高中数学排列组合几种基本方法
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
如何进行高中数学排列组合计算
如何进行高中数学排列组合计算高中数学排列组合计算是高中数学的重要内容之一。
在这一领域，需要掌握一些基本的知识和技巧，才能在考试中获得好成绩。
本文将介绍如何进行高中数学排列组合计算，帮助考生提高成绩。
一、排列组合的基本概念排列组合是高中数学中的一个重要概念，属于离散数学的范畴。
排列指的是从 n 个不同元素中取出 m 个元素排成一列的可能性，记作 P(n,m)。
组合指的是从 n 个不同元素中取出 m 个元素不考虑顺序的可能性，记作 C(n,m)。
其中，n 和 m 必须满足n≥m。
二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法在计算排列 P(n,m) 时，需要使用基本原理。
基本原理指的是将不同的步骤列出来，然后计算各个步骤的可能性，最后将各个步骤的可能性相乘。
对于 P(n,m) 的计算，步骤就是选择 m 个元素然后进行排列，因此有：P(n,m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)例如，从 5 个元素中取出 3 个元素进行排列，有：P(5,3) = 5×4×3 = 602. 组合的计算方法在计算组合 C(n,m) 时，同样需要使用基本原理。
但是，组合需要注意的是，不考虑顺序的情况下，有些排列是等价的，例如ABC 和 BAC。
因此，在计算组合 C(n,m) 时，还需要除以重复的排列数。
具体来说，有：C(n,m) = P(n,m)/m!例如，从 5 个元素中取出 3 个元素进行组合，有：C(5,3) = P(5,3)/3! = 60/6 = 10三、排列组合的应用排列组合是高中数学中的一个广泛应用领域，涉及到许多实际问题。
例如，在一个小区有 5 栋楼房，每栋楼房有 10 个住户，在进行调查时，需要任选3 栋楼房，然后再随机选取一户进行调查。
这个问题涉及到从 5 个不同元素中取出 3 个元素进行组合，然后又需要从每个组合中选择一个元素进行排列，最后得到的结果就是总的调查可能性。
根据排列组合的原理，可得：C(5,3)×P(10,1) = 10×1 = 10因此，总的调查可能性为 10 种。
排列组合问题的几种巧解方法
排列组合问题的几种巧解方法排列组合应用问题是历年高考必考题目，因其内容比较抽象、题型繁多、灵活多变、解题方法独特，与学生原有解题经验甚不相同，而成为高中数学教学的一个难点。
但只要我们认真审题，明确题目属于排列还是组合问题，或是排组混合问题，抓住问题本质特征，把握基本思想，灵活应用基本原理，注意讲究一些基本策略和方法技巧，善于分类讨论，适当转化，就能开拓思路，化难为易，使问题迎刃而解。
求解排列组合问题除了掌握两个基本原理(加法原理和乘法原理)外，没有现成的方法可套，只能根据具体问题灵活采用各种技巧。
本文就此通过一些实例介绍一下解决此类问题的一些常见的技巧。
一、对等法。
在有些问题中，某种限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一，在求解中只要求出全体，就可以得到所求。
例如：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。
并且也避免了问题的复杂性。
解：不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。
二、插入法。
对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素后的空档之中即可。
例如：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。
所涉及问题是排列问题。
解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。
根据乘法原理，共有的不同坐法为种。
排列组合的5种方法
排列组合的5种方法排列组合是数学中一个重要的概念，用于解决许多实际问题。
在这篇文章中，我们将介绍五种常见的方法来解决排列组合问题。
第一种方法是使用乘法原则。
乘法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。
例如，如果有3个人可以选择一个水果和2种颜色的衣服，那么总共有3 * 2 = 6种可能性。
第二种方法是使用加法原则。
加法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件至少有m + n种可能性。
例如，如果有3个人可以选择两种不同的水果，那么至少有3 + 3 = 6种可能性。
第三种方法是使用排列。
排列是指从一组对象中选择有序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行排列，那么排列的数量可以用以下公式来计算：P(n, r) = n! / (n - r)!。
其中，n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。
例如，如果有4个人要站成一排，那么有P(4, 4) = 4! / (4 - 4)! = 4! / 0! = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24种可能性。
第四种方法是使用组合。
组合是指从一组对象中选择无序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行组合，那么组合的数量可以用以下公式来计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!）。
例如，如果有4个人要从中选择2个人进行分组，那么有C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 6种可能性。
第五种方法是使用二项式定理。
二项式定理是一个用于展开二项式的公式。
它可以用于计算排列和组合的值。
二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
排列组合问题的基本解法
第 1 页 共 7 页排列组合问题的基本解法江苏省梁丰高级中学 (215600) 张伟新 排列组合问题主要依据分类计数原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不多，但 由于题目灵活多样，在各级各类考试中经常出现，在数学竞赛活动中尤其突出。
其解题方法 也多种多样，归纳起来，我们一般可用下面的方法来解决。
一、列举法：例1、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的 偶数，不同的取法有 。
（1998年全国高中数学联赛）解：从10个数中取出3个数，使其和为偶数，则这三个数都为偶数或一个偶数二个奇数。
当三个数都为偶数时，有35C 种取法；当有一个偶数二个奇数时，有15C 25C 种取法。
要使其和为不小于10的偶数。
我们把和为小于10的偶数列举出来，有如下9种不同取法： （0，1，3），（0，1，5），（0，1，7），（0，3，5），（0，2，4），（0，2，6），（1，2，3），（1，2，5），（1，3，4）。
因此，符合题设要求的取法有35C +15C 25C －9=51种。
例2、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。
若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也 停止跳动。
那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种。
（1997年全国高中数学联赛）解：如图：青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D 点。
故青蛙的跳法只有下列两种：（1）青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED 两种跳法。
（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定 不到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，AFAF ，ABAF ，ABCB ， ABAB ，AFAB 这6种跳法。
随后的两次跳法各有四种，比如由F 出发的有：FEF ，FED ，FAF ，FAB 共四种。
因此这5次跳法共有 6⨯4=24种不同跳法。
排列组合问题的八种求法(免费)
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种
（ 1）分成三堆，一堆 2 本，一堆 3 本，一堆 1 本； （ 2）平均分成三堆； （ 3）平均分给三个同学； （ 4）分给三个同学，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； （ 5）分给甲 1 本，乙 2 本，丙 3 本。 解： （ 1）不是平均分堆，故有：
C C C
1排列组合问题的八种求法云南昭通鲁甸一中李明健云南昭通站张中华推荐排列组合是高中数学的重点难点内容之一同时也是解决概率问题的重要工具下面举例说明排列组合问题的八种求法
排列组合问题的八种求法
云南昭通鲁甸一中 李明健 云南昭通站 张中华推荐 排列组合是高中数学的重点、难点内容之一，同时也是解决概 率问题的重要 “工具 ”，下面举例说明排列组合问题的八种求法： 一、特殊位置或特殊元素：优先法 例 1：由 0、 1、 2、 3、 4、 5 六个数字可组成多少个没有重复数 字且不能被 10 整除的六位数？ 解法一：先安排首末两个特殊位置，从 1、2、3、4、5 中任取 两个排在首位和末位，然后把 0 和剩余的三个数字排在中间四个位 置上，符合条件的六位数共有 A A 个。
种分法
（ 5）不属平均分堆，故有：
C C C
6 5 1 2 3 3
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种不同的分法
求解完毕，仅以以上几例抛砖引玉，解题时注意积累经验，总 结规律，掌握技巧，定会柳暗花明。
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解法二：先把特殊元素 0 排在中间四个位置的任何一个，然后 把 0 以外的五个数字排在其他五个位置， 可得符合条件的总数共有：
A A 个。
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二、对称（或机会均等）问题用：除法 例 2、 A、 B、 C、 D、 E 五人排成一排，如果 B 必须站在 A 的 右边，则不同的站法有多少种？ 解：B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边的排列情况是对称的（或 B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边机会相等） ，故有：
高中数学排列组合讲解
高中数学排列组合讲解
一、概念介绍
排列组合是一种统计学中常见的概念, 指的是从一组有限的物体中抽取满足一定要求的组合方式。
它涉及从一系列物体中按照一定的规律去选择其中的某几个物体而组合成一个新的组合，并且这种组合总数取决于初始物体个数。
排列组合解决的问题有很多，如从n个数中取出m个数使得它们和最多，最少；从n 个数中取出m个数使得它们积最多，最少等等。
二、排列组合基本公式
（1）排列组合的基本公式为A m n =n×（n－1）×（n－2）……×（n－（m－1）），由此可见，如果m=n时，排列组合的概念与阶乘n! 相同，可以将阶乘式写成A m n 的形式，即A n n = n!。
（2）从n个物体中取出m（m≤n)个物体，排列组合的个数称为组合数，组合数的基本公式为 C m n＝A m n／A m m = n!／（m!×（n－m）！）。
三、排列组合的应用
（1）在实际的实验研究中，通常会对实验因素采用设置不同的处理水平，来研究其对实验结果的影响，此时每个处理水平中的每个因素必须设置多种不同的组合，并将其均匀的分散到每类处理中，这里就需要引入排列组合技术。
（2）对于寻找一组数中满足要求的组合问题，也可以应用排列组合方法。
例如，一个长度为 n 的正整数序列，要求任意挑选 k 个数，使它们的和最大或最小，这是一个组合问题。
（3）排列组合在抽奖、普查、实验设计等中占有重要的作用，如抽取实验样本时，如果采用随机抽取的方式，就要使用到排列组合的思想。
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组( 看作一个元素 ) 参加摆列．例 1: 五人并排站成一排，假如甲、乙一定相邻且乙在甲的右侧，那么不一样的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离 ( 即不相邻 ) 问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两头．例 2：七个人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样排法的种数是。
三、定序问题缩倍法在摆列问题中限制某几个元素一定保持必定次序，可用减小倍数的方法．例 3： A、 B、 C、 D、 E 五个人并排站成一排，假如 B 一定站 A 的右侧 (A、 B 可不相邻 ) ，那么不一样的排法种数有。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的地点上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，这样持续下去，挨次即可达成．例 4：将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、 2、 3、 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不同样的填法有。
五、有序分派问题逐分法有序分派问题是指把元素按要求分红若干组，可用逐渐下量分组法。
例 5：有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人肩负，乙丙各需 1 人肩负，从 10 人中选出 4 人肩负这三项任务，不一样的选法总数有。
六、多元问题分类法元素多，拿出的状况也有多种，可按结果要求，分红不相容的几类状况分别计算，最后总计。
例 6：由数字 0 ，1，2，3，4，5 构成且没有重复数字的六位数，此中个位数字小于十位数字的共有个。
例 7：从 1，2，3， 100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法 ( 不计次序 ) 共有多少种？例 8：从 1，2， 100 这 100 个数中，任取两个数，使其和能被 4 整除的取法( 不计次序 ) 有多少种？七、交错问题会合法某些摆列组合问题几部分之间有交集，可用会合中求元素个数公式n( A B) n( A) n(B) n( A B) 。
排列组合问题常用的解题方法含答案
排列组合问题常用的解题方法含答案高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。
三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻).那么不同的排法种数有。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。
五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。
例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。
六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。
例6：由数字 .组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。
例7：从…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法(不计顺序)共有多少种例8：从.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式=+-?。
n A B n A n B n A B()()()()例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法八、定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置.可先排这个(几个)元素.再排其他元素。
高中数学排列组合问题的几种基本方法
• 练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种 数． （1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．
2015/10/4
解: 如图所示
4 7 A4 A7
→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7
8
4. 隔板法： n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例4. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种. 解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 将16个小球串成一串，截为4段有 C15 455 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有455种 .
例6. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标 原点的直线有_________条. 解：所有这样的直线共有
A 210 条， 1 2 其中不过原点的直线有 A6 A6 180 条，
3 7
15
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
排列组合几种基本方法
排列组合几种基本方法1.直接法例1.用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
2.间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？3.插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3.在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？4.捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4.4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？5.阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。
6.平均分堆问题例6.6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？7.合并单元格解决染色问题例7．某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）8.排列问题例8六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定．9.组合问题例9某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？10.排列组合综合例10(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？(2)计算x ＋y ＋z ＝6的正整数解有多少组；(3)计算x ＋y ＋z ＝6的非负整数解有多少组．546132【针对性训练】1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种。
高考数学必考点：排列组合的13种套路
我们总结一下排列组合概率及统计学，这个在高考中占据17分左右，但是又不是很难的内容。
这一块在高考中一般必有一道大题，一般是第19题12分，基础题在选择填空题中一般会考一题5分，不会很难，比较基础。
类型一、特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素；若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置；若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
这种首先确定排列还是组合的问题，对于首位和末位无须考虑顺序，但是首位末位有优先需求，所以先要排首位和末位，末位必须是奇数，也就是从1，3,5这个里边去挑选一个即可，那首位还不能排0，在排除一个奇数，只剩下4个数可以选择，所以剩下的三位我们直接全排列就可以。
类型二、相邻/相间元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。
审题时一定要注意关键字眼。
类型三、不相邻问题插空策略先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
所以这两个方法的关键字都是相邻，以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。
“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定。
类型四、定序问题倍缩空位插入策略]顺序固定问题用“除法”，对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
当然还可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。
类型五、重排问题求幂策略分房问题又名：住店法，重排问题求幂策略，解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
解答排列组合问题常用的几种途径
体，即为一个“对象”，4 本不同年级的物理书也看成一
个整体，即为另一个“对象”，把两个“对象”排成一排
有
A2 2
种排法；
第二步，对数学书、物理书两个“对象”内部的元素
分别进行排列，数学书“对象”内部的元素有
A3 3
种排列
方法，物理书“对象”内部的元素有
A
4 4
种排列方法.
因此，符合题意的排列方法共有
同元素.将这 10 个相同元素排成一排，元素之间有 9 个
空，选出 2 个空插入隔板，可把 10 个元素分成 3 份，分
配给每个班级，所以共有
C2 9
=
36种
分配方案.
本题为相同元素的分配问题，可采用隔板法对问
题进行求解.隔板法的适用范围较窄，同学们在解题时
需首先确定问题是否为相同元素的分配问题，再采用
A22∙A33∙A
4 4
=
288种
.
本题中要求数学书必须相邻，物理书也必须相
邻，则本题即为相邻问题，可采用捆绑法对问题进行
求解.
二、运用插空法
若问题中要求几个元素不能相邻，则需采用插空
法，即先将无限制条件的元素全排列；再将指定的不
能相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从
而将各个元素按照题目要求排列好.
隔板法求解.
四、借助倍缩法
有些问题中要求部分元素有固定的顺序，此时我
们可用倍缩法进行求解.先将所有元素进行全排列；然
后用所有元素的全排列数除以定序元素的全排列数，
即可得到问题的答案.
例 4.现将 4 名男生、3 名女生（身高各不相同）这 7
名学生排成一行.若女生按照从矮到高的顺序排列（从
解排列组合问题的几种方法
解排列组合问题的几种方法郑勇山东省济宁市微山县第三中学272195排列组合问题是高中数学的重点和难点之一，也是新教材中学习概率的基础，是近年高考必考内容。
排列组合是研究计数问题的策略学，首先根据题意弄清是排列还是组合问题以及排列组合混合问题，抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则。
分析计数原理满足两个条件，①类与类互斥，②总类完备。
分步计数原理的特征是，分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
这是解决排列组合问题的最基本的方法手段。
具体的题中，这两种原理交叉结合来解决问题。
下面谈一些粗浅的认识及常用的方法，仅供参考。
1、特殊元素·优先法对于有要求的特殊元素，特殊位置要优先安排，在做题时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
合理分配，准确分步是确保解决问题的前提。
例1 ，0、3、5、6、8这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有几个？分析：这里百位及个位是特殊位置，0是特殊元素，若以“元素优先”考虑，则先对0分两类。
第一类：这三位数中含有0 ，再分两类：①0在个位上分两步，（首先个位安排0，百位十位从4个元素中任取2个排序有A24）有A11A24个。
②0不在个位上分三步（首先安排0在十位上，再安排好个位，从两个偶数中取一个有A12，最后安排百位有A13）有A11A12A13个；第二类：这三位数不含有０，此时只有个位是特殊位置分两步（先安排个位有A12再安排十位百位有A23）有A12A23。
由分类计数原理偶数共有（A11A24+A11A12A13）+A12A23=30个，若从“位置优先”考虑，可分0再个位和0不再个位两类：①0在个位有A24,②0 不在个位有A12A13A13，由分类计数原理得偶数共有A24+A12A13A13=30个。
2、间接法对含有否定字眼的问题可以从总体中把不符合要求的删去，此时注意既不能多减又不能少减。
例2，7人按甲不在排头，乙不在排尾站成一排，有多少种排列方法。
高中数学排列组合二十一种方法
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A = 二.相邻元素捆绑策例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！H FD C AAB C D E AB E GH G F练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
高中数学-排列组合13种方法精讲
排列组合1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
3、排列及排列数：（1）排列：排列数：从n个不同元素中取出m个（m≤n）个元素的所有排列的个数，（2）排列数公式()()1.nnA mn=m-⋅⋅⋅-1+n全排列：4、组合及组合数：（1）组合：组合数：（2）\计算公式：.5、组合数的性质：1、捆绑与插空法：例1．8位同学排成一队，问：⑴甲乙必须相邻，有多少种排法？⑵甲乙不相邻，有多少种排法？⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种排法？⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，有多少种排法？⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，有多少种排法？例2．某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?例3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）2、定序问题缩倍法：例1．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。
现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）例2．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A,B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种例3．从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?3、 标号排位问题分步法：例1．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种例2．将标有1, 2,… 10的10个小球投入同样标有1, 2,… 10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?4、 有序分配问题逐分法：例1．有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）种A. 1260B. 2025C. 2520D. 5040例2．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）种A 、4448412C C C B 、44484123C C C C 、3348412A C C D 、334448412A C C C例3．有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？（1） 平均分给甲、乙、丙三人；（2） 甲得一本，乙得两本，丙得三本.5、 隔板法：例1．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？例2．求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数例3．将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于盒子的编号数,则不同的装法共有多少种?6、多元问题分类法：例1．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A. 210个B. 300个C. 464个D. 600个例2．（1）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（2）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）共有多少种？7、至少问题间接法：例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种A. 140B. 80C. 70D. 35例2．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。
排列组合基本方法
排列组合基本方法排列组合基本方法是数学中常见的一种计算方法，用于求解在一定条件下物体的排列和组合问题。
在实际生活中，排列组合方法被广泛运用于统计学、概率论、组合数学等领域，具有重要的理论意义和实际应用价值。
首先，我们来了解一下排列和组合的概念。
排列指的是将一组物体按照一定的顺序进行排列，而组合则是从一组物体中选择若干个物体，不考虑顺序。
下面分别介绍排列和组合的基本方法：一、排列的计算方法：1. 全排列：全排列是指将一组不同的物体按照一定的顺序进行排列，不允许重复。
全排列的计算方法是通过阶乘来求解，即n个物体的全排列数为n!，其中n表示物体的个数。
2. 循环排列：循环排列是指将一组物体按照一定的顺序排列，允许循环移位。
循环排列的计算方法是通过n个物体的全排列数除以n，即n!/n。
3. 有重复元素的排列：当一组物体中有重复的元素时，排列的计算方法需要考虑重复的情况。
此时，排列数为n!/n1!n2!...nk!，其中n为总的物体数，n1、n2、...、nk为重复元素的个数。
二、组合的计算方法：1. 组合的定义：组合是指从一组物体中选择若干个物体，不考虑顺序。
组合的计算方法是通过组合数的公式来求解，即C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示物体的总数，m表示选择的物体数。
2. 组合的性质：组合数具有一些重要的性质，如C(n,0)=1，C(n,n)=1，C(n,1)=n，C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)等。
3. 组合的应用：组合数在概率计算、组合数学、排列组合等领域有着广泛的应用，如二项式定理、二项分布、组合恒等式等。
总的来说，排列组合的基本方法是数学中重要的计算工具，能够帮助我们解决各种实际问题。
通过掌握排列组合的基本概念和计算方法，我们能够更好地理解和运用数学知识，提高解决问题的能力和效率。
排列组合方法的应用不仅局限于数学领域，还可以在生活和工作中帮助我们进行合理的组合和排列，提高工作效率和创造力。
高中数学-排列组合21种模型
高中数学-排列组合21种模型1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.)1()2)(1(+---=m n n n n A m n )!(!m n n -=2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m nm n +---== )!(!!m n m n -=1、特殊元素和特殊位置优先策略：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
（转化思想，转特殊选排为任意，便能用排列数，减少分步次数）例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =2.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.（同样是转化思想）例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
高中数学同步讲义(新教材)：排列组合18种常考考法归类 (教师版)
环排问题 围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形
线排法
多排问题 单排法 小集团题 先整体后 局部法 两类元素 的排列， 组合选位 法 分组与分 配问题
展成直线，一般地，n 个不同元素圆形排列，共有（n 1)!种排法。如果从 n 个不同元素中取出 m
个元素进行圆形排列，共有问题，可归结为一排考虑，再分段处理。
解小集团排列问题，先整体后局部，再结合其他策略进行处理。
将 m 个元素 a，n 个元素 b 进行全排列，我们可以从 m＋n 个位置中选择 m 个位置安置元素 a，
剩下的
n
个位置安排元素
b，其方法数有
优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析为主， 需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理 其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同 时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元 素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑 其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多 个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.部分习题创设的情境较 为复杂，还需采用捆绑法等其他一些方法.总之，无论采用何种方法，应清楚形成的空的数量. 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问 题．定序问题可以用倍缩法（消序法），还可用空位法。①消序法：将 m＋n 个元素排成一列，
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4.消序法(留空法) 解: 如图所示 变式：如下图所示,有5 B 横8竖构成的方格图,从 A到B只能上行或右行 共有多少条不同的路线? 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B A ④顺序一定的排列， 将一条路经抽象为如下的一个 11 A11 有 排法(5-1)+(8-1)=11格:
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
2013-11-25 11
巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒， 则不同的投法 的种数是（ B ） A. 3
4
B. 4
3
C. A
3 4
D. C
3 4
2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种， 分别种在不同土质的三块地上， 其中黄瓜必须种 植，不同的种植方法共有（ B ） A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种
4. 5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是 （C ） A.6 B.12 C.72 D.144
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小结 ①分堆问题； ②解决排列、组合问题的一些常用方法： 错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、 剔除法、插孔法、消序法(留空法).
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3.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的 排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素， 然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解：（1）分两步进行： 第一步，把甲乙排列(捆绑)： ♀♀♀♀♀♀ 甲乙 2
种分法；
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式.
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2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一 般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以 解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
2013年11月25日星期一
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1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分； ②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分； ⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘 法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当 作元素个数作全排列.
例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标 原点的直线有_________条. 解：所有这样的直线共有
3 A7 210 条， 1 2 其中不过原点的直线有 A6 A6 180 条，
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巩固练习
3. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（ A ）
4 4 C12C84 C 4 种 A. 4 4 C12C84 C 4 种 B.3
4 3 C12C84 A3 种 C.
4 4 C12C84 C 4 D. 种 3 A3
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法. 故所求方法有15×9＝135种.
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7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一 种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
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例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有A5 =120种排法
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第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：
2 有A6 =30种插入法
共有120 30＝3600种排法
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几个元素不能相邻 时,先排一般元素， 再让特殊元素插孔.
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5.剪截法（隔板法）： n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种. 解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 C15 455 将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有455种 .
有A2＝2种捆法
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A ＝120种排法
5 5
共有2 120＝240种排法
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几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素，再与 其它的进行排列.
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4.消序法(留空法) 几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再 消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置 排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？ 5 解法1：将5个人依次站成一排，有 A5 种站法， 2 然后再消去甲乙之间的顺序数 A2 A55 3 5 4 3 A5 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A22 解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好， 3 有 A5 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 3 3 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A5 1 A5
A 种排法. 其中必有四个↑和七个→组成! 所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经, 5 4 C(511) (81) C11 条不同的路径. 所以从A到B共有
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A44 A77
→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7
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6.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44. 例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种. C62 15 解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有
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1. 分组（堆）问题
例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要 求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同 的发包方式？ 解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴先将四项工程分为三“堆”，有
2 1 1 C4 C2C1 6 2 A2
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5.剪截法： n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个， 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题. 3 将10个小球串成一串，截为4段有 C9 84 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有84种 .