几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差的证明
1 p2
还可用导数公式 ( x n )' nx n1，推导如下：
1 2x 3x2 kx k1 x'(x2 )'(x3 )'(x k )' (x x2 x3 x k )'
(x 1
)' x
(1 x) (x) (1 x)2
1 (1 x)2
上式中令 x q ，则得
1 2q 3q 2 kq k1
2 p p2
( 1)2 p
1 p p2
利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。 例 1. 一个口袋内装有 5 个白球和 2 个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取
出白球则停止摸球。求取球次数 的数学期望 E 与方差 D 。
解：每次从袋内取出白球的概率 p 5 ，取出黑球的概率 q 2 。 的取值为 1，2，
,
;
,
。 概率为 p 的事件 A，以 X 记 A 首次发生所进行的试验次数，则 X 的分布列：
，
具有这种分布列的随机变量 X，称为服从参数 p 的几何分布，记为 X~Geo(p)。 几何分布的期望
，方差
。
高中数学教科书新版第三册（选修 II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中
只给出了结论：（1） E
1 (1 p2
p) 9
9(1 p)9 p
所以 E [1 (1 p)9 9(1 p)9 ]p 10(1 p)9 1 (1 p)10
p2
p
p
说明：本例的试验是有限次的，并且 P( 10) (1 p)9 ，不符合几何分布的概率特征， 因而随机变量 不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导数学期望与方差是概率论和统计学中常见的概念，它们可以帮助我们更准确地测量随机变量，了解概率分布的形状和特性。
本文将分别介绍二项分布和超几何分布的数学期望和方差的推导，并给出其计算公式，以便更深入地理解两个概率分布。
二、二项分布的数学期望二项分布是两个离散随机变量之间的统计分布。
假设有一个二进制试验，其实验结果只有两种情况，即可能出现的次数n有x次成功和(n-x)次失败，而成功的概率为p。
二项分布可以记作$B(n,p)$。
二项分布的数学期望记作$E(x)$，用如下公式表示：$$E(x)=np$$三、二项分布的方差二项分布的方差记作$D(x)$，用如下公式表示：$$D(x)=np(1-p)$$四、超几何分布的数学期望超几何分布是一种概率分布，它是描述一组有限类别，每类之间的不同的观察结果的概率分布，可以用来描述在一组概率分布中样本的数据。
它可以用如下式子来表示：$$P(X=i)=frac{C_i^n}{N^n}*frac{r_i}{N}$$其中，$C_i$表示第i类的总数，$r_i$表示第i类的选择次数，$N$表示总样本数，$n$表示总抽样次数。
超几何分布的数学期望记作$E(x)$，其计算公式为：$$E(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n}{N^nsum_{i=1}^n{C_i^n}}$$五、超几何分布的方差超几何分布的方差记作$D(x)$，其计算公式为：$$D(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n(N-r_i)}{N^{n+1}sum_{i=1}^n{ C_i^n}}$$六、结论本文介绍了二项分布和超几何分布的数学期望和方差推导，并给出了计算公式。
从上述内容可以看出，数学期望和方差是概率分布研究的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地了解概率分布。
高中数学 二项分布-超几何分布数学期望与方差公式的推导
x ) m 的二项展开式中 xk 的系数相等可证.
一、二项分布
在独立重复实验中, 某结 果发生 的概率 均为 p (不 发生
的概率为 q, 有 p + q = 1), 那么在 n次 实验中 该结果 发生的
次数 的概率分布为:
0
1
2
3
P C0n qn C1npqn - 1 C2np2 qn- 2 Cn3p3 qn- 3
Cin--
2 2
p
i-
2
qn
-
i
+
i= 2
n
np
Cin--
1 12p 2
i= 1
= p 2n ( n - 1) ( p + q ) n- 2 + np ( p + q ) n- 1 - n2p 2
= p 2n ( n - 1) + np - n2p2
= np - p2 n
= np ( 1- p ). 二、超几何分布
二项分布、超几何分布数学期望
与方差公式的推导
韩晓东 (江苏省淮阴中 学 223002)
高中教材中 对二 项分布、超 几何 分布数 学期 望与 方差
公式没有给出推 导过 程, 现 笔者 给出 一推导 过程 仅供 读者
参考.
预备公式 1
iCni
=
n
Cin--
1 1
(n
1), 利用组合数计算公式即可证明.
=
M CNn
l
iCMi --11
CNn
-
i M
-
i= 1
Mn 2 N
=
M CNn
l i= 1
(
i-
1)
C C i- 1 n- i M- 1 N -M
几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差中，伯努利试验n次几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。
其中一种定义为：在次成功的概率。
次皆失败，第k试验k 次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1 公式：它分两种情况：; ...』2，3，概率分布次伯努利实验，n的，取值范围为『1，11. 得到次成功而进行，n. ...』，3，的概率分布，取值范围为『次成功，m0，1，22. m = n-1次失败，第n 由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。
的分布列：首次发生所进行的试验次数，则XA的事件A，以X记概率为p，)。
~Geo(pX具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为几何分布的期望，方差。
）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中II高中数学教科书新版第三册（选修p?11???D?E）2，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
1只给出了结论：（），（2pp1?k?q?)k?p(P）由，知1（供参考．2k?12k?1??p??kq3p??1?E2?p?2pq?3q?pkqq?q)???(?下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记2k?1kq3q??S?1?2q??k2k?1k kq?1?2qq??k?qS?q)?(k两式相减，得2k?1k kqq?q?q????(1q)S?1?kkk kqq1?S??k21?q(1?q)k0?limq110?q?p0??，知由，则，故??k111k?2?S???2p?3qkq???1lim??k22(1?q)p??k1??E从而pa1(|q|?1)S?也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：q1?2k?1???3q?kq?S?12q??记2k?1?k?1qqS?q?2q???)(?相减，11k2????????(1q)S1?qqq??1?q11??S则22pq1(?)供参考．nn?1nx?(x)'，推导如下：还可用导数公式2k?1???3xkx?1?2x??23k)'?(xx)'??x'?(x?)'?(??k23)'??x???(x?xx??)?(?xx(1?x)()'??2x?1)x(1?1?2)(1?xq?x上式中令，则得111?2k???3q??kq?1?2q??22p)1?q(22???)EE?D(?来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
几何概率与几何分布
几何概率与几何分布几何概率是概率论中的一个重要概念，它是描述试验中第一次成功所需要的试验次数的概率分布。
而几何分布则是以几何概率为基础的一种离散型概率分布。
在本文中，我将详细介绍几何概率和几何分布的概念、性质和应用。
一、几何概率的定义与性质几何概率是指在相同条件下，从事若干次试验，观察一次事件的成功（或失败）直到成功为止所需的试验次数的概率。
几何概率是在无限个等可能性事件中选取第一个特定事件的概率。
例如，投掷一枚均匀硬币，第一次出现正面的概率即为几何概率。
几何概率的性质如下：1.概率范围：几何概率的值域为[0,1]之间。
2.递归关系：设事件A的几何概率为p，那么第n次试验成功的几何概率为(1-p)^(n-1)*p。
3.和为1：多次独立重复试验中成功的几何概率之和为1。
二、几何分布的定义与性质几何分布是描述几何概率的离散型概率分布。
它表示进行独立重复试验，直到第一次成功所需的试验次数的概率分布。
具体而言，几何分布是二项分布的一种特殊情况，只考虑第一个成功的试验次数。
几何分布的性质如下：1.概率函数：设事件A的几何概率为p，那么进行第n次试验才成功的概率为P(X=n) = (1-p)^(n-1)*p，其中X表示第一次成功所需的试验次数。
2.期望和方差：几何分布的期望为E(X) = 1/p，方差为Var(X) = (1-p)/p^2。
3.无记忆性：几何分布具有无记忆性，即在已知未取得成功前所进行的试验次数的条件下，下一次试验所需的次数与之前的试验无关。
三、几何概率与几何分布的应用几何概率和几何分布在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1.生命科学：研究某种疾病在人群中传播的过程，可以利用几何分布推断患者在感染之前所需的接触人数。
2.工程学：研究在制造过程中出现某种缺陷的概率，可以使用几何分布来估计首次制造成功所需的试验次数。
3.金融学：研究股票价格的上涨或下跌趋势，可以用几何分布来描述首次出现特定价格的概率。
几何分布考点与题型归纳
几何分布考点与题型归纳几何分布是概率论中的一种离散概率分布。
与其它离散分布不同的是，几何分布以成功的次数为随机变量。
下面是几何分布的考点与题型归纳。
几何分布的定义和性质- 几何分布描述了在独立重复试验中，首次成功所需的试验次数的概率分布。
- 几何分布的随机变量表示首次成功所需的试验次数。
- 几何分布的参数是成功的概率。
- 几何分布的期望和方差分别为1/p和(1-p)/p^2，其中p为成功的概率。
几何分布的题型1. 计算概率题型：给定成功的概率和试验次数，计算几何分布的概率。
计算概率题型：给定成功的概率和试验次数，计算几何分布的概率。
- 示例题：某学生参加某测验，每题有1/4的概率答对。
那么他第一次答对所需的试题数量的概率是多少？2. 计算期望题型：给定成功的概率，计算几何分布的期望。
计算期望题型：给定成功的概率，计算几何分布的期望。
- 示例题：甲乙两队进行足球射门比赛，假设甲队每次射门的成功概率为1/5。
那么甲队第一次进球所需的射门次数的平均值是多少？3. 计算方差题型：给定成功的概率，计算几何分布的方差。
计算方差题型：给定成功的概率，计算几何分布的方差。
- 示例题：某产品的瑕疵率为0.2。
那么它首次出现瑕疵所需的生产数量的方差是多少？注意事项- 在计算几何分布的概率、期望和方差时，需注意成功的概率不能为0或1，且试验次数必须大于等于1。
- 题型种类无限，以上仅是几何分布的一些常见题型示例。
以上是关于几何分布考点与题型的归纳。
几何分布的理解与掌握有助于解决与成功次数相关的问题，提高概率论的运用能力。
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学的重要内容之一，其应用广泛且重要。
在概率统计中，我们经常遇到需要计算随机变量的期望和方差的问题。
概率分布是解决这些问题的关键工具之一。
在本文中，我们将介绍一些高中数学中常见的概率分布，以及计算期望和方差的技巧。
1. 离散概率分布离散概率分布指的是随机变量只能取有限个或可列个值的概率分布。
其中，最常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布和几何分布。
1.1 二项分布二项分布在实际问题中经常出现，特别是在重复试验的情况下。
假设有n个独立的重复试验，每次试验有成功和失败两种可能结果。
如果成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则随机变量X表示n次试验中成功的次数。
二项分布的概率密度函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = npVar(X) = npq1.2 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数。
例如，某地区每小时的交通事故数、每天接到的电话数等。
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ代表单位时间或单位空间内平均发生的次数。
泊松分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = Var(X) = λ1.3 几何分布几何分布用于描述一系列独立重复试验中，首次成功所需的试验次数。
例如，投掷一枚硬币直到首次出现正面的次数等。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k) = q^(k-1) * p其中，p表示成功的概率，q=1-p表示失败的概率。
几何分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = 1/pVar(X) = q/(p^2)2. 连续概率分布连续概率分布指的是随机变量可以取某个区间内的任意值的概率分布。
最常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布。
2.1 均匀分布在均匀分布中，随机变量在某一区间内的取值是等可能的。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导二项分布、超几何分布是统计学中常见的概率分布，它们的期望、方差均具有重要的数学意义。
在本文中，我们将就二项分布、超几何分布的期望与方差分别建立数学模型，并通过推导求出其公式，帮助大家来理解二项分布、超几何分布的期望与方差之间的关系。
一、二项分布的期望二项分布的期望[X]是指在概率观测中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记二项分布的观测概率为P(X=x)，那么二项分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的期望公式为：[X] = np其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
二、二项分布的方差二项分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
二项分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是二项分布的期望。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的方差公式为：[X] = np(1-p)其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
三、超几何分布的期望超几何分布的期望[X]是指在超几何分布中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记超几何分布的观测概率为P(X=x)，那么超几何分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的期望公式为：[X] = nq/p其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
四、超几何分布的方差超几何分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
超几何分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是超几何分布的期望。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的方差公式为：[X] = nqp(1-p)其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
几何分布
容易验证，当时，E(X)有最小值，此时E(X)=5.5 。
谢谢观看
其中，q=1-p，k=2，3，...。
因此，上式可以成为一个分布列，此分布列是两个几何数列一般项的和，在这里称X服从两事件下推广的几何 分布，记为X ～ PGE(2；p)，数学期望为：。当P =时，E(X)取最小值，此时E(X)= 3．
由于，因此可以得到：
现进行独立重复试验，每次试验会有三个事件A、B、C中的其中一个发生，记每次试验中事件A、B、C发生的 概率分别为，且。试验进行到事件A、B、C都发生后停止，此时所进行的试验次数为X，则有：
几何分布
离散型概率分布
01 定义
03 参数p的
目录
02 分类 04 的推广
几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1 时的特例。
此分布列是几何数列的一般项，因此称X服从几何分布，记为X ～ GE(p)。
实际中有不少随机变量服从几何分布，譬如，某产品的不合格率为0.05，则首次查到不合格品的检查次数 X ～ GE(0.05)。
分类
它分两种情况： （1）为得到1次成功而进行n次伯努利试验，n的概率分布，取值范围为1，2，3，...； 这种情况的期望和方差如下： （2）m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为0，1，2，3，...。 这种情况的期望和方差如下： 比如，假设不停地掷骰子，直到得到1。投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3,... }，并 且是一个p= 1/6的几何分布。
超几何分布的数学期望和方差的定义求法
版 社 ，２００５：１ｌＯ一 １２５．
Ｉ －４］（美 ）Ｓｈｅｌｄｏｎ Ｍ．Ｒｏｓｓ．概 率 论 基 础 教 程 ［Ｍ］．郑 忠 国 ．詹
［２］何 春 雄 ．应 用 随 机 过 程 ［Ｍ］．广 州 ：华 南 理 工 大 学 出版 社 ，
从 赞 ，译 ．北 京 ：人 民邮 电 出 版社 ，２００３：２６５— ２９３．
任取 ｎ（ｎ≤ Ｍ）件 产 品 ，设 其 中次 品数 为 Ｘ，则 称 Ｘ服
Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｍ
，
Ｐ｛Ｘ ＝ Ｏ）一 １一 Ｍ
，
从 超几 何分 布． 若 ｘ 服从超 几何 分 布 ，则 其 分布 律 为
Ｅ （ｘ ） 一 Ｍ
，
，、 ，、ｒｒ—ｋ
Ｐ｛Ｘ — ｋ）： — Ｌ，Ｍ ｂ Ｎ－Ｍ（忌一 ０，１，２，… ， ） ．
所 以
Ｅ（Ｘ Ｘ ）一 Ｍ
（Ｍ
一 １）
二＿ ’
则
Ｄ ｃｘ 一
等 ．
Ｄ（ｘ）一Ｄ（∑ ｘ ）一 ∑ Ｄ（Ｘ ）＋
证 明 Ｅ （ｘ ）一
一
２［∑ Ｅ（Ｘ Ｘ ）一 ∑ Ｅ（Ｘ ）Ｅ（ＸＪ）］＝
１≤ ｉ＜ ｊ￣ ｎ
１≤ ＜Ｊ≤
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
奎［志ｃ ｃ ］一
＋２ｃ：（ 一等）：＝＝
二 翌 二 ２
Ｍ （Ｍ 一 １） （ｎ一 １） ．ｎＭ
Ｎ （Ｎ 一 １）
Ｎ ‘
球 和 （Ｎ — Ｍ）个 黑球 ，考 虑从 中任 意抽 取 （ｎ— １）个 所 以
球 的抽法 ．一 方面 ，是 从
Ｄ（ｘ）一 Ｅ（Ｘ。）一 ［Ｅ（ｘ）］ 一
Ｖ ｏ１．１３，ＮＯ．４ Ｊｕ１．，２０１０
几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差的证明几何分布的定义以及期望与方差分布。
其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
公式：它分两种情况：1. 得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1），（2），而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括E p ξ=1D p p ξ=-12P k q p k ()ξ==-1E p pq q p kq p q q kq pk k ξ=++++=+++++--231232121 ()号内的值。
记两式相减，得由，知，则，故从而也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：记相减，S q q kq k k =++++-12321qS q q k q kq k k k=+++-+-2121 ()()1121-=++++--q S q q q kq k k k S q q kq q k k k=----1112()01<<p 01<<q lim k k q →∞=01231112122+++++==-=-→∞p q kq S q p k k k lim ()E pξ=1S a q q =-<111(||)S q q kq k =+++++-12321qS q q k q k =+++-+-2121()()111121-=+++++=--q S q q q qk则还可用导数公式，推导如下：上式中令，则得（2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。
本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。
一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。
1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。
超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。
2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。
期望-方差公式
期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。
因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。
[]1定义 2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。
（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。
（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。
三、 方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。
但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。
定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。
超几何分布的期望和方差-资料类
超几何分布的期望和方差－资料类关键信息项：1、超几何分布的定义及适用场景2、超几何分布期望的计算公式及推导过程3、超几何分布方差的计算公式及推导过程4、超几何分布期望和方差的性质5、超几何分布期望和方差在实际问题中的应用案例6、资料的使用权限和限制7、资料的更新和维护方式11 超几何分布的定义超几何分布是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出该指定种类的物件的数量 X 的概率分布。
111 适用场景常用于不放回抽样的情况，例如从一批产品中随机抽取一定数量的产品，检验其中的合格品数量；从一群学生中随机抽取一定数量的学生，统计其中具有某种特征的学生数量等。
12 超几何分布期望的计算公式及推导过程超几何分布的期望公式为：E(X) ＝ n M ／ N 。
推导过程如下：设随机变量 X 表示从 N 个物件中抽出 n 个物件中指定种类物件的数量。
则 X 的取值为 0, 1, 2,， min(n, M) 。
对于 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n) 。
期望 E(X) ＝Σ k P(X ＝ k) ，经过一系列的数学运算和组合数的性质，可推导出 E(X) ＝ n M ／ N 。
121 示例说明假设一批产品共有 100 件，其中合格品有 80 件。
现从中随机抽取20 件，那么抽取到合格品的数量 X 的期望为：E(X) ＝ 20 80 ／ 100 ＝16 。
13 超几何分布方差的计算公式及推导过程超几何分布的方差公式为：Var(X) ＝ n M ／ N （1 M ／ N) （N n) ／（N 1) 。
推导过程较为复杂，需要运用到组合数的性质和数学期望的性质。
131 示例说明沿用上述产品抽样的例子，方差 Var(X) ＝ 20 80 ／ 100 （1 80 ／100) （100 20) ／（100 1) 。
几何分布的概率密度函数
几何分布的概率密度函数引言几何分布是概率论中一种重要的离散随机变量分布，描述了在进行一系列独立的伯努利试验中，第一次成功所需的试验次数。
在概率密度函数中，我们将研究几何分布的概率密度函数的特点、计算方法以及应用场景。
几何分布的概率密度函数定义几何分布是一种描述离散概率的随机变量分布，其概率密度函数定义如下：P(X=k)=(1−p)k−1⋅p其中，k表示第一次成功所需的试验次数，p表示每次试验成功的概率。
几何分布的性质几何分布具有以下性质：1.概率的非负性：几何分布的概率值均为非负数，概率密度函数满足0≤P(X=k)≤1。
2.概率的归一性：几何分布所有可能结果的概率总和为1，即$ _{k=1}^P(X=k) = 1$。
3.几何分布的期望：几何分布的期望值为E(X)=1。
p4.几何分布的方差：几何分布的方差为Var(X)=1−p。
p2计算几何分布的概率要计算几何分布的概率，可以使用概率密度函数公式，也可以利用累积概率函数。
下面将介绍这两种计算方法。
计算概率密度函数使用概率密度函数公式可以计算特定试验次数的概率。
例如要计算第5次试验成功的概率，可以使用以下公式：P(X=5)=(1−p)5−1⋅p其中，p是每次试验成功的概率。
计算累积概率函数累积概率函数表示随机变量的取值小于等于某个给定值的概率。
要计算几何分布的累积概率函数，可以使用以下公式：P(X≤k)=1−(1−p)k其中，k是试验次数。
通过例子理解计算方法为了更好地理解计算方法，我们举一个例子来计算几何分布的概率。
假设某人独立地进行射击练习，每次命中目标的概率为0.2。
现在我们想计算他第一次命中的概率。
根据几何分布的概率密度函数公式可知，我们需要计算P(X=1)，其中p=0.2。
P(X=1)=(1−0.2)1−1⋅0.2=0.2因此，他第一次命中的概率为0.2。
几何分布的应用场景几何分布在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1.故障排除问题：在排除故障时，通常需要多次尝试才能找到问题的根本原因。
4第三节-常见分布的数学期望和方差(共23张)
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导一维随机变量期望与方差二维随机变量期望与方差协方差1.一维随机变量期望与方差：公式：离散型：E（X）=∑i=1->nXiPiY=g（x）E（Y）=∑i=1->ng（x）Pi连续型：E（X）=∫-∞->+∞xf（x）dxY=g（x）E（Y）=∫-∞->+∞g（x）f（x）dx方差：D（x）=E（x2）-E2（x）标准差：根号下的方差常用分布的数学期望和方差：0~1分布期望p 方差p（1-p）二项分布B（n，p）期望np，方差np（1-p）泊松分布π（λ）期望λ方差λ几何分布期望1/p ,方差（1-p）/p2正态分布期望μ，方差σ2均匀分布，期望a+b/2,方差（b-a）2/12指数分布E（λ）期望1/λ,方差1/λ2卡方分布，x2（n）期望n 方差2n期望E（x）的性质：E（c）=cE（ax+c）=aE（x）+cE（x+-Y）=E（X）+-E（Y）X和Y相互独立：E（XY）=E（X）E（Y）方差D（X）的性质：D（c）=0D（aX+b）=a2D（x）D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）X和Y相互独立：D（X+-Y）=D（X）+D（Y）2.二维随机变量的期望与方差：3.协方差：Cov（X，Y）：D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）协方差：Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）相关系数：ρxY=Cov（X，Y）/X的标准差*Y的标准差ρxY=0为X与Y不相关记住：独立一定不相关，不相关不一定独立。
协方差的性质：Cov（X，Y）=Cov（Y，X）Cov（X，C）=0CoV（X，X）=D（X）Cov（ax+b，Y）=aCov（X，Y）。
几何分布方差
几何分布方差
几何分布的方差公式是E(m)等于(1-p)/p，
几何分布是离散型概率分布。
其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。
详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。
数学期望，在概率论和统计学中是指试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
几何分布的定义以及期望与方差的证明
精心整理几何分布的定义以及期望与方差几何分布（Geometricdistribution ）是离散型概率分布。
其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1次皆失败，高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E pξ=1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由P k q p k ()ξ==-1，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记两式相减，得k （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
可见关键是求E ξ2。
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q kq k k 21-=()'，并用倍差法求和，有则E p p p p p ξ23222=-=-()，因此D E E p p p p pξξξ=-=--=-22222211()() 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。
例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。
求取球次数ξ的数学期望E ξ与方差D ξ。
1，2，3因此k ＝10ξ用倍差法，可求得所以E p pp p p p p p ξ=----+-=--[()()()()119110111929910说明：本例的试验是有限次的，并且P p ()()ξ==-1019，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量ξ不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。
但求解过程可参照相关公式的推导方法。
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几何分布的定义以及期望与方差 几何分布（Geometric distribution ）是离散型概率分布。
其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1次皆失败，第k 次成功的概率。
公式：
它分两种情况：
1. 得到1次成功而进行，n 次伯努利实验，n 的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;
2. m = n-1次失败，第n 次成功，m 的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.
由两种不同情况而得出的期望和方差如下：
,
;
,。
概率为p 的事件A ，以X 记A 首次发生所进行的试验次数，则X 的分布列：
，
具有这种分布列的随机变量X ，称为服从参数p 的几何分布，记为X ~Geo (p )。
几何分布的期望
，方差。
高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E p
ξ=
1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1
下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记
两式相减，得
91页阅读材料），推导如下：
相减，
（26页）。
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q
利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。
例1.
一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取
解：
1，2，3，……，
k －1次均取到黑球，而第k 次取到白球，因此
例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p （0<p<1）。
他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。
求他击中目标的期望。
解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。
k 次击中目标；若k ＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10
用倍差法，可求得
式的推导方法。
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