高中数学100个热点问题(三)： 排列组合中的常见模型

第80炼 排列组合的常见模型一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。

例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =⨯=种2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。

例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。

从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。

3310785N C C =-=（种）3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。

但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。

例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。

解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。

所以共有213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。

例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有44A 种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有22A 种位置，所以排法的总数为424248N A A =⋅=种 2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是否需要各自排序例如：有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法解：考虑剩下四名同学“搭台”，甲乙不相邻，则需要从5个空中选择2个插入进去，即有25C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。

所以242542480N C A A =⋅⋅=种 3、错位排列：排列好的n 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n 个元素的一个错位排列。

例如对于,,,a b c d ，则,,,d c a b 是其中一个错位排列。

3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种。

以上三种情况可作为结论记住例如：安排6个班的班主任监考这六个班，则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数有多少种？解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班，共有26C 种选法，然后剩下4个班主任均不监考自己班，则为4个元素的错位排列，共9种。

所以安排总数为269135N C =⋅= 4、依次插空：如果在n 个元素的排列中有m 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m 个元素排好位置，再将n m -个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1+）例如：已知,,,,,A B C D E F 6个人排队，其中,,A B C 相对位置不变，则不同的排法有多少种解：考虑先将,,A B C 排好，则D 有4个空可以选择，D 进入队伍后，E 有5个空可以选择，以此类推，F 有6种选择，所以方法的总数为456120N =⨯⨯=种5、不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中6、相同元素分组：将n 个相同元素放入m 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有11m n C --种。

解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n 个元素排成一列，共有()1n -个空，使用()1m -个“挡板”进入空档处，则可将这n 个元素划分为m 个区域，刚好对应那m 个盒子。

例如：将6个相同的小球放入到4个不同的盒子里，那么6个小球5个空档，选择3个位置放“挡板”，共有3520C =种可能7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。

例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？解：可根据使用颜色的种数进行分类讨论（1）使用4种颜色，则每个区域涂一种颜色即可：414N A =（2）使用3种颜色，则有一对不相邻的区域涂同一种颜色，首先要选择不相邻的区域：用列举法可得：{},I IV 不相邻所以涂色方案有：324N A =（3）使用2种颜色，则无法找到符合条件的情况，所以讨论终止总计434448S A A =+=种二、典型例题：例1：某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请12位家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，则不同选择的方法种数有多少思路：本题解决的方案可以是：先挑选出一对夫妻，然后在挑选出两个不是夫妻的即可。

第一步：先挑出一对夫妻：16C第二步：在剩下的10个人中选出两个不是夫妻的，使用间接法：2105C - 所以选择的方法总数为()126105240N C C =-=（种）答案：240种例2：某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ）A. 474种B. 77种C. 462种D. 79种思路：本题如果用直接法考虑，则在安排的过程中还要考虑两节连堂，并且会受到第5,6节课连堂的影响，分类讨论的情形较多，不易求解。

如果使用间接法则更为容易。

首先在无任何特殊要求下，安排的总数为39A 。

不符合要求的情况为上午连上3节：34A 和下午连上三节：33A ，所以不同排法的总数为：333943474A A A --=（种） 答案：A例3：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 60B. 48C. 42D. 36思路：首先考虑从3位女生中先选中相邻的两位女生，从而相邻的女生要与另一女生不相邻，则可插空，让男生搭架子，因为男生甲不站两端，所以在插空的过程中需有人站在甲的边上，再从剩下的两个空中选一个空插入即可。

第一步：从三位女生中选出要相邻的两位女生：23C第二步：两位男生搭出三个空，其中甲的边上要进入女生，另外两个空中要选一个空进女生，所以共有12C 种选法。

第三步：排列男生甲，乙的位置：22A ，排列相邻女生和单个女生的位置：22A ，排列相邻女生相互的位置：22A所以共有212223222248N C C A A A =⋅⋅⋅⋅=种 答案：B例4：某班班会准备从甲，乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲，乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（ ）A. 360B. 520C. 600D. 720思路：因为选人的结果不同会导致安排顺序的不同，所以考虑“先取再排”，分为“甲乙”同时选中和“甲乙只有一人选中”两种情况讨论：若甲乙同时被选中，则只需再从剩下5人中选取2人即可：25C ，在安排顺序时，甲乙不相邻则“插空”，所以安排的方式有：2232A A ⋅，从而第一种情况的总数为：2221532120N C A A =⋅⋅=（种），若甲乙只有一人选中，则首先先从甲乙中选一人，有12C ，再从剩下5人中选取三人，有35C ，安排顺序时则无要求，所以第二种情况的总数为：1342254480N C C A =⋅⋅=（种），从而总计600种答案：C例5：从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”（其中“qu ”相连且顺序不变）的不同排列共有________种思路：从题意上看，解决的策略要分为两步：第一步要先取出元素，因为“qu ”必须取出，所以另外3个元素需从剩下的6个元素中取出，即36C 种，然后在排列时，因为要求“qu ”相连，所以采用“捆绑法”，将qu 视为一个元素与其它三个元素进行排列：44A ，因为“qu ”顺序不变，所以不需要再对qu 进行排列。

综上，共有：3464480C A ⋅=种 答案：480例6：设有编号1,2,3,4,5的五个茶杯和编号为1,2,3,4,5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（ ）A. 30种B. 31种C. 32种D. 36种思路：本题可按照相同编号的个数进行分类讨论，有两个相同时，要先从5个里选出哪两个相同，有25C 种选法，则剩下三个为错位排列，有2种情况，所以2152N C =⋅，有三个相同时，同理，剩下两个错位排列只有一种情况（交换位置），所以3251N C =⋅，有四个相同时则最后一个也只能相同，所以31N =，从而235521131S C C =⋅+⋅+=（种）答案：B例7：某人上10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步；最多能跨3级台阶，称为三阶步，若他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则此人所有可能的不同过程的种数为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12答案：A思路：首先要确定在这6步中，一阶步，二阶步，三阶步各有几步，分别设为,,x y z N *∈，则有62310x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解得：4320,2,4210x x x y y y z z z ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩，因为相邻两步不同阶，所以符合要求的只有321x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，下面开始安排顺序，可以让一阶步搭架子，则二阶步与三阶步必须插入一阶步里面的两个空中，所以共有2种插法，二阶步与三阶步的前后安排共有3种（三二二，三二三，二三三），所以过程总数为236N =⨯=答案：A例8：某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语，现要从中选6人，其中3人负责英语导游，另外三人负责日语导游，则不同的选择方法有_______种思路：在步骤上可以考虑先选定英语导游，再选定日语导游。