2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (全国II卷) 解析版
2017年高考数学全国二卷完整解析及答案(无水印精编版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=++i1i 3A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2+D ．i 2-2． 设集合{}4 2 1，，=A ，{}042=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=B A ．{}3 1-， B. {}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1， 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π365．设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．96．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种理科数学试题 第1页（共4页）7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8．执行右面的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S A ．2B ．3C ．4D ．59．若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．33210．已知直三棱柱111C B A ABC -中， 120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．23 B ．515 C ．510 D ． 33 11．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为A ．1-B ．32--eC ．35-eD ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是A ．2-B ．23-C ．34- D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017全国2卷理科数学与答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（Ⅱ卷）逐题解析理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【题目1】(2017·新课标全国Ⅱ卷理1)1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力. 【解析】解法一：常规解法()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++- 解法二：对十法31i i ++可以拆成两组分式数3111，运算的结果应为a bi +形式，223111211a ⨯+⨯==+（分子十字相乘，分母为底层数字平方和），221131111b ⨯-⨯==-+（分子对位之积差，分母为底层数字平方和）.解法三：分离常数法()()1132121121111i i i i i i i i i+-+++==+=+=-++++ 解法四：参数法()()()()3331311a b ia bi i a bi i i ab a b i a b i -=⎧+=+⇒+=++⇒+=-++⇒⎨+=+⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩故321ii i+=-+ 【知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1.复数的 几何意义（2016年）；2.复数的四则运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数； 5.复数的模【题目2】(2017·新课标全国Ⅱ卷理2)2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目 的.【解析】解法一：常规解法 ∵ {}1AB = ∴ 1是方程240x x m -+=的一个根，即3m =，∴ {}2430B x x x =-+=故 {}1,3B = 解法二：韦达定理法 ∵ {}1AB = ∴ 1是方程240x x m -+=的一个根，∴ 利用伟大定理可知：114x +=，解得：13x =，故 {}1,3B =解法三：排除法∵集合B 中的元素必是方程方程240x x m -+=的根，∴ 124x x +=，从四个选项A ﹑B ﹑C ﹑D 看只有C 选项满足题意.【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义 相结合，集合考点有二：1.集合间的基本关系；2.集合的基本运算.【题目3】(2017·新课标全国Ⅱ卷理3)3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式n a 及其前n 项和n S ，以考查考生的运算能力为主目 的.【解析】解法一：常规解法一座7层塔共挂了381盏灯，即7381S =；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即2q =，塔的顶层为1a ；由等比前n 项和()()1111n n a q S q q-=≠-可知：()171238112n a S -==-，解得13a =.解法二：边界效应等比数列为递增数列，则有1n n a S +≈，∴87381a S ≈=，解得1 2.9a =，∴ 13a =.【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必 有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所 占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难 度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰， 1.等差数列通向公式n a 及其前n 项和n S ；2. 等比数列通向公式n a 及其前n 项和n S .【题目4】(2017·新课标全国Ⅱ卷理4)4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以考查考生的空间想象能力为主目的. 【解析】解法一：常规解法从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具体图像如下：从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部分图如下：【知识拓展】三视图属于高考必考点，几乎年年考三视图，题型一般有五方面，1.求体积；2.求面 积（表面积，侧面积等）；3.求棱长；4.视图本质考查（推断视图，展开图，空间直角坐标系视 图）；5.视图与球体综合联立，其中前三个方面考的较多.【题目5】(2017·新课标全国Ⅱ卷理5)5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【命题意图】本题主要考查线性规划问题，以考查考生数形结合的数学思想方法运用为目的，属于过渡中档题. 【解析】解法一：常规解法根据约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩画出可行域（图中阴影部分）, 作直线:20l x y +=，平移直线l ，将直线平移到点A 处Z 最小，点A 的坐标为()6,3--，将点A 的坐标代到目标函数2Z x y =+， 可得15Z =-，即min 15Z =-.解法二：直接求法对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的 为最小值即可，点A 的坐标为()6,3--，点B 的坐标为()6,3-，点C 的坐标为()0,1，所求值分 别为15-﹑9﹑1，故min 15Z =-，max 9Z =. 解法三：隔板法首先 看约束条件方程的斜率约束条件方程的斜率分别为23-﹑23﹑0；其次 排序按照坐标系位置排序23-﹑0﹑23；再次 看目标函数的斜率和y 前的系数看目标函数的斜率和y 前的系数分别为2-﹑1； 最后 画初始位置，跳格，找到最小值点目标函数的斜率在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭之间，即为初始位置，y 前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为最大值点，即22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，第二个格为最小值点，即20,3⎛⎫⎪⎝⎭，只需解斜率为0和23这两条线的交点即可，其实就是点A ，点A 的坐标为()6,3--，将点A 的坐标代到目标函数2Z x y =+， 可得15Z =-，即min 15Z =-.【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般 变化只在两个方向变化，1.约束条件的变化；2.目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面 变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条 件，求已知的二元一次方程目标函数），此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法 即可.【题目6】(2017·新课标全国Ⅱ卷理6)6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力 为主.【解析】解法一：分组分配之分人 首先 分组将三人分成两组，一组为三个人，有336A =种可能，另外一组从三人在选调一人，有133C =种可 能； 其次 排序两组前后在排序，在对位找工作即可，有222A =种可能；共计有36种可能. 解法二：分组分配之分工作工作分成三份有246C=种可能，在把三组工作分给3个人有336A=可能，共计有36种可能. 解法三：分组分配之人与工作互动先让先个人个完成一项工作，有3424A=种可能，剩下的一项工作在有3人中一人完成有133C=种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以222A=，共计有36种可能. 解法四：占位法其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有123418C C⋅=中可能；剩下的两项工作由剩下的两个人去完成，即有222A=种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能. 解法五：隔板法和环桌排列首先让其环桌排列，在插两个隔板，有246C=种可能，在分配给3人工作有336A=种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能.【知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有1.排列组合；2.二项式定理，几乎二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出.【题目7】(2017·新课标全国Ⅱ卷理7)7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【命题意图】本题考查推理与证明的有关知识，考查考生推理论证能力.【解析】解法一：假设法甲看乙﹑丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙﹑丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道自己的成绩要么良，要么优，丙同样也是，当乙看到丙的成绩，一定知道自己的成绩，但是丙一定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判断自己的成绩，丁同学也一定知道自己的成绩，故只有乙﹑丁两位同学知道自己的成绩. 解法二：选项代入法当我们不知道如何下手,则从选项入手，一一假定成立，来验证我们的假设是否成立，略 【知识拓展】推理与证明近两年属于热点考题，2016年的第15题（理）﹑第16题（文），今年 的理（7）﹑文（9），属于创新题，突出新颖，但题的难度不大，需要考生冷静的思考，抓住主 要知识要点，从而能够快速做题，属于中档题.【题目8】(2017·新课标全国Ⅱ卷理8)8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【命题意图】本题考查程序框图的知识，意在考查考生对循环结构的理解与应用. 【解析】解法一：常规解法∵ 00S =，01K =，01a =-，S S a K =+⋅，a a =-，∴ 执行第一次循环：11S =-﹑11a =﹑12K =；执行第二次循环：21S =﹑21a =-﹑23K =；执行第三次循环：32S =-﹑31a =﹑34K =；执行第四次循环：42S =﹑41a =-﹑45K =；执行第五次循环：53S =-﹑51a =﹑56K =；执行第五次循环：63S =﹑61a =﹑67K =；当676K =>时，终止循环，输出63S =， 故输出值为3. 解法二：数列法()11nn n S S n -=+-⋅，1n K n =+，裂项相消可得()121nin i S S i =-=-⋅∑；执行第一次循环：11S =-﹑11a =﹑12K =，当6n K >时，6n =即可终止，61234564S +=-+-+=，即63S =，故输出值为3.【题目9】(2017·新课标全国Ⅱ卷理9)9.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 BCD【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想. 【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到，=，解得2e =.解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx =，∴，=解得23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =. 解法三：几何法从题意可知：112OA OO O A ===，1OO A ∆为 等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为3π， 由于tan k θ=，可得k =渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =. 解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标系方程：()2224x y -+=，可得极坐标方程4cos ρθ=，由4cos 2θ=可得极 角3πθ=，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以k渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =. 解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，可以表示点A 的坐标为()2cos ,2sin θθ，∵cos a c θ=，sin b c θ= ∴ 点A 的坐标为22,a b c c ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆方程中，解得2e =.【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科），一般与三角形﹑直线与圆﹑向量 相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上 位置，但难度逐年下降.【题目10】(2017·新课标全国Ⅱ卷理10)10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）ABCD【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象能力 【解析】解法一：常规解法解法二：补形通过补形之后可知：1BC D ∠或其补角为异面 直线1AB 和1BC 所成的角，通过几何关系可知：1BC =，1C D =BD 由勾股定理或余弦定理可得异面直线1AB 和1BC 所成的. 解法三：建系3⎛111125B A BC B A BC ⋅=⋅解法四：投影平移-三垂线定理【知识拓展】立体几何位置关系中角度问题一直是理科的热点问题，也是高频考点，证明的方 法大体有两个方向：1.几何法；2.建系；几何法步骤简洁，但不易想到；建系容易想到，但计算 量偏大，平时复习应注意各方法优势和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍. 【题目11】(2017·新课标全国Ⅱ卷理11)11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1 【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运 算求解能力.【解析】解法一：常规解法∵ ()()211x f x x ax e -=+- ∴ 导函数()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⎣⎦∵ ()20f '-= ∴ 1a =- ∴ 导函数()()212x f x x x e -'=+- 令()0f x '=，∴ 12x =-，11x =当x 变化时，()f x ，()f x '随变化情况如下表：从上表可知：极小值为()11f =-.【知识拓展】导数是高考重点考查的对象，极值点的问题是非常重要考点之一，大题﹑小题都 会考查，属于压轴题，但难度在逐年降低.【题目12】(2017·新课标全国Ⅱ卷理12)12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A.2- B.32-C. 43- D.1- 【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法2PO ，∴(,,3PA x x y =----∴2223PO PA x y y x ⎛⋅=+-=+ 3PO PA ⋅≥-最小值为32-解法二：均值法∵2PC PB PO +=，∴ ()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅由上图可知：OA PA PO =-；两边平方可得()()2232PA PO PA PO =+-⋅∵ ()()222PA POPA PO +≥-⋅，∴ 322PO PA ⋅≥-∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-，∴最小值为32-解法三：配凑法 ∵2PC PB PO +=∴ ()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-∴最小值为32-【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年高考真题——理科数学(全国II卷)+Word版含解析
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ． 90πB ．63πC ．42πD ．36π5.设，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．D ．6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A 3B 15C 10D 311.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e -- C.35e - D.1 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017理科数学全国二卷试题及答案
2017理科数学全国二卷试题及答案2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(Ⅱ)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31i i+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x xx m B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始得，则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π 5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 9.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D 2310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o，2AB =，1C CC1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A ．3B ．155C ．105D ．3311.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e --C.35e - D.112.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是（ ）A.2-B.32- C. 43- D.1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017新课标全国卷2高考理科数学试题(卷)与答案解析
下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1 盏
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一
平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）
A．90
B．63
C．42
D．36
1 / 12
2x 3y 3 0 5.设 x ， y 满足约束条件 2x 3y 3 0 ，则 z 2x y 的最小值是（）
0.010 6.635
0.001 10.828
19.（12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，
AB BC 1 AD, BAD ABC 90o , E 是 PD 的中点. 2
（1）证明：直线 CE / / 平面 PAB
（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 45o ，求二面角 M-AB-D 的
绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域
内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
2 / 12
A. 1
B. 2e3
C. 5e3
D.1
12.已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA (PB PC) 的最小
值是（）
A. 2
B. 3 2
(完整版)2017全国二卷理科数学高考真题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．23310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（） A.2- B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全word版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试■ —理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
’ 犬汀 2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀2x 3y 3 0,5. 设x 、y 满足约束条件2x 3y 3 0,则z 2x y 的最小值是y 3 0,A .15B.9C. 1D. 96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有一、选择题：本题共12小题，每小题 有一项是符合题目要求的 1. 口1 iA . 1 2i ] J2. 设集合A 1,2,4，A . 1, 3lxiXB. 1 B x 2 B.. 5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只Air*D. 2 iF vCvf1 ,则BC. 1,3D. 1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： 远望巍巍塔七层，红光点点倍加2i 4x 1,0C. 2 i0，若A B增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯A . 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 36 种1 \7. 8. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩 .老师说：你们四人中 有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲 的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则 A .乙可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩 执行右面的程序框图，如果输入的 2 F \ 34 5 A . B . C . D . r- .根据以上信息，则 B. 丁可以知道四人的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩 1，则输出的S I2 I \ f \■ o VO 开始 输入a S=S+a K ■A卜 9. x 2 若双曲线C :二a 2 y_b 2 长为2，则C 的离心率为 1(a 0, b B.、、310 .已知直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， 线AB 1与BC 1所成角的余弦值为八 3A .— 2试 2是函数f (x) 1B . ------ 5 (x 2ax B. 2e 3 0)的一条渐近线被圆(xABC 11 .若 x A . 12 .已知ABC 是边长为2的等边三角形, 最小值是 C.120 , AB 2,BC 输出S 开始a= - a K=K+ 1 4所截得的弦2一 3 3CC 11,则异面直D.n 、、3 D .— 3 - 1)e x 的极值点，贝U f (x)的极小值为 3C. 5eD. 1C . 、10 5 C. 5e 3P 为平面ABC 内一点，贝U PA (PB PC)的 Y B. 32 、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017全国二卷理科数学高考真题及答案
1a =aS =S +a ∙K 是否输入aS =0,K =1K ≤6开始2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国2卷)一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =(）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（)A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5。
设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是(）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项,每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的2成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息,则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >,0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（)A ．2 BCD．310。
2017年高考全国2卷理科数学及答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国II 卷（全卷共10页）(适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、西藏)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1. 3+i 1+i=A ．1+2iB ．1–2iC ．2+iD ．2–i 2. 设集合A={1,2,4}，B={x 2–4x +m=0}，若A∩B={1}，则B = A ．{1,–3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5}3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧2x+3y–3≤02x–3y+3≥0y+3≥0，则z=2x+y 的最小值是A ．–15B ．–9C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩。
老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。
2017年高考真题全国2卷理科数学(附答案解析)
说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因
为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲
是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点睛】
本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
属于中档题． 8．B
2x + 3y − 3 ≤ 0 作出 2x − 3y + 3 ≥ 0 表示的可行域，如图，
y + 3 ≥ 0
2x + 3y − 3 =0 x = −6
由
可得
，
2x − 3y + 3 =0 y = −3
将=z 2x + y 变形为 y =−2x + z ， 平移直线 y =−2x + z ，
由图可知当直 y =−2x + z 经过点 (−6, −3) 时，
4 − 2i
＝2－i.
2
参考答案
故选 D. 【点睛】 这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上
uuur 的点 Z(a，b)、平面向量 OZ 都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点)；复平面内，实
轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地， 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 z 的共轭
a2 b2
截
得的弦长为 2，则 C 的离心率为
（）
A．2
B． 3
C． 2
D． 2 3 3
10．已知直三棱柱 ΑΒC − Α1Β1C1 中， ∠ΑΒC = 120o， ΑΒ = 2 ， ΒC= CC=1 1，则
2017高考理科数学全国2卷-含答案.pdf
A．1 盏
B． 3 盏
C． 5 盏
D． 9 盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）
A． 90
B． 63
C． 42
D． 36
5.设 x ， y 满足约束条件
2x 3y 3 0
2x 3y 3 0
y30
，则 z 2x y 的最小值是（）
20.解
uuur NP （ 1）设 P（ x,y） ,M （ x0,y0） ,设 N（x0,0） ,
uuuur x x0 , y , NM
0, y0
uuur 由 NP
uuuur 2 NM
得
x 0 =x,
y0
2 y2Biblioteka x2y21
因为 M （ x0,y0）在 C 上，所以 2 2
因此点 P 的轨迹方程为 x2 y2 2
A． 15
B． 9
C． 1
D． 9
6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）
A．12 种
B． 18 种
C． 24 种
D． 36 种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中 有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的
．若
I
1 ，则
（）
A． 1, 3
B． 1,0
C． 1,3
D． 1,5
3.我国古代数学名著 《算法统宗》 中有如下问题： “远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 共灯三百八十一，
(完整版)2017年高考理科数学全国卷2试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(Ⅱ)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．23输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ） A．2 B．5 C．5D．3 11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.112.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ） A.2- B.32-C. 43- D.1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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1
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(Ⅱ)试题答案
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 2n
1
n + 16. 6
三、解答题
17.解：（1）由题设及2
sin 8sin
2
A B C B π
π++==得，故
sin 4-cosB B =（1）
上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0
解得 15
cosB=cosB 17
1（舍去），=
（2）由158cosB sin B 1717==得，故14
a sin 217
ABC S c B ac ∆==
又17
=22
ABC S ac ∆=，则
由余弦定理及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）
所以b=2
18.解：（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ” ，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ” 由题意知 ()()()()P A P BC P B P C ==
旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为 0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++⨯（） 故()P B 的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为 0.0680.0460.0100.0085=0.66+++⨯（） 故()P C 的估计值为0.66
因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
()2
22006266343815.705
10010096104
K ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯
由于15.705 6.635> 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为
()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，
箱产量低于55kg 的直方图面积为 ()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=> 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 0.5-0.34
50+ 2.35kg 0.068
（）
≈5． 19.解：（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．
因为E 为PD 的中点，所以EF AD P ,12EF AD =
,由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ∥，又1
2
BC AD = 所以EF BC ∥．四边形BCEF 为平行四边形， CE BF ∥． 又BF PAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面
，故CE PAB ∥平面 （2）
由已知得
BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB u u u r 的方向为x 轴正方向，AB u u u r
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
A-xyz,则
则(000)A ，，，(10
0)B ，，，(110)C ，，，(01P ，
， (10PC =u u u r ，，,(100)AB =u u u r ，，则 (x 1),(x 1BM y z PM y z =-
=-u u u
u r u u u u r
，，，，
因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而(00)=n ，，1是底面ABCD 的法向量，所以
0cos ,sin 45BM =n u u u u r
=
即（x-1）²+y ²-z ²=0
又M 在棱PC 上，设,PM PC λ=u u u u r u u u r
则 x ,1,y z λ===
2
由
①，②得x x y y ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎪⎪
⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩
=1+=1-22=1(舍去)，=1
z z 22
所以
M 1-,1⎛ ⎝⎭
，从而1-,1⎛= ⎝⎭
AM u u u u r
设()000,,x y z m =是平面ABM 的法向量，则
(
000020
0即00
⎧⎧++
==⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩x y AM AB x u u u u r g u u u
r g m m
所以可取m =（0，
2）.
于是cos =
=g m n
m,n m n
因此二面角M-AB-D
20.解 （1）设P （x,y ）,M （x 0,y 0）,设N （x 0,0）, ()()00,,0,=-=NP x x y NM y u u u r u u u u r
由=
NP u u u r u u u r
得00=,=
x x y y 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以22
122+=x y
因此点P 的轨迹方程为222+=x y
（2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则
()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn u u u r u u u r u u u r u u u r g ， ()(),3,==---OP m,n PQ m,t n u u u r u u u r
由1=OP PQ u u u r u u u r
g 得22-31-+-=m m tn n ，又由（1）知22+=2m n ，故 3+3m-tn=0
所以0=OQ PF u u u r u u u r g ，即⊥OQ PF u u u r u u u r
过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.解：（1）()f x 的定义域为()0，
+∞ 设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1
1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x
若a =1，则()1
1-
g'x =x
.当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0
≥g x g
综上，a=1
（2）由（1）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=--
设()1
22ln ,则'()2h x x x h x x
=--=-
当10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()'＜0h x ；当1,+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭
时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
单调递减，在1,+2
⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
单调递增 又()
()21＞0,＜0,102h e h h -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以()h x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭有唯一零点x 0，在1,+2
⎡⎫
∞⎪⎢⎣⎭
有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，
()＞0h x ；当()0,1x x ∈时，()＜0h x ，当()1,+x ∈∞时，()＞0h x .
因为()()'f x h x =，所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点
由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)
f x x x f x x x ==--
由()00,1x ∈得()01
'＜
4
f x 因为x=x 0是f(x)在（0,1）的最大值点，由()()
110,1,'0e f e --∈≠得
()()
12
0＞f x f e e --=
所以()2-20＜＜2e f x -
22.解： （1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθ
ρ，M 的极坐标为()()1
1
，＞0ρθρ，由题设知
cos 14
=，=
ρρθ
OP OM = 由16OM OP =g 得2C 的极坐标方程()
cos =4＞0ρθρ
因此2C 的直角坐标方程为()()2
2
240x y x -+=≠
（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B B
ρα
ρ,由题设知
cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积
1
=
sin 2
4cos sin 32sin 232B S OA AOB ρπααπα∠⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭⎛⎫=--
⎪⎝⎭≤+
g g g 当=-
12
π
α时，S
取得最大值
所以△OAB
面积的最大值为。