离散数学-网络模型
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Xi,j =
Fi,j如果(i,j)是非一致定向的边
13
令 ∆ = mini {Xi,j} i,j= 1,...,n
定义 Fi,j*=
Fi,j
(i,j) 不在 P中
Fi,j + ∆ (i,j)是P中定向的边
Fi,j - ∆ (i,j)是P中非定向的边
则F* = {Fi,j*} 是一个流量比 F 增值 ∆d的流.
14
算法思想
1. 从流量0开始 2. 查找满足定理的通路，如果不存在，结
束，流量就是最大的
3. 通路增加流量∆，goto 2
15
输入：网络G，容量C，a,z,n 输出：最大流量F Procedure max_flow(a,z,C,v,n) // v的标记为 (predecessor(v)/前趋结
24
点，val(v)/结点v的流量增量
16
17
//没有新的通路
18
//正向边
19
//反向边
20
21
//增量F
22
b
2,0 c (b, 2)
3,0
(a, 3)
4,0
a
(-, ∞)
b 2,0
(c, 2)
(a, 5)
5,0
d
4,0 2,0 e
b
2,2 c (d, 2)
3,2
(a, 1)
4,2
a
(-, ∞)
b 2,0 (c, 2)
(a, 5)
5,0
(d, 2) 4,0
d
2,0 e
23
b 2,2 c
3,2
(a, 1)
4,4
a
(-, ∞)
b 2,2 (e, 2)
(a, 3)
5,2
d
(d, 2) 4,0 2,0 e
b 2,2 c
3,2
(a, 1)
4,4
a
(-, ∞)
b 2,2
(a, 1)
4,2
5,4
d
2,2 e
离散数学
黄晓宇 HuangSir@china.com.cn
1
本讲内容
网络模型的基本概念 最大流算法 最大流最小割 匹配
2
引例
b 3 码头a
5 d
2c 4
2 4
2e
炼油厂z
求出从码头到炼油厂的最大流量
3
定义
一个传输网络是一个满足下列条件的简 单加权有向图
1. 一个源 2. 一个汇 3. 有向边(i,j)的权 Cij 是非负数，称为容量
P458：例10.1.9 P459：习题1～7
8
最大流算法
传输网络G的一个最大流量是具有最大值 的流量，最大流可能存在多个；
基本思想：从初始流量开始，反复增加， 直至不能再增大。
9
通路
p= (v0, v1, …, vn)，v0=a，vn=z 是从a到z的 一条通路；
如果在p中边e是从 vi-1 指向 vi 则称是定向 的，否则称是非定向的
10
通路（az）
11
四种情况
3，1 3，2
4，1 4，0
3，2 3，3
5，1 5，2
12
定义
设P是网络G中从 a 到 z 的通路，其中容 量为 C，流量为 F, 满足：
I. 对P中定向的边 (i,j), Fi,j < Ci,j II. 对P中非定向的边 (i,j), 0 < Fi,j
Ci,j – Fi,j如果(i,j)一致定向的边
起点a的流出流量＝终点z的流入流量，这个流 量称作流量F的值
网络流中的核心问题：最大流量
b
3,2
码头a
5,3
d
2,2 c 4,3
2,1 4,2
2,2 e
炼油厂z
6
超级源、汇
6 b4A
6 b4A
w1
∞ w1
w2
3
22 c
∞3 a w2
w3 3
34
∞
d
B
∞
2Baidu Nhomakorabea
z
c
∞
34
w33 d
B
7
使用网络流表示问题
一个网络的流量是对每边赋流量值，该 值不超过所在边的容量。
4
定义（二）
G是一个传输网络， Cij是 (i,j)的容量。 G 的一个流量F 赋予 (i,j) 值Fij，满足：
Fij ≤ Cij
对非源点和收点i和j，有
Fij Fij
中间节点j 的流出流i量 ＝流入流量
5
定义（三）
网络流量
Fi,j如果(i,j)是非一致定向的边
13
令 ∆ = mini {Xi,j} i,j= 1,...,n
定义 Fi,j*=
Fi,j
(i,j) 不在 P中
Fi,j + ∆ (i,j)是P中定向的边
Fi,j - ∆ (i,j)是P中非定向的边
则F* = {Fi,j*} 是一个流量比 F 增值 ∆d的流.
14
算法思想
1. 从流量0开始 2. 查找满足定理的通路，如果不存在，结
束，流量就是最大的
3. 通路增加流量∆，goto 2
15
输入：网络G，容量C，a,z,n 输出：最大流量F Procedure max_flow(a,z,C,v,n) // v的标记为 (predecessor(v)/前趋结
24
点，val(v)/结点v的流量增量
16
17
//没有新的通路
18
//正向边
19
//反向边
20
21
//增量F
22
b
2,0 c (b, 2)
3,0
(a, 3)
4,0
a
(-, ∞)
b 2,0
(c, 2)
(a, 5)
5,0
d
4,0 2,0 e
b
2,2 c (d, 2)
3,2
(a, 1)
4,2
a
(-, ∞)
b 2,0 (c, 2)
(a, 5)
5,0
(d, 2) 4,0
d
2,0 e
23
b 2,2 c
3,2
(a, 1)
4,4
a
(-, ∞)
b 2,2 (e, 2)
(a, 3)
5,2
d
(d, 2) 4,0 2,0 e
b 2,2 c
3,2
(a, 1)
4,4
a
(-, ∞)
b 2,2
(a, 1)
4,2
5,4
d
2,2 e
离散数学
黄晓宇 HuangSir@china.com.cn
1
本讲内容
网络模型的基本概念 最大流算法 最大流最小割 匹配
2
引例
b 3 码头a
5 d
2c 4
2 4
2e
炼油厂z
求出从码头到炼油厂的最大流量
3
定义
一个传输网络是一个满足下列条件的简 单加权有向图
1. 一个源 2. 一个汇 3. 有向边(i,j)的权 Cij 是非负数，称为容量
P458：例10.1.9 P459：习题1～7
8
最大流算法
传输网络G的一个最大流量是具有最大值 的流量，最大流可能存在多个；
基本思想：从初始流量开始，反复增加， 直至不能再增大。
9
通路
p= (v0, v1, …, vn)，v0=a，vn=z 是从a到z的 一条通路；
如果在p中边e是从 vi-1 指向 vi 则称是定向 的，否则称是非定向的
10
通路（az）
11
四种情况
3，1 3，2
4，1 4，0
3，2 3，3
5，1 5，2
12
定义
设P是网络G中从 a 到 z 的通路，其中容 量为 C，流量为 F, 满足：
I. 对P中定向的边 (i,j), Fi,j < Ci,j II. 对P中非定向的边 (i,j), 0 < Fi,j
Ci,j – Fi,j如果(i,j)一致定向的边
起点a的流出流量＝终点z的流入流量，这个流 量称作流量F的值
网络流中的核心问题：最大流量
b
3,2
码头a
5,3
d
2,2 c 4,3
2,1 4,2
2,2 e
炼油厂z
6
超级源、汇
6 b4A
6 b4A
w1
∞ w1
w2
3
22 c
∞3 a w2
w3 3
34
∞
d
B
∞
2Baidu Nhomakorabea
z
c
∞
34
w33 d
B
7
使用网络流表示问题
一个网络的流量是对每边赋流量值，该 值不超过所在边的容量。
4
定义（二）
G是一个传输网络， Cij是 (i,j)的容量。 G 的一个流量F 赋予 (i,j) 值Fij，满足：
Fij ≤ Cij
对非源点和收点i和j，有
Fij Fij
中间节点j 的流出流i量 ＝流入流量
5
定义（三）
网络流量