最少拍控制系统的设计

最少拍控制系统的设计

第24卷第2期昆明理工大学学报

Vol. 24No. 21999年4月JOURNAL OF KUNMIN G UN IV ERSIT Y OF SCIENCE AND TECHNOLO GY Apr. 1999

最少拍控制系统的设计

李红松吕() Ξ摘要. 本文从理论上详细.

;

;Z 变换

TP273

最少拍设计是系统在典型的输入作用下, 设计出数字调节器, 使系统的调节时间最短或者系统在有限个采样周期内结束过渡时期. 最少拍控制实质上是系统以最快速度达到稳态, 系统的性能指标是调节时间最短.

典型输入的Z 变换形式为

R (z ) =-1(1-z -1) m

最少拍控制系统如图1所示, 图中D (Z ) 是数字调节器模型, 由计算机实现. H

0(s ) 是零阶保持器的传递函数. G (S ) 是控制对象的传递函数.

图1 最少拍控制系统

零阶保持器和控制对象离散化以后, 成为广义对象的Z 传递函数HG (Z ) .

HG (Z ) =Z[H 0(s ) G (S ) ]

最少拍控制系统的闭环Z 传递函数

G c (z ) =1+D (z ) HG (z )

最少拍控制系统的误差Z 传递函数

G e (z ) ==1-G c (z ) =R (z ) 1+D (z ) HG (z )

() 则最少拍控制系统的调节器() D (z ) = 或 D (z ) =G e (z ) HG (z ) G e (z ) HG (z )

控制系统的调节时间也就是系统的误差e (k T ) 达到恒定值或趋于零所需的时间, 根据Ξ收稿日期:1999-01-20

・162・昆明理工大学学报1999年Z 变换的

定义

∞

E (z ) =

k =0∑e (k T ) z -k =e (0) +e (T ) z -1+e (2T ) z -2+e (3T ) z -3+…+(k T ) z -k

则根据E (z ) 就可以知道e (0) , e (2T ) , …, e (k T ) . 输入作用下, 当k

大于或等于N 时, e (k T ) . N Z 传递函数有:

-1E (z ) (z ) ) G (z 1-z -1) m

, (z 是尽可能少的有限项, 必须合理地选择误差Z G e (z ) =(1-z -1) M F (z ) M ≥m

的有限多项式, 不含有(1-z -1) 因子, 则可能使E (z ) 是有限式多项式. 当

选择M =m , 且F (z ) =1时, 不仅可以使数字调节器简单, 阶数比较低, 而且, 还

可以使E (z ) 的项数最少, 因而调节时间最短. 对于不同的输入, 可以选择不同的误差

Z 传递函数. F (z ) 是z -1

由以上推导可看出, 最少拍调节器D (z ) 和系统的输入形式有关, 也跟对象的特性HG (z ) 有关, 因此要注意以下几点.

1) 若D (z ) 中存在z r 环节, 则表示数字调节器应具有超前特性. 这样的超前环

节是不可能实现的. 所以HG (z ) 分子中含有z -r 因子时, 必须使闭环Z 传递函数G c (z ) 的分子中含有z -r 因子, 以抵消HG (z ) 中的z -r , 以免D (z ) 中出现超前环节.

2) 若HG (z ) 中存在单位圆上(Z =1除外) 和单位圆外的零点时, 则D (z ) 将是发散不可实现的. 因此, D (z ) 中不允许包含HG (z ) 的这类零点, 也不允许它们作为G

e (z ) 的极点, 所以只能把HG (z ) 中的这类零点作为G e (z ) 的零点, 从而保证D (z ) 的稳定性. 当然这将使调节时间加长.

3) 若HG (z ) 中存在单位圆上(P =1除外) 和单位圆外的极点时, 为了保证系统的

输出稳定, 必须由D (z ) 或G e (z ) 的零点将之对消掉. 但是不允许采用增加D (z ) 的零点以对消HG (z ) 的不稳定极点的方法, 因为对象参数的微小飘移, 将有可能对消不完全, 造成系统的不稳定, 因此HG (z ) 的不稳定极点只能用G e (z ) 的零点来对消.

4) 系统调节时间为一到几个采样周期, 不可能通过无限增加采样频率来减少调节时间. 事实上从能量的角度来说, 不可能提供无穷大能量, 使系统在一瞬间从某种状况进入

到别一种状态. 另外采样频率受到饱和特性的限制, 不可能无限提高. 最少拍控制系统的

设计方法是简便的, 结构也是简单的, 设计结果可以得到解析解, 便于计算机实现, 但它

也存在如下一些问题:

1) 最少拍系统对输入形式的适应性差.

2) 最少拍系统对参数的变化很敏感.

3) 只能保证采样点上误差为零或恒值, 不能保证采样点之间的误差也为零或恒值.

由于这种设计方法只能保证采样点上误差为零或恒值, 不能保证采样点之间的误差也为零

或恒值. 因此又提出了最少拍无纹波设计. 根据分析, 纹波是由于零阶保持器的输入的波

动造成的, 设它为e 2(k T ) . 无纹波设计就是要求经过有限拍以后, e 2(k T ) 保持恒值或零.

由于E 2(z ) =D (z ) E (z ) =D (z ) G e (z ) R (z ) , 若选定D (z ) G e (z ) 是z -1的多项式,

第2期李红松等:最少拍控制系统的设计・163・那么, 在确

定的输入作用下, 经过有限拍, e 2(k T ) 就能达到某恒定值, 而且能保证系统的输出没

有纹波.

D (z ) G e (z ) =()

HG (z )

因此最少拍无纹波的设计, 要求G c (z ) HG z ) . . , G e (z ) 的零点包含HG

(z ) 的单位圆上(Z =1. 下面作一简要介绍.

, 当输入单位跃阶时, 超调量很大. 为了改善过渡过程, . 设系统如图所示

.

图2 换接程序系统

图中, D r (z ) 是按照单位速度输入设计的最少拍调节器

D r (z ) =() G e (z ) =(1-z -1) 2A r (z ) () () G e z HG z () G e (z ) =(1-z -1) A s (z ) G e (z ) HG (z ) D s (z ) 是按照单位阶跃输入设计的最少

拍调节器Ds (z ) =

HG (z ) 是广义对象的Z 传递函数.

系统刚投入时, 相当于阶跃输入, D s (z ) 接入系统, 作为

过渡程序, 当系统的误差e 1(k T ) 减少到一定程度, 例如|