[f(2 013)]等于 x－2 008 2 ， x＞2 000， A. 3 B．－ 3 C．1 D．－1