第一讲 角的概念推广及任意角的三角函数(高一数学)
高三数学复习(理)：第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数[学生用书P66]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝lr (l 表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式l ＝|α|r扇形面积公式 S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．常用结论1．三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .4．象限角5．轴线角一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)三角形的内角必是第一、第二象限角．()(3)不相等的角终边一定不相同．()答案：(1)×(2)×(3)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)终边相同的角理解出错；(2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ－45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)解析：选C.与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C.2．若sin α<0，且tan α>0，则α是第________象限角．解析：由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上；由tan α>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．答案：三3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________．解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx ＝－1.答案：－1[学生用书P67]象限角及终边相同的角(自主练透) 1．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角； ②4π3是第三象限角； ③－400°是第四象限角； ④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.－3π4是第三象限角，故①错误； 4π3＝π＋π3，所以4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故③正确； －315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故④正确，故选C.2．若角α是第二象限角，则α2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选C.因为α是第二象限角，所以π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， 所以π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角． 所以α2是第一或第三象限角．3．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2和k ＝－1， 代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°5．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 解析：如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－5π3，－2π3，π3，4π3(1)求终边在某直线上角的步骤①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； ②按逆时针方向写出[0，2π]内的角；③再由终边相同角的表示方法写出满足条件的角的集合； ④求并集化简集合． (2)判断象限角的2种方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．(3)确定kα，αk(k∈N*)终边位置的步骤①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②再写出kα或αk的范围；③然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在的位置．[提醒]终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．弧度制及其应用(典例迁移)一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.已知α＝π3，R＝10 cm，求扇形的面积．【解】由已知得α＝π3，R＝10 cm，所以S扇形＝12αR 2＝12×π3×102＝50π3(cm2)．【迁移探究1】若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解：l＝αR＝π3×10＝10π3(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝12lR－12×R2sinπ3＝12×10π3×10－12×102×32＝50π－7533(cm2)．【迁移探究2】若本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0＜R＜10)．所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是() A．2B．sin 2C.2sin 1D．2sin 1解析：选C.如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于点C，并延长OC交AB︵于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝ACsin∠AOC＝1sin 1，即R＝1sin 1，所以AB︵的长为l＝αR＝2sin 1.故选C.2．已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，则扇形的圆心角为________rad.解析：由题意得⎩⎨⎧2R ＋Rα＝10，12αR 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)或⎩⎨⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12 rad.答案：12三角函数的定义(多维探究) 角度一 利用三角函数定义求值(1)函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin α＋cos α的值为( )A.75 B ．65 C.55D.355(2)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则tan α＝________．【解析】 (1)因为函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4，2)，且角α的终边过点P ，所以x ＝4，y ＝2，r ＝25，所以sin α＝55，cos α＝255，所以sin α＋cos α＝55＋255＝355.故选D.(2)因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－x x 2＋36＝－513，即x ＝52.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，所以tan α＝125.【答案】 (1)D (2)125三角函数的定义中常见的3种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y ＝kx ，k ≠0)，求角α的三角函数值 方法：先设出终边上一点P (a ，ka )，a ≠0，求出点P 到原点的距离(注意a 的符号，对a 分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．角度二 判断三角函数值的符号(1)若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)若sin x ＜0，且sin(cos x )＞0，则角x 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】 (1)由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·sin αcos α＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限．综上，α的终边落在第三象限．故选C.(2)因为－1≤cos x ≤1，且sin(cos x )＞0，所以0＜cos x ≤1，又sin x ＜0，所以角x 是第四象限角，故选D.【答案】 (1)C (2)D三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．1．点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析：选A.由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________．解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案：0[学生用书P69]核心素养系列6 数学建模——求扇形的面积数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题．(2019·高考北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A．4β＋4cos βB．4β＋4sin βC．2β＋2cos βD．2β＋2sin β【解析】如图，设点O为圆心，连接PO，OA，OB，AB，在劣弧AB︵上取一点C，则阴影部分面积为△ABP和弓形ACB的面积和．因为A，B是圆周上的定点，所以弓形ACB的面积为定值，故当△ABP的面积最大时，阴影部分面积最大．又AB的长为定值，故当点P为优弧AB︵的中点时，点P到弦AB的距离最大，此时△ABP的面积最大，即当P 为优弧AB︵的中点时，阴影部分面积最大．下面计算当P为优弧AB︵的中点时阴影部分的面积．因为∠APB为锐角，且∠APB＝β，所以∠AOB＝2β，∠AOP＝∠BOP＝180°－β，则阴影部分的面积S＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形OAB＝2×12×2×2sin(180°－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β，故选B.【答案】 B从本题的解析中可以得到，无论∠APB是锐角，还是直角或钝角，都是当P 为优弧AB︵的中点时，阴影部分的面积最大．在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解：因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，所以A＝B＝30°＝π6，AM＝BN＝1，AD＝2，所以方案一中扇形的弧长＝2×π6＝π3；方案二中扇形的弧长＝1×2π3＝2π3；方案一中扇形的面积＝12×2×2×π6＝π3，方案二中扇形的面积＝12×1×1×2π3＝π3.由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．[学生用书P373(单独成册)][A级基础练]1．若角α的终边经过点P(1, 3)，则cos α＋tan α的值为()A.1＋232B．－1＋32C.1＋32 D.－1＋232解析：选A.因为角α的终边经过点P(1，3)，则x＝1，y＝3，r＝|OP|＝2，所以cos α＝x r ＝12，tan α＝yx ＝3，那么cos α＋tan α＝1＋232，故选A.2．sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在解析：选A.因为π2<2<3<π<4<3π2， 所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. 所以sin 2·cos 3·tan 4<0，所以选A.3．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由题意知tan α<0，cos α<0，故sin α>0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.4．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )A.π4B ．π2 C.22D. 2解析：选D.设圆的直径为2r ，则圆内接正方形的边长为2r ， 因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长， 所以圆弧的长度为2r ， 所以圆心角的弧度数为2rr ＝ 2.5．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2D.⎝⎛⎭⎪⎫－3π4，π4解析：选D.由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.答案：220°7．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝________．解析：因为cos α＝xx 2＋5＝24x ，所以x ＝0或x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，所以x ＝－ 3.答案：－ 38．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以与角α终边相同的最小正角为11π6.答案：11π69．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.10．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15. 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45＞0.综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．[B 级 综合练]11．在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sinα，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵ B ．CD ︵ C.EF ︵D.GH ︵解析：选C.设点P 的坐标为(x ，y )，利用三角函数的定义可得yx <x <y ，所以x <0，y >0，所以P 所在的圆弧是EF ︵，故选C.12．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 解析：选D.由三角函数线可知选D.13.如图，在Rt △PBO 中，∠PBO ＝90°，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB ＝α弧度，则αtan α＝________．解析：设扇形的半径为r ，则扇形的面积为12αr 2，在Rt △POB 中，PB ＝r tan α，则△POB 的面积为12r ·r tan α，由题意得12r ·r tan α＝2×12αr 2，所以tan α＝2α，所以αtan α＝12. 答案：1214.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．解析：由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4.在Rt △AOD 中，易得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12OA ＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD ＝AO sin π3＝4×32＝23，可得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2.答案：43＋2[C 级 提升练]15．(2020·安徽江南十校4月模拟)某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)．已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小需要的长度约为( )A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米解析：选B.因为弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，所以导线长度为2π3×30＝20π≈20×3.14≈63(厘米)．故选B.16．如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解析：选C.因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针方向旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ，所以∠POx ＝t －π4.由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4.令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝ 2.当t ＝π4时，d ＝0，故选C.。
高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数习题及详解
高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数习题及详解一、选择题1．(2010·广州检测)若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] C[解析] ∵sin α<0，∴α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上， ∵tan α>0，∴α为第一、三象限角， ∴α为第三象限角．2．(2010·安徽省168中学联考)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( )A ．{(0,0)}B ．{(π，0)，(0,0)}C ．{(x ，y )|x ＝k π，y ＝0，k ∈Z }D ．∅ [答案] C[解析] 函数y ＝sin x 与y ＝tan x 图象的交点坐标为(k π，0)，k ∈Z .3．(2010·河北正定中学模拟)已知角α终边上一点P ⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.56π B.116π C.23πD.53π [答案] B[解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝32， sin α＝cos 2π3＝－cos π3＝－12，∴角α为第四象限角，∴α＝2π－π6＝11π6，故选B.4．(2010·山东师大附中模拟)cos ⎝⎛⎭⎫－523π＝( ) A ．－12B ．－32C.12D.32[答案] A[解析] cos ⎝⎛⎭⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝⎛⎭⎫17π＋π3 ＝－cos π3＝－12.5．(2010·河南新乡市模拟)已知角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.35 B ．－35C.45D ．－45[答案] B[解析] ∵a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝－5a ， ∴sin α＝3a r ＝－35，故选B.6．(2010·广东佛山顺德区质检)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22C ．－1D ．1[答案] D[解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π (k ∈Z )，b ＝π2＋2k π，∴cos a ＋b 2＝cos2k π＝1.7．(2010·青岛市质检)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32[答案] A[解析] 由条件知，π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴a 5＝π3，∴cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－cos π3＝－12，故选A.8．(2010·衡水市高考模拟)设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>cos25°>sin25°>0，log 12x 为减函数，∴a <c <b .9．(2010·北京西城区抽检)设0<|α|<π4，则下列不等式中一定成立的是( )A ．sin2α>sin αB ．cos2α<cos αC ．tan2α>tan αD ．cot2α<cot α[答案] B[解析] 当－π4<α<0时，A 、C 、D 不成立．如α＝－π6，则2α＝－π3，sin2α＝－32，sin α＝－12，－32<－12，tan2α＝－3，tan α＝－33，cot2α＝－33，cot α＝－3，而－3<－33，此时，cot2α>cot α.10．如图所示的程序框图，运行后输出结果为( )A ．1B ．2680C ．2010D ．1340[答案] C[解析] ∵f (n )＝2sin ⎝⎛⎭⎫n π3＋π2＋1＝2cos n π3＋1.由S ＝S ＋f (n )及n ＝n ＋1知此程序框图是计算数列a n ＝2cos n π3＋1的前2010项的和．即S ＝⎝⎛⎭⎫2cos π3＋1＋⎝⎛⎭⎫2cos 2π3＋1＋⎝⎛⎭⎫2cos 3π3＋1＋…＋⎝⎛⎭⎫2cos 2010π3＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋…＋cos 2010π3＋2010＝2×335×cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋cos 4π3＋cos 5π3＋cos 6π3＋2010＝2010.二、填空题11．(2010·南京调研)已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．[答案] 10[解析] 根据题意知tan α＝－6x ＝－35，所以x ＝10.12．已知△ABC 是锐角三角形，则点P (cos B －sin A ，tan B －cot C )，在第________象限． [答案] 二[解析] ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2，且A ＋B >π2，B ＋C >π2，∴π2>A >π2－B >0，π2>B >π2－C >0， ∵y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上都是增函数， ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，tan B >tan ⎝⎛⎭⎫π2－C ， ∴sin A >cos B ，tan B >cot C ，∴P 在第二象限．13．在(0,2π)内使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是______． [答案] (π4，5π4)[解析] 由三角函数定义结合三角函数线知，在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为(π4，5π4)．[点评] 要熟知单位圆中的三角函数线在三角函数值的大小中的应用．14．(文)(2010·上海嘉定区模拟)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________. [答案] －75[解析] 由条件知，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴cos α－sin α＝－75.(理)(2010·北京延庆县模拟)直线y ＝2x ＋1和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则sin(α＋β)＝________.[答案] －45[解析] 将y ＝2x ＋1代入x 2＋y 2＝1中得，5x 2＋4x ＝0，∴x ＝0或－45，∴A (0,1)，B ⎝⎛⎫－45，－35，故sin α＝1，cos α＝0，sin β＝－35，cos β＝－45， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－45.[点评] 也可以由A (0,1)知α＝π2，∴sin(α＋β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝cos β＝－45. 三、解答题15．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． [解析] ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.16．(文)已知sin θ、cos θ是方程x 2－(3－1)x ＋m ＝0的两根． (1)求m 的值； (2)求sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值．[解析] (1)由韦达定理可得⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝3－1 ①sin θ·cos θ＝m ② 由①得1＋2sin θ·cos θ＝4－2 3.将②代入得m ＝32－3，满足Δ＝(3－1)2－4m ≥0，故所求m 的值为32－ 3.(2)先化简：sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝cos 2θ－sin 2θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θ ＝3－1.(理)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0,2π)， (1)求sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)求m 的值；(3)求方程的两根及此时θ的值． [解析] (1)由韦达定理可知⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m 2②而sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12； (2)由①两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，将②代入得m ＝32； (3)当m ＝32时，原方程变为 2x 2－(1＋3)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12， ∴⎩⎨⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12cos θ＝32又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6或π3.17．周长为20cm 的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积． [解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， ∴l ＝20－2r ，S ＝12rl ＝12(20－2r )·r ＝(10－r )·r ， ∴当r ＝5时，S 取最大值．此时l ＝10，设卷成圆锥的底半径为R ，则2πR ＝10， ∴R ＝5π，∴圆锥的高h ＝52－⎝⎛⎭⎫5π2＝5π2－1π，V ＝13πR 2h ＝π3×⎝⎛⎭⎫5π2·5π2－1π＝125π2－13π2.。
第5章+第1讲+任意角和弧度制及任意角的三角函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
2．(多选)(2021·武汉调研)关于角度，下列说法正确的是( ) A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是 60° B．钝角大于锐角 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若 α 是第二象限角，则α2是第一或第三象限角
答案
解析 对于 A，时钟经过两个小时，时针转过的角度是－60°，故错误； 对于 B，钝角大于锐角，显然正确；对于 C，若三角形的内角为 90°，是终 边在 y 轴正半轴上的角，故错误；对于 D，因为 α 是第二象限角，所以 2kπ ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z，所以 kπ＋π4<α2<kπ＋π2，k∈Z，α2是第一或第三象限角， 故正确．故选 BD.
解
弧长和扇形面积的计算方法 (1)在弧度制下，记住下列公式 ①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2(其中 l 是扇形 的弧长，α 是扇形的圆心角，r 是扇形的半径)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任 意两个量．
3.(多选)(2021·青岛模拟)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列说法正确的有( )
答案 2 解析 由圆的几何性质可知，圆内接正方形的边长为 2r，故弧长为 2 r 的弧所对的圆心角为 2.
解析 答案
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 角的概念及表示
例 1 (1)(2021·赤峰模拟)若角 α 的终边与 240°角的终边相同，则α2的终
边所在象限是( )
A．第二或第四象限
B．第二或第三象限
半轴重合，终边经过点 P(－1，2)，则 sinα－cosα＋tanα＝________.
3 5－10
答案
5
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-任意角和弧度制及三角函数的概念
第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=l r(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=180rad;1rad=(180)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r23.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=, cosα=,tanα=(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域R R{α|α≠kπ+π2,k∈Z}【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133πB.-256πC.-113πD.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=()A.-3B.-4C.-6D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】α所在象限与2所在象限的关系α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cos2|=-cos2,则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以2的终边落在第二、四象限,又|cos2|= -cos2,所以cos2<0,所以2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,2位于第一象限;当k为奇数时,2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sin2|=-sin2,则角2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角2在第一或第三象限.又|sin2|=-sin2,所以sin2<0,所以角2在第三象限.考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)2+16,当R=4cm时,S max=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(r22)2=16,当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3cm,所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3-3)cm2.【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16.【解析】设扇形的半径为r cm,圆心角弧度数为α=360π·π180=2,所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12×2×16=16.答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60r=240,解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α==608=152,所以扇形圆心角的弧度数为152rad.考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-32.【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-3)2=13.则sinα===-31313,tanα==-32.(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.【解析】由题设知:tan60°=4=3,即a=43.角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cos tan>0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,由cos tan>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()A.tan A与cos BB.cos B与sin CC.tan2与cos2D.tan2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以2,2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为0<A<π,所以0<2<π2,所以tan2>0,又因为0<C<π,所以sin C>0,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是()A.-2B.211C.-2或211D.1【解析】选B.由题设可知=35且2a+1>0,即a>-12,所以42+4r152+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cos5π6),则角α的最小正值为5π3.【解析】因为sin5π6>0,cos5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=-32,故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.。
三角函数知识点归纳
单调减区间可由2k ＋ ≤x＋≤2k ＋ ，k∈z解得。
在求 的单调区间时，要特别注意A和 的符号，通过诱导公式先将 化正。
如函数 的递减区间是______
（答：
解析：y= ，所以求y的递减区间即是求 的递增区间，由 得
，所以y的递减区间是
四、函数 的图像和三角函数模型的简单应用
终边在 轴上的角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角 相同的角的集合为
(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.
公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α， ．
公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， .
公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sinα.
公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
① 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍；
② ；问： ； ；
③ ；④ ；⑤ ；等等.
如[1] . （答案： ）
④若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ， ， ．
任意角、弧度制及三角函数的概念-2025年高考数学大一轮复习
江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特
色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是会徽的几何图形，设弧 AD 长度是 l 1，弧 BC
1
1
长度是 l 2，几何图形 ABCD 面积为 S 1，扇形 BOC 面积为 S 2，若 ＝2，则 ＝
2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）
第22讲 任意角、弧度制及三角函数的概念
目
录
1
知识梳理
2
常用结论
3
易混易错练
4
考点分类练
5
最新模拟练
【知识梳理】
1.角的概念的推广
(1)角的定义:一条射线绕其 端点
角.
旋转到另一条射线所形成的图形称为
按旋转方向不同分为 正角 、 负角
易错点5 忽略扇形是圆的一部分
1
2
1．已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为________．
解析
l＋2r＝10，
设扇形的半径为 r cm，圆心角α所对的弧长为 l cm.由题意得 1lr＝4，
2
1
∴α＝8 或 .
2
1
又∵0<α<2π，∴α＝ .
2
l＝8， l＝2，
零角 .
(2)角的分类
按终边位置不同分为 象限角 和轴
、
线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角组成一个集合,这个集合记
为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即集合S的每一个元素的终边都与α
的终边相同,k=0时对应元素为α
高一数学角度和弧度制以及三角函数
第一讲 任意角和弧度制及三角函数一、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合： *β|β=α+2kπ,k ∈Z +二、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、rl =α.3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.三、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin α=y r ， cos x r α=，tan y x α=，cot xyα=各象限的符号：sin α cos α tan α3、 sin α，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT四、角度制与弧度制的互化及特殊角的三角函数值,23600π= ,1800π=1rad ＝180°π≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝π180≈0.01745（rad ）Xy+O— —+xyO — + — +y O— + + —x五、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=1．（2016•上海模拟）若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2016•广西模拟）60°角的弧度数是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2016•岳阳校级三模）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或44．（2016•安徽模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少（平方步）？（）A．120 B．240 C．360 D．4805．（2016•抚顺一模）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（2016•邢台校级模拟）角θ的终边过点（a﹣2，a+2），且cosθ≤0，sinθ＞0，则a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2）C．（﹣2，2] D．[﹣2，2]7．（2016•眉山模拟）设a=sin46°，b=cos46°，c=tan46°．则（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a，），则cosα的值为（）8．（2016•温州三模）已知角α的终边与单位圆交于点P（﹣35A．B．﹣C．D．﹣9．（2016春•上海校级期末）与30°角终边相同的角α=．10．（2016春•嘉兴期末）已知角α的终边与x轴正半轴的夹角为30°，则α=（用弧度制表示）．11．（2016•湖南一模）已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为，则cos∠POQ=．12．（2016•浙江模拟）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上一点，且，则x=，tanα=．13．（2016春•浦东新区期中）如图，扇形的半径为r cm，周长为20cm，问扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出扇形面积的最大值．14．（2016春•陕西校级月考）（1）判断下列各角是第几象限角：①606°②﹣950°（2）写出与﹣457°角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．1．（2016春•澄城县期末）下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．﹣30°C ．630°D ．﹣630°2．（2016春•延边州校级期末）在0到2π范围内，与角终边相同的角是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2016春•西藏期末）与角﹣463°终边相同的角为（ ） A ．K•360°+463°，K ∈Z B ．K•360°+103°，K ∈Z C ．K•360°+257°，K ∈ZD ．K•360°﹣257°，K ∈Z4．（2016春•抚顺期末）已知sinθ•tanθ＜0，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角5．（2016•朔州模拟）若点（sin ，cos ）在角α的终边上，则sinα的值为（ ） A ．B ．C ．D ．6．（2016•湖南校级模拟）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P （﹣3，m ），且sinα=﹣，则tanα等于（ ） A ．﹣B ．C ．D ．﹣7．（2016•浙江模拟）若点P （﹣3，4）在角α的终边上，则cosα=（ ）A．B．C．D．8．（2016•广东模拟）已知α是第二象限的角，其终边上的一点为，且，则tanα=（）A．B．C．D．9．（2016春•晋江市校级期末）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为cm2．10．（2016春•潍坊期末）已知扇形的半径为2，面积为π，则该扇形的圆心角为．11．（2016•广西模拟）已知sinx=，且x是第一象限角，则cosx=．12．（2016•南昌校级二模）已知θ为第四象限角，sinθ+3cosθ=1，则tanθ=．13．（2016•长沙模拟）已知sinα=，α∈（0，）．（1）求tanα的值；（2）求cos（α+）的值．14．（2016春•上饶校级期中）已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．第二讲 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈1．sin2012°=（ ） A ．sin32° B ．﹣sin32° C ．sin58°D ．﹣sin58°2．=（ ）A ．﹣sinxB ．sinxC ．cosxD ．﹣cosx3．（2016•长沙模拟）化简（1﹣cos30°）（1+cos30°）得到的结果是（ ） A ． B ．C ．0D ．14．（2016•舟山校级模拟）若=，则tanθ=（ ）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣35．已知α为三角形的一个内角．且tan（π﹣α）=．则角α的值为（）A．B．C．D．6．（2016•重庆校级模拟）已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C．D．7．（2016春•内蒙古校级期末）sin300°=（）A．B．C．D．8．（2016•马鞍山）计算：cos210°=（）A．B．C．D．9．（2016•山东模拟）已知tanα=3，则=．10．（2016•内江模拟）已知sinx=，x∈（，），则tanx=．11．（2013•北京校级模拟）求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值．12．（2016•资阳模拟）=．13．（2016春•湘潭期末）已知x的终边经过点P（1，）．（1）求角x的正弦、余弦值；（2）求sin（π﹣x）﹣sin（+x）的值．14．（2016春•周口期末）已知角α终边上一点P（﹣4，3 ），求．1．（2016•湖南校级模拟）已知sinα=﹣，且α∈（﹣，0），则tan （2π﹣α）的值为（ ） A ．﹣ B ．C ．±D ．2．（2016•吉林校级模拟）已知A+B=π，B ∈（，π），且sinB=，则tanA=（ ）A ．B ．C ．2D ．3．（2016春•金昌校级期末）若=，则tanα等于（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．3D ．4．（2016春•日喀则市校级期末）已知tanα=2，则的值是（ ）A ．B ．3C ．﹣D ．﹣35．（2016春•邯郸校级期末）已知sin （π+α）=，且α是第四象限角，则cos （α﹣2π）的值是（ ）A ．﹣B ．C ．±D ．6．（2016春•高安市校级期中）已知，，则sin （α+π）等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2016•离石区一模）若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．﹣D．﹣8．（2016•安徽一模）已知函数f（x）=，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．D．9．（2016•江西模拟）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则sin（90°+α）=．10．（2016•四川）sin750°=．11．（2016•陕西校级模拟）设cos（﹣80°）=k，那么tan100°=．12．（2016•岳阳校级模拟）已知A、B、C为△ABC的三内角，若，则A=．13．（2016春•衡阳校级期末）已知tanx=2，求的值．14．（2016春•上饶校级期中）已知角α终边上一点P（﹣3，4），求：（1）sinα和cosα的值（2）的值．。
数学一轮复习第三章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数学案含解析
第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲解读］1。
了解任意角的概念及弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化．(重点)2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等．(重点、难点)[考向预测］从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.1．任意角的概念（1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着错误!端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制的定义和公式（1)定义：把长度等于错误!半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
(2)公式3．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y）,那么sinα＝错误!y,cosα＝错误!x，tanα＝错误!错误!.1．概念辨析（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()（3)不相等的角终边一定不相同．（）（4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(）答案（1）×（2）√（3）×(4）×2．小题热身(1)下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是(）A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!（k∈Z）C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4（k∈Z）答案C解析角度制与弧度制不能混用,排除A,B；因为错误!＝2π＋π4，所以与错误!终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C。
高考数学总复习 31 角的概念推广、弧度制及任意角的三
()
π A.3 C. 3
2π B. 3 D．2
解析：设圆半径为 R，则其内接正三角形的边长为 3R，于是圆
心角的弧度数为 R3R＝ 3. 答案：C
4．弧长为 3π，圆心角为 135°的扇形半径为______，面积为 ______．
解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝34π， 由弧长公式 l＝α·r 得 r＝αl ＝33π＝4，
B．k·360°＋250°，k∈Z
C．k·360°＋70°，k∈Z
D．k·360°＋270°，k∈Z
解析：由于 610°＝360°＋250°，所以 610°与 250°角的终边相同．
答案：B
2．如果角 α 是第三象限角，则-α，πα，π＋α 角的终边分别落 在第______，______，______象限．
\\\\\\方法规律\\\\\ (1)利用终边相同的角的集合 S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个
角 β 所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和，然后判断角 α 的象限．
(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对 k 赋值来 求得所需角．
第一节 角的概念推广、弧度制及任意角的三角函数
目标定位
学习指向
1.主要考查对三角函数定义的理解和 1.了解任意角的概念．
运用，如三角函数值符号的选取及基 2.了解弧度制的概念，能
本运算能力． 进行弧度与角度的互化．
2.在高考中会结合三角函数的其他知 3.理解任意角三角函数(正
识进行考查，一般不会单独命题． 弦、余弦、正切)的定义.
l r
.
3．角度与弧度的换算
(完整版)三角函数最全知识点总结
三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角2．弧度制(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.(2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.(3)角度与弧度的换算：360°＝__2π__rad,1°＝__π180＝(__180π__)≈57°18′.(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__12|α|r2__＝__12lr__.3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__yr__，cosα＝__xr__，tanα＝__yx__.(2)三角函数在各象限的符号是：(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝__sinα__，cos(α＋k·2π)＝__cosα__，tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．重要结论1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．2．确定αk(k∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的范围．②写出αk的范围．③根据k的可能取值讨论确定αk的终边所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求αk是第几象限角．①等分：将每个象限分成k等份．②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．③选答：出现数字m的区域，即为αk所在的象限．如α2判断象限问题可采用等分象限法．二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：__sin 2x ＋cos 2x ＝1__. (2)商数关系：__sin xcos x ＝tan x __.2．三角函数的诱导公式1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x ·cos x ，tan 2x ＋1＝1cos 2x ，(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x 等． 2．特殊角的三角函数值表“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．4.sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．三、两角和与差的三角函数 二倍角公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝__2sin αcos α__；(2)cos2α＝__cos 2α－sin 2α__＝__2cos 2α__－1＝1－__2sin 2α__； (3)tan2α＝__2tan α1－tan 2α__(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2，k ∈Z )． 3．半角公式(不要求记忆) (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.重要结论1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. 2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)；1＋tan α1－tan α＝tan(π4＋α)cos α＝sin2α2sin α，sin2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，1±sin2α＝(sin α±cos x )2.4．辅助角(“二合一”)公式： a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝ 5.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A2＋B 2＋C 2＝π2.三角函数的结论有：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .四、三角函数的图象与性质1．周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质π重要结论1．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(π2，1)__、__(π，0)__、__(3π2，－1)__、__(2π，0)__.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(π2，0)__、__(π，－1)__、__(3π2，0)__、__(2π，1)__.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．4．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的图象(1)列表： (2)描点：__(－φω，0)__，__(π2ω－φω，A )__，(πω－φω，0)，(3π2ω－φω，－A )__，(2πω－φω，0)__.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞)的物理意义 (1)振幅为A . (2)周期T ＝__2πω__.(3)频率f ＝__1T __＝__ω2π__. (4)相位是__ωx ＋φ__. (5)初相是φ.重要结论1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的“长度 ”为T2.2．“五点法”作图中的五个点：①y ＝A sin(ωx ＋φ)，两个最值点，三个零点；②y ＝A cos(ωx ＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位即得余弦曲线y ＝cos x .六、正弦定理、余弦定理1．正弦定理和余弦定理 ①a ＝__2R sin A __，b ＝__2R sin B __，c ＝__2R sin C __；②sin A ＝__a 2R __，sin B ＝__b2R__，sin C＝__c2R __；③ab c ＝__sin Asin B sin C __④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Aa <b sin A a ＝b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b a ≤b (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．重要结论在△ABC 中，常有以下结论 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 5．tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .6．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .7．三角形式的余弦定理sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ，sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C .8．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3. 9.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．。
2025届高中数学一轮复习课件：第五章 第1讲任意角、弧度制及三角函数的概念(共71张ppt)
高考一轮总复习•数学
第28页
题型 弧长与扇形的面积公式
典例 3(1)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，将一个半径为 1 的圆盘固定在平面上，
圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头 M(开始时与圆盘
上点 A(1,0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆盘相切的状态展开，切
2．任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 α 终边上异于原点的任意一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
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3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
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1．终边相同的角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角． 2．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是 第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为 2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相 同的角 α，再由角 α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
答案
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解析：(1)由于 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M⊆N.
(2)如图，在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴的夹角 是π3，在[0,2π)内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π， 0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角 α 构成的集合 为－53π，－23π，π3，43π.
2015届高考数学总复习第三章 第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数课件 理
常考题型之一，一般解法有直接法和几何法．
若α是第k(k取1,2,3,4之一)象限的角，利用单位圆判断 (n∈N*)
是第几象限角的方法：把单位圆上每
个象限的圆弧n等分，并从x轴正半轴 开始，沿逆时针方向依次在每个区域 标上1,2,3,4，再循环，直到填满为止，
则有标号k的区域就是角
(n∈N*)终边所在的范围．
解析：因为点P(tan α，cos α)在第三象限，
tan α<0， 因此有 cos α<0，
∴α是第二象限角，故选B. 答案：B
扇形弧长、面积的计算
【例3】 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓 形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该
大值为
.
点评：(1)弧长公式l＝|α|R，面积公式S＝ lR＝
|α|R2，其
中α必须是弧度制单位，而S＝
lR类似于三角形的面积公式，
弧长相当于三角形的底、半径相当于三角形的高； (2)扇形的圆心角θ、半径R、弧长l、面积S之间有下列比例 关系： .
变式探究
3．已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，
式，找出相应的整数k，代回求出所有角； (2)可对整数k的奇、偶数情况展开讨论． 自主解答： 解 析 ： (1) 所 有 与 角 α 终 边 相 同 的 角 可 表 示 为 45° ＋ k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°， 解得－ ≤k≤－ ，
由于k∈Z，从而k＝－2或k＝－1，
②因为 2k×360°＋ 180°<2α<2k×360°＋ 360°，可知角 2α 的终边应在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上．
高考数学一轮复习角的概念及任意角的三角函数课件文新课标版
360°
nπ
180°
180 rad
180
α·π
°
1弧度 l R
|α|R 57°18′
半径
12|α|R2 57.3°.
圆心 |α|R＋2R.
• 3．角可以看成平面内一条 射线 绕着 端点 从 一 个 位 置旋转到另一个位置所成的图形．
• 4．(1)按逆时针方向旋转形成的角叫 正角 ； 按 顺 时 针方向旋转形成的角叫 负点P的坐标
是(x，y)，它与原点的距离为 r(r＝
y
x
y
＝ r ，cos α＝ r ，tan α＝ x .
x2＋y2 )，则 sin α
• 6．如图，用单位圆中的有向线段表示三角函数．
• sin α＝ ，cos α＝
，tan α＝ .
MP
OM
AT
• 7．在下图中标出各三角函数在各象限的符号．
R.
• (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓 形面积．
• (2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时， 该扇形有最大面积？
• 关键提示：(1)紧扣弧度制定义、弧长及扇形面积公式进 行解题．
• (2)转化成某一变量的函数求最值是常见思路．
• 【即时巩固2】 已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径 长为6.
• (1)求弧AB的长度．
• (2)求阴影部分的面积．
• 关键提示：设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，分 k>0和k<0两种情况讨论，利用三角函数定义求解．
解：设角 α 的终边上任一点为 P(k，－3k)(k≠0)， 则 x＝k，y＝－3k，r＝ k2＋－3k2＝ 10|k|. 当 k＞0 时，r＝ 10k，α 是第四象限角．
第一讲+弧度制及任意角的三角函数 高三数学一轮复习
2.(2023 年佛山市校级月考)《九章算术》是一部中国古代的数 学专著.全书分为九章，共收有 246 个问题，内容丰富，而且大多 与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了 38 个问题，主要讲各 种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形 天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步， 外周一百二十二步，径五步，如图 3-1-2 所示，则其所在扇形的圆 心角大小为(单位：弧度)( )
考点二 弧度制及其应用 [例 1](2023 年银川市校级开学)已知扇形的圆心角为α，所在 圆的半径为 r. (1)若α＝60°，r＝3，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为 16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？ 并求出最大面积.
解：(1)设扇形的弧长为 l，
∵α＝60°， ∴α＝π3，r＝3. ∴l＝|α|r＝π3×3＝π.
答案：B
3.若角 α 是第二象限角，则α2是第________象限角. 解析：∵α 是第二象限角，∴π2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.∴π4＋ kπ<α2<π2＋kπ，k∈Z.当 k 为偶数时，α2是第一象限角；当 k 为奇数时， α2是第三象限角.综上所述，α2是第一或第三象限角. 答案：一或三
【变式训练】
1.(2023 年北京市校级期中)《九章算术》是中国古代的数学名
著，其中《方田》一章涉及到弧田面积的计算问
题，如图 3-1-1 所示，弧田是由弧 AB 和弦 AB 所
围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为 2，
圆心角为23π，则此弧田的面积为( )
图 3-1-1
A.43π－ 3 B.43π－2 3 C.83π－ 3
(3)确定 kα，αk(k∈N*)的终边位置三步骤 ①用终边相同角的形式表示出角 α 的范围； ②再写出 kα 或αk的范围； ③然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或αk的终边所在的位置. (4)终边在一条直线上的角之间相差 180°的整数倍；终边在互 相垂直的两条直线上的角之间相差 90°的整数倍.
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第一讲 角的概念推广及任意角的三角函数
一、知识清单 1.角的概念：
①正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫 角，按顺时针方向旋转所形成的角叫 角，未作任何旋转所形成的角叫 角. ②象限角：（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的 半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.）
③非象限角：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为 . ④讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？与α终边相同的角如何表示？
结论：与α角终边相同的角，都可用式子 （Z k ∈），表示，写成集合呢？ ⑤讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？
注意：终边相同的角 相等；但相等的角，终边 相同；终边相同的角有 个，它
们 。
2. 弧度的意义：
①定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 . 用 表示，读作 . ②讨论：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则α弧度数= ？
③规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r 的圆心角α
所对弧长为l ，则α弧度数的绝对值为|α|＝
l
r
. 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制. ④由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？ 。
⑤=0
180 rad? =0
360 rad? 0
1= 弧度？1弧度= 度？ 3. 任意角的三角函数的定义：
① 讨论：锐角α的终边交单位圆于点),(y x P 的坐标与α三角函数有何关系？ 定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点),(y x P ,
则 .
② 思考：已知角终边上任一点),(y x P ，如何求它的三角函数值呢?结论：先求22r x y =+；再按公式 .
③ 例：已知角α的终边过点P(-2,-4)，求α的正弦、余弦和正切值.
④ 讨论：终边相同的角同一三角函数的值有何关系？
结论(诱导公式一）： ，其中k Z ∈． 作用：把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题.
⑤ 讨论：正弦、余弦、正切值在各个象限的符号情况？特殊角的三角函数值？
4. 三角函数线概念：正弦线、余弦线、正切线
二、随堂演练 1、设(
,)63
ππ
θ∈，且17θ的终边与θ角的终边相同，则tan θ等于 （ ） A
1
B
C
1
D 1
2、与0
2002-终边相同的最小正角是_______________ 3、设θ是第三象限角，且cos
cos ,222
θ
θθ
=-则是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
4、给出下列各函数值：①)1000sin(0
-；②)2200cos(0
-；③)10tan(-9
17tan
cos 107sin
πππ
其中符号为负的有（ ） A ① B ②
C ③
D ④
5、02120sin 等于（ ）
A 2
3
±
B
2
3
C 2
3
-
D
2
1
6、若α是第四象限的角，则πα-是（ ）
A 第一象限的角
B 第二象限的角
C 第三象限的角
D 第四象限的角
7、4tan 3cos 2sin ⋅⋅的值（ ）
A 小于0
B 大于0
C 等于0
D 不存在
8、设MP 和OM 分别是角
18
17π
的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0，
其中正确的是_____________________________
9、若角α和β的终边关于直线0x y +=对称，且3
π
α=-
，则β角的集合是 ；
10、设扇形的周长为8cm ，面积为2
4cm ，则扇形的圆心角的弧度数是
三、典例精讲
1、求下列各角的三角函数的值（正弦、余弦、正切）：－2π、32π、750°、174
π
、－116π、－1020°。
2、（1）如果点P （sinθ·cosθ,2cosθ）位于第三象限，试判断角θ所在的象限；
（2）若θ是第二象限角，则sin(cos )
cos(sin 2)
θθ的符号是什么？
3、若α是第二象限角，试分别确定2α、
2
α
的终边所在位置
【变式训练】若角2α的终边在x 轴上方，那么角α是( )
A.第一象限角
B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角
D.第一或第四象限角
4、已知角α的终边与函数y ＝2x 的图象重合，求（1）sin α；(2)求满足sin x ≤3
2
的角x 的集合.
【变式训练1】已知角θ的终边经过点P ()(0),sin 4
m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．
【变式训练2】函数y ＝lg sin x ＋
cos x －1
2
的定义域为 .
5、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.
四、家庭作业
1、若角0
600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ）
A 34
B 34-
C 34±
D
3
2、函数x
x
x x x x y tan tan cos cos sin sin +
+=
的值域是（ ） A {}3,1,0,1-
B {}3,0,1-
C {}3,1-
D {}1,1-
3、若α为第二象限角，那么α2sin ，2
cos
α
，
α
2cos 1
，
2
cos
1α
中，其值必为正的有（ ）
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
4、若2
3
cos -
=α，且α的终边过点)2,(x P ，则α是第_____象限角，x =_____
5、若角α与角β的终边互为反向延长线，则α与β的关系是___________
6、设99.9,412.721-==αα，则21,αα分别是第 象限的角
7、与0
2002-终边相同的最大负角是_______________
8、已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值；
家庭作业答案
1、B
2、C
3、A 4
、二、
、-=21)k βαπ+（ 6、一、二 7、202︒-
8、解：由已知4x a =，5r a =．
当0a >时，5r a =，3sin 5α=-，4cos 5α=，则2
2sin cos 5αα+=-； 当0a <时，5r a =-，3sin 5α=，4cos 5α=-，则2
2sin cos 5
αα+=．。