复变函数与积分变换经典PPT—复变函数4.2
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《复变函数与积分变换》PPT课件
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n = zzLz = r n (cos nθ + i sin nθ)
复数的方根
设
iθ
z = re
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w =z
n
的所有w值为z的n次方根，并且记为
w= n z
浙江大学
设
w= ρeiϕ ,
则
ρ neinϕ = reiθ
w0 = r (cos + i sin ) n n 1 θ + 2π θ + 2π n w1 = r (cos ) + i sin n n 1 θ + 4π θ + 4π n w2 = r (cos + i sin ) n n
1 n
1 n
θ
θ
wn−1 = r (cos
θ + 2(n −1)π
n
+ i sin
Re z 2 = x2 − y2 ≤ 1
Im z 2 ≤ 1
浙江大学
例： 指出不等式 0 < arg 解：
z −i π < 中点z的轨迹所在范围。 z +i 4
z −i x2 + y2 −1 − 2x = 2 +i 2 2 z + i x + ( y +1) x + ( y +1)2
z −i π 因为 0 < arg < , 所以 z +i 4 +i x2 + y2 −1 − 2x > 2 >0 2 2 2 x + ( y +1) x + ( y +1)
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n = zzLz = r n (cos nθ + i sin nθ)
复数的方根
设
iθ
z = re
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w =z
n
的所有w值为z的n次方根，并且记为
w= n z
浙江大学
设
w= ρeiϕ ,
则
ρ neinϕ = reiθ
w0 = r (cos + i sin ) n n 1 θ + 2π θ + 2π n w1 = r (cos ) + i sin n n 1 θ + 4π θ + 4π n w2 = r (cos + i sin ) n n
1 n
1 n
θ
θ
wn−1 = r (cos
θ + 2(n −1)π
n
+ i sin
Re z 2 = x2 − y2 ≤ 1
Im z 2 ≤ 1
浙江大学
例： 指出不等式 0 < arg 解：
z −i π < 中点z的轨迹所在范围。 z +i 4
z −i x2 + y2 −1 − 2x = 2 +i 2 2 z + i x + ( y +1) x + ( y +1)2
z −i π 因为 0 < arg < , 所以 z +i 4 +i x2 + y2 −1 − 2x > 2 >0 2 2 2 x + ( y +1) x + ( y +1)
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
第1页/共75页
1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
第4页/共75页
1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数与积分变换全套精品课件
复变函数与积分变换
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
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有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换经典PPT—复变函数.ppt
解
由上例可知
(z
1 a)n1
dz
2i, 0,
n0 n 0,
此处不妨设 a z0,
则有
1
1
1,
2 i (z z0 )n dz 0,
n1 n 1.
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点.
1
2
3
CF
A
A
F
B4
D1 E C1 B
D
E
问题的提出 C
C1
复合闭路定理D
C2 C3
典型例题
小结与思考
一、.
z 2 z 1
因为 z 2 是包含 z 1 在内的闭曲线,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1 由此希望将基本定理推广到多连域中.
y C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理, ez dz 0. z
例3 求
(z
1 a)n1
dz
,
为含
a
的任一简单闭
路，n 为整数.
解 因为a 在曲线内部,
a
1
BB
BB
即 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
CF
A A F B
D1 E C1 B
复变函数与积分变换精品PPT课件
间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
复变函数与积分变换PPT教学课件
实轴对称的.
o
zz
z x iy
x
z x iy
想一想，z与z的辐角主值有什么关系？
(1) 若z=0，则辐角无意义
(2) 若z位于负实轴上，则arg(z) arg(z)=
(3) 若z不在原点和负实轴上，则arg(z) -arg(z)
25
例2：求Arg(-3 4i) Arg(-3 - 4i)
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
30
例4：写出1，i, - 2, - 3i的三角表示式.
解：1 = 1(cos0 + i sin 0)
i = 1(cos + i sin )
2
2
-2 = 2(cos +isin )
-3i = 3[cos(- ) + i sin(- )]
3
26
4.复数的三种表示及其相互转化
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z ei
复数的指数表示式
27
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
19
2. 复数的模(或绝对值)
从原点O到点 z x iy所引的向量与复数z构成一一
复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件
n1
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1
复变函数与积分变换经典-复变函数
解法
通过积分求解，即 $f(z) = int g(z) dz$。
高阶微分方程
定义
高阶微分方程是包含未知函数的高阶导数的方程。
形式
$f^{(n)}(z) = g(z)$，其中 $f^{(n)}(z)$ 表示函数 $f(z)$ 的第 $n$ 次导数，$g(z)$ 是已知函数。
解法
通过求解一系列一阶微分方程来求解高阶微分方程。
线性微分方程组
定义
01
线性微分方程组是包含多个未知函数的线性微分方程的集合。
形式
02
$sum_{i=1}^{n} a_i(z) f_i'(z) = g(z)$，其中 $a_i(z)$ 和
$g(z)$ 是已知函数，$f_i(z)$ 是未知函数。
解法
03
通过求解一系列一阶和二阶线性微分方程来求解线性微分方程
应用
柯西积分公式是复变函数中一个重要的公式，它可以用于求解某些复杂函数的 积分问题。
积分公式与路径无关
路径无关
对于复数函数 $f(z)$，如果 $int_{a}^{b} f(z) dz = int_{c}^{d} f(z) dz$，则称该积分与路径无关。
应用
在解决某些积分问题时，可以利用路径无关的性质选择合适的路径进行计算，简化计算过程。
柯西积分公式
柯西积分公式
如果 $f(z)$ 在包含原点的区域 $D$ 内解析，且 $a, b in D$，则 $int_{a}^{b} f(z) dz = frac{1}{2pi i} int_{C} frac{f(z)}{z-b} dz$，其中 $C$ 是从 $a$ 到 $b$ 的任意封闭曲线。
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和， 即 $z = x + yi$，其中 $x$ 是实 部，$y$ 是虚部。
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n 0
cn z n c0 c1 z c2 z 2 cn z n . 或
n 1
这种级数称为幂级数.
二、幂级数的敛散性
1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理)
阿贝尔介绍
cn z n 在 z z0 ( 0) 收敛, 那末对 如果级数
n 0
满足 z z0 的 z , 级数必绝对收敛, 如果在 z z0 级数发散, 那末对满足 z z0 的 z , 级数必发散.
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z z
2
n 1
1 zn , ( z 1) 1 z
z 1
z 1
1 lim sn n 1 z
lim z n 0
n
z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 0
n
发散.
由正项级数的比较判别法知:
cn z n c0 c1 z c2 z 2 cn z n 收敛.
n 0
故级数
cn z n 是绝对收敛的.
n 0
另一部分的证明请课后完成.
[证毕]
2. 收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数，其收敛半径的情况有三种： (1) 对所有的正实数都收敛. 由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛.
级数, 其中 a与b 是不相等的复常数 . 1 解 把函数 z b 写成如下的形式: 1 1 1 1 z b ( z a ) (b a ) b a 1 z a ba 1 凑出 1 g( z )
代数变形 , 使其分母中出现 ( z a )
za 当 1时， ba 1 za za 2 za n 1 ( )( ) ( ) , za ba ba ba 1 ba 1 1 1 1 故 (z a) ( z a )2 2 3 zb b a (b a ) (b a ) 1 ( z a )n ( b a ) n 1 设 b a R, 那末当 z a R时, 级数收敛, 1 . 且其和为 zb
n 0
f ( z ) g( z ) an z n bn z n (an bn ) z n ,
n 0 n 0 n 0
zR
f ( z ) g( z ) ( an z n ) ( bn z n ), R min(r1 , r2 )
复变函数与积分变换
N
P
y S x z
第四章
级数
1.
2. 3.
复数项级数
幂级数 泰勒级数
4.
5.
洛朗级数
第四章小结与习题
第二节 幂级数
1
幂级数的概念
y
2 3
幂级数的敛散性
幂级数的运算和性质
R.
o
4 5
.
x
典型例题 小结与思考
一、幂级数的概念
1.复变函数项级数 定义 设 { f n ( z )} (n 1,2,) 为一复变函数序列, 其中各项在区域 D内有定义.表达式
证
n 因为级数 cn z0 收敛, n0
n 由收敛的必要条件, 有 lim cn z0 0 n
因而存在正数M, 使对所有的ｎ, 有 cn z0 M ,
n
z 如果 z z0 , 那末 q 1, z0
而
cn z cn z0
n n
z z0
n n
Mq n .
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1, 在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有
1 2 n 1 z z z . 1 z
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的情形) n 1 n ( z 1)n (2) (并讨论 z 0 , 2 时的情形) n n 1
z2 zn 例如, 级数 1 z 2 n 2 n
z 1 对任意固定的z, 从某个ｎ开始, 总有 , n 2 n n z 1 于是有 n , n 2
故该级数对任意的z均收敛.
(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 那末称级数 f n ( z ) 在 z0 收敛, s( z0 )称为
n 1
它的和.
如果级数在Ｄ内处处收敛，那末它的和一定
是 z 的一个函数 s( z ) :
s ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域Ｄ上的和函数.
2. 幂级数 当 f n ( z ) cn1 ( z a )n1 或 f n ( z ) cn1 z n1 时, 函数项级数的特殊情形
cn ( z a )n c0 c1 ( z a ) c2 ( z a )2 cn ( z a )n
fn ( z ) n 1
f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为复变函数项级数, 记作 f n ( z ) .
n 1
级数最前面n项的和
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为这级数的部分和.
n 0
外再取一点 z1 , 使 z1 z0 ,
据阿贝尔定理, 级数
c
n 0
n
z1 必收敛 .
n
然而当 z1
1
时, lim
n
cn1 z1 cn z1
n 1 n
z1 1.
与
cn z1n 收敛相矛盾, 即假设不成立 .
n 0
故
c z
n 0 n
n
在圆 z
zn
n 0
收敛圆周上无收敛点;
zn 0 n n zn 0 n2 n
在点z 1发散, 在其它点都收敛 ;
在收敛圆周上处处收敛.
3. 收敛半径的求法 方法1: 比值法(定理二):
1 cn 1 如果 lim 0, 那末收敛半径 R . n c n
证 由于 lim
方法2: 根值法(定理三)
如果 lim cn 0, 那末收敛半径 R
n n
1
.
说明:
0 如果
R R0
(与比值法相同)
三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的有理运算
设 f ( z ) an z n , R r1 ,
n 0
g ( z ) bn z n , R r2 .
n 0
问题1: 幂级数
cn ( z a )n的收敛范围是何区域?
n 0
答案:
是以 z a 为中心的圆域 .
问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 注意
在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出
一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
例如, 级数:
R 均为 1, 收敛圆周 z 1
n
1 当z 2时, 原级数成为 , 调和级数，发散. n 1 n
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
(cos in) z n 的收敛半径: 例3 求幂级数
n 0
1 n 解 因为 cn cos in cosh n (e e n ), 2
n0
z a R 内的解析函数 .
(2) f (z ) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂 级数逐项求导得到, 即 f ( z ) ncn ( z a )n1 .
n 1
(3) f (z ) 在收敛圆内可以逐项积分,
即
f ( z )dz cn ( z a ) dz, n 0 c c
n 0 n 0
(anb0 an1b1 a0bn ) z n ,
n0
zR
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f ( z ) an z n , 又设在
n 0
z R 内 g (z ) 解析且满足 g( z ) r , 那末当 z R
(1) 因为 lim cn1 lim( n )3 1, 解 n c n n 1 n
1 1 或 lim cn lim n 3 lim n 3 1. n n n n n
n
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
n
c z a R.
或
z
a
cn f ( )d ( z a ) n 1 . n 0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数)
四、典型例题
zn 1 z z2 zn 例1 求幂级数
zn 1 在圆周 z 1上, 级数 3 3 n 1 n n 1 n
收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
cn 1 n lim 1 , 即 R 1. (2) lim n c n n 1 n
1 当z 0时, 原级数成为 ( 1) , 交错级数, 收敛. n n 1
cn z n c0 c1 z c2 z 2 cn z n . 或
n 1
这种级数称为幂级数.
二、幂级数的敛散性
1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理)
阿贝尔介绍
cn z n 在 z z0 ( 0) 收敛, 那末对 如果级数
n 0
满足 z z0 的 z , 级数必绝对收敛, 如果在 z z0 级数发散, 那末对满足 z z0 的 z , 级数必发散.
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z z
2
n 1
1 zn , ( z 1) 1 z
z 1
z 1
1 lim sn n 1 z
lim z n 0
n
z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 0
n
发散.
由正项级数的比较判别法知:
cn z n c0 c1 z c2 z 2 cn z n 收敛.
n 0
故级数
cn z n 是绝对收敛的.
n 0
另一部分的证明请课后完成.
[证毕]
2. 收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数，其收敛半径的情况有三种： (1) 对所有的正实数都收敛. 由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛.
级数, 其中 a与b 是不相等的复常数 . 1 解 把函数 z b 写成如下的形式: 1 1 1 1 z b ( z a ) (b a ) b a 1 z a ba 1 凑出 1 g( z )
代数变形 , 使其分母中出现 ( z a )
za 当 1时， ba 1 za za 2 za n 1 ( )( ) ( ) , za ba ba ba 1 ba 1 1 1 1 故 (z a) ( z a )2 2 3 zb b a (b a ) (b a ) 1 ( z a )n ( b a ) n 1 设 b a R, 那末当 z a R时, 级数收敛, 1 . 且其和为 zb
n 0
f ( z ) g( z ) an z n bn z n (an bn ) z n ,
n 0 n 0 n 0
zR
f ( z ) g( z ) ( an z n ) ( bn z n ), R min(r1 , r2 )
复变函数与积分变换
N
P
y S x z
第四章
级数
1.
2. 3.
复数项级数
幂级数 泰勒级数
4.
5.
洛朗级数
第四章小结与习题
第二节 幂级数
1
幂级数的概念
y
2 3
幂级数的敛散性
幂级数的运算和性质
R.
o
4 5
.
x
典型例题 小结与思考
一、幂级数的概念
1.复变函数项级数 定义 设 { f n ( z )} (n 1,2,) 为一复变函数序列, 其中各项在区域 D内有定义.表达式
证
n 因为级数 cn z0 收敛, n0
n 由收敛的必要条件, 有 lim cn z0 0 n
因而存在正数M, 使对所有的ｎ, 有 cn z0 M ,
n
z 如果 z z0 , 那末 q 1, z0
而
cn z cn z0
n n
z z0
n n
Mq n .
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1, 在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有
1 2 n 1 z z z . 1 z
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的情形) n 1 n ( z 1)n (2) (并讨论 z 0 , 2 时的情形) n n 1
z2 zn 例如, 级数 1 z 2 n 2 n
z 1 对任意固定的z, 从某个ｎ开始, 总有 , n 2 n n z 1 于是有 n , n 2
故该级数对任意的z均收敛.
(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 那末称级数 f n ( z ) 在 z0 收敛, s( z0 )称为
n 1
它的和.
如果级数在Ｄ内处处收敛，那末它的和一定
是 z 的一个函数 s( z ) :
s ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域Ｄ上的和函数.
2. 幂级数 当 f n ( z ) cn1 ( z a )n1 或 f n ( z ) cn1 z n1 时, 函数项级数的特殊情形
cn ( z a )n c0 c1 ( z a ) c2 ( z a )2 cn ( z a )n
fn ( z ) n 1
f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为复变函数项级数, 记作 f n ( z ) .
n 1
级数最前面n项的和
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为这级数的部分和.
n 0
外再取一点 z1 , 使 z1 z0 ,
据阿贝尔定理, 级数
c
n 0
n
z1 必收敛 .
n
然而当 z1
1
时, lim
n
cn1 z1 cn z1
n 1 n
z1 1.
与
cn z1n 收敛相矛盾, 即假设不成立 .
n 0
故
c z
n 0 n
n
在圆 z
zn
n 0
收敛圆周上无收敛点;
zn 0 n n zn 0 n2 n
在点z 1发散, 在其它点都收敛 ;
在收敛圆周上处处收敛.
3. 收敛半径的求法 方法1: 比值法(定理二):
1 cn 1 如果 lim 0, 那末收敛半径 R . n c n
证 由于 lim
方法2: 根值法(定理三)
如果 lim cn 0, 那末收敛半径 R
n n
1
.
说明:
0 如果
R R0
(与比值法相同)
三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的有理运算
设 f ( z ) an z n , R r1 ,
n 0
g ( z ) bn z n , R r2 .
n 0
问题1: 幂级数
cn ( z a )n的收敛范围是何区域?
n 0
答案:
是以 z a 为中心的圆域 .
问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 注意
在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出
一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
例如, 级数:
R 均为 1, 收敛圆周 z 1
n
1 当z 2时, 原级数成为 , 调和级数，发散. n 1 n
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
(cos in) z n 的收敛半径: 例3 求幂级数
n 0
1 n 解 因为 cn cos in cosh n (e e n ), 2
n0
z a R 内的解析函数 .
(2) f (z ) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂 级数逐项求导得到, 即 f ( z ) ncn ( z a )n1 .
n 1
(3) f (z ) 在收敛圆内可以逐项积分,
即
f ( z )dz cn ( z a ) dz, n 0 c c
n 0 n 0
(anb0 an1b1 a0bn ) z n ,
n0
zR
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f ( z ) an z n , 又设在
n 0
z R 内 g (z ) 解析且满足 g( z ) r , 那末当 z R
(1) 因为 lim cn1 lim( n )3 1, 解 n c n n 1 n
1 1 或 lim cn lim n 3 lim n 3 1. n n n n n
n
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
n
c z a R.
或
z
a
cn f ( )d ( z a ) n 1 . n 0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数)
四、典型例题
zn 1 z z2 zn 例1 求幂级数
zn 1 在圆周 z 1上, 级数 3 3 n 1 n n 1 n
收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
cn 1 n lim 1 , 即 R 1. (2) lim n c n n 1 n
1 当z 0时, 原级数成为 ( 1) , 交错级数, 收敛. n n 1