苏北四市2018届高三第一次调研测试数学试题

苏北四市2018届高三第一次调研测试数学试题2018.1参考公式：1.柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面面积，h 是高．2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B =U ▲ ． 2．已知复数2i 2iz +=-（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．3．函数y =的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．8．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =P 到直线:0l x +=的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}na 满足a 13579=10，a 8222=36，则a 11的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)xy r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14.如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC == ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则·的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在△中，角所对的边分别为，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值； ⑵若13c =，求△的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=o ，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.（第14A DC E17．(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 ，设∠θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S2．⑴求S关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，（第16且过点3 1 2(，)为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF分别交椭圆于,C D两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC=，求BFFD的值；⑶设直线，的斜率分别为k12，是否存在实数m，使得k21，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln()f x x axg x x a a=++ =-∈R，．⑴当1a=时，求函数()()()h x f x g x=-的极值；⑵若存在与函数()f x，()g x的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．（第1820．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R .⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值；⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD,CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：2=⋅-⋅AB BE BD AE ACB ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x tl y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11A C 的中点．以{,,}FA FB FG u u u r u u u r u u u r为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -．⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； ⑵求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ． ⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．549．4 10．．11 12．1]- 13．[2,2]- 14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A =， 所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. (4)分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分（2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B =， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin 50C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，………………………12分所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. (14)分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点， 所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点， 所以1//,PM B N 且1PM B N =. (2)分所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ， 所以//MN 平面11ABB A . (6)分（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ，又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=o ，所以1111B C B A ⊥， 面11ABB A I 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ⊂面11ABB A ， 所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ⊥， 又因为111=NB AB B I，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分而AN ⊂面1AB N ， 所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==，…………………………………………………………2分 在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分 所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<< ……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==- (8)分设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x =当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以()f x在x 时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ=时，侧面积S取得最大值， …………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ====答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为．…………14分18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ (2)分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF方程为3430x y --=， ……………………………………………6分由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=，因为x x =是该方程的一个解，所以C点的横坐标8552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--，同理，D点坐标为085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-， 即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+'=+-=………………………………………………2分所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；…………………4分（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同， 则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得： 222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ………………………………………………8分设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x+-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立，所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分 又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥ ……………………………………14分因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立；即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x=-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥), 所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=，……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠， 所以12nn b b -=，故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分（2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ）， 当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ，①当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得2213q q q q ++=+λμ，②当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ，③②①q ，得21q =λ ， ③②q ，得31q =λ ，解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列， 故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分（3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ． (12)分由12a =，23a =，12λ=，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =， 所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n n a a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-L L L ， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AEAF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅，∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………5分所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． (10)分 C.把直线方程12:12x tl y t=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． (3)分将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=， 即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d ==所以直线l与圆C相切.…………………………………………………………………10分D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， 所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分22．（1）因为11,2AB AA==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -，所以(1,0,0)=-u u u rAC，1(,2=u u u rBE ， ………………………………………2分记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,||4α-⨯=<>==u u u r u u u rAC BE ，所以直线AC和BE所成角的余弦值为． ………………………………………4分 （2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ，因为2FB =u u u r ，11(,0,2)2FC =-u u u u r ，则111101202FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u u r m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ……………………………6分设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ，因为1(22CB =u u u r，1(0,0,2)CC =u u u u r ，则221210220CB x y CC z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u r u u u u r n n，取2x =1,0)=-n ………………………8分cos ,∴<>==m n 根据图形可知二面角1F BCC --为锐二面角，所以二面角1F BCC --的余弦值为……………………………………10分23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ， 则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………2分n=，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=， 所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠ (4)分（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ，由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'=y ，所以121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+所以1122=-t y t，3223=+y t t ， (6)分所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t tt=+-+=++>．……………………………………8分令351()222f t t t t=++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t'<得0t<<f t'>得t>()0所以()+∞单调递增，f t在区间单调递减，在)所以当t=()f t取得极小值也是最小值，即AB取得最小值此时21s t=+=．……………………………………………………………10分。