复变函数与积分变换经典PPT—复变函数4.2

n 0
cn z n c0 c1 z c2 z 2 cn z n . 或
n 1

这种级数称为幂级数.
二、幂级数的敛散性
1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理)

阿贝尔介绍
cn z n 在 z z0 ( 0) 收敛, 那末对 如果级数
n 0
满足 z z0 的 z , 级数必绝对收敛, 如果在 z z0 级数发散, 那末对满足 z z0 的 z , 级数必发散.
方法2: 根值法(定理三)
如果 lim cn 0, 那末收敛半径 R
n n
1

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.
说明:
0 如果
R R0
(与比值法相同)
三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的有理运算
设 f ( z ) an z n , R r1 ,
n 0
g ( z ) bn z n , R r2 .
n 0
z 均发散, 即R 0.
课堂练习 试求幂级数
z n p ( p为正整数) 的收敛半径. n 1
答案
1 因为 cn p ， n

n
1 cn1 n p lim lim( ) lim 1. n 1 p n c n n 1 n (1 ) n 1 所以 R 1.
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1, 在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有
1 2 n 1 z z z . 1 z
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的情形) n 1 n ( z 1)n (2) (并讨论 z 0 , 2 时的情形) n n 1
称为该级数在区域Ｄ上的和函数.
2. 幂级数 当 f n ( z ) cn1 ( z a )n1 或 f n ( z ) cn1 z n1 时, 函数项级数的特殊情形
cn ( z a )n c0 c1 ( z a ) c2 ( z a )2 cn ( z a )n
例如,级数 1 z 22 z 2 nn z n
当 z 0 时, 通项不趋于零, 故级数发散.
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
设 z 时, 级数收敛; z 时, 级数发散.
如图:
y
收敛圆
收敛半径
o

R.
.

x
cn z n 的收敛范围是以原点为中心的圆域. 幂级数

级数, 其中 a与b 是不相等的复常数 . 1 解 把函数 z b 写成如下的形式: 1 1 1 1 z b ( z a ) (b a ) b a 1 z a ba 1 凑出 1 g( z )
代数变形 , 使其分母中出现 ( z a )
za 当 1时， ba 1 za za 2 za n 1 ( )( ) ( ) , za ba ba ba 1 ba 1 1 1 1 故 (z a) ( z a )2 2 3 zb b a (b a ) (b a ) 1 ( z a )n ( b a ) n 1 设 b a R, 那末当 z a R时, 级数收敛, 1 . 且其和为 zb
zn
n 0

收敛圆周上无收敛点;
zn 0 n n zn 0 n2 n

在点z 1发散, 在其它点都收敛 ;
在收敛圆周上处处收敛.
3. 收敛半径的求法 方法1: 比值法(定理二):
1 cn 1 如果 lim 0, 那末收敛半径 R . n c n
证 由于 lim
zn 1 在圆周 z 1上, 级数 3 3 n 1 n n 1 n
收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
cn 1 n lim 1 , 即 R 1. (2) lim n c n n 1 n
1 当z 0时, 原级数成为 ( 1) , 交错级数, 收敛. n n 1
证
n 因为级数 cn z0 收敛, n0

n 由收敛的必要条件, 有 lim cn z0 0 n
因而存在正数M, 使对所有的ｎ, 有 cn z0 M ,
n
z 如果 z z0 , 那末 q 1, z0
而
cn z cn z0
n n
z z0
n n
Mq n .
n

c z a R.
或

z
a
cn f ( )d ( z a ) n 1 . n 0 n 1

简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数)
四、典型例题
zn 1 z z2 zn 例1 求幂级数
n 0

f ( z ) g( z ) an z n bn z n (an bn ) z n ,
n 0 n 0 n 0



zR
f ( z ) g( z ) ( an z n ) ( bn z n ), R min(r1 , r2 )
i 4
cn (1 i )n ( 2 )n e
n i 4
;
c n 1 ( 2 ) n 1 lim lim 2. n n c n ( 2 ) n
所以
1 2 R . 2 2
1 表成形如 例5 把函数 zb
cn ( z a )n 的幂
n 0
当 z 1 时,
cn 1 z cn z

n 1 n
n
cn 1 lim z z, n c n

cn z n 收敛.
n0
根据上节定理三, 级数
1
c z
n 0 n

n
在圆 z

1

内收敛,
假设在圆 z 在圆 z 1

外有一点 z0 , 使级数
cn z n 收敛,
z2 zn 例如, 级数 1 z 2 n 2 n
z 1 对任意固定的z, 从某个ｎ开始, 总有 , n 2 n n z 1 于是有 n , n 2
故该级数对任意的z均收敛.
(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 那末称级数 f n ( z ) 在 z0 收敛, s( z0 )称为
n 1

它的和.
如果级数在Ｄ内处处收敛，那末它的和一定
是 z 的一个函数 s( z ) :
s ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z z
2
n 1
1 zn , ( z 1) 1 z
z 1
z 1
1 lim sn n 1 z
lim z n 0
n
z n 收敛, 级数
n 0

级数
z n 0
n
发散.
n 0 n 0
(anb0 an1b1 a0bn ) z n ,
n0

zR
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f ( z ) an z n , 又设在
n 0
z R 内 g (z ) 解析且满足 g( z ) r , 那末当 z R
f [ g ( z )] an [ g ( z )]n . 时,
n 0
说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.
3. 复变幂级数在收敛圆内的性质 定理四
设幂级数
cn ( z z0 )n 的收敛半径为 R,
n 0


那末
(1) 它的和函数 f ( z ) cn ( z a )n 是收敛圆
n 0

外再取一点 z1 , 使 z1 z0 ,
据阿贝尔定理, 级数
c
n 0

n
z1 必收敛 .
n
然而当 z1

1

时, lim
n
cn1 z1 cn z1
n 1 n
z1 1.
与
cn z1n 收敛相矛盾, 即假设不成立 .
n 0
故
c z
n 0 n
n
在圆 z
fn ( z ) n 1

f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )

称为复变函数项级数, 记作 f n ( z ) .
n 1
级数最前面n项的和
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为这级数的部分和.
cn1 e n1 e n1 所以 lim lim n e, n n c n e e n
1 故收敛半径 R . e
n n 例4 求 (1 i ) z 的收敛半径. n 0

解 因为 1 i 2(cos i sin ) 2e , 4 4
n0
z a R 内的解析函数 .
(2) f (z ) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂 级数逐项求导得到, 即 f ( z ) ncn ( z a )n1 .
n 1
(3) f (z ) 在收敛圆内可以逐项积分,
即
f ( z )dz cn ( z a ) dz, n 0 c c
(1) 因为 lim cn1 lim( n )3 1, 解 n c n n 1 n


1 1 或 lim cn lim n 3 lim n 3 1. n n n n n
n
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
n 0

问题1: 幂级数
cn ( z a )n的收敛范围是何区域?
n 0

答案:
是以 z a 为中心的圆域 .
问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 注意
在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出
一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
例如, 级数:
R 均为 1, 收敛圆周 z 1
复变函数与积分变换
N
P
y S x z
第四章
级数
1.
2. 3.
复数项级数
幂级数 泰勒级数
4.
5.
洛朗级数
第四章小结与习题
第二节 幂级数
1
幂级数的概念
y
2 3
幂级数的敛散性
幂级数的运算和性质

R.
o
4 5
.

x
典型例题 小结与思考
一、幂级数的概念
1.复变函数项级数 定义 设 { f n ( z )} (n 1,2,) 为一复变函数序列, 其中各项在区域 D内有定义.表达式
由正项级数的比较判别法知:
cn z n c0 c1 z c2 z 2 cn z n 收敛.
n 0
故级数
cn z n 是绝对收敛的.
n 0

另一部分的证明请课后完成.
[证毕]
2. 收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数，其收敛半径的情况有三种： (1) 对所有的正实数都收敛. 由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛.
1

1
外发散,
所以收敛半径为 R

.
[证毕]
cn 1 注意: 定理中极限 lim c 存在且不为零 . n n 如果:
1. 0, 则级数
cn z n 在复平面内处处收敛 ,
n 0

即R .

2. (极限不存在),
则级数 cn z n 对于复平面内除 z 0 以外的一切
n
1 当z 2时, 原级数成为 , 调和级数，发散. n 1 n
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.

(cos in) z n 的收敛半径: 例3 求幂级数
n 0

1 n 解 因为 cn cos in cosh n (e e n ), 2