几何分布的定义以及期望与方差的证明

几何分布的定义以及期望与方差 几何分布（Geometric distribution ）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k 次成功的概率。 公式：

它分两种情况：

1. 得到1次成功而进行，n 次伯努利实验，n 的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;

2. m = n-1次失败，第n 次成功，m 的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.

由两种不同情况而得出的期望和方差如下：

,

;

,

。

概率为p 的事件A ，以X 记A 首次发生所进行的试验次数，则X 的分布列：

，

具有这种分布列的随机变量X ，称为服从参数p 的几何分布，记为X ~Geo (p )。

几何分布的期望

，方差

。

高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E p

ξ=

1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。

（1

下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记

两式相减，得

91页阅读材料），推导如下：

相减，

（26页）。

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q

利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。

例1.

一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取

解：

1，2，3，……，

k －1次均取到黑球，而第k 次取到白球，因此

例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p （0

解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10

。

k 次击中目标；若k ＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10

用倍差法，可求得

式的推导方法。

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