高中数学第一章1.2排列与组合1.2.1排列1课后导练

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高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列优化练习新人教A版选修2-3(2021年整理)

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1 排列[课时作业］[A组基础巩固］1．已知A错误!＝7A错误!，则n的值为（)A．6 B．7C．8 D．2解析：由排列数公式得：n（n－1）＝7(n－4）(n－5)，∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或错误!（舍去)．答案：B2．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案种数为( )A．A88B．A错误!C．A错误!A错误!D．2A错误!解析：安排4名司机,有A错误!种方案，安排4名售票员，有A错误!种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成,由分步乘法计数原理知共有A4，4A错误!种方案．故选C。

答案：C3．有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且两两不相邻，则不同的排法有（）A．A错误!·A错误!种B．A错误!·A错误!种C．A错误!·A错误!种D．A错误!·A错误!种解析:插空法，注意考虑最左边位置.5名女生先排，有A错误!种排法,除去最左边的空共有5个空位供男生选，有A错误!种排法，故共有A错误!·A错误!种不同的排法．故选C.答案：C4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3! B．3×（3！)3C．（3！）4D．9!解析：把一家三口看作一个排列,然后再排列这3家，所以有（3！）4种．答案：C5．一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有（)A．240种B．600种C．408种D．480种解析:将四人排成一排共有A错误!种排法；产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共有A25种方法；由分步乘法计数原理，满足条件的坐法共有A44·A错误!＝480种．答案:D6．在书柜的某一层上原来共有5本不同的书,如果保持原有书的相对顺序不变，再插进去3本不同的书，那么共有________种不同的插入法．(用数字回答)解析：试想原来的5本书与新插入的3本书已经放好，则这3本新书一定是这8本书中的某3本，因此“在5本书中插入3本书"就与“从8本书中抽出3本书”对应，故符合题意的插法共有A错误!＝336种．答案:3367．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：记5件产品为A、B、C、D、E,A、B相邻视为一个元素，先与D、E进行排列，有A错误! A错误!种方法;再将C插入，仅有3个空位可选，共有A错误!A错误!×3＝2×6×3＝36种不同的摆法．答案：368．从集合{0,1,2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C,所得直线经过坐标原点的有________条．解析:易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A、B，有A2，种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A2，6＝30(条）．6答案：309．用0,1,2，3，4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的（1）六位奇数；(2）个位数字不是5的六位数．解析：(1）解法一（从特殊位置入手)分三步完成，第一步先填个位，有A错误!种填法，第二步再填十万位，有A错误!种填法，第三步填其他位,有A错误!种填法，故共有A错误!A错误!A错误!＝288个六位奇数．解法二（从特殊元素入手）0不在两端有A错误!种排法，从1,3，5中任选一个排在个位有A错误!种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有A4，4种排法，故共有A错误!A错误!A错误!＝288个六位奇数．解法三（排除法)6个数字的全排列有A错误!个，0，2,4在个位上的排列数为3A错误!个，1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数有3A4，4个,故对应的六位奇数的排列数为A6，6－3A55－3A错误!＝288个．（2）解法一(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数．故符合题意的六位数共有A错误!－2A错误!＋A错误!＝504个．解法二（直接法）个位不排5，有A错误!种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类．第一类：当个位排0时,有A错误!个．第二类：当个位不排0时，有A错误!A错误!A错误!个．故共有符合题意的六位数A错误!＋A错误!A错误!A错误!＝504个．10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个歌曲,3个舞蹈,3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?（1）一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台;(2)2个歌曲节目互不相邻;（3)2个歌曲节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排歌曲节目有A2，2种排法,再排其他节目有A错误!种排法，所以共有A错误!A错误!＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A错误!种排法，再从其中7个空（包括两端)中选2个排歌曲节目,有A错误!种插入方法,所以共有A错误!A错误!＝30 240种排法．(3)把2个相邻的歌曲节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共有A错误!种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A错误!种插入方法，最后将2个歌曲节目互换位置，有A错误!种排法，故所求排法共有A错误!A错误!A错误!＝2 880种排法．［B组能力提升]1．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种解析:分两类：第一类:甲排在第一位，共有A错误!＝24种排法;第二类：甲排在第二位，共有A13·A错误!＝18种排法，所以共有编排方案24＋18＝42种，故选B。

高中数学第一章计数原理12排列与组合123组合1课后导练新人教A版选修23

1.2.3 组合（一）课后导练基础达标1.20个不加区别的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子内，要求每个盒内的球数不小于盒子的编号数，则不同的投放方法有_____________种.解析：先取出3个球，再将剩下的17个球排成一列，这17个球中间有16个空隙，从中任取两个空隙添置隔板“｜”（如图所示），这17个球被○○｜○○○｜○○○…○分成三块，第一块给1号盒，第二块给2号盒，第三块给3号盒；然后将先取出3个球中的1个球放入2号盒内，再将其余的2个球放入3号盒内，确保每盒内球的个数不小于盒子的编号数.即所求投放方法的种数等价于在17个元素中插入互不相邻的两个元素（两端的空隙除外）的组合数，故216C =120种不同投法为所求.2.8本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中有两人各得3本，一人得2本，不同分法的总数为( )A.1 680B.3 360C.280D.560解析：从三人中先选出1人，再让他从8本中选2本书；第二步，让剩下的2人中某人在剩下的6本书中选出3本；第三步，把剩余的三本书给第3个人，故共有13C ·28C ·12C ·36C ·33C =3 360种分法. 答案：B3.从3名成人4名小孩中选四人游园，至少要有一名成人，不同的选法种数为( )A.12B.34C.35D.186解析：4447C C =34 选B. 4.从5名学生中，选出2名或3名去农村做社会调查，不同的选法有( )A.10种B.30种C.20种D.40种解析：分类去求，共有25C +35C =20（种）选法，故选C.综合运用5.设A={a,b}，B={a,b,c,d,e,f}，集合M 满足A M B ，这样的集合有( )A.12个B.14个C.13个D.以上都错解析：经分析，集合M 至少含3个元素，最多含5个元素，则共有14C +24C +34C =14(个). 故选B.6.马路上有编号为1，2，3，4…，9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法有( )A.7种B.8种C.9种D.10种解析：在6只亮着的灯形成的5个空中插入3只熄灭的灯，即35C =10. 答案：D7.满足x i ∈N *（i=1,2,3,4)，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜10的有序数组(x 1,x 2,x 3,x 4)共有( )A.49C 个B.49A 个C.410C 个D.410A 个解析：本题看似与顺序有关，其实只有一种顺序，这样的一个数组(x 1,x 2,x 3,x 4)对应从1，2，…，9中选出4个数的一个组合，故共有49C 个不同的数组，选A.8.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为( )A.56B.52C.48D.40解析：从正方体的8个顶点中任取3个顶点可构成38C 个三角形，其中非直角三角形的有两类.①上底面的每个顶点所在的两侧面对角线与下底面相应的对角线构成1个正三角形，上底面的4个顶点共构成4个非直角三角形；②下底面的4个顶点所在的两侧面对角线与上底面相应的对角线共构成4个非直角三角形.故所求直角三角形共有38C -4-4=48个.选C.拓展探究9.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种解析：从10个点中任取4个点有410C =210种取法，应剔除下面三类共面点：①从四面体的每个面上的6个点中任取4个点必共面有446C =60种取法；②四面体的每条棱上3个点与对棱中点共面有6种取法；③6个中点连线有3对平行线段共面，故从这6个点中取4个共面点有3种取法.故符合条件取法共210-60-6-3=141种.选D.备选习题10.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数有( )A.1 260种B.2 025种C.2 520种D.5 040种解析：先从10人中选出两人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有1718210C C C ∙∙=2 520（种），故选C. 11.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人解析：设男队员x+2人，由题意可列式12181--∙x x C C =64，解得x=8，故男队员是10人.选A.12.平面凸n 边形的对角线的条数为_____________.解析：从n 个顶点中任选2个可形成2n C 条线段，其中有n 条线段是凸n 边形的边，故对角线条数为2n C -n=2)3(-n n 条. 13.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名，(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解析：(1)210C =45种不同的选法；(2)共有26C ·24C =90种不同的选法.14.如图所示，按棋盘格子形排列着16个点子，若从中每次选取不在一直线上的3个点，作为一个三角形的顶点，试问一共可作出多少个三角形？解析：正面不好考虑，可考虑反面，即选取3个点不能构成一个三角形顶点的情形，即三点共线的情形，反面情形可分为两类：（1)最多有4个点在同一直线上，有4行和4列和两对角线上的4点在同一直线上，如图（1），从这样的4点中选取三点的不同情形有(4+4+2)×34C =40.(2)最多有3个点在同一直线上，如图（2），只有4种不同情形.而从16个点中任取3个点有316C =560，减去不能构成三角形的上述二种情形，∴不在同一直线的三点共有560-（40+4）=516（组），故共可作出516个三角形.15.从7个不同的红球，3个不同的白球中取出4个球，问：（1）一共有多少种不同的取法？（2）其中恰有一个白球的取法有多少种？（3）其中至少有两个白球的取法有多少种？解析：（1）共有410C =!478910⨯⨯⨯=210(种)； (2)共有13C ·37C =3×!3567⨯⨯=105(种)； (3)直接法：有两个白球的取法为23C ·27C =3×21=63(种)；有3个白球的取法为33C ·17C =7(种)，故共有63+7=70种取法. 间接法：410C -13C ·37C -47C =210-105-35=70(种)。

高中数学第一章1.2排列与组合1.2.1排列问题导学案

1.2.1 排列问题导学一、排列数公式的应用活动与探究11．计算：(1)2A 34＋A 25；(2)A 88A 58． 2．化简：A m n ＋m A m －1n ．迁移与应用1．(2013江苏南京模拟)方程：A 42x ＋1＝140A 3x 的解是__________．2．化简A m －1n －1·A n －m n －m A n －1n －1＝__________．应用排列数公式时应注意以下几个方面：(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．二、排列的概念与简单的排列问题活动与探究21．判断下列问题是否为排列问题：(1)从1,2,3,4,5中任取两个数相加，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相减，其结果有多少种不同的可能？(3)有12个车站，共需要准备多少种普通票？(4)从10个人中选2人分别去植树和种菜，有多少种不同选法？(5)从10个人中选2人去参加座谈会，有多少种不同选法？2．(1)若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面(旗的颜色无重复)，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示__________种不同的信号．迁移与应用1．某年全国足球联赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共进行比赛__________场．2．判断下列问题是否是排列问题，若是排列问题，求出对应的排列数．(1)从1,2,3,4,5中任取两个数组成两位数，有多少个这样的两位数？(2)若一个班级有40名同学，从中选5人组成学习小组，有多少种选法？(3)8种不同的菜种，任选4种种在不同的土地上，有多少种不同的种法？解决排列问题的步骤：(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题．(2)注意排列对元素或位置有无特殊要求．(3)借助排列数公式计算．三、排队问题活动与探究3有4个男生和3个女生排成一排．(1)男生甲必须站在中间有多少种排法？(2)男生甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同排法？(3)甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同排法？(4)三个女生要排在一起有多少种不同排法？(5)三个女生两两不能相邻有多少种不同排法？(6)三个女生顺序一定，共有多少种不同排法？迁移与应用1．三位老师和三位学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法总数为( )A ．720B ．144C ．36D ．122．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( )A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏．(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．四、数字的排列问题活动与探究4用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？迁移与应用1．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )A ．120个B ．80个C ．40个D ．20个2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A ．72B ．96C ．108D ．144不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．答案：课前·预习导学【预习导引】1．排成一列所有不同排列 A m n预习交流1 (1)提示：排列的定义包括两个方面：①取出元素；②按一定顺序排列．两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的顺序也相同．排列是按一定顺序排列的一列元素，而排列数是一个数，并不表示具体的排列．(2)提示：ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA ．2．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1) n ！(n －m )！预习交流2 (1)提示：B(2)提示：(2n )！A n n ＝(2n )！n ！＝(2n )！(2n －n )！＝A n 2n ，故选B ．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 1．思路分析：按公式将排列数写成连乘形式计算．解：(1)2A 34＋A 25＝2×4×3×2＋5×4＝48＋20＝68．(2)A 88A 58＝8×7×6×5×4×3×2×18×7×6×5×4＝6． 2．解：A m n ＋m A m －1n ＝n ！(n －m )！＋m ×n ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1)×n ！＋m ×n ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1＋m )n ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！(n －m ＋1)！＝A m n ＋1．迁移与应用 1．x ＝3 解析：根据原方程，x (x ∈N *)应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1≥4，x ≥3，解得x ≥3．根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)．即4x 2－35x ＋69＝0．解得x ＝3或x ＝534(因x 为整数，故应舍去)． ∴原方程的解为x ＝3．2．1 解析：A m －1n －1·A n －m n －m A n －1＝(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！×(n －m )！×1(n －1)！＝(n －1)！(n －m )！×(n －m )！×1(n －1)！＝1．活动与探究2 思路分析：判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系．解：(1)两数相加，由加法交换律知与两数顺序无关，所以(1)不是排列问题．(2)两数相减，要确定谁是被减数，谁是减数，与顺序有关，所以(2)是排列问题．(3)票中要确定哪一个车站为起点站，哪一个车站为终点站，与顺序有关，所以(3)是排列问题．(4)要从选出的2人中确定谁去植树，谁去种菜，与顺序有关，所以(4)是排列问题．(5)只需从10人中选出2人即可，与顺序无关，所以(5)不是排列问题．2．(1)思路分析：直接运用排列的概念求值．B 解析：不同的选派方案有A 46＝6×5×4×3＝360种．(2)思路分析：如果把3面旗看做3个元素，那么“表示信号”这件事则是从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的排列问题．15 解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A 13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A 23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A 33种不同方法；根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A 13＋A 23＋A 33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．迁移与应用 1．132 解析：将参加比赛的12个队看作12个元素，每一场比赛即为从12个不同元素中任取2个元素的一个排列(设排在前面的队为主场比赛)．总共比赛的场次，就是从12个不同元素中任取2个元素的排列数：A 212＝12×11＝132．2．解：(1)选取的两个数，要确定哪一个数在十位，哪一个数在个位，与顺序有关，是排列问题，且有A 25＝5×4＝20个这样的两位数．(2)只需选出5人即可，与顺序无关，不是排列问题．(3)选取的4种菜种，与4块不同的地对应，与顺序有关，是排列问题，故有A 48＝8×7×6×5＝1 680种不同的种法．活动与探究 3 思路分析：本题都涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置．相邻问题(如(4))可用捆绑法，不相邻问题(如(5))可用插空法．解：(1)由于甲的位置已确定，其余6人可随意排列，共有A 66＝720种排法．(2)由于甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余5人中选两人来站，共有A25种排法，剩下的人有A55种排法，共有A25·A55＝2 400种不同排法．(3)甲站排头有A66种排法，乙站排尾有A66种排法，但两种情况都包含了“甲站排头且乙站排尾”的A55种排法，故共有A77－2A66＋A55＝3 720种排法．(4)先把女生看成一个元素，与其他4个男生共5个元素来排有A55种排法，再排三个女生有A33种排法，共有A55·A33＝720种不同排法．(5)先排4个男生，有A44种排法，形成5个空位，将3个女生插入5个空位中，有A35种排法，因此共有A44·A35＝1 440种不同排法．(6)在7个位置上任意排列7名学生共有A77种排法．由于女生的顺序一定，且在所有不同排法中，女生的某一顺序均会有A33种情况，因此三名女生顺序一定的排法共有A77A33＝840种．迁移与应用1．B 解析：先将老师排好有A33种排法，形成4个空位，将3个学生插入4个空位中，有A34种排法，∴共有A33·A34＝144种排法．2．A 解析：分类完成：①甲排周一，乙、丙只能从周二至周五中选2天排，有A24种排法；②甲排周二，乙、丙有A23种排法；③甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A22种排法，∴共有A24＋A23＋A22＝20种排法．活动与探究4 思路分析：该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有A35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个(有A14种)，十位和百位从余下的数字中选(有A24种)，于是有A14·A24个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A14·A24个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：A35＋A14·A24＋A14·A24＝156个．(2)五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有A45个；个位上的数字是5的五位数有A14·A34个．故满足条件的五位数共有A45＋A14·A34＝216个．(3)比1 325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A14·A35个；第二类：形如14□□，15□□，共有A12·A24个；第三类：形如134□，135□，共有A12·A13个；由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有：A14·A35＋A12·A24＋A12·A13＝270个．迁移与应用1．C 解析：①当十位是3时，个位与百位从1,2中选有A22种选法；②当十位是4时，个位与百位有A23种选法；③当十位是5时，个位与百位有A24种选法；④当十位是6时，个位与百位有A25种选法，则共有A22＋A23＋A24＋A25＝2＋6＋12＋20＝40种，故选C．2．C 解析：第一步，先将2,4,6全排，有A33种排法．第二步，将1,3,5分别插入2,4,6排列产生的前3个空中，若1,3相邻且不与5相邻，有A22A23种排法，若1,3,5均不相邻，有A33种排法．故总的排法有A33(A22A23＋A33)＝108种．故选C．当堂检测1．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是( ) A．1 260 B．120 C．240 D．720答案：D 解析：由题意知有310A＝10×9×8＝720种分法．故选D．2．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有( )种．A．16 B．12 C．20 D．10答案：A 解析：先选一人参加物理竞赛有14A种方法，再从剩下的4人中选1人参加数学竞赛，有14A 种方法，共有1144A A 16⋅=种方法．3．657645A A A -＝( ) A ．12B ．24C ．30D ．36答案：D 解析：657645A A 76543265432A 5432-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ＝7×6－6＝36．4．五人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有__________种．答案：36 解析：五人全排列有55A 种排法，甲、乙相邻有种排法，甲、丙相邻有2424A A 种排法，甲、乙相邻且甲、丙相邻有2323A A 种排法，故所有排法有52424235242423A A A A A A A 36--+=种．5．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有__________个．答案：144 解析：先排奇数位有44A 种，再排偶数位有33A 种，∴共有4343A A 144=种．6．(2013浙江高考，理14)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)．答案：480 解析：如图六个位置．若C 放在第一个位置，则满足条件的排法共有55A 种情况；若C 放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A ，B ，再在余下的3个位置排D ，E ，F ，共2343A A ⋅种排法；若C 放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A ，B ，其余位置排D ，E ，F ，则共有2323A A ⋅种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A ，B ，再在其余3个位置排D ，E ，F ，共有2333A A ⋅种排法；若C 在第4个位置，则有23232333A A A A ⋅+⋅种排法；若C 在第5个位置，则有2343A A 种排法；若C 在第6个位置，则有55A 种排法．综上，共有523232354333232(A A A A A A A )480+++=种排法．。

高中数学第一章1.2 排列与组合 1.2.1 第2课时排列的综合应用学案新人教A版选修2-3

第2课时排列的综合应用学习目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)[自主预习·探新知]1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(n，m∈N*，m≤n)A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！＝1.2．排列应用题的最基本的解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．3．解简单的排列应用题的基本思想[基础自测]1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )A．6 B．8C．9 D．12C[由A2n＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.【导学号：95032035】48[从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．] 3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．24[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．]4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．][合作探究·攻重难]无限制条件的排列问题(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【导学号：95032036】[思路探究](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．[规律方法]1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．[跟踪训练]1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．720[问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.]排队问题有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起．(4)全体排成一行，男、女各不相邻．(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．(6)排成前后二排，前排3人，后排4人.【导学号：95032037】[思路探究] 分析题意，确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素[解] (1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择．有A 13种，其余6人全排列，有A 66种．由分步乘法计数原理得A 13A 66＝2 160种．(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A 16种，余下的6个位置全排列有A 66种，但应剔除乙在最右边的排法数A 15A 55种．则符合条件的排法共有A 16A 66－A 15A 55＝3 720种．(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A 33种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A 55种排法，共有A 33A 55＝720种．(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有A 33A 44＝144种．(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N ，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有A 77＝N ×A 33，∴N ＝A 77A 33＝840种． (6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A 77＝5 040种．注意：解(6)时易出现A 33A 44的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻．[规律方法]1．排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列．对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住．2．元素相邻和不相邻问题的解题策略2．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间，乙必在两端；(2)甲不在左端，乙不在右端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)男生不全相邻．[解] (1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有：2×7×A77＝70 560种(2)按甲在不在右端分类讨论．甲站右端的有：A88种；甲不在右端的有：7×7×A77种；共有：A88＋7×7×A77＝A77×(8＋49)＝287 280种．(3)(捆绑法)A22·A44·A55＝5 760种．(4)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880种排法．(5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A99－A44·A66＝345 600种．数字排列问题1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示]偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?[提示]在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？(3)不大于4310的四位偶数.【导学号：95032038】[思路探究]这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解](1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．(3)用直接法①当千位上排1,3时，有A12·A13·A24个．②当千位上排2时，有A12·A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；形如41××的有A13·A12个，形如43××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12·A13·A24＋A12·A24＋2A13＋A12·A13＋2＝110(个)．[当堂达标·固双基]1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )A．36 B．120C．720 D．240C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.]2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种B．360种C．480种D．720种C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A55＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．144[先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．]4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．]5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？[解]法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．。

2021学年高中数学1.2排列与组合1.2.1第1课时排列一练习含解析人教A版选修2_3.doc

第一章 1.2 1.2.1 第1课时请同学们认真完成练案[3]A级基础巩固一、选择题1．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有( C )A．3种B．4种C．6种D．12种[解析] 由排列定义得，共有A33＝6种排列方法．2．从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( C )A．2 B．4C．12 D．24[解析] 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A24＝12．3．(2020·东安区校级期末)A59＋A49A610－A510＝( D )A．415B．715C．310D．320[解析]A59＋A49A610－A510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6＝5＋110×5－10＝320．故选D．4．下列问题属于排列问题的是( A )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b中的底数与真数．A．①④B．①②C．④D．①③④[解析] 根据排列的概念知①④是排列问题．5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( B )A．108种B．186种C ．216种D ．270种[解析] 从全部方案中减去只选派男生的方案数，所有不同的选派方案共有A 37－A 34＝186(种)，选B ．6．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( C )A ．A 88种 B ．A 48种 C ．A 44A 44种D ．2A 44种[解析] 安排4名司机有A 44种方案，安排4名售票员有A 44种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有A 44A 44种方案．二、填空题7．(2020·天津模拟)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有__120__个．[解析] 1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有A 33A 34＝144个， 4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2A 33A 22＝24个， ∴所求六位数共有120个．故答案为120．8．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__480__种(用数字作答)．[解析] A 、B 两个字母与C 的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占13，∴排法有23A 66＝480． 9．(2020·烟台一模)上合组织峰会于2018年6月在青岛召开，组委会预备在会议期间将A ，B ，C ，D ，E 这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A ，B 必须在同一组，且每组至少2人，则不同分配方法的种数为__8__．[解析] 根据题意，分2种情况讨论：①A ，B 在一组，C ，D ，E 都分在另一组，将两组全排列，对应两个地点即可，有A 22＝2种分配方法；②C ，D ，E 中取出1人，与A 、B 一组，剩下2人一组，再将两组全排列，对应两个地点，有3A 22＝6种分配方法；故一共有2＋6＝8种分配方法．故答案为8．三、解答题10．(2020·深圳高二检测)用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的三位数？ [解析] (1)三位数的每位上数字均为 1,2,3,4,5,6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果，第二步，得十位数字，有5种不同结果，第三步，得个位数字，有4种不同结果，故可得各位数字互不相同的三位数有 6×5×4＝120(个)．(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个)．B 级素养提升一、选择题1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x 2m 2＋y 2n2＝1中的m 和n ，则能组成落在矩形区域B ＝{(x ，y )||x |<11，且|y |<9}内的椭圆个数为( B )A ．43B ．72C ．86D ．90[解析] 在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m 、n ，共有A 28＝56种方法；可在9、10中取一个作为m ，在1、2、…、8中取一个作为n ，共有A 12A 18＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：A 28＋A 12A 18＝72．2．给出下列4个等式： ①n ！＝n ＋1！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A mn ＝n ！n －m ！；④A m －1n －1＝n －1！m －n ！．其中正确的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由排列数公式逐一验证，①②③成立，④不成立．故选C ．二、填空题3．(1)7个人站成一排，若甲必须站在正中间的站法有__720__种； (2)7个人站成一排，若甲、乙2人必须站在两端的站法有__240__种；(3)7个人站成两排，其中3个女孩站在前排，4个男孩站在后排的站法有__144__种； (4)7个人站成两排，其中前排站3人，后排站4人的站法有__5_040__种． [解析] (1)甲站中间后，剩下的人的位置排列数为A 66＝720．(2)甲、乙必须站两端，剩下的人的位置排列数为A55，甲、乙站两端的站法有A22，故共有A55·A22＝240．(3)女孩和男孩的排列相互独立，故为A44·A33＝144．(4)先排前排，再排后排，故为A37·A44＝5 040．4．如果A m n＝15×14×13×12×11×10，那么n＝__15__，m＝__6__．[解析] 15×14×13×12×11×10＝A615，故n＝15，m＝6.三、解答题5．(2020·宝鸡市金台区高二检测)“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632)，那么比666小的三位渐降数共有多少个？[解析] 百位是6，十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个，百位是6，十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个，百位是6，十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个，百位是6，十位是2比666小的渐降数有621,620共2个，百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，所以百位是6比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＋5＝15个，同理：百位是5比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＝10个，百位是4比666小的渐降数有1＋2＋3＝6个，百位是3比666小的渐降数有1＋2＝3个，百位是2比666小的渐降数有1个，所以比666小的三位渐降数共有15＋10＋6＋3＋1＝35个．。

高中数学第一章计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1.1 排列的概念及简单排列问题导学案新

湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1.1 排列的概念及简单排列问题导学案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1.1 排列的概念及简单排列问题导学案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.2.1.1排列的概念及简单排列问题【学习目标】1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导；3. 能运用所学的排列知识，正确地解决一些简单的实际问题重点:排列、排列数的概念难点：排列数公式的推导【使用说明与学法指导】1。

课前用20分钟预习课本P14—P18内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。

2.独立思考,认真限时完成，规范书写。

课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1。

分类加法计数原理： .2. 分步乘法计数原理：3. 从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的方法？解析：4.上面的问题3中，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？5.排列的概念元素：问题中被取出的对象 .排列：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素,按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.6。

相同排列的条件元素相同，顺序相同。

7. 排列数的概念从 n 个不同元素中取出 m （n m ≤）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，用符号 m n A 表示.8。

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式a23a高二23数学

义及表示叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示
全排列的概念
n个不同元素__全__部__(q_uá_nb_ù_)取_的出一个排列
阶乘的概念
把_n_·(_n_－__1_)_·…__·_2_·_1记作n！，读作：n的阶乘
Anm＝___n_(_n_－__1_)…__(_n_－__m__＋__1_) ____
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[跟踪训练] 1．判断下列问题是否是排列问题 (1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？ (2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
[解] (1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好．有多少个排列就有多少封信，共有A24＝12封信．
题．
()
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[解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
第二页，共三十六页。
[自主预习·探新知]
1．排列的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照_一__定_(_yī_dì_ng_)_的_顺排序成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列的两个条件 (1)_元__素__(_yu相án s同ù) ． (2)_顺__序__(s_hù相nxù同) ．思考：如何理解排列的定义？

高中数学第一章1.2排列与组合1.2.1排列1课堂导学案

1.2.1 排列 1课堂导学三点剖析一、没有限制条件的排列问题【例1】从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法?解析：从甲、乙、丙3名同学中任选2名分别参加上午、下午的活动，对应于从3个元素中任取2个元素的一个排列，因此共有23A =3×2=6种不同的方法.温馨提示判断是否是排列问题，关键是看是否与顺序有关.此问题的活动分上午和下午.甲参加上午的活动，乙参加下午的活动与甲参加下午的活动，乙参加上午的活动是不同的选派方法，与顺序有关.因此，此题是排列问题.二、有限制条件的排列问题【例2】用0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的六位数?解法一：从特殊元素入手，0只能放在除十万位外的其他五个数位上，故共组成665615A A A +∙=4 320个没有重复数字的六位数. 解法二：从特殊位置入手，十万位不能排0，可先从其他6个数字中选出一个数字排到该位上，其他位置可随意排列，故共组成5616A A ∙=4 320(个)没有重复数字的六位数. 解法三：用排除法：先不考虑任何限制条件，共组成67A 个六位数，但需去掉0在十万位上的情形，有56A 种，故共有67A -56A =4 320(个)没有重复数字的六位数.温馨提示有限制条件的排列问题，往往先考虑有限制条件的特殊元素或特殊位置，这可叫“特殊元素(位置)优先法”.三、处理排列问题的典型问题和方法【例3】三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法?解析：(1)(捆绑法)因为三个女生必须在一起，所以可以把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排共有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有66A ·33A =4 320种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间一个空，这样共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，使得每个位置至多有一个女生插入，就能保证任意两个女生都不相邻，因此共有55A ·36A =14 400种不同的排法.(3)(位置分析法)：因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2人，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余6位都有66A 种排法，所以共有25A ·66A =14 400种不同的排法.(4)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可以有15A ·77A 种不同的排法；如果首位是女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，共有13A ·15A ·66A 种不同的排法，所以共有15A ·77A +13A ·15A ·66A =36 000种不同的排法. 各个击破【类题演练1】5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的选法?解析：不同选法的种数有35A =5×4×3=60(种).【变式提升1】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号?解析：用1面旗表示的信号有13A 种，用2面旗表示的信号有23A 种，用3面旗表示的信号有33A 种，根据分类计数原理，所求的信号数是13A +23A +33A =3+3×2+3×2×1=15(种).【类题演练2】某年级开设语文、政治、外语、体育、数学、物理、化学七门课程，依下列条件课程表有多少种不同排法.(1)一天开设七门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第七节；(2)一天开设四门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第四节.解析：(1)从元素考虑先满足体育后再安排其他课，从2-6节中任取一节排体育有15A 种排法，再从剩下的6节课中排其它课程有66A 种排法.依乘法原理有15A ·66A =3 600(种).【变式提升2】用0，1，2，…9十个数字可组成多少个没有重复数字的：(1)五位奇数?(2)大于30 000的五位偶数?解析：(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有15A 种取法.取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的八种不同取法.首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位，百位与千位三个数位选取，共有38A 种不同的安排方法.因此由分步计数原理共有5×8×38A =13 440个没有重复数字的五位奇数.(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类： ①末位数字从0，2中选取，则首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共38A 种取法.所以共有2×7×38A 种不同情况.②末位数字从4、6、8中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有38A 种选法，所以共有3×6×38A 种不同情况.由分类计数原理，共有2×7×38A +3×6×38A =10 752个比30 000大的无重复数字的五位偶数.【类题演练3】从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法?解析：设全集U={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元集个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=24353546A A A A +--=252(种). 【变式提升3】信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是( )(用数字作答)解析：5面旗全排列有55A 种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是223355A A A ∙=10(种).。

高中数学第一章1.2排列与组合1.2.2组合课后训练

1.2.2 组合课后训练一、选择题1．6799C C 的值为( ) A ．36 B ．45 C ．120D ．7202．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A ．12种B ．24种C ．30种D ．36种3．从5名男同学、4名女同学中选出3名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，则不同的方案个数有( )个．A ．140B ．100C ．80D ．704．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种5．(2012山东高考，理11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．4846．(2013山东济宁模拟)某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，若至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题7．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有__________种．8．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有__________．三、解答题9．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ (3)恰有一个盒子放2个球，有多少种放法？ (4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？10．六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)一人得一本，一人得两本，一人得三本； (4)平均分成三堆；(5)平均分给甲、乙、丙三人．参考答案1答案：C 解析：67739910101098C +C C C 120321⨯⨯====⨯⨯．2答案：B 解析：先从4人中选2人选修甲课程，有24C 种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，∴共有24C ×22＝24种方法．3答案：D 解析：(排除法)333954C C C 70--=，故选D ．4答案：B 解析：将标号为1,2的卡片放入一个信封，有13C ＝3种，将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中，有24C ＝6种，共有1234C C ⋅＝3×6＝18种．5答案：C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有31114444C C C C 256=种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有12113434C C C C 216=种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C ．6答案：A 解析：设男生人数为x ，则女生有(6－x )人．依题意可得336C C x -＝16，即x (x －1)(x －2)＋16×6＝6×5×4，于是x (x －1)(x －2)＝2×3×4，即x ＝4．故该小组中女生有2人．7答案：2 520 解析：从10人中选派4人有410C 种方法，对选出的4人具体安排会议有2142C C 种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有4211042C C C 2 520=种．8答案：10 解析：依题意，就所剩余的1本进行分类：第1类，剩余的是1本画册，此时满足题意的赠送方法有4种；第2类，剩余的是1本集邮册，此时满足题意的赠送方法有24C ＝6种．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种． 9答案：解：一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256种．答案：为保证“恰有一个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1三组，有24C 种分法；然后再从3个盒子中选一个放2个球，其余2个球两个盒子全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法12124432C C C A 144⋅⋅⋅=种．答案：“恰有一个盒子放2个球”，即另外的3个盒子放2个球，而且每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此“恰有一个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法．答案：先从4个盒子中任意拿走两个有24C 种拿法，问题转化为“4个球，两个盒子，每个盒子必放球，有多少种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中，有3142C C ⋅种放法；第二类：有24C 种放法．因此共有312424C C C 14⋅+=种放法．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有24C ·14＝84种．10答案：解：先在六本书中任取一本，作为一堆，有16C 种取法；再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有25C 种取法；再从余下三本中取三本作为一堆，有33C 种取法，故共有分法123653C C C 60⋅⋅=种．答案：由(1)知，分成三堆的方法有123653C C C ⋅⋅种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的分法亦为123653C C C 60⋅⋅=种．答案：由(1)知，分成三堆的方法有123653C C C ⋅⋅种，但每一种分组方法又有33A 种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有12336533C C C A 360⋅⋅⋅=种．答案：把六本不同的书分成三堆，每堆两本，与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本的区别在于，后者相当于把六本不同的书平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人，因此，设把六本不同的书平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法就有x ·33A 种．而六本书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法可以理解为：三个人一个一个地来取书，甲从六本不同的书中任取出两本的方法有26C 种，甲不论用哪一种方法取得两本书后，乙再从余下的四本书中取书有24C 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取两本书后，丙从余下的两本中取两本书，有22C 种方法，所以一共有222642C C C 90⋅⋅=种方法，所以32223642A C C C 90x =⋅⋅=，x ＝15，即平均分成三堆有15种分法．答案：由(4)知平均分给甲、乙、丙三人有90种分法．。

人教版2020高中数学第一章1.2 排列与组合 1.2.1 第2课时排列的综合应用学案新人教A版选修2-3

第2课时排列的综合应用学习目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)[自主预习·探新知]1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(n，m∈N*，m≤n)A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！＝1.2．排列应用题的最基本的解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．3．解简单的排列应用题的基本思想[基础自测]1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )A．6 B．8C．9 D．12C[由A2n＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.【导学号：95032035】48[从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．] 3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．24[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．]4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．][合作探究·攻重难]无限制条件的排列问题(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【导学号：95032036】[思路探究](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．[规律方法]1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．[跟踪训练]1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．720[问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.]排队问题有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起．(4)全体排成一行，男、女各不相邻．(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．(6)排成前后二排，前排3人，后排4人.【导学号：95032037】[思路探究] 分析题意，确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素[解] (1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择．有A 13种，其余6人全排列，有A 66种．由分步乘法计数原理得A 13A 66＝2 160种．(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A 16种，余下的6个位置全排列有A 66种，但应剔除乙在最右边的排法数A 15A 55种．则符合条件的排法共有A 16A 66－A 15A 55＝3 720种．(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A 33种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A 55种排法，共有A 33A 55＝720种．(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有A 33A 44＝144种．(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N ，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有A 77＝N ×A 33，∴N ＝A 77A 33＝840种． (6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A 77＝5 040种．注意：解(6)时易出现A 33A 44的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻．[规律方法]1．排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列．对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住．2．元素相邻和不相邻问题的解题策略2．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间，乙必在两端；(2)甲不在左端，乙不在右端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)男生不全相邻．[解] (1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有：2×7×A77＝70 560种(2)按甲在不在右端分类讨论．甲站右端的有：A88种；甲不在右端的有：7×7×A77种；共有：A88＋7×7×A77＝A77×(8＋49)＝287 280种．(3)(捆绑法)A22·A44·A55＝5 760种．(4)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880种排法．(5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A99－A44·A66＝345 600种．数字排列问题1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示]偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?[提示]在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？(3)不大于4310的四位偶数.【导学号：95032038】[思路探究]这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解](1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．(3)用直接法①当千位上排1,3时，有A12·A13·A24个．②当千位上排2时，有A12·A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；形如41××的有A13·A12个，形如43××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12·A13·A24＋A12·A24＋2A13＋A12·A13＋2＝110(个)．1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )A．36 B．120C．720 D．240C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.]2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种B．360种C．480种D．720种C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A55＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．144[先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．]4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．]5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？[解]法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．。

1.2排列与组合(课后习题详解)

（3） C7 C6 35 15 20 ；
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（4） 3C8 2C5 3 56 2 10 148 。
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6．求证 Cn
m
m 1 m1 Cn1 。 n 1
【解析】
m 1 m1 m 1 (n 1)! n! m Cn1 Cn n 1 n 1 (m 1)![(n 1) (m 1)]! m! n m !
4 A4 24 .
6．一个学生有 20 本不同的书，所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？【解析】排列由于书架是单层的，所以问题相当于 20 个元素的全排列，有 A20 种不同的排法. 7．学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的演出顺序，除第 1 个节目和最后一个节目已确定外，4 个音乐节目要求排在第 2,5,7,10 的位置，3 个舞蹈节目要求排在第 3,6,9 的位置，2 个曲艺节目要求排在第 4,8 的位置，共有多少种不同的排法？【解析】分步乘法计数原理，排列可以分三步完成：第一步，安排 4 个音乐节目，共有 A4 种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有 A3 种排法；第三步，安排曲艺节目，共有 A2 种排法。所以不同的排法有 A4 A3 A2 288 （种）。
n 2 Cn 1 Cn (n 1)
（4） Cn 1 Cn
n
n2
n(n 1) n(n2 1) 。 2 2
3．求证：（1） An1 An n An1 ；
n 2 n 1 n 1
（2）
(n 1)! n! (n k 1)n ! （k n）。 k! (k 1)! k!
2．用计算器计算：（1） A15 ；

高中数学第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时组合与组合数公式学案新人教A版选修2-3 (2)

第1课时组合与组合数公式学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？答案①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示.组合数公式乘积形式C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！阶乘形式C m n＝n！m！(n－m)！性质C m n＝C n－mnC m n＋1＝C m n＋C m－1n备注规定C0n＝11．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.( ×) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．( √)3．C35＝5×4×3＝60.( ×)4．C2 0162 017＝C12 017＝2 017.( √)类型一组合概念的理解例1 给出下列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？考点组合的概念题点组合的判断解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．反思与感悟区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果．(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？考点组合的概念题点组合的判断解(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C35＝10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C29＝36(种)．类型二组合数公式及性质的应用命题角度1 有关组合数的计算与证明例2 (1)计算C410－C37·A33；考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算(1)解原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1. 考点组合数公式题点组合数公式的应用 (2)证明因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ，左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立．反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练2 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017的值为( ) A ．C 42 017 B ．C 52 017 C ．C 42 018－1D ．C 52 017－1(2)计算C 98100＋C 199200＝________. 考点组合数性质题点的性质计算与证明答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 017－1＝… ＝C 42 017＋C 32 017－1＝C 42 018－1. (2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝5 150.命题角度2 含组合数的方程或不等式例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8；(2)解不等式C 4n >C 6n . 考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2， ∴C m8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4. 考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题解原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4，即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.所以x＝11或x＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.类型三简单的组合问题例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案(1)45 (2)21 (3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计算原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)．反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0考点组合的概念题点组合的判断答案 B解析①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是 ( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析由C n4知n＝0,1,2,3,4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×32＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．3．若C n12＝C2n－312，则n等于( )A．3 B．5 C．3或5 D．15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 C解析由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条．考点组合的概念题点组合的判断答案 10 20解析从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C 25＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 25＝20.所以有向线段共有20条．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)组合数的两个性质：性质1：C mn ＝C n －mn ；性质2：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .一、选择题1．以下四个问题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点组合的概念题点组合的判断答案 C解析只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 2.A 3101C 2100＋C 97100等于( ) A.16 B ．101 C.1107D ．6考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析 A 3101C 2100＋C 97100＝A 3101C 2100＋C 3100＝A 3101C 3101＝A 33＝6.3．下列等式不正确的是( ) A ．C mn ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －mn C ．C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n D ．C mn ＝C m ＋1n ＋1考点组合数公式题点组合数公式的应用答案 D解析 A 是组合数公式；B ，C 是组合数性质；C mn ＝n ！m ！(n －m )！，C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，两者不相等，故D 错误．4．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 B解析由题意知n (n －1)(n －2)＝6·n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.5．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( ) A ．A 310种B ．C 310种C．C310A310种D．30种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案 B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.6．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A．24种B．10种C．12种D．9种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析第一步，为甲地选1名女教师，有C12＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C24＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)，故选C.7．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是( )A．115 B．90 C．210 D．385考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有C24C26＝90(种)；三个黑球，有C34C16＝24(种)；四个黑球，有C44＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A.8．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )A．15 B．7 C．6 D．0考点组合数性质题点利用组合数的性质进行计算与证明答案 C解析因为1≤m≤n≤5，且方程表示椭圆，所以C m n可能为C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25， C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，所以x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．二、填空题9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.考点组合的概念题点组合的判断答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.10．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 60解析根据题意，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．11．不等式C 2n －n <5的解集为________．考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 {2,3,4} 解析由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，即n 2－3n －10<0，解得－2<n <5.由题意知n ≥2，且n ∈N *，则n ＝2,3,4，故原不等式的解集为{2,3,4}．三、解答题12．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．考点组合数公式题点组合数公式的应用解由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2×n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 13．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126(种)不同的选法．四、探究与拓展14．以下三个式子：①C mn ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m .其中正确的个数是____．考点组合数公式题点组合数公式的应用答案 3解析 ①式显然成立；②式中A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，所以A m n ＝n A m －1n －1，故②式成立；对于③式C mn ÷C m ＋1n ＝C m n C m ＋1n ＝A mn ·(m ＋1)！m ！·A m ＋1n ＝m ＋1n －m ，故③式成立． 15．某届世界杯举办期间，共32支球队参加比赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有C 24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，根据赛制规则，4强每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，总共将进行48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．。

2020高中数学第一章1.2 排列与组合 1.2.1 第2课时排列的综合应用高效演练新人教A版选修2-3

第2课时排列的综合应用A级基础巩固一、选择题1．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是( ) A．6 B．24 C．48 D．120解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，排法共有A44＝24(种)．答案：B2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( )A．48个 B．36个 C．24个 D．18个解析：个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．答案：B3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!解析：此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3！种排法，三个家庭共有3！×3！×3！＝(3！)3种排法；再把三个家庭进行全排列有3！种排法，因此不同的坐法种数为(3！)4.答案：C4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为( )A．30 B．48 C．60 D．96解析：“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A33；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到不同的三位数有A33×2×2×2＝48(个)．答案：B5．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )A．24种B．36种C．48种D．72种解析：分类完成．第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A24种排法；第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A24种排法，有2A24种排法．由分类加法计数原理得，不同的安排方案共有A24＋2A24＝36(种)．答案：B 二、填空题6．若把英语单词“error ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．解析：A 25－1＝19. 答案：197．把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先考虑产品A 与B 相邻，把A 、B 作为一个元素有A 44种方法，而A 、B 可交换位置，所以摆法有2A 44＝48(种)．又当A 、B 相邻又满足A 、C 相邻，摆法有2A 33＝12(种)．故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．答案：368．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．解析：千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)，前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制．所以共有8A 28＝448(个)．答案：448 三、解答题 9．7人站成一排．(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？ (2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？解析：(1)法一7人的所有排列方法有A 77种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又已知甲、乙、丙排序一定，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有A 77A 33＝840(种)．法二(插空法) 7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故排法有A 47＝7×6×5×4＝840(种)．(2)“甲在乙的左边”的7人排列数与“甲在乙的右边”的7人排列数相等，而7人的排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的排法有12A 77＝2 520(种)．10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A 25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A 66种排法，故共有不同排法A 25A 66＝1 440(种)．(2)先不考虑排列要求，有A 88种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A 45A 44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A 88－A 45A 44＝37 440(种)．B 级能力提升1．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则试验顺序的编排方法共有( )A．24种B．48种C．96种D．144种解析：本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，所以从第一个位置和最后一个位置中选一个位置排A，编排方法有A12＝2(种)．因为程序B和C在实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间有2种排法，即编排方法共有A44A22＝48(种)．根据分步乘法计数原理知，编排方法共有2×48＝96(种)，故选C.答案：C2．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．解析：“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空当中即可．所以不同坐法共有A34＝24(种)．答案：243．用1，2，3，4，5，6，7排成无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰好夹有一个奇数，没有偶数．解：(1)用插空法，共有A44A35＝1 440(个)．(2)先把偶数排在奇数位上有A34种排法，再排奇数有A44种排法．所以共有A34A44＝576(个)．(3)1和2的位置关系有A22种，在1和2之间放一个奇数有A13种方法，把1，2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有A55种排法，所以共有A22A13A55＝720(个)．。

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2排列2课后导练新人教A版选修2_3201711133

1.2.2 排列（二）课后导练基础达标1.写出下面问题中所有可能的排列.从1，2，3，4四个数字中任取三个数字组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解析：123、124、132、134、142、143、213、214、231、234、241、243、312、314、321、324、341、342、412、413、421、423、431、432共24个.2.A、B、C、D、E五个站成一排，如果B必须在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同排法有( )A.24种B.60种C.90种D.120种1解析：由于B在A的左边和右边排法数相同，故共有A5=60种排法，故选B.523.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种解析：先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人，因而有A5种不同排法，再把两人“松5绑”，两人之间有A2种排法，因此所求不同排法总数为A5·A2=240种.252答案：C4.用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，要求五位数比20 000大且不是5的倍数，这样的五位数共有( )A.108个B.78个C.72个D.36个解析：依题意五位数要比20 000大，则1不能做首位，又根据不是5的倍数，所以5不能在最后一位，为此我们分为两类，（1）当5做首位数时有A4个数都符合要求，（2）当5不做首4位数时，则首位数的选法有A1，此时最后一位的选法有A1，而中间三个数的排法有A3，故333此时共有A1·A1·A3个数符合条件，这样一共有A1+A1·A1·A3=78个数符合要求.3334333答案：B5.由1，2，3，4和0组成无重复数字的自然数的个数为( )A.A5B.A1+A2+A3+A4+A5555555C.4A4D.4(1+A1+A2+A3+A4)+144444解析：可分5类：组成1位数5个；组成两位数A1·A1=16个；组成三位数A1·A2个；组4444成四位数A1·A3个；组成五位数A1·A4个，共计4(1+A1+A2+A3+A1)+1个，故选D.44444444综合运用6.将数字1、2、3、4填在标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填上一个字，且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( )A.6种B.9种C.11种D.23种1解析：此题的背景是中学生所不熟悉的错排问题，不好利用计数原理解之.由于数字个数比较少，我们可把符合题意的填法一一列举出来.它们是：显然，答案应选B.7.用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被6整除的有( )A.72个B.60个C.52个D.48个解析：分5类（能被3整除要求各位上的数之和能被3整除）①由0，1，2，3组成的四位偶数有A3+(A3-A2)=10个.332②由0，2，3，4组成的四位偶数有A3+2(A3-A2)=14个.332③由0，1，3，5组成的四位偶数有A3=6个.3④由0，3，4，5组成的四位偶数有A3+(A3-A2)=10个.332⑤由1，2，4，5组成的四位偶数有2A3=12个.3综上，由分类计数原理，N=10+14+6+10+12=52个，∴选C.答案：C8.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_________种.解析：设垄号依次为：1，2，…，10，则可找到所有满足条件的一对垄号：（1，8）、（1，9）、（1，10）、（2，9）、（2，10）、（3，10），故选择2垄种植的方法共有6×A2=12(种)2拓展探究9.在一次射击比赛中，8个泥制的靶子挂成三列，其中两列各挂3个，一列挂两个，如图所示.一射手按照下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低的一个.若每次射击都遵循这一原则，击碎全部8个靶子可以有多少种不同的次序？解析：自左至右，自下而上分别用字母A1，A2，A3；B1，B2；C1，C2，C3表示三列靶子.打完8 个靶子的所有不同次序相当于把8个字母排个队，但A1，A2，A3；B1，B2；C1，C2，C3三组内部的先后次序排定.因为各种排列情形是等机率出现的.所以击碎8个靶子的不同次序有8!3!2!3!2=560(种).备选习题10.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个解析：采用分类计数的原理，第1类：23154，1个；第2类：形如234□□和235□□的数有A2×2=4个；第3类：形如24□□□2和25□□□的数有A3×2=12个；第4类：万位为3的数有A1=24个；第5类：形如42□□□34和41□□□的数有A3×2=12个；第6类：形如432□□和431□□的数有A2×2=4个；第732类：43512，1个.∴共有1+4+12+24+12+4+1=58个.故选C.11.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有___________种.（以数字作答）解析：结合分步计数原理给出树形图如下.由此得出着色方法共有N=4×18=72（种）.12.在下图的1×6矩形长条中涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有______种.（以数字作答）解析：以第一格涂红色为例给出树形图如下.由此得出不同的涂色方法共有N=C1×10=30(种).3313.将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四.试写出他们四人所有不同的排法.解析：由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，据此可分为三类.由此可写出所有的排法为：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.14.7个人站队排成一排，某人既不站在排头，也不站在排尾，有多少种排法？解析：从元素考虑，因为某人既不能在排头，又不能在排尾，故先让他排在首尾之间的任一个位置上，有A1种排法，再让其他6人排在其它6个位置上，有A6种排法，根据分步计数原理，56共有A1·A6=3 600种排法.5615.把9个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法有多少种？解析：由题意可知在编号为1的箱子中放球的个数应该为1个，2个，3个，4个，四种情形.(不小于编号1，且余下球至少要5个）.依此类推得树形图.由此可知放法N=4+3+2+1=10（种）.4。

精编版高中数学第一章1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时排列与排列数公式学案新人教A版选修2-3

第1课时排列与排列数公式学习目标 1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．思考让你安排这项活动需要分几步？答案分两步．第1步确定上午的同学；第2步确定下午的同学．梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列数及排列数公式思考从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？答案4×3×2＝24(个)．梳理1．a，b，c与b，a，c是同一个排列．( ×)2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( √)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( ×)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ×)类型一排列的概念例1 判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．考点排列的概念题点排列的判断解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．反思与感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M ＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？考点排列的概念题点排列的判断解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小关系一定；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，不管a >b 还是a <b ，方程x 2a 2－y 2b2＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．类型二排列的列举问题例2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ (2)写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列．考点排列的概念题点列举所有排列解 (1)由题意作“树状图”，如下．故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个． (2)由题意作“树状图”，如下．故所有的排列为abc ，abd ，acb ，acd ，adb ，adc ，bac ，bad ，bca ，bcd ，bda ，bdc ，cab ，cad ，cba ，cbd ，cda ，cdb ，dab ，dac ，dba ，dbc ，dca ，dcb .反思与感悟利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．跟踪训练2 写出A ，B ，C ，D 四名同学站成一排照相，A 不站在两端的所有可能站法．考点排列的概念题点列举所有排列解由题意作“树状图”，如下，故所有可能的站法是BACD ，BADC ，BCAD ，BDAC ，CABD ，CADB ，CBAD ，CDAB ，DABC ，DACB ，DBAC ，DCAB .类型三排列数公式及应用例3 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且，n <55)； (2)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(3)求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 考点排列数公式题点利用排列数公式计算(1)解因为55－n,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15(个)元素，所以(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n . (2)解 2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×(8＋7)8×7×6×5×(24－9)＝1.(3)证明方法一因为A mn ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·m n ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n ，所以A mn ＋1－A mn ＝m A m －1n .方法二 A m n ＋1表示从n ＋1个元素中取出m 个元素的排列个数，其中不含元素a 1的有A mn 个．含有a 1的可这样进行排列：先排a 1，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出m －1个元素排在剩下的m －1个位置上，有A m －1n 种排法．故A m n ＋1＝m A m －1n ＋A mn ，所以m A m －1n ＝A m n ＋1－A mn .反思与感悟排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．跟踪训练3 不等式A x 8<6A x －28的解集为( ) A ．[2,8] B ．[2,6] C ．(7,12) D ．{8} 考点排列数公式题点解含有排列数的方程或不等式答案 D解析由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解得7<x <12，①又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －2≥0，所以2≤x ≤8，②由①②及x ∈N *，得x ＝8.1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 考点排列的概念题点排列的判断答案 C解析因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( ) A ．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B ．甲乙，丙乙、丙甲C ．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D ．甲乙，甲丙，乙丙考点排列的概念题点列举所有排列答案 C3．(x －3)(x －4)(x －5)…(x －12)(x －13)，x ∈N *，x >13可表示为( ) A ．A 10x －3 B ．A 11x －3 C ．A 10x －13 D ．A 11x －13 考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 B解析从(x －3)，(x －4)，…到(x －13)共(x －3)－(x －13)＋1＝11(个)数，所以根据排列数公式知(x －3)(x －4)(x －5)…(x －12)(x －13)＝A 11x －3.4．从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，不同的送法种数为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案 D5．解方程A 42x ＋1＝140A 3x . 考点排列数公式题点解含有排列数的方程或不等式解根据题意，原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ∈N *，(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，整理得4x 2－35x ＋69＝0(x ≥3，x ∈N *)，解得x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝234∉N *，舍去.1．判断一个问题是否是排列问题的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就说，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．2．关于排列数的两个公式(1)排列数的第一个公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式A m n＝n！(n－m)！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用．一、选择题1．A m12＝9×10×11×12，则m等于( )A．3 B．4 C．5 D．6考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 B2．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点排列的概念题点排列的判断答案 B解析由排列的定义知①④是排列问题．3．与A310·A77不相等的是( )A．A910 B．81A88 C．10A99 D．A1010考点排列数公式题点利用排列数公式证明答案 B解析A310·A77＝10×9×8×7！＝A910＝10A99＝A1010，81A88＝9A99≠A1010，故选B.4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )A．6 B．4 C．8 D．10题点列举所有排列答案 B解析列树状图如下：丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．5．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有( ) A ．6个 B ．10个 C ．12个 D ．16个考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案 C解析不同结果有A 24＝4×3＝12(个)． 6．下列各式中与排列数A mn 相等的是( ) A.n ！(n －m ＋1)！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m ) C.n A m n －1n －m ＋1D ．A 1n A m －1n －1考点排列数公式题点利用排列数公式证明答案 D 解析 A mn ＝n ！(n －m )！，而A 1n A m －1n －1＝n ×(n －1)！(n －m )！＝n ！(n －m )！，∴A 1n A m －1n －1＝A mn .7．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )A ．6B ．9C ．12D ．24 考点排列的概念题点列举所有排列答案 B解析这四位数列举为如下： 1 012,1 021,1 102,1 120,1 201， 1 210,2 011,2 101,2 110，共9个．二、填空题8．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．题点列举所有排列答案 12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 解析画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed . 9．若集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *}，则集合P 中共有________个元素．考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 3解析由题意知，m ＝1,2,3,4，由A 34＝A 44，故集合P 中共有3个元素． 10．满足不等式A 7nA 5n >12的n 的最小值为________．考点排列数公式题点解含有排列数的方程或不等式答案 10解析A 7n A 5n ＝n ！(n －7)！n ！(n －5)！＝(n －5)！(n －7)！>12，得(n －5)(n －6)>12，解得 n >9或n <2(舍去)．∴最小正整数n 的值为10.11．2017北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为________．考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案 60解析由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．12．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________.考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案 2解析当x≠0时，有A44＝24(个)四位数，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x，故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2；当x＝0时，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不符合题意，综上可知，x＝2.三、解答题13．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？考点排列的应用题点无限制条件的排列问题解由题意可得A2n＋2－A2n＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14.所以原有车站14个，现有车站16个．四、探究与拓展14．若S＝A11＋A22＋A33＋A44＋…＋A100100，则S的个位数字是( )A．8 B．5 C．3 D．0考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 C解析1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120，而6！＝6×5！，7！＝7×6×5！， (100)＝100×99×…×6×5！，所以从5！开始到100！，个位数字均为0，所以S的个位数字为3. 15．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？考点排列的应用题点无限制条件的排列问题解对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A221＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．11。