医药数理统计习题答案解析

第一章数据的描述和整理
一、学习目的和要求
1. 掌握数据的类型及特性；
2.掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法；
3.掌握描述数据分布的集中趋势、离散程度和分布形状的常用统计量；
4.能理解并熟练掌握样本均值、样本方差的计算；
5.了解统计图形和统计表的表示及意义；
6. 了解用Excel软件进行统计作图、频数分布表与直方图生成、统计量的计算。

二、容提要
（一）数据的分类
（二）常用统计量
1、描述集中趋势的统计量
2、描述离散程度的统计量
3、描述分布形状的统计量
* 在分组数据公式中，m i ， f i 分别为各组的组中值和观察值出现的频数。

三、综合例题解析
例1．证明：各数据观察值与其均值之差的平方和（称为离差平方和）最小，即对任意常数C ，有
2
21
1
()()n
n
i
i i i x
x x C ==-≤-∑∑
证一：设 21
()()n
i i f C x C ==-∑
由函数极值的求法，对上式求导数，得
1
1
()2()22, ()2 n n
i i i i f C x C x nC f C n =='''=--=-+=∑∑
令 f '(C )=0，得唯一驻点
1
1= n
i i C x x n ==∑
由于()20f x n ''=>，故当C x =时f (C )y 有最小值，其最小值为
21
()()n
i i f x x x ==-∑。

证二：因为对任意常数C 有
2
2
22
221
1
1
1
1
2
2221
2()()(2)
2(2)
()0
n
n n n n
i
i i
i
i i i i i i n
i i x
x x C x nx x C x nC nx C x nC n x Cx C n x C ======---=---+=-+-=--+=--≤∑∑∑∑∑∑
故有
2
21
1
()()n
n
i
i i i x
x x C ==-≤-∑∑。

四、习题一解答
1．在某药合成过程中，测得的转化率（%）如下：
94.3 92.8 92.7 92.6 93.3 92.9 91.8 92.4 93.4 92.6 92.2 93.0 92.9 92.2 92.4 92.2 92.8 92.4 93.9 92.0 93.5 93.6 93.0 93.0 93.4 94.2 92.8 93.2 92.2 91.8 92.5 93.6 93.9 92.4 91.8 93.8 93.6 92.1 92.0 90.8 （1）取组距为0.5，最低组下限为90.5，试作出频数分布表； （2）作频数直方图和频率折线图；
（3）根据频数分布表的分组数据，计算样本均值和样本标准差。

解：（1）所求频数分布表：
转化率的频数分布表
转化率分组频数频率累积频率
90.5～ 1 0.025 0.025
91.0～0 0.00 0.025
91.5～ 3 0. 0.10
92.0～11 0.275 0.375
92.5～9 0.225 0.60
93.0～7 0.175 0.775
93.5～7 0.175 0.95
94.0～94.5 2 0.05 1.00 （2）频数直方图：
频率折线图：
（3）由频数分布表可得
转化率分组 组中值m i 频数 90.5～ 90.75 1
91.0～ 91.25 0 91.5～ 91.75 3 92.0～ 92.25 11 92.5～ 92.75 9 93.0～ 93.25 7 93.5～ 93.75 7 94.0～94.5
94.25
2
则 825.9240
3713
40225.94025.91175.90181==⨯++⨯+⨯=
≈∑=i i i f m n x Λ i i i f x m n S ∑=--≈8
1
22
)(11 =
39
1
[(90.75－92.825)2×1+(91.25－92.825)2×0+…+(94.25－92.825)2×2] =0.584
或者 )(118
1
22
2
∑=--≈
i i i x n f m n S 584.0)76.9240225.94025.91175.90(39
1
2222=⨯-⨯++⨯+⨯=
Λ 2S S ==584.0≈0.7642
2．测得10名接触某种病毒的工人的白细胞（109/L ）如下：
7.1，6.5，7.4，6.35，6.8，7.25，6.6，7.8，6.0，5.95 （1）计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。

（2）求出该组数据对应的标准化值； （3）计算其偏度。

解：（1）75.6795.55.61.710
1
=+++=∑=Λi i x ，n =10
=+++=∑=22210
1
2
95.55.61.7Λi i
x
462.35
样本均值775.610
75
.6711==
=∑=n i i x n x 方差)(11122
2
∑=--=
n i i x n x n S 371.0)775.61035.462(9
12=⨯-= 标准差2S S ==371.0≈0.609
标准误193.040
609.0==
=
n
S S x
变异系数CV =
%100||⨯x S
=
%100775
.6609.0⨯=8.99%； （2）对应的标准化值公式为
609
.0775
.6-=-=
i i i x S x x u 对应的标准化值为
0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.355； （3）3
3)2)(1()(S
n n x x n S i k ---=
∑=0.204。

3. 已知某年某城市居民家庭月人均支出分组数据如下表所示
按月人均支出分组（元）
家庭户数占总户数的比例（%）
200以下 200～ 500～ 800～
1.5 18.2 46.8 25.3
1000以上 8.2 合计
100
试计算（1）该市平均每户月人均支出的均值和标准差； （2）并指出其月人均支出的中位数与众数所在组。

解：（1）由原分组数据表可得
支出分组（元）
组中值 比例（%）
200以下 200～ 500～ 800～ 1000以上
100 350 650 900 1100
1.5 18.2 46.8 25.3 8.2
则 3.6872.811002.183505.1100100
1
151=⨯++⨯+⨯=
≈∑=）（i i i f m n x Λ )(115
1
22
2
∑=--≈
i i i x n f m n S 39.524683.68752.811002.183505.110099
12222=⨯-⨯++⨯+⨯=
）
（Λ 06.22939.524682===S S ；
（2）由原分组数据表可得
支出分组（元）
比例（%）
累积比例（%）
200以下 200～ 500～ 800～ 1000以上
1.5 18.2 46.8 25.3 8.2
1.5 19.7 66.5 91.8 100
中位数所在组，即累积比例超过50的那个最低组，即为500～组。

众数所在组是频数即比例最大的组，也是500～组。

4．设x 1, x 2, …，x n 和y 1, y 2, …，y n 为两组样本观察值，它们有下列关系：
b
a
x y i i -=
i =1,2,…,n 其中a 、b 为常数且b ≠0，求样本均值x 与y 及样本方差2x S 和2
y S 之间的关系。

解：b a
x n na x n b b a x n y n y n i i
n i i n i i -=-=-==∑∑∑===)1(1)(111
11 ∑∑∑===--=----=--=n i n i n i i y
b
x x n b a x b a x n y y n S 121212
2)(11)(11)(11 22
1
221)(111x n i i S b x x n b =--=∑=。

五、思考与练习
（一）填充题
1． 统计数据可以分为 数据、 数据、 数据、 据等三类，其中 数据、 数据属于定性数据。

2． 常用于表示定性数据整理结果的统计图有 、 ；而 、 、 、 等是专用于表示定量数据的特征和规律的统计图。

3. 用于数据整理和统计分析的常用统计软件有 等。

4. 描述数据集中趋势的常用测度值主要有 、 、 和 等，其中最重要的是 ；描述数据离散程度的常用测度值主要有 、 、 、 等，其中最重要的是 、 。

（二）选择题
1. 各样本观察值均加同一常数c后( )
A．样本均值不变，样本标准差改变B．样本均值改变，样本标准差不变
C．两者均不变 D. 两者均改变
2．关于样本标准差，以下哪项是错误的（）。

A．反映样本观察值的离散程度B．度量了数据偏离样本均值的大小
C．反映了均值代表性的好坏D．不会小于样本均值
3．比较腰围和体重两组数据变异度大小宜采用（）
A．变异系数（CV）B．方差（S2）
C．极差（R）D．标准差（S）
（三）计算题
1. 在某次实验中，用洋地黄溶液分别注入10只家鸽，直至动物死亡。

将致死量折算至原来洋地黄叶粉的重量。

其数据记录为（单位：mg/kg）
97.3，91.3，102，129，92.8，98.4，96.3，99.0，89.2，90.1
试计算该组数据的样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。

六、思考与练习参考答案
（一）填充题
1. 定类，定序，数值，定类，定序
2. 条形图、圆形图；直方图、频数折线图、茎叶图、箱形图
3.SAS、SPSS、Excel
4. 均值、众数、中位数，均值，极差、方差、标准差、变异系数，方差、标准差
（二）选择题
1. B；
2.D；
3.A
（三）计算题
1．均值98.54、方差132.27、标准差11.501、标准误3.637、变异系数11.67%。

第二章随机事件与概率
一、学习目的和要求
1.掌握事件等的基本概念及运算关系；
2.熟练掌握古典概率及计算；
3.理解统计概率、主观概率和概率的公理化定义；
4.熟练掌握概率的加法公式、乘法公式及计算；
5.理解并掌握条件概率与事件独立性的概念并进行计算；
6.掌握并应用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。

二、容提要
（一）基本概念
（二）事件间的关系
（三）事件的运算规律
（四）概率的定义
（五）概率的计算公式
三、综合例题解析
例1 从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。

现从该池中任意捉来50条鱼，发现其中有两条有记号，问池大约有多少条鱼？
解：设池大约有n 条鱼，令
A ={从池中捉到有记号鱼}
则从池中捉到有记号鱼的概率
P (A )=n
100 由统计概率的定义知，它近似于捉到有记号鱼的频率f n (A ) =
502，即
50
2100≈n 解之得n =2500，故池大约有2500条鱼。

例2 口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求总值超过一角的概率。

解一：令A ={总值超过一角}，现将从10个硬币中任取5个的每种取法作为每个基本事件，显然本例属于古典概型问题，可利用组合数来解决。

所取5个硬币总值超过一角的情形，其币值由大到小可根据其中有2个伍分、有1个伍分和没有伍分来考虑。

则
252126)(510
2533122523123822=++=C C C C C C C C C A P =0.5。

解二：本例也可以先计算其对立事件
A ={总值不超过一角}
考察5个硬币总值不超过一角的情形，其币值由小到大先根据壹分硬币、贰分硬币的不同个数来计算其有利情形的组合数。

则
2521261)(1)(1)(510
332512132335154555-=++++-=-=C C C C C C C C C C A P A P =0.5 或 2521261)1)(1)(510
3513451258-=++-=-=C C C C C C A P A P （=0.5 例3 将n 个人等可能地分配到N （n ≤N ）间房中去，试求下列事件的概率：
（1）A ={某指定的n 间房中各有一人}；
（2）B ={恰有n 间房，其中各有一人}；
（3）C ={某指定的房中恰有m （m ≤n ）个人}。

解：把n 个人等可能地分配到N 间房中去，由于并没有限定每一间房中的人数，故是一可重复的排列问题，这样的分法共有N n 种。

（1）对事件A ，对指定的n 间房，第一个人可分配到该n 间房的任一间，有n 种分法；第二个人可分配到余下的n －1间房中的任一间，有n －1种分法，以此类推，
得到A 共含有n !个基本事件，故
n N n A P !
)(=
（2）对事件B ，因为n 间房没有指定，所以可先在N 间房中任意选出n 间房（共有n N C 种选法），然后对于选出的某n 间房，按照上面的分析，可知B 共含有n N C ·n ！个基本事件，从而
n n N N n C B P !
)(⋅=
（3）对于事件C ，由于m 个人可从n 个人中任意选出，故有m n C 种选法，而其余
n －m 个人可任意地分配到其余的N －1间房中，共有(N －1)n -m 种分配法，故C 中共含
有m n C ·(N －1)n -m 个基本事件，因此
m n m m n n m
n m n N
N C N N C C P ---=-=)11()1()1()( 注意：可归入上述“分房问题”来处理的古典概型的实际问题非常多，例如：
（1）生日问题：n 个人的生日的可能情形，这时N =365天（n ≤365）；
（2）乘客下车问题：一客车上有n 名乘客，它在N 个站上都停，乘客下车的各种可能情形；
（3）印刷错误问题：n 个印刷错误在一本有N 页的书中的一切可能的分布（n 不超过每一页的字符数）；
（4）放球问题：将n 个球放入N 个盒子的可能情形。

值得注意的是，在处理这类问题时，要分清什么是“人”，什么是“房”，一般不能颠倒。

例4（1994年考研题）设A ，B 为两事件，且P (A )=p ，P (AB )=)(B A P ，求P (B )。

解：由于
)],()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=+-=+=
现因为P (AB )=)(B A P ，则
)()()(1)(AB P B P A P AB P +--=
又P (A )=p ，故
p A P B P -=-=1)(1)(。

注意：事件运算的德·摩根律及对立事件公式的恰当应用。

例5 设某地区位于河流甲、乙的交汇处，而任一何流泛滥时，该地区即被淹没。

已知某时期河流甲、乙泛滥的概率分别为0.2和0.3，又当河流甲泛滥时，“引起”河流乙泛滥的概率为0.4，求
（1）当河流乙泛滥时，“引起”河流甲泛滥的概率；
（2）该时期该地区被淹没的概率。

解：令A ={河流甲泛滥}，B ={河流乙泛滥}
由题意知
P (A )=0.2，P (B )=0.3，P (B |A )=0.4
再由乘法公式
P (AB )=P (A )P (B |A)=0.2×0.4=0.08，
则（1）所求概率为
267.03
.008.0)()()|(===B P AB P B A P （2）所求概率为
P (A +B )=P (A )+P (B )－P (AB ) =0.2+0.3－0.08=0.42。

例6 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求P (A )。

解：由题设可知因为A 和B 相互独立，则
P (AB ) = P (A )P (B )，
再由题设可知
9
1)()()(=
=B P A P B A P ，
)()(B A P B A P =
又因为
)()(B A P B A P =，
即 P (A －B ) = P (B －A )，
由事件之差公式得
)()()()(AB P B P AB P A P -=-
则有P (A ) = P (B )，从而有
)()(B P A P =
故有
3
1)( ,91))((2==A P A P 即 3
2)(1)(=-=A P A P 。

例7（1988年考研题） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0，0.8，0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求
（1）顾客买下该箱的概率α；
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率β。

解：由于玻璃杯箱总共有三类，分别含0，1，2只残次品。

而售货员取的那一箱可以是这三类中的任一箱，顾客是在售货员取的一箱中检查的，顾客是否买下这一箱是与售货员取的是哪一类的箱子有关系的，这类问题的概率计算一般可用全概率公式解决，第二问是贝叶斯公式也即条件概率问题。

首先令 A ={顾客买下所查看一箱}；
B ={售货员取的箱中恰好有i 件残次品}，i =0，1，2。

显然，B 0，B 1，B 2构成一组完备事件组。

且
.19
12)(,54)(,1)(,
1.0)(,1.0)(,8.0)(4204182420419
10210========C C B A P C C B A P B A P B P B P B P （1）由全概率公式，有
94.019
121.0541.018.0)()()(20≈⨯
+⨯+⨯===∑=i i i B A P B P A P α （2）由逆概率公式，得
85.094
.018.0)()
()()(000≈⨯≈==A P B A P B P A B P β 注意：本题是典型的全概率公式与贝叶斯公式的应用。

例8．（小概率事件原理）设随机试验中某事件A 发生的概率为ε，试证明，不论ε>0如何小，只要不断独立重复地做此试验，事件A 迟早会发生的概率为1。

证：令 A i ={第i 次试验中事件A 发生}, i =1,2,3,…
由题意知，事件A 1, A 2, …, A n , …相互独立且
P (A i )=ε，i =1,2,3,…，
则在n 次试验中事件A 发生的概率
P (n A A A +++Λ21)=1－P (n A A A Λ21)
=1－n n A P A P A P )1(1)()()(21ε--=Λ
当n →+∞, 即为事件A 迟早会发生的概率
P (ΛΛ++++n A A A 21)=n n )1(1lim ε--+∞
→=1。

四、习题二解答
1．考察随机试验：“掷一枚骰子，观察其出现的点数”。

如果设
i={掷一枚骰子所出现的点数为i }, i =1,2,…,6
试用i 来表示该试验的基本事件、样本空间Ω和事件A ={出现奇数点}和事件B ={点数至少是4}。

解：基本事件：{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}。

样本空间Ω={ 0，1，2，3，4，5，6}。

事件A ={1，3，5}；B ={4，5，6}。

2．用事件A 、B 、C 表示下列各事件：
（1）A 出现，但B 、C 不出现；
（2）A 、B 出现，但C 不出现；
（3）三个都出现；
（4）三个中至少有一个出现；
（5）三个中至少有两个出现；
（6）三个都不出现；
（7）只有一个出现；
（8）不多于一个出现；
（9）不多于两个出现。

解：（1）ABC （2）ABC （3）ABC
（4）ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A ++++++
或A +B +C 或C B A -Ω
（5）ABC BC A C B A C AB +++
（6）ABC 或Ω－(A +B +C )或C B A ++
（7）ABC ABC ABC ++
（8）ABC ABC ABC ABC +++
（9）BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ++++++
或Ω－ABC 或ABC
3．从52扑克牌中，任取4，求这四花色不同的概率。

解：现将从52扑克牌中任取4的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无
关，故可用组合数来解决该古典概型问题。

1055.0!4/49505152134
452
113113113113=⨯⨯⨯===C C C C C n m P 。

4．在一本标准英语词典中共有55个由两个不同字母组成的单词，现从26个英文字母中任取两个字母排成一个字母对，求它恰是上述字典中单词的概率。

解：现将从26个英文字母中任取两个字母件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序有关，故可用排列数来解决该古典概型问题。

0846.025
265555226=⨯===A n m P 。

5．某产品共20件，其中有4件次品。

从中任取3件，求下列事件的概率。

（1）3件中恰有2件次品；（2）3件中至少有1件次品；（3）3件全是次品；（4）3件全是正品。

解：现将从20件产品中任取3件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关，故可用组合数来解决该古典概型问题。

（1）0842.0)(320
11624===C C C n m A P ； （2）5088.04912.0111)(1)(320
316=-=-=-=-=C C n m B P B P 或5088.0)(320
016341162421614=++==C C C C C C C n m B P ； （3）0035.0)(320
34===C C n m C P ； （4）4912.0)(320
316===C C n m D P 。

6．房间里有10个人，分别佩戴着1～10号的纪念章，现等可能地任选三人，记录其纪念章，试求：（1）最小为5的概率；（2）最大为5的概率。

解：设A ={任选三人中最小为5}，B ={任选三人中最大为5}
（1）对事件A ，所选的三人只能从5～10中选取，而且5号必定被选中。

0833.0121)(310
2511====C C C n m A P ； （2）对事件B ，所选的三人只能从1～5中选取，而且5号必定被选中。

05.0201)(310
2411====C C C n m B P 。

7．某大学学生中近视眼学生占22%，色盲学生占2%，其中既是近视眼又是色盲的学生占1%。

现从该校学生中随机抽查一人，试求：（1）被抽查的学生是近视眼或色盲的概率；（2）被抽查的学生既非近视眼又非色盲的概率。

解：设 A ={被抽查者是近视眼}，B ={被抽查者是色盲}；
由题意知，P (A )=0.22，P (B )= 0.02，P(AB )= 0.01，则
（1）利用加法公式，所求概率为
P (A+B )=P (A )+P (B )－P (AB )=0.22+0.02－0.01=0.23；
（2）所求概率为
P (B A )=P (B A +)=1－P (A +B )=1－0.23 =0.77。

注意：上述计算利用了德·摩根对偶律、对立事件公式和（1）的结果。

8．设P (A )=0.5，P (B )=0.3且P (AB )=0.l 。

求：（1）P (A+B )；（2）P (A +B )。

解：（1）P (A+B )=P (A )+P (B )－P (AB )=0.5+0.3－0.1=0.7；
（2）P (A +B )= P (A )+P (B )－P (A B )=[1－P (A )]+P (B )－P (B －A )
=1－P (A ) +P (B )－[P (B ) －P (AB )]= 1－P (A ) + P (AB )
=1－0.5+0.1=0.6。

注意：上述计算利用了加法公式、差积转换律、对立事件公式和事件之差公式。

9．假设接受一批药品时，检验其中一半，若不合格品不超过2％，则接收，否则拒收。

假设该批药品共100件，其中有5件不合格，试求该批药品被接收的概率。

解：设 A ={50件抽检药品中不合格品不超过1件}，
据题意，仅当事件A 发生时，该批药品才被接收，故所求概率为
1811.0)(50100
4995155095=+==C C C C n m A P 。

10．设A ,B 为任意两个事件，且P (A )＞0，P (B )＞0。

证明：
（1）若A 与B 互不相容，则A 和B 不独立；
（2）若 P (B|A )=P(B |A )，则A 和B 相互独立。

证明：（1）用反证法。

假定A 和B 独立，因为已知A 与B 互不相容，则
AB =∅，P (AB )= P (∅)=0
故 P (A ) P (B )= P (AB )=0
但由已知条件P (A )＞0，P (B )＞0得P (A ) P (B )>0，由此导出矛盾，所以若A 与B 互不相容，则A 和B 不独立。

（2）由已知P (B|A )=P(B |A )，又
)
()()|(A P AB P A B P =，)()()|(A P B A P A B P = 则 )
(1)()()(1)()()()()(A P AB P B P A P A B P A P B A P A P AB P --=--== 即 P (AB )[1－P (A ) ]= P (A )[P (B )－P (AB )]
P (AB )－P (AB )P (A ) = P (A )P (B )－P (A )P (AB )
故 P (AB ) = P (A )P (B )
这即A 和B 相互独立。

（2）又证：由已知
P (B|A )=P(B |A ))
(1)()()(1)()()(A P AB P B P A P A B P A P B A P --=--== 即 P (B |A )[1－P (A ) ]= P (B )－P (AB )
P (B |A )－P (B |A )P (A ) = P (B )－P (AB )
P (B |A )－P (AB ) = P (B )－P (AB )
P (B |A ) = P (B )
这即A 和B 相互独立。

11．已知P (A )=0.1，P (B )=0.3，P (A | B )=0.2，求：（1）P (AB )；（2）P (A ＋B )；（3）P (B |A )；（4）P (B A )；（5）P (B A |)。

解：（1）P (AB )= P (B ) P (A | B )=0.3×0.2=0.06；
（2）P (A+B )=P (A )+P (B )－P (AB )=0.1+0.3－0.06=0.34；
（3）6.01
.006.0)()()|(===A P AB P A B P ； （4）P (B A )=P (A －B )=P (A )－P (AB )=0.1－0.06=0.04；
（5）9429.03
.0134.01)(1)(1)(1)()()()|(=--=-+-=-+==B P B A P B P B A P B P B A P B A P 。

12．某种动物活到12岁的概率为0.8，活到20岁的概率为0.4，问现年12岁的这种动物活到20岁的概率为多少？
解：设A ={该动物活到12岁}，B ={该动物活到20岁}；由题意知
P (A )=0.8，P (B )=0.4
显然该动物“活到20岁”一定要先“活到12岁”，即有
B ⊂A ，且AB =B ，
则所求概率是条件概率
5.08
.04.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P 。

13．甲、乙、丙三人各自独立地去破译一密码，他们能译出该密码的概率分别是1/5，2/3，1/4，求该密码被破译的概率。

解：设 A ={甲译出该密码}，B ={乙译出该密码}，C ={丙译出该密码}.
由题意知，A ，B ，C 相互独立，而且
P (A )=1/5，P (B )=2/3，P (C )=1/4
则密码被破译的概率为
P (A+B +C )=1－)(C B A P =1－)()()(C P B P A P =4
331541⨯⨯-=0.8
或 P (A+B+C )=P (A )+P (B )+ P (C )－P (AB )－P (AC )－P (BC )+P (ABC )
=P (A )+P (B )+ P (C )－P (A ) P (B )－P (A ) P (C )－P (B ) P (C ) + P (A ) P (B ) P (C ) =8.05
4413251413241513251413251==⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++。

14．有甲乙两批种籽，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种籽中各任意抽取一粒，求下列事件的概率：（1）两粒种籽都能发芽；（2）至少有一粒种籽能发芽；（3）恰好有一粒种籽能发芽。

解：设 A ={甲种籽能发芽}, B ={乙种籽能发芽}
则由题意知，A 与B 相互独立，且有
P (A )=0.8，P (B )=0.7，
则所求概率为
（1）P (AB )=P (A )P (B )=0.8×0.7=0.56；
（2）P (A+B ) =1－P (B A +)=1－P (B A )=1－)()(B P A P =1－0.2×0.3=0.96；
（3）P (B A B A +)=)()()()(B P A P B P A P +=0.8×0.3+0.2×0.7=0.38。

15．设甲、乙两城的通讯线路间有n 个相互独立的中继站，每个中继站中断的概率均为p ，试求：（1）甲、乙两城间通讯中断的概率；（2）若已知p =0.005，问在甲、乙两城间至多只能设多少个中继站，才能保证两地间通讯不中断的概率不小于 0.95？
解：设A k ={第k 个中继站通讯中断}, k =1,2,…,n ，则A 1, A 2, …, A n 相互独立，而且有P (A k )=p , k =1,2,…,n 。

（1）所求概率为
P (A 1+ A 2+…+ A n )=1－P (n A A A +++Λ21)=1－P (n A A A Λ21)
=1－)()()(21n A P A P A P Λ=1－=n A P ))((11－(1－p )n ；
（2）设甲、乙两城间至多只能设n 个中继站，由题意，应满足
P (n A A A Λ21)=(1－p )n ≥0.95，
即 (1－0.005)n ≥0.95
0.995n ≥0.95
n ≤log 0.9950.95=ln0.95/ln0.995=10.233
故n =10，即甲、乙两城间至多只能设10个中继站。

16．在一定条件下，每发射一发炮弹击中飞机的概率是0.6，现有若干门这样的炮独立地同时发射一发炮弹，问欲以99%的把握击中飞机，至少需要配置多少门这样的炮？
解：设至少需要配置n 门炮。

再设
A k ={第k 门炮击中飞机}, k =1,2,…,n ，
则A 1, A 2, …, A n 相互独立，而且有
P (A k )=0.6, k =1,2,…,n 。

由题意，应有
P (A 1+ A 2+…+ A n )= 1－P (n A A A Λ21)=1－)()()(21n A P A P A P Λ
=1－=n A P ))((11－0.4 n ≥0.99
即 0.4 n ≤0.01，
则有
n ≥log 0.40.01=ln0.01/ln0.4=5.026
故n =6，因此至少需要配置6门炮。

17．甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中10只白球，6只红球，9只黑球。

现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。

解：设以A 1、A 2、A 3分别表示从甲袋中任取一球为白球、红球、黑球；
以B 1、B 2、B 3分别表示从乙袋中任取一球为白球、红球、黑球。

则所求两球颜色相同的概率为
P (A 1B 1+ A 2B 2+ A 3 B 3)= P (A 1)P (B 1)+ P ( A 2)P (B 2)+ P (A 3)P ( B 3)
3312.0625
20725925152562572510253==⨯+⨯+⨯=。

18．在某地供应的某药品中，甲、乙两厂的药品各占65%、35%，且甲、乙两厂的该药品合格率分别为90%、80%，现用A 1、A 2分别表示甲、乙两厂的药品，B 表示合
格品，试求：P (A 1)、P (A 2)、P (B |A 1)、P (B|A 2)、P (A 1B )和P (B )。

解：由题中已知条件可得
P (A 1)=0.65，P (A 2)=0.35，P (B |A 1)=0.9，P (B|A 2)=0.8，
P (A 1B )= P (A 1)P (B |A 1)= 0.65×0.9=0.585，
P (B )= P (A 1)P (B |A 1)+ P (A 2)P (B |A 2) =0.65×0.9+0.35×0.8=0.865。

19．某地为甲种疾病多发区，其所辖的三个小区A 1，A 2，A 3的人口比例为9∶7∶4，据统计资料，甲种疾病在这三个小区的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求该地甲种疾病的发病率。

解：设以A 1、A 2、A 3表示病人分别来自小区A 1、A 2、A 3，以B 表示患甲种疾病。

则由题意知
P (A 1)=20
9，P (A 2)=207，P (A 3)=204， P (B |A 1)=0.004，P (B|A 2)=0.002，P (B|A 3)=0.005，
则该地甲种疾病的发病概率为
P (B )= P (A 1)P (B |A 1)+ P (A 2)P (B |A 2)+ P (A 3)P (B |A 3) =0035.0005.020
4002.0207004.0209=⨯+⨯+⨯=3.5‰。

20．若某地成年人中肥胖者（A 1）占有10％，中等者（A 2）占82％，瘦小者（A 3）占8％，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为20％，10％，5％。

（1）求该地成年人患高血压的概率；（2）若知某人患高血压病，他最可能属于哪种体型？
解：设B={该地成年人患高血压}，则由题意知
P (A 1)=0.10，P (A 2)=0.82，P (A 3)=0.08，
P (B |A 1)=0.20，P (B|A 2)=0.10，P (B|A 3)=0.05，
（1）该地成年人患高血压的概率为
P (B )= P (A 1)P (B |A 1)+ P (A 2)P (B |A 2)+ P (A 3)P (B |A 3)
=05.008.01.082.02.01.0⨯+⨯+⨯=0.106；
（2）若已知某人患高血压病，他属于肥胖者（A 1）、中等者（A 2）、瘦小者（A 3）体型的概率分别为
P (A 1|B )=
1887.0106.02.01.0)()|()(11=⨯=B P A B P A P P (A 2|B )=
7736.0106.01.082.0)()|()(22=⨯=B P A B P A P P (A 3|B )=0377.0106
.005.008.0)()|()(33=⨯=B P A B P A P 因为 P (A 2|B )> P (A 1|B ) >P (A 3|B )
故若知某人患高血压病，他最可能属于中等体型。

21．三个射手向一敌机射击，射中概率分别为0.4，0.6和0.7。

若一人射中，敌机被击落的概率为0.2；若两人射中，敌机被击落的概率为0.6；若三人射中，则敌机必被击落。

（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。

解：设A 1、A 2、A 3分别表示第一个射手、第二个射手、第三个射手射中敌机；B 0、B 1、B 2、B 3分别表示无人射中、一人射中、两人射中、三人射中敌机；C 表示敌机被击落。

则A 1、A 2、A 3相互独立，且由题意可得
P (A 1)=0.4，P (A 2)=0.6，P (A 3)=0.7
P (B 0)= P (321A A A )=P (1A ) P (2A ) P (3A )= 0.6×0.4×0.3=0.072
P (B 1)= P (321321321A A A A A A A A A ++)=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++ =)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++
=0.4×0.4×0.3+0.6×0.6×0.3+0.6×0.4×0.7=0.324
P (B 2)= P (321321321A A A A A A A A A ++)=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++ =)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++
=0.4×0.6×0.3+0.6×0.6×0.7+0.4×0.4×0.7=0.436
P (B 3)= P (321A A A )=P (A 1) P (A 2) P (A 3)= 0.4×0.6×0.7=0.168
P (C |B 0)=0，P (C |B 1)=0.2，P (C|B 2)=0.6，P (C|B 3)=1
（1）敌机被击落的概率为
P (C )=P (C |B 0)P (B 0)+P (C |B 1)P (B 1)+P (C|B 2)P (B 2)+P (C|B 3)P (B 3)
=0×0.072+0.2×0.324+0.6×0.436+1×0.168=0.4944；
（2）所求概率为
P (B 3|C )=
3398.04944
.01168.0)()|()(33=⨯=C P B C P B P 。

五、思考与练习
（一）填充题
1．若P (A )=0.3，P (B )=0.6，则
（1）若A 和B 独立，则P (A+B )= ， P (B －A )= ；
（2）若A 和B 互不相容，则P (A+B )= ，P (B －A ) = ；
（3）若A ⊂ B ，则 P (A+B )= ，P (B －A )= 。

2. 如果A 与B 相互独立，且P (A )= P (B )= 0.7，则P (B A )= 。

3．在4次独立重复试验中，事件A 至少出现1次的概率为
81
65，则在每次试验中事件A 出现的概率是 。

（二）选择题
1. 下列说确的是（ ）
A. 任一事件的概率总在(0,1)之
B. 不可能事件的概率不一定为0
C. 必然事件的概率一定为1
D. 以上均不对。

2．以A 表示事件“甲种药品畅销，乙种药品滞销”，则其A 的对立事件为（ ）
A. 甲，乙两种药品均畅销
B. 甲种药品滞销，乙种药品畅销
C. 甲种药品滞销”
D. 甲种药品滞销或乙种药品畅销
3. 有100从1到100号的卡片，从中任取一，取到卡号是7的倍数的概率为（ ） A. 507 B. 100
7 C. 487 D. 100
15 4. 设A 和B 互不相容,且P (A )>0，P (B )>0，则下列结论正确的是（ ）
A. P (B|A )>0
B. P (A )=P (A|B )
C. P (A|B )=0
D. P (AB )=P (A )P (B )
（三）计算题
1．设Ω={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4}，B={3，4，5}。

试求下列事件:
（1）B A ；（2）A +B 。

2．某城市的号话由0，1，2，…，9这10个数字中任意8个数字组成，试求下列出现的概率：
（1）数字各不相同的（事件A ）；
（2）不含2和7的（事件B ）；
（3）5恰好出现两次的（事件C ）。

3．一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：
（1）第一卷出现在两边；
（2）第一卷及第五卷出现在两边；
（3）第一卷或第五卷出现在两边；
（4）第三卷正好在正中。

4．电路由电池A 与两个并联的电池B 、C 串联而成，设电池A 、B 、C 是否损坏相互独立，且它们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率。

5. 设一医院药房中的某种药品是由三个不同的药厂生产的，其中一厂、二厂、三
厂生产的药品分别占1/4、1/4、1/2。

已知一厂、二厂、三厂生产药品的次品率分别是7%，5%，4%。

现从中任取一药品，试求
（1）该药品是次品的概率；
（2）若已知任取的药品是次品，求该次品是由三厂生产的概率。

6．盒中放有12个乒乓球，其中有9个球是新球。

第一次比赛从盘中任取3个来用，比赛后仍放回盒中；第二次比赛时又从盒中任取3个。

（1）求第二次取出的球都是新球的概率；（2）若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取到的都是新球的概率。

六、思考与练习参考答案
（一）填充题
1. （1）0.72，0.42；（2）0.9，0.6；（3）0.6，0.3
2. 0.09
3.
1
3
（二）选择题
1. C ；
2. D ；
3. A ； 4 .C
（三）计算题
1. A ={1, 5，6, 7}，B ={1, 2，6, 7}，则
（1）B A ={1, 6, 7}；（2）A +B ={1，3，4，5，6，7}
2．（1）()01814.010
1034567891088
10
8
==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A A P （2）()1678.010
888
==B P
（3）()1488.01098
628=⨯=
C C P
3. （1）52554
412==A A C P =0.4；（2）101
5
5
3322==A A A P =0.1； （3）10725533224412=-=A A A A C P =0.7；或107
15
5
3
323=-=A A A P =0.7； 或10725
5
3
322331312=+=A A A A C C P =0.7 （4）5
1
554
4==A A P =0.2
4．已知 P (A )=0.3，P (B )=0.2，P (C )=0.2 且A 、B 、C 相互独立 则所求概率
P (C B A +)=P (A )+P (C B )－P (C B A ) = P (A )+P (B )P (C )－P (A )P (B )P (C ) =0.3+0.2×0.2－0.3×0.2×0.2=0.328
5. 令A ={该药品是次品}；B k ={药品是由k 厂生产的}，k =1，2，3。

由题意知 P (B 1)=0.25, P (B 2)=0.25，P (B 3)=0.5，
P (A |B 1)=0.07，P (A |B 2)=0.05，P (A |B 3)=0.04，
（1）P (A )=P (A |B 1)P (B 1)+P (A |P 2)P (B 2)+P (A |B 3)P (B 3)
=0.07×0.25+0.05×0.25+0.04×0.50=0.05
（2）
()40
.00.05
0.02
5.004.025.005.025.007.05.00.04 )
()|()()|()()|()
(|)|(332211333==⨯+⨯+⨯⨯=
++=B P B A P B P B A P B P B A P B P B A P A B P
6．令A k ={第一次比赛任取3球中有k 个新球}，k =0，1，2，3；
B ={第二次取出的球都是新球}。

由题意得 P (A k )=3
12
933C C C k k -， P (B |A k )=31239C C k
-，k =0，1，2，3。

（1）()∑∑=--==⋅==3
312393129333
0146.0)|()(k k k k k k k C C C C C A B P A P B P （2）146.0)
()|()()
|()()|()()|(3
12
3
6312393330
333C C C C B P A B P A P A B P A P A B P A P B A P i i
i
⋅===∑==0.238
第三章 随机变量及其分布
一、 学习目的和要求
1. 理解随机变量及其分布函数的概念；
2. 熟练掌握离散型、连续型随机变量的分布及性质；
3. 熟练掌握常用数字特征：数学期望E (X )和方差D (X )及其性质；
4. 熟练掌握二项分布、泊松分布、正态分布等的性质及概率计算；
5. 了解随机变量函数的分布；
6. 了解随机向量及分布函数的概念、性质；
7. 掌握离散型随机向量和连续型随机向量及其分布；
8. 掌握二维随机向量的数字特征；
9. 了解契比晓雪夫不等式和大数定律及其意义； 10. 掌握中心极限定理及其应用；
11. 了解用Excel 计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用分布的概率。

二、容提要
（一）随机变量及常用分布
1. 离散型随机变量及常用分布
2. 连续型随机变量及常用分布
3. 随机变量的分布函数
（二）随机变量的数字特征
（三）随机变量函数的分布
（四）二维随机向量及分布1. 二维离散型随机向量
2. 二维连续型随机向量
3. 二维随机向量的分布函数
（五）大数定律和中心极限定理
三、综合例题解析
例1（1991年考研题） 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口。

每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。

以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X 的概率分布。

解：首先，由题设可知，X 的可能值为0，1，2，3。

现设
A i = {汽车在第i 个路口首次遇到红灯}，i =1，2，3,
则事件A 1，A 2，A 3相互独立，且
2
1
)()(=
=i i A P A P （i = 1，2，3）， 故有 P {X = 0} = P (A 1) = 2
1，
2212
1)()(}1{=
==A P A P X P 3
32132121)()()()(}2{====A P A P A P A A A P X P 33213212
1)()()()(}3{=
===A P A P A P A A A P X P 所以，X 的分布律为
注意：利用性质：1=∑i
i p ，可检查离散型概率分布律的正确与否。

同时，若X
的某个取值x 0的概率较难计算，而其他所有取值的概率已算出时，则也可以利用上述性质得到：
∑≠-
==0
:01}{x x i i i p x X P 。

比如本例中：
32
1}2{}1{}0{1}3{=
=-=-=-==X P X P X P X P 。

例2 设连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>+=-0
0,0 ,e )(2x x B A x F x
求：（1）常数A 、B ；（2）概率密度函数f (x )。

解：（1）由分布函数的性质F (+∞)=1得
F (+∞)= 1)e (lim 2
==+-
+∞
→A B A x
x ，
再由分布函数的连续性知其右极限F (0+0)= F (0),即
F (0+0)= 0)e (lim 2
0=+=+-
+→B A B A x x
联立上述两式，解之得：A =1, B =﹣1。

则分布函数为
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>-=-0
0,0 ,e 1)(2x x x F x
（2）所求密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>='=-0 0,0
,e 2
1)()(2
x x x F x f x。

例3（1989年考研题）设随机变量ξ在区间[1，6]上服从均匀分布，求方程x 2 +ξ x + 1 = 0有实根的概率。

解：易知方程x 2 +ξ x + 1 = 0有实根当且仅当Δ=ξ2－4≥0，即|ξ|≥2。

故所求问题转化为：已知ξ～U [1，6]，求P {|ξ|≥2}。

现因ξ在[1，6]上服从均匀分布，则ξ的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.
,0,61
,51
)(其他x x f
方程x 2 +ξx + 1 = 0有实根的充要条件是Δ=ξ2－4≥0，即|ξ|≥2，故
}22{1}2{1}2{<<--=<-=≥ξξξP P P
5
4
511)d 51d 0(1d )(12
1
12
22
=-=+-=-=⎰
⎰⎰--x x x x f 。

例4 已知X ～N (2, σ2)，P {2＜X ＜4}=0.3，求P {X ＜0}。

解：由于X ～N (2, σ2)，故
3.0)0()2
()22()24(
}42{=Φ-Φ=-Φ--Φ=<<σ
σσX P 由于2
1
)0(=
Φ，可知 8.03.0)0()2
(=+Φ=Φσ
,
故 2.08.01)2
(1)2()2
0(
}0{=-=Φ-=-Φ=-Φ=<σ
σσ
X P 。

注意：在正态分布的概率计算中，首先要将它标准化，转化为利用标准正态分布的公式求解即可。

例5（1989年考研题）设随机变量X 和Y 独立，且X 服从均值为1，标准差为2的正态分布，而Y 服从标准正态分布，试求随机变量Z = 2X －Y + 3的概率密度函数。

解：由于X 和Y 相互独立且都服从正态分布，所以Z 作为X ，Y 的线性组合也服从正态分布，故只需求E (Z )和D (Z )就可确定Z 的概率密度函数了。

由题设知，X ～N （1，2），Y ～N （0，1）。

则由期望和方差的性质得
E (Z ) = E (2X －Y + 3)=2E (X )－E (Y ) +3 = 5， D (Z ) = D (2X －Y + 3) = 22D (X ) +D (Y ) = 9.
又因X ，Y 是相互独立的正态随机变量，Z 是X ，Y 的线性函数，故Z 也为正态随
机变量，即Z ～N (μ, σ2)，且
μ= E (Z )=5, σ2= D (Z )=9。

则Z 的概率密度为
+∞<<∞-=
⨯--
z z f z Z ,e
231)(9
2)5(2π。

注意：本题主要考察的性质是：一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；二是正态分布N (μ, σ2)完全由其期望μ和方差σ2决定。

例6 已知随机变量X 的概率分布律为
P {X =k }=1/2k ，k =1，2，…，
试求)2
sin(X Y π
=的概率分布律。

解：对随机变量)2
sin(X Y π
=，当X 取1, 2, …, n , …时，Y 的取值为1, 0,﹣1, 0, …,
即
X
1 2 3 4 5 6 7 …
)2
sin(
X Y π
=
1 0 -1 0 1 0 -1 …
P
Λ7
654322
1
2121212121
21
则)2
sin(
X Y π
=只以﹣1，0，1为其取值，其取值概率为
P {Y =﹣1}=P {X =3}+P {X =7}+P {X =11}+ (15)
216
111812*********=-⨯=+++=
Λ； P {Y =0}= P {X =2}+P {X =4}+P {X =6}+…
31
4
111412121216
42=-⨯=+++=
Λ； P {Y =1}=P {X =1}+P {X =5}+P {X =9}+…
15
816
1112121212195=-⨯=+++=
Λ （或P {Y =1}=1－P {X =﹣1}－P {X =0}=15
8311521=--
） 故Y 的分布律为
Y -1 0 1 P
15
83115
2
例7 设（X ，Y ）的联合分布律为
X
Y
-1 0 1 1/4 1/4
2
1/6
a
求：（1）常数a ；（2）联合分布函数在点（21,23）处的值F （2
1,23）。

解：（1）由联合分布律的性质
∑∑=i
j
ij p 1
知 ∑∑
+++=
=
i
j
ij a p ,6
1
41411 求得3
1=a 。

（2）（X ，Y ）的联合分布函数F (x , y )在点（2
1
,23）处的值应为
214141}0,1{}1,1{}21,23{)21,23(=+===+-===≤≤=Y X P Y X P Y X P F 。

注：求联合分布函数F (x ，y )的值时，只需把取值满足x i ≤x ，y j ≤y 的点（x i ，y j ）的概率p ij 找出来，然后求和就可以了。

例8 设),,,,(~),(2
22121ρσσμμN Y X ，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是ρ=0。

证：（充分性）由于),,,,(~),(2
22121ρσσμμN Y X ，则其X 与Y 的边缘密度分别为
+∞<<∞-=
--
x x f x X ,e 21
)(21
2
12)(1
σμσπ
, ,e
21)(22
2
22)(2
+∞<<∞-=
--
y y f x Y σμσπ
当ρ=0时，有
),
()(2121)()(21exp 21
),(22
2
221
2
12)(2
2)(1
22221
121y f x f e
e y x y x
f Y X y x ⋅=⋅
=
⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=--
--σμσμσπσπσμσμσπσ
故X 与Y 相互独立。

（必要性）若已知X 与Y 相互独立，则对任意x ，y ，有
),()(),(y f x f y x f Y X ⋅=
特别地，取21,μμ==y x ，上式变为
2
12
2121121
σπσρ
σπσ=
-，
从而有 ρ =0。

例9（2001年考研题） 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。

假
设每箱平均重50千克，标准差为5千克。

若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。

（Φ(2)=0.977，其中Φ(x )是标准正态分布函数）。

解：设X i 是汽车装运的第i 箱的重量（千克），n 为最多可以装的箱数，则X 1, X 2,…,
X n 可视为n 个相互独立而且服从同分布的随机变量，再设X 为n 箱的总重量，则有
1n
i i X X ==∑ ，且
()505i E X μσ===， ，
而由列维-林德贝格中心极限定理，X 近似服从正态分布N (n μ, n σ2)。

则所求箱数n 决定于条件
{
}50000.977P X P ≤=≤≈Φ> 因Φ(2)=0.977，则有
2101000>-n
n
解之得n <98.02 , 即最多可以装98箱。

例10 设在n 重伯努利试验中，每次试验事件A 发生的概率都是0.7。

（1）设X 表示1000次独立试验中事件A 发生的次数，用中心极限定理计算P {650＜X ≤750}；
（2）要使在n 次试验中，A 发生的频率在0.68与0.72之间的概率至少为0.9，问至少要做的试验次数n 为多少？
解（1）因X ～B (1000，0.7)，由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理得
{650750}212(3.5)120.9997710.99954.
P X P ⎧⎫<≤=≤≤≈Φ-Φ=Φ-=Φ-=⨯-=。