高考全国1卷理科数学试题及答案

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2019年高考理科全国1卷数学-解析

2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学1.已知集合Mx 4 x 2 ， N { x x2x 6 0 ，则MN =A. { x4 x 3B. { x4 x2C. { x2 x 2D.{ x 2 x3【答案】 C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，Mx 4 x 2 , Nx 2 x 3 ，则M Nx 2 x2 ．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数 z 满足z i =1，z在复平面内对应的点为(x，y) ，则A.( x+1)2y21B. ( x 1)2y 21C. x2( y 1)21D. x2( y+1)21【答案】 C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0， 1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】 z x yi , z i x ( y 1)i , zix2( y 1)21, 则x2( y 1)21．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知alog 2 0.2, b 2 0.2, c0.20.3，则A.a b cB. a cbC. c a bD.b c a【答案】 B【解析】【分析】运用中间量0 比较a , c，运用中间量1比较b , c【详解】 a log2 0.2 log 2 10, b 20.2201, 0 0.20.30.201, 则0c1,a c b ．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（5 1≈ 0.618，称为黄金分割比例 )，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体2的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51．若某人满足上述两个黄金分割2比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm 【答案】 B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则26 2 6 x 5 1 42.07cm, y 5.15 cm ．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下xy 1 0 5，得 x2端的长度为 26cm ，所以其身高约为 42．07+5．15+105+26=178 ．22，接近 175cm ．故选 B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．sin x x5.函数 f( x)= cos x x 2在[— π， π]的图像大致为A.B.C.D.【答案】【解析】【分析】D先判断函数的奇偶性，得 f (x)是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．sin( x) ( x) sin x x f ( x) ，得f ( x)是奇函数，其图象关【详解】由 f ( x)x)( x)2cos x x 2cos(于原点对称．又 f ( )12422 0．故选D．21, f ( )12()22【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是5112111 A. B. C. D.16323216【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3 个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有 2 中情况，一重卦的 6 爻有26情况，其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有 C63，所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为C63=5，故选A．2616【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a， b 满足a = 2 b ，且（a–b）b，则 a 与 b 的夹角为π π 2π 5π A.B.C.D.6336【答案】 B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由 (a b) b 得出向量a,b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为(a b) b ，所以 (ab) b a b b 2 =0 ，所以a b b 2，所以cos =a b | b |2 1 a 与b 的夹角为，故选 B ．a b2 | b |2，所以23【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0, ]．1 8.如图是求21的程序框图，图中空白框中应填入2 121 B. A=21 1 A. A=C. A=D. A=2 AA1 2 A112 A【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．1 , k 11， k k1【详解】执行第 1次， A 1 2 是，因为第一次应该计算1=2222A1=2，循环，执行第 2 次，k2 2 ，是，因为第二次应该计算1=1， k k1 2122A2=3，循环，执行第 3 次，k2 2 ，否，输出，故循环体为1，故选 A．AA21【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A．2A9.记S n为等差数列 { a n} 的前n项和．已知 S40，a5 5 ，则A.a n2n5B. a n3n 10C.S n 2n28nD.S n 1 n22n2【答案】 A【解析】【分析】等差数列通项公式与前 n项和公式．本题还可用排除，对 B ，a5 5 ，S44(72)100 ，排除B，对C，S40, a5S5S4 2 5285010 5 ，2排除 C．对 D，S40, a5S5S4152 2 505 5 ，排除D，故选A．22S44a1d430a13a n n5 ，故选【详解】由题知，2，解得，∴A．2a5a14d5d2【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10. 已知椭圆 C 的焦点为F1( 1,0) ， F2( 1,0) ，过F2的直线与C 交于，两点若A B.│ AF│22│F2B│1，│ AB│ │ BF│，则C的方程为A.x2y21x2y2x2y2D. 2B.1C.13243x2y2154【答案】 B【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设F2 B n ，则 AF22n , BF1AB3n，由椭圆的定义有2a BF1BF24n ,AF12a AF22n．在△ 1 2△BF F中，AF F和 1 2由余弦定理得4n24 2 2n 2 cos AF2 F14n2 ,，又 AF F,BF F互补，n24 2 n 2 cos BF2 F19n22121c o s A F F c o s B F F ，0两式消去cos AF F , cos BF F，得3n2611n2，21212121解得n 3 ．2a4n 2 3 , a 3 ,b2a2c231 2 ,所求椭圆方程为2x2y21，故选B．32【详解】如图，由已知可设F2 B n ，则 AF22n , BF1AB3n，由椭圆的定义有2a BF1BF24n , AF12a AF22n ．在△A F1 B 中，由余弦定理推论得cos F1 AB 4n29n29n2122214 ，22n3n．在△AF1F2中，由余弦定理得4n4n2n 2n33解得n 3 ．22a 4n 2 3 , a3 , b2a2c2 3 1 2 ,所求椭圆方程为x2y21，32故选 B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11. 关于函数f ( x)sin | x | | sin x |有下述四个结论：① f(x)是偶函数② f(x)在区间（, ）单调递增2③ f(x)在[ ,]有4个零点④ f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③【答案】 C【解析】【分析】化简函数 f x sin x sin x ，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】f x sin x sin xsin x sin x f x , f x为偶函数，故①正确．当2x时， f x2sin x，它在区间,单调递减，故②错误．当 0 x2时，f x2s i nx0；当x0时，，它有两个零点：f x s i n x s i x n ，它2有x一s个i零n点：，故 f x 在,有 3个零点：0，故③错误．当 x 2k , 2k k N时， f x 2 s i nx；当x 2k, 2k2k N时， f x si n x si nx ，0 又 f x 为偶函数，f x的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选 C．【点睛】画出函数f x sin x sin x 的图象，由图象可得①④正确，故选C．12. 已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC，△ ABC 是边长为2 的正三角形，E， F 分别是PA， PB 的中点，∠CEF =90 °，则球O 的体积为A.86B.46C.26D.6【答案】D【解析】【分析】先证得PB 平面PAC ，再求得PAPBPC2，从而得PABC为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一 :PA PB PC,ABC 为边长为2的等边三角形，P ABC 为正三棱锥，PB AC ，又 E ，F分别为 PA、 AB 中点，EF //PB，EF AC，又 EF CE ，CEAC C ,EF平面 PAC ， PB平面 PAC ，PAB PA PB PC 2 ，P ABC 为正方体一部分，2R 2 2 26，即 R 6 ,V4R34 6 6 6 ，故选D．2338解法二 :设 PA PB PC2x ， E, F 分别为PA, AB中点，EF //PB，且EF 1PB x ，ABC 为边长为 2 的等边三角形，2CF 3 又CEF90CE3x2,AE 1PA x 2AEC 中余弦定理 cos EAC x243x2，作 PD AC于D，PA PC，2 2xAD1x243x2 1 ，Q D 为 AC 中点，cos EAC，PA2x 4 x2x2x2 1 2x21x 2 ，PA PB PC2，又 AB=BC =AC=2 ，22PA , PB , PC 两两垂直，2R222 6 ，R 6 ，2V 4 R3466 6 ，故选D.338【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。

2019年高考全国卷1理科数学试题及参考答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N =A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则 A ．()2211x y ++= B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12。

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x +=+在[],ππ-的图象大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。

每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+ B ．12A A=+ C ．112A A =+D ．112A A=+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 A ．①②④B ．②④C．①④D ．①③12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A ．B ．C ．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考理科数学全国1卷(word版,含答案)

1.【ID:4002604】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，则．故选D．2.【ID:4002605】设集合，，且，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：易求得：，，则由，得，解得．故选B．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4002607】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意知，，则．故选C．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4002609】函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，则切线斜率，又，则切线方程为．故选B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4002611】的展开式中的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，要得到项，则应取项，则其系数为．故选C．9.【ID:4002612】已知，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，解得：或(舍)，又，则．故选A．10.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．11.【ID:4002614】已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：：，则，如图，由圆的切线性质，易知：，则，所以最小时，最短，即最短，此时，易求得：，则直线：，整理，得：．故选D．12.【ID:4002615】若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，有，若，则，不符合题意，因此．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4002617】设，为单位向量，且，则________．【答案】【解析】解：因为，，则，则．15.【ID:4002618】已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为________．【答案】2【解析】解：如图，，，则由题意得：，解得：，(舍)，所以的离心率为．16.【ID:4002619】如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则________．【答案】【解析】在中，；在中，，由展开图的生成方式可得，在中，由余弦定理可得，于是，因此在中，由余弦定理可得．17. 设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）【ID:4002620】求的公比．【答案】【解析】解：设数列的公比为，则，，即，解得或(舍去)，的公比为．（2）【ID:4002621】若，求数列的前项和．【答案】【解析】解：记为的前项和．由及题设可得，．所以，．可得．所以．18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4002622】证明：平面．【答案】见解析【解析】方法：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，．，，，则，，，平面．方法：设，由题设可得，，，．因此，从而．又，故．所以平面．（2）【ID:4002623】求二面角的余弦值．【答案】【解析】由知，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，解得，，二面角的余弦值为．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）【ID:4002624】求甲连胜四场的概率．【答案】【解析】解：．（2）【ID:4002625】求需要进行第五场比赛的概率．【答案】【解析】(甲连胜场)(乙连胜场)(丙连胜场)．（3）【ID:4002626】求丙最终获胜的概率．【答案】【解析】丙最终获胜，有两种情况，丙连胜或输一场．(丙连胜)，丙输一场，则共进行场，丙可以在①第场输，、场胜；②第、场胜，场输；③第、、场胜，第场输，(丙第场输，，场胜)；(丙第，场胜，第场输)；(丙第，，场胜，第场输)，(丙胜)．20. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点．为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）【ID:4002627】求的方程．【答案】【解析】由题意知，，，故，，，故椭圆的方程为．（2）【ID:4002628】证明：直线过定点．【答案】见解析【解析】方法：设，，故：，，故：，联立，，同理可得，，①当时，：，②当时，，：，③当且时，，：，令，故直线恒过定点．方法：设，，．若，设直线的方程为，由题意可知．因为直线的方程为，所以．直线的方程为，所以．可得．又，故，可得，即．①将代入得．所以，．代入①式得．解得(舍去)，．故直线的方程为，即直线过定点．若，则直线的方程为，过点．综上，直线过定点．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。

高考全国卷1理科数学试题及答案

普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。

回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++, 则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->, 则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U3．某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番, 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后, 种植收入减少B ．新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后, 养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和, 若3243S S S =+, 12a =, 则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+, 若()f x 为奇函数, 则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中, AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点, 则EB =u u u rA ．3144AB AC-u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r7．某圆柱的高为2, 底面周长为16, 其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A , 圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B , 则在此圆柱侧面上, 从M 到N 的路径中, 最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F , 过点（–2, 0）且斜率为23的直线与C 交于M , N 两点, 则FM FN ⋅u u u u r u u u r=A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点, 则a 的取值范围是 A ．[–1, 0）B ．[0, +∞）C ．[–1, +∞）D ．[1, +∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC , 直角边AB , AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I, 黑色部分记为II, 其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点, 此点取自I, II,III 的概率分别记为p 1, p 2, p 3, 则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=, O 为坐标原点, F 为C 的右焦点, 过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形, 则|MN |= A ．32B ．3C ．3D ．412．已知正方体的棱长为1, 每条棱所在直线与平面α所成的角相等, 则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A 33B 23C 32D 3 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。

2020年高考数学(理科)真题试卷(全国Ⅰ卷)

2020高考数学（理科）真题试卷（全国Ⅰ卷）注意事项：1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 .2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效 .3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若z=1+ i，则|z 2–2 z|=（______）A.0B.1C.D.22.设集合 A={ x| x 2–4≤0}， B={ x|2 x+ a≤0}，且 A∩ B={ x|–2≤ x≤1}，则 a =（______） A.–4B.–2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（______）A. B. C. D.4.已知 A为抛物线 C: y 2=2 px（ p>0）上一点，点 A到 C的焦点的距离为12，到 y轴的距离为9，则 p=（______）A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归方程类型的是（______）A.B.C.D.6.函数的图像在点处的切线方程为（______）A.B.C.D.7.设函数在的图像大致如下图，则 f( x)的最小正周期为（______）A.B. C. D.8.的展开式中 x 3y3的系数为（______）A.5B.10C.15D.209.已知，且，则（______）A.B.C.D.10.已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（______）A.B.C.D.11.已知⊙ M：，直线：，为上的动点，过点作⊙ M 的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（______）A.B.C.D.12.若，则（______）A.B.C.D.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

【数学】2019年高考全国卷1理科数学试题及参考答案

x2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学C．x2A ．165cmB ．175cm C．185cm5．函数f x sin x x2在,的图象大致为、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M x 2 ，N x x2 x 60 ，则M I Nx2C．x 2 D．x 22．设复数满足1，在复平面内对应的点为x,y ，则B．x3．已知a log 2 0.2 ，b 20.2 c 0.20.3，则B．a cb C．ab D．b ca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512 0.618 ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是515 1。

若某人满足上述两个黄金分割比2512D．x2D ．190cm6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。

每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦7．8．9．中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．16 B．1132C．213211 D．16已知非零向量r ra2ba，b 满足，且a b，则a 与b 的夹角为（）A．6B．32C．3 D．右图是求11的程序框图，图中空白框中应填入1112A21A112A11AA．B．AC．AD．A2A记S n 为等差数列A ．a n 2n 5a n 的前n项和，已知S4=0，a5B ．a n 3n 10C．S 2n2 8n5，D．10．已知椭圆C 的焦点为F1 1,0 ，F2 1,0 AB BF1 ，则C 的方程为2x2A ．y 122xB．32 y21211．关于函数f x sin x sinx ① f x 是偶函数② fA．①②④Sn 2n2n，过F2 的直线与C 交于A ，B 两点，AF2 2 F2B ，2xC．42y213D．2y214有下述四个结论：x 在区间2,有 4 个零点④ fB．②④单调递增x 的最大值为2C．①④D．①③12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA PB PC ， △ABC 是边长为 2 的正三角形， E ， F 分别是 PA ， PB 的中点， CEF 90 ，则球 O 的体积为A ．8 6B ． 4 6C ． 2 6D ． 6二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

2021年高考理科数学全国新课标卷1(附答案)

2021年高考理科数学全国新课标卷1（附答案）2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I新课标)注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B2．(2021课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )．A．－4 B．?A．500π3866π3cm B．cm 3344 C．4 D． 557．(2021课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )．A．3 B．4 C．5 D．68．(2021课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．3．(2021课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样x2y254．(2021课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：2?2=1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )．ab211A．y＝?x B．y＝?x341C．y＝?x D．y＝±x25．(2021课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π＋9．(2021课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．A．5 B．6 C．7 D．8x2y210．(2021课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：2?2=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两ab点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )．x2y2x2y2?=1 B．?=1 A．45363627x2y2x2y2?=1 D．?=1 C．2718189A．[－3,4] B．[－5,2]C．[－4,3] D．[－2,5]6．(2021课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．??x2?2x，x?0，11．(2021课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．?ln(x?1)，x?0.A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]12．(2021课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝A．{Sn}为递减数列cn?anb?an，cn＋1＝n，则( )． 22 第 1 页共 1 页B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2021课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b・c＝0，则t＝__________. 14．(2021课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和Sn?21an?，则{an}的通项公式是an＝__________. 3315．(2021课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2021课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(2021课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.19．(2021课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1，且各件产品是否为优质品相互独2(1)若PB＝1，求PA； 2(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2021课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2021课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.第 2 页共 2 页21．(2021课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2021课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4―1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a＞－1，且当x∈???a1?,?时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． ?22?(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2021课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4―4：坐标系与参数方程?x?4?5cost,已知曲线C1的参数方程为?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，y?5?5sint?曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2021课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4―5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.第 3 页共 3 页感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案(全国1卷解析版)

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（全国1卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020全国一卷高考理科数学试题及答案

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空。设每场比赛双方获胜的概率都为 1 。 2
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率。
20.(12 分)
已知
A，B
分别为椭圆
E：
x2 a2
y2
1(a
1)
的左、右顶点，G
为
E
的上顶点，
AG
GB
＝8。P
为直
线 x＝6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D。
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x(单位：℃)的关系，在 20 个不同的温度条
件下进行种子发芽实验，电邮实验数(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在 10℃40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的
。
15.已知 F 为双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的右焦点，A
为
C
的右项点，B 为
C
上的点，且
BF
垂直
于 x 轴。若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为
。
16.如图，在三棱锥 P－ABC 的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝ 3 ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，
是
A.y＝a＋bx
B.y＝a＋bx2
C.y＝a＋bex
D.y＝a＋blnx
6.函数 f(x)＝x4－2x3 的图像在点(1，f(1))处的切线方程为
A.y＝－2x－1
B.y＝－2x＋1
C.y＝2x－3

2019年高考全国1卷理科数学及答案

2019年高考全国1卷理科数学及答案2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，请先将自己的姓名和准考证号码填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持答题卡清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合$M=\{x-4<x<2\}$，$N=\{x|x^2-x-6<0\}$，则$M\cap N$=A。

$\{x-4<x<-3\}$B。

$\{x-4<x<-2\}$C。

$\{x-2<x<2\}$D。

$\{x^2<x<3\}$2.设复数$z$满足$z-i=1$，$z$在复平面内对应的点为$(x,y)$，则$(x-1)+y=$A。

$1$B。

$x+1$C。

$x+(y-1)\sqrt{2}$D。

$x+(\sqrt{2}-1)y$3.已知$a=\log_2 0.2$，$b=20.2$，$c=0.20.3$，则$a<b<c$。

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为$0.618$，称为黄金分割比例。

最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比为$5:3$。

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为$105\mathrm{cm}$，头顶至脖子下端的长度为$26\mathrm{cm}$，则其身高可能是$165\mathrm{cm}$，$175\mathrm{cm}$，$185\mathrm{cm}$或$190\mathrm{cm}$中的一个。

2019年高考全国1卷理科数学试题和答案

2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(+1)1y x += 3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11167．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A．A=12A+B．A=12A+C．A=112A+D．A=112A+9．记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4505S a==，，则A．25na n=-B．310na n=-C．228nS n n=-D．2122nS n n=-10．已知椭圆C的焦点为121,01,0F F-()，()，过F2的直线与C交于A，B两点.若222AF F B=││││，1AB BF=││││，则C的方程为A．2212xy+=B．22132x y+=C．22143x y+=D．22154x y+=11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D第II 卷（非选择题)13．曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）2b c +=，求sin C ．18．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值． 19．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．20．已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++ 参考答案1．C 【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2．C 【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题． 3．B 【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 4．B【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则2626105x x y +==+，得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题． 5．D 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 6．A 【解析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题． 7．B 【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+． 9．A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 10．B 【解析】【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 11．C 【解析】【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．12．D 【解析】【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，6R ∴=，34466633V R ∴=π==π，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 13．30x y -=. 【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e =+++=++ 所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 14．1213. 【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--．【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 15．0.216. 【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 16．2. 【解析】【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==可求离心率. 【详解】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==所以该双曲线的离心率为2c e a ===．【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．17．（1）3A π=；（2）sin C =【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2）sin 2sin A B C +=，利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=，由正弦定理得sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin 4C =或4因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin 4C =. （2）法二：22a b c +=，由正弦定理得sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.18．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D BC 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线 1//ME BC ∴且112ME B C = 又N 为1A D 中点，且11//A D BC 1//ND BC ∴且112ND B C = //ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE 平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设ACBD O =，11111AC B D O =由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD 四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：()3,0,0A，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,222N ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则01,2F ⎫⎪⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形 DF AB ∴⊥ 又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DFAA ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMADF ∴为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面1MA N的法向量(),,n x y z =，又()13,1,2MA =-，33,022MN⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭13203302n MA xy z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令x 则1y =，1z =-()3,1,1n ∴=-cos ,15DF n DF n DF n⋅∴<>===⋅10sin ,DF n ∴<>=∴二面角1A MA N --的正弦值为【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型. 19．（1）12870x y --=；（2. 【解析】【分析】（1）设直线l ：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得121x x =+；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+=联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+ 联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 20．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，根据零点存在定理可判断出0x ∃∈()00g x '=，进而得到导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0x =为()f x 在(]1,0-上的唯一零点；当0,2x 时，首先可判断出在00,x 上无零点，再利用零点存在定理得到()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可知()0f x >，不存在零点；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，利用零点存在定理和()f x 单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x π∈+∞，可证得()0f x <；综合上述情况可证得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1ln ln102222ef ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.21．（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）41257p =. 【解析】【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p .【详解】（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：（2）0.5α=，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅ ()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅ {}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：()110144i i i i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===- 18341p ∴=- ()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+ 4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.22．（1）22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:2110l x +=；（2【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()2222161t y t =+()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ 整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈- 又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x +=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d == 当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d =【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.23．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用1abc 将所证不等式可变为证明：222a b c bc ac ab ++≥++，利用基本不等式可证得()2222222a b c ab bc ac ++≥++，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，再次利用基本不等式可将式转化为()()()333a b b c c a +++++≥在取等条件一致的情况下，可得结论. 【详解】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号 ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥，a c +≥当且仅当a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯= 又1abc()()()33324a b b c c a ∴+++++≥ 【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.0 0050。