几何辅助线之手拉手模型

手拉手模型

教学目标:

1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点

2：掌握手拉手模型的应用

知识梳理：

1、等边三角形

条件：△OAB，△OCD均为等边三角形

结论：；；

导角核心：

2、等腰直角三角形

条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形

结论：；；

导角核心：

3、任意等腰三角形

条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；；

核心图形：

核心条件：；；

典型例题：

例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；

（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；

（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥AC

例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

A

例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H

问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？

F

例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？

A

例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？

（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？

（4）HB是否平分∠AHC？

A

例7：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB =AE ，AC =AD，∠BAE =∠

CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明

理由。

例8：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.

（1）如图1，猜想∠QEP=_______°；

（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

例9：在△ABC 中，AB AC =，点D 是射线CB 上的一动点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．

1）如图1，当点D 在线段CB 上，且90BAC ∠=︒时，那么DCE ∠=_______度； （2）设BAC α∠=，DCE β∠=．

①如图2，当点D 在线段CB 上，90BAC ∠≠︒时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，90BAC ∠≠︒时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．

（3）结论：α与β之间的数量关系是____________．

例10：在ABC ∆中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，BD 为斜边AC 上的中线，将ABD ∆绕点D 顺时针旋转

α(0180α︒<<︒)得到EFD ∆，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，BE 与FC 相交于点H . （1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =__________;

（3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： .

当堂练习：

1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．若点D在线段BC上，①依题意补全图1；

②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；

2：已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM

∆、MCB

∆的

∆、CBN

∆是等边三角形．CG、CH分别是ACN

高．求证：CG CH

=．

3：如图，已知ABC

∆和ADE

+相等的理由．∆都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与AC CD

4：已知，如图，P是正方形ABCD内一点，且::1:2:3

∠的度数．

PA PB PC=，求APB

5：如图所示，P 是等边ABC ∆中的一点，2PA =，

23PB =，4PC =，试求ABC ∆的边长.

6：在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ． （1）如图1，如果30A ∠=︒，那么DE 与CE 之间的数量关系是___________．

（2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）如图3，如果A α∠=（090α︒<<︒），P 是射线CB 上一动点（不与B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转2α，得到线段DF ，连接BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．

D

B

F

E D

A

B E D

A

B C C C

P A

E