数学,初三升高一衔接要点Word文档
初三升高一暑期衔接教材数学(共36页)
初三升高一课程知识结构⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧、复合函数、含字母系数的函数、含绝对值函数、函数图像平移、分段函数函数、含字母系数不等式、含绝对值不等式、高次不等式、分式不等式、一元二次不等式不等式、含字母系数方程、含绝对值方程、根式方程、分式方程、高次方程方程151413121110987654321 第一节:五类方程的解法 知识要点序 名称 例子转化方程关键词 1分式方程例1312)1(12=-+-x x 换元 去分母 去分母 2 高次方程例2 03224=-+x x① 换元② 因式分解降次 3 根式方程 例3 0312=--+x x① 换元② 乘方去根号 4 绝对值方程 例4 0322=--x x① 换元② 分类去5含字母系数的方程例5 0=+b ax定义：二次以上的方程叫高次方程。
解题思路：通过降次把方程转化为一元一次或一元二次方程。
解法：①直接开方降次法 ②因式分解降次法 ③换元降次法例：解方程03224=--x x ()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=--⇒=41013032222222x x x t t t x 解法三：方程化为：解法二：方程化为：解法一：设选择适当的方法解下列方程：（1）02783=+x （2）05424=--x x（3） 063)3(222=---+x x x x （4）032234=--x x x（5）04423=+--x x x （6）)4)(3)(2)(1(++++x x x x =35定义：分母含有未知数的方程叫分式方程（注意解分式方程必须验根）解题思路：通过换元或去分母把它转化为一元一次或一元二次方程。
解法：①换元法②去分母法（注意有些题。
去分母前要做化简准备）例题：1331)1(22=---x x 。
解下列方程：（1）312)1(12=-+-x x （2）22x x 10x11x++=--（3）25311322=-+-x x x x ()4222221)(1)222yy y y ++-=---（()51111;5867x x x x -=-++++ （6）x 2x 5x 4x 3x1x 4x 3x 2+++++=+++++定义：根号内含有字母的方程叫根式方程。
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初高中数学知识脱节及联系比较紧密的知识点：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而运算能力是学好高中数学必须具备的能力之一，以上的公式高中的运算还在用，属于高中数学的基本公式。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
比如用定义证明函数的单调性，不等式中比较大小以及证明等等。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
高中学生学习了导数后，对三次函数求导后，很多问题都转化为二次函数问题。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
这里体现了高中数学思想中的函数与方程的思想。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
数学运算实质上是一种变换，代数变换就是我们上面说的乘法公式，分式通分等等为基础。
几何变换就是这里有关对称，平移，旋转等等。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究。
而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
所以有必要把初中所学的一次函数，反比例函数等等进行系统的归纳总结达到含有参数学生也能理解掌握的程度。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
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（一）数与式----------立方和（差）公式1．公式：（1）()()22b a b a b a -=-+（2）()2222b ab a b a +±=±（3）()()2233bab a b a b a +-+=+（4）()()2233b ab a b a b a ++-=-（5）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++（6）()3223333b ab b a a b a +++=+（7）()3223333b ab b a a b a -+-=-2．公式及运用例1．计算：（1）()()964322+-+x x x （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-2242412121b b a a b a思考：化简（1）()()()()42422222+++--+a a a a a a（2）()()()11122++---x x x x x（3）()()211xx x ++-（4）()()3211x x x x +++-例2．因式分解（1）66y x - （2）33662n m n m ++（3）()()()116119222+-+-+x x x（4）4323-+x x例3：已知2,2==+xy y x ，求33y x +的值思考：（1）已知2=+b a ，求336b ab a ++的值。
（2）已知31=-x x ，求331xx -的值。
练习：1 化简（1）()()2222y xy x y x +-+ （2）()()[]2222z y z y z y ++-（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121412141222x x x x x2．已知0152=++a a ，试求下列各式的值： （1）a a 1+ （2）221a a + （3）331a a + （4）441aa +3．已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．（二）十字相乘法与分组分解法一、十字相乘法：两个一次二项多项式n mx +与l kx +相乘时，可以把系数分离出来，按如下方式进行演算：即 ()()()nl x nk ml mkx l kx n mx +++=++2把以上演算过程反过来，就可以把二次三项式()nl x nk ml mkx +++2分解因式即()()()l kx n mx nl x nk ml mkx ++=+++2这说明，对于二次三项式()02≠++ac c bx ax ，如果把a 写成c mk ,写成nl 时，b 恰好是nk ml +，那么c bx ax ++2可以分解为()()l kx n mx ++二、运用举例例1．分解因式（十字相乘法） （1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．（5）81032++x x （6）122++-x x （7）6222++-xy y x （8）22592y xy x --m n k l()n mx +的系数 ()l kx +的系数 mk nk ml +nl例2．分解因式（分组分解法） （1）322333y xy y x x -+- （2）63223-+-x x x （3）32933x x x +++练习：1分解因式 （1）4324--m m （2）42249374b b a a +- （3）2221b ab a -+- （4）2215x x -- （5）21252x x -- （6）2524x x +- （7）233+-x x （8）=-+2675x x （9）()=++-a x a x 12（10）=+-91242m m 2．用因式分解法解下列方程:(1) 04432=--x x (2)()()x x x =-+-221123．不解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-320073200782y x y x ，求代数式226159y xy x --的值。
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第一讲数与式1、绝对值（ 1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,| a | 0, a 0,a, a 0.（ 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（ 3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（ 1）含有绝对值的不等式① f (x)a(a0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是a f ( x) a 。
② f (x)a(a0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a 或 f (x) a 。
③f (x)2 2g(x) f (x) g(x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例 1.求不等式3x 5 4 的解集例 2.求不等式2x 1 5 的解集例 3.求不等式x 3x 2 的解集例 4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．1例 5.解不等式|x －1|＋|2－x|＞3－x．例 6.已知关于x 的不等式|x－5|＋|x －3|＜a有解，求a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（ 1）x1x 3 ＞4+x（ 2） |x+1|<|x － 2|（ 3） |x－1|+|2x +1|<4（4）3x 27(5)5x 7 83、因式分解乘法公式（ 1）平方差公式 2 2(a b)( a b) ab （2）完全平方公式（3）立方和公式2 2 2(a b) a 2abb2 2 33(a b)(a ab b ) ab2 2 3（ 4）立方差公式 3(a b)(a ab b ) ab2 2 2 2（ 5）三数和平方公式(a b c) a b c2(ab bcac)3 3 2 2（ 6）两数和立方公式 3(a b) a 3a b 3abb2（ 7）两数差立方公式 3 3 2 23(a b) a 3a b 3abb因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例 1分解因式：2（ 1）x－ 3x＋ 2；（ 3）2()x a b xyy．2．提取公因式法例 2.分解因式：2b 5 a 5 b3．公式法例 3.分解因式：（1）（ 2）26x 7 x22aby ；（ 4）xy 1 x（ 2）x39 3x 23x （1）aa416 （ 2）2 23x 2y xy4．分组分解法2 2 2例 4.（ 1） xxy 3y 3x（ 2） 2xxy y4x 5y65．关于 x 的二次三项式ax2+bx +c ( a ≠ 0) 的因式分解．若关于 x 的方程20(a0)xx2(0)axbx c的两个实数根是、，则二次三项式 axbx c a就可12分解为a(x x )(xx ) .1 2例 5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（ 1） 2 2 1 2 x x ；x（ 2）y ．4 4 2 xy3练习（ 1）2 5 6 2 1 x x x ax a21118 x x（ 2）（ 3）（ 4）2 2 2 24m 12m 9 （ 5） 5 7x 6x 12x xy 6y（ 6）2 q p 35a2 b 6ab22 2 42（ 7 ）6 2p q 11 2 3 （ 8 ） a （ 9 ）4x x （ 10）x42x 21（11）x2y 2a2b22ax 2by（）a 2 2(13)x212 4ab 4b 6a 12b 9－2x－ 1（） 1 4 214 34x 13xa ；（ 15）9 ；（ 16）22 2 2 2 2 23x 5xy 2yx 9yb c ab ac bc ；4（ 17）第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1)根的判别式2对于一元二次方程ax ＋ bx＋ c＝0（ a≠0），有:（ 1）当＞0时，方程有两个不相等的实数根x ＝1 ， 2， 2＝2 4bb ；ac2a（ 2）当＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝ x 2＝－b；2a（ 3）当＜0时，方程没有实数根．(2)根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋ bx＋ c＝0（ a≠0）的两根分别是x1， x2，那么x 1＋ x 2＝定理．2、二次函数 2y axbx c 的性质b， x1· x2＝c．这一关系也被称为韦达a a21. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b 4ac b2a2a，。
初中升高中数学衔接教材讲义(有例题最全最新word版)
初升高衔接教材—数学2020.8目录1.1 数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2. 乘法公式1.1.3．二次根式1.1.４．分式1．2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心”3.2.2 几种特殊的三角形3．3圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2 点的轨迹１２1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．练 习 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 1A 0 C x|x －1||x －3| 图1．1－1３3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如32a b21x ++，22x y ++，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，一般地，b与b互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公0,0)a b=≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2的意义a==,0,,0.a aa a≥⎧⎨-<⎩例1将下列式子化为最简二次根式：（1（20)a≥；（30)x<．解：（1=（20)a==≥；（3220)x x x==-<．例2(3-．解法一：(3-解法二：(3４５例3 试比较下列各组数的大小：（1（2. 解： （11===，1===，>．（2）∵1=== 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，例4化简：20042005+⋅．解：20042005⋅-＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤+⋅⋅⎣⎦＝20041⋅例 5 化简：（1； （21)x <<． 解：（1）原式===2=2=．（2）原式1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．６例 6已知x y ==22353x xy y -+的值 ． 解：∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练 习 1．填空： （1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___； （3）=__ ___； （4）若2x ==______ __． 2．选择题：=（ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若b =，求a b +的值．4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式７像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-＝910．（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12 ． 例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，８∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．选择题：若223x y x y -=+，则xy＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(2(2+-＝________；（22=，则a 的取值范围是________； （3=________．B 组1．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-____ ____； （2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+__ __； 2．已知：11,23x y ==的值．C 组1．选择题：（1=（ ）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算 （ ）９（A（B（C） （D）2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=． 3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．1.1.1．绝对值1．（1）5±；4± （2）4±；1-或3 2．D 3．3x －181.1.2．乘法公式1．（1）1132a b - （2）11,24 （3）424ab ac bc --2．（1）D （2）A1.1.3．二次根式1． （12 （2）35x ≤≤ （3）- （4． 2．C 3．1 4．＞1.1.4．分式1．12 2．B 3． 1- 4．99100习题1．1 A 组1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞3 2．1 3．（1）2-（2）11a -≤≤ （31-B 组1．（1）37 （2）52，或－15 2．4．C 组1．（1）C （2）C 2．121,22x x == 3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；１０（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 解： （1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． 解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1x y图1．2－5∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +-++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．1.2分解因式1． B 2．（1）(x ＋2)(x ＋4) （2）22(2)(42)a b a ab b -++（3）(11x x --+ （4）(2)(22)y x y --+．习题1．21．（1）()()211a a a +-+ （2）()()()()232311x x x x +-+- （3）()()2b c b c a +++ （4）()()3421y y x y -++-2．（1）x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭； （2）(x x -；（3）3x y x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()3(1)(11x x x x -+--+．3．等边三角形 4．(1)()x a x a -++2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根1x =， 2x = （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a-----=⋅===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35． 由 （－35）＋2＝－5k，得 k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72． （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x=，2x =， ∴| x 1－x 2|=||||a a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0．② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练 习 1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ．（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.1 A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． 3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围． 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和122x x +； （2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．C 组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ） （A（B ）3 （C ）6 （D ）9 （2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x +的值为 （ ） （A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ） （A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1 （4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是 （ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根 2．填空：若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ． 3． 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值； （3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．4．已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=． （1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2． 5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．2.1 一元二次方程练习1． （1）C （2）D2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x 2＋2x －3＝0 3．k ＜4，且k ≠04．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9习题2．1 A 组1． （1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实数根；对于④，其两根之和应为－23．（3）C 提示：当a ＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．2． （1）2 （2）174（3）6 （33．当m ＞－14，且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m ＝－14时，方程有两个相等的实数根；当m ＜－14时，方程没有实数根． 4．设已知方程的两根分别是x 1和x 2，则所求的方程的两根分别是－x 1和－x 2，∵x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝－1，∴(－x 1)＋(－x 2)＝－7，(－x 1)×(－x 2)＝x 1x 2＝－1，∴所求的方程为y 2＋7y －1＝0．B 组1．C 提示：由于k =1时，方程为x 2＋2＝0，没有实数根，所以k ＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m ＋n ＝－2005，mn ＝－1，∴m 2n ＋mn 2－mn ＝mn (m ＋n －1)＝－1×(－2005－1)＝2006． （2）－3 提示；∵a ＋b ＝－1，ab ＝－1，∴a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3＝a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋b )＝(a ＋b )( a 2＋b 2)＝(a ＋b )[( a ＋b ) 2－2ab ]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．（1）∵Δ＝(－k )2－4×1×(－2)＝k 2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，∴2k ＞－2，即k ＞－1．4．（1）| x 1－x 2|，122x x +＝2b a -；（2）x 13＋x 23＝333abc b a -． 5．∵| x 1－x 2|2==，∴m ＝3．把m ＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m ＝3．C 组1．（1）B （2）A（3）C 提示：由Δ≥0，得m ≤12，∴α＋β＝2(1－m )≥1． （4）B 提示：∵a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，∴a ＋b ＞c ，∴Δ＝(a ＋b )2－c 2＞0． 2．（1）12 提示：∵x 1＋x 2＝8，∴3x 1＋2x 2＝2(x 1＋x 2)＋x 1＝2×8＋x 1＝18，∴x 1＝2，∴x 2＝6，∴m ＝x 1x 2＝12．3．（1）假设存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立．∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k ≠0，且Δ＝16k 2－16k (k +1)=－16k ≥0，∴k ＜0． ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝14k k+， ∴ (2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝2 x 12－51x 2＋2 x 22 ＝2(x 1＋x 2)2－9 x 1x 2＝2－9(1)4k k+＝－32，即9(1)4k k+＝72，解得k ＝95，与k ＜0相矛盾，所以，不存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立．（2）∵1221x x x x +－2＝222212121212121212()2()224x x x x x x x x x x x x x x ++-+-=-=- ＝444(1)44111k k k k k k -+-==-+++， ∴要使1221x xx x +－2的值为整数，只须k ＋1能整除4．而k 为整数，∴k ＋1只能取±1，±2，±4．又∵k ＜0，∴k ＋1＜1， ∴k ＋1只能取－1，－2，－4，∴k ＝－2，－3，－5． ∴能使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3和－5．（3）当k ＝－2时，x 1＋x 2＝1，① x 1x 2＝18， ② ①2÷②，得1221x x x x +＋2＝8，即16λλ+=，∴2610λλ-+=， ∴3λ=± 4．（1）Δ＝22(1)20m -+>；（2）∵x 1x 2＝－24m ≤0，∴x 1≤0，x 2≥0，或x 1≥0，x 2≤0．①若x 1≤0，x 2≥0，则x 2＝－x 1＋2，∴x 1＋x 2＝2，∴m －2＝2，∴m ＝4．此时，方程为x 2－2x －4＝0，∴11x =21x =②若x 1≥0，x 2≤0，则－x 2＝x 1＋2，∴x 1＋x 2＝－2，∴m －2＝－2，∴m ＝0．此时，方程为x 2＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝－2．5．设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝a ， 由一根大于1、另一根小于1，得(x 1－1)( x 2－1)＜0， 即 x 1x 2－(x 1＋x 2)+1＜0， ∴ a －(－1)＋1＜0，∴a ＜－2． 此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0， ∴实数a 的取值范围是a ＜－2．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示）2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a -=++，所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．1坐标、最大值（或最小值），并指出当x 减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x 大而减小；采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 和C (，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）． 图2.2-3 图2.2－5说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得 k ＝－1，b ＝200．∴ y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224bc +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练 习 1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象． （1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点个数．当抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有ax 2＋bx ＋c ＝0． ①①图2.2－6②③并且方程①的解就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2－4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝c a， 即 b a ＝－(x 1＋x 2)， ca＝x 1x 2．所以，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (2b c x x a a++)= a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]＝a (x －x 1) (x －x 2)．由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上， 所以，2＝x ＋1，∴x ＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2． ∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．。
初三衔接高一的数学内容
初三衔接高一的数学内容
一、初三数学复习内容：
1. 整数运算：包括整数的四则运算和混合运算。
2. 数的性质和因式分解：回顾自然数、整数和有理数的性质，学习质因数分解和最大公因数、最小公倍数的计算。
3. 分数的四则运算：包括分数间的加减乘除和混合运算。
4. 代数式的化简与计算：熟练运用整式的基本运算法则，进行合并同类项和提取公因式的化简计算。
5. 方程与不等式：解一元一次方程和一元一次不等式，并应用于实际问题的解决。
6. 图形的认识与计算：了解几何图形的基本特征、属性和计算方法，包括周长、面积、体积的计算等。
7. 几何变换：熟悉平移、旋转、对称和放缩等几何变换的基本性质和计算方法。
二、高一数学进阶内容：
1. 二次函数：学习二次函数的概念、性质和图像特征，掌握二次函数的图像绘制、解析式的推导和应用问题的解决。
2. 指数与对数：了解指数和对数的基本概念和性质，学习指数方程、指数函数和对数函数的计算和应用。
3. 三角函数：掌握三角函数的概念、性质和图像特征，学习正弦、余弦、正切函数及其应用。
4. 三角恒等式与三角方程：熟悉基本的三角恒等式和性质，学习解三角方程的方法和应用。
5. 排列组合与概率：学习排列组合的基本原理和计算方法，了解概率的概念和计算规则。
6. 数列与数学归纳法：学习数列的概念、性质和表达式，掌握数列的求和公式和递推关系，并熟悉数学归纳法的运用。
这份衔接内容可以作为初三数学知识与高一数学进阶知识的桥梁，帮助学生在升入高中后更好地适应和掌握高中数学的学习。
2024年初升高教材衔接衔接讲义
第1讲初高衔接-计算衔接模块一绝对值知识梳理一、初中知识回顾：1、数轴上，一个数所对应的点与原点的叫做该数的绝对值．2、正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即 .3、负数比较大小，绝对值大的反而．4、绝对值不等式：∣x∣＜a（a＞0）；∣x∣＞a（a＞0）.5、两个数的差的绝对值的几何意义：∣a-b∣表示．二、高中知识对接：1、数轴上两点之间的距离：若M、N是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x 1、x2，则M、N之间的距离为MN=2、含有绝对值的方程和函数：（1）含有绝对值的方程要先去掉绝对值符号，再求未知数的值；（2）绝对值函数的定义：y=∣x∣= ，绝对值函数的定义域是，值域是。
题型精练题型一、利用绝对值性质化简：例1、化简：|3x+1|+|2x-1|.例2、解不等式：|x-1|+|x-3|＞4．变式训练：1.解不等式：|x+3|+|x-2|＜7题型二、化简求最值例3、已知0≤a≤4，那么|a-2|+|3-a|的最大值为（）A. 1B. 5C. 8D. 3变式训练：1、已知实数x、y满足|x+7|+|1-x|=19-|y-10|-|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为 .秋季延伸探究已知-1＜x＜4，2＜y＜3，则x-y的取值范围是（），3x+2y的取值范围是（）若将条件改为-1＜x+y＜4，2＜x-y＜3，求3x+2y的取值范围题型三、绝对值方程和函数例4、解下列方程：（1）|2x+3|-5=0 （2）4|x-1|-6=0 例5、做出y=|x-2|-1的函数图像。
变式训练：1、画出下列函数的图像：（1）y=-|x+3|+2秋季延伸探究1、求函数y=|x-1|+|x-3|的最小值；2、已知关于x的方程|x-2|+|x-3|=a，试着根据a的取值，讨论该方程解的情况。
模块二乘法公式知识梳理一、初中知识回顾：1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22、实际应用中经常将公式进行变形：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab （2）a2+b2=（a-b）2+2ab（3）（a+b）2=（a-b）2+4ab （4）（a-b）2=（a+b）2-4ab（5）（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）（6）（a+b）2-（a-b）2=4ab二、高中知识对接：1、立方和公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；2、立方差公式：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；3、三数和平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；4、两数和立方公式：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；5、两数差立方公式：（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3．【公式1】（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc 例1、计算：（x 2-2x+13）2【公式2】（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3（立方和公式） 例2、计算：（2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）【公式3】（a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3-b 3（立方差公式） 例3、计算：（2x-3）（4x 2+6xy+9）变式训练：1、已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a 2+b 2+c 2的值．例4、已知x 2-3x+1=0，求33x1x 的值．1、已知a 、b 是方程x 2-7x+11=0的两个根，求：（1）a 2b+ab 2； （2）a bb a +；（3）a 3+b 3； （4）（a-b ）4.变式训练2：1、已知x （x+1）-（x 2+y ）=-3，求2y x 22+-xy 的值。
初三高一衔接知识数学
初三高一衔接知识数学摘要：一、引言- 介绍初三和高一衔接知识数学的重要性二、初中数学知识的回顾- 数与代数1.有理数2.整式与分式3.二次根式- 几何1.点、线、面的关系2.平行线与相交线3.三角形4.四边形5.圆三、高中数学知识的预览- 函数1.函数的基本概念2.函数的性质3.函数的应用- 三角函数1.三角函数的基本概念2.三角函数的性质3.三角函数的应用- 向量1.向量的基本概念2.向量的运算3.向量的应用四、如何顺利过渡到高中数学- 养成良好的学习习惯- 培养自主学习的能力- 及时复习巩固初中知识- 提前预习高中课程正文：一、引言数学作为基础学科之一，在初高中阶段都占有非常重要的地位。
初三和高一衔接知识数学对于学生顺利进入高中阶段的学习起着至关重要的作用。
本文将回顾初中数学知识，并预览高中数学知识，帮助学生顺利过渡到高中数学学习。
二、初中数学知识的回顾1.数与代数数与代数是数学的基础部分，主要涉及有理数、整式与分式、二次根式等内容。
有理数是初中数学的入门知识，学生需要掌握有理数的加减乘除运算以及有理数的绝对值、相反数等概念。
整式与分式主要涉及代数式的展开、化简和运算。
二次根式则是学习二次函数和一元二次方程的基础。
2.几何几何是初中数学的重要内容，包括点、线、面的关系，平行线与相交线，三角形，四边形和圆等内容。
学生需要掌握各种图形的性质、定理和证明方法，并能运用这些知识解决实际问题。
3.代数与几何的结合在初中阶段，代数与几何的结合主要体现在解析几何方面。
学生需要学会用代数方法解决几何问题，如利用一元二次方程求解几何图形中的未知量。
三、高中数学知识的预览1.函数函数是高中数学的核心内容，涉及函数的基本概念、性质和应用。
函数的学习有助于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和空间想象力。
学生需要掌握函数的定义、性质、单调性、奇偶性等概念，并能运用函数知识解决实际问题。
2.三角函数三角函数是高中数学的重要内容，涉及三角函数的基本概念、性质和应用。
初三升高一衔接知识点
初三升高一衔接知识点初三升入高一是每个初中生都要面对的转折点，这一阶段的学习是高中学习的基础，对于学生未来的学业发展至关重要。
为了帮助同学们更好地适应高中学习并顺利升入高一，本文将介绍初三升高一衔接的关键知识点。
一、数学在数学学科中，以下知识点是初三升高一需要重点掌握的：1. 基础代数知识：包括因式分解、整式乘除法、分式乘除法、二次根式等。
这些知识点在高一数学中会经常用到，是理解和解决各种复杂问题的基础。
2. 平面几何：初三已经学习了一部分平面几何知识，高一将继续深入学习。
应重点掌握平行线与垂直线的性质、三角形的性质以及正方形、矩形等各种图形的性质。
3. 线性方程与不等式：初三已经学习了一元一次方程和一元一次不等式，高一将学习一些复杂的方程和不等式，如二元一次方程和绝对值不等式。
初三升高一时，应该对基础的方程和不等式有清晰的理解。
二、物理初三学习的物理为高中物理的基础，以下是初三升高一需要掌握的物理知识点：1. 基本物理量的概念：如时间、长度、质量、速度、加速度等。
初三时学习了这些基本物理量，高一会进一步深入探究它们的性质和相互关系。
2. 力与压强：初三已经学习了力的概念和力的性质，高一将继续研究力在物体上的作用以及压强的概念。
在升入高一之前，应对力和压强的计算有一定的掌握。
3. 电磁学：初三已经学习了一些电磁学的基础知识，高一将进一步学习电荷、电场、电流等概念，并学习电路的构成和电流的计算。
三、化学初中化学是理解高中化学的基础，以下是初三升高一需要重点掌握的化学知识点：1. 基本化学概念：如元素、化合物、化学反应等。
这些基础概念是高中化学学习的基石，应对其有清晰的理解。
2. 酸碱和溶液：初三已经学习了酸碱和溶液的基本知识，高一将继续深入学习这些内容，并学习酸碱中一些常见的反应。
3. 元素周期表：初三已经学习了一部分元素周期表的内容，高一将进一步学习元素周期表的性质和规律，了解各种元素的特性和用途。
2024年度初中和高中数学衔接
掌握函数单调性和奇偶性的判断方法，能够运用这些性质解决
相关问题。
函数周期性
03
理解周期函数的概念，能够判断并求解函数的周期。
8
立体几何与空间想象力培养
空间几何体
认识并掌握各种空间几何体的性质，如柱体、锥体、球体等。
点、线、面的位置关系
理解并掌握空间中点、线、面的位置关系，能够判断它们之间的平 行、垂直等关系。
21
概率统计类例题应用场景分析
2024/2/2
古典概型的计算与应用
理解古典概型的概念，掌握排列、组合的计算方法，并能解决实际 应用问题。
离散型随机变量的分布列与期望
了解离散型随机变量的概念，掌握分布列和期望的计算方法，并能 分析实际应用问题。
统计图表的识别与数据分析
识别常见的统计图表，如条形图、折线图、扇形图等，并能从图表 中提取有效信息进行数据分析。
2024/2/2
24
模拟测试卷及答案解析
2024/2/2
模拟测试卷
根据初中数学与高中数学的衔接 内容，设计多套模拟测试卷，供 学生进行自我检测。
答案解析
提供详尽的答案解析，帮助学生 了解自身在解题过程中存在的问 题，及时纠正错误思路。
25
备考策略分享
制定复习计划
建议学生根据自身情况 ，制定合理的复习计划 ，明确每个阶段的目标
22
06
实战演练与模拟测试
2024/2/2
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针对性练习题选讲
代数部分
包括一元一次方程、一元二次方程、不等式与不等式组等，通过精 选例题，深入剖析解题思路和方法。
几何部分
涵盖平面几何、立体几何初步等知识点，通过典型例题讲解，帮助 学生建立空间想象力和几何直观。
初升高数学衔接内容
初到高数学衔接内容第一：基本解法一、一元一次方程的解法（1）解一元一次方程的基本步骤：1、3541x x +=+2、5x+1=3x-23、7)5.0(4+=+x x4、23579x x x -=++5、 3157146x x ---=6、7、13421+=-x x 8、322126x x x -+-=-（1）二元一次方程组的常用解法1、代入消元法：代入法解二元一次方程组的步骤：①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； ②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 ③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解； ⑥最后检验求得的结果是否正确.2、加减消元法：用加减法解二元一次方程组的一般步骤： 第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,•可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,•可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数. 第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元. 第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,•合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,•常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.（2）二元一次方程组的常用解法训练1、2、{22302=+=+y x y x3、4、5、三、一元二次方程的解法 （1）一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程2、配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，{732153=+=-y x y x {3341523=+=-y x y x {513)5(3)1(5+=-+=-y x x y ）（③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式， ⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解. 如果n ＜0，则原方程无解.3、公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)x b ac =-≥.4、因式分解法：（重点）因式分解法的一般步骤是： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程， 它们的解就是原一元二次方程的解. 5、十字相乘法（重点） 衍生知识：1、韦达定理（①前提：(1) a ≠0,(2)△≥0②(1)1x ＋2x ＝a b -,(2)1x 2x ＝a c2、一元二次方程根的判别式:△＝b 2－4ac △＞0 ⇔一元二次方程有两个不相等的实数根△＝0 ⇔一元二次方程有两个相等的实数根 1x ＝2x ＝a b2-△＜0 ⇔一元二次方程没有实数根（2）一元二次方程的常用解法的训练1、x 2-4x =-12、 (x 2=83、x (x -3)=5(x -3)4、4n 2+4n －15=0；5、6a 2+a －35=0；6、5x 2－8x －13=0；7、4x 2+15x+9=0； 8、6y 2+19y+10=0；9、(2x +3)2-5(2x +3)+4=0 四、一元一次不等式 (1)一元一次不等式的解法1、不等式的基本性质(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变． 如果a b >，那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或___a b cc ） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或___a b cc ） 说明：任意两个实数a 、b 的大小关系：①a-b>O ⇔a>b ；②a-b=O ⇔a=b ；③a-b<O ⇔a<b ．2、解一元一次不等式的一般步骤(1)去分母； (2)去括号； (3)移项；(4)合并同类项； (5)化系数为1．（不等号的方向有谁来决定）4、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集（2）一元一次不等式的解法的训练1、解不等式：6+5x ≥20－2x2、解不等式：2－5x ≥8－2x3、解不等式：21 32x x-≤-4、解不等式组2(1)3253x xxx--≤⎧⎪+⎨>⎪⎩并把它的解集在数轴上表示出来.5、解不等式组253(1)742x xxx-≤-⎧⎪⎨+>⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．6、解不等式组：253323(1)21x xx x++⎧≤⎪⎨⎪->+⎩第二:基本函数一、一次函数1、一次函数y=kx+b（k≠0）（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，图象必过第一、三象限；①当b＞0时，过第一、二、三象限；②当b=0时，只过第一、三象限；③当b＜0时，过第一、三、四象限.（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，图象必过第二、四象限.①当b＞0时，过第一、二、四象限；②当b=0时，只过第二、四象限；③当b＜0时，过第二、三、四象限2、正比例函数y=kx(k≠0）图象过原点.（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，图象必过第一、三象限；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，图象必过第二、四象限二、反比例函数1、（1）与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．（2）当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； （3）当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2、对称性：图象关于原点对称，三、二次函数1、二次函数解析式的表示方法（1） 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； （2） 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3） 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 2、二次函数的图像和性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -．3、二次函数与一元二次方程： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-= ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点. 1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．。
初三衔接高一知识点
初三衔接高一知识点初三是初中阶段的最后一年，同时也是初中知识和高中知识衔接的重要时期。
为了顺利过渡到高中学习，学生们需要在初三阶段对高一的知识点有所了解和准备。
本文将从语文、数学、英语和科学四个学科的角度，探讨初三衔接高一知识点的重要性和方法。
一、初三衔接高一语文知识点初三语文的教学重点主要是文言文的阅读和写作能力的提高。
而高一语文的教学则更加注重现代文的阅读和写作能力。
为了顺利衔接高中学习，初三学生可以在以下方面下功夫：1. 阅读文言文：初三学生可以多读一些经典的古文名篇，提高对古文的理解能力和鉴赏水平。
这样可以为高一的现代文阅读打下良好的基础。
2. 写作训练：初三学生可以多进行写作训练，培养自己的写作能力和表达能力。
可以写一些议论文、说明文等，提高自己的文笔和逻辑思维。
二、初三衔接高一数学知识点初三数学的教学内容主要包括代数、几何和概率统计等方面的知识。
而高一数学则更加注重数列与数学归纳法、函数与方程、三角函数等高中数学的基础知识点。
为了顺利衔接高中学习，初三学生可以在以下方面下功夫：1. 夯实基础知识：初三学生可以复习并夯实代数、几何和概率统计等方面的基础知识。
只有基础扎实，才能更好地理解和应用高中数学知识。
2. 提前预习高中内容：初三学生可以提前预习高一数学的内容，了解高中数学的难点和重点，为高中学习做好准备。
三、初三衔接高一英语知识点初三英语的教学内容主要包括词汇、语法和阅读理解等方面的知识。
而高一英语则更加注重听说读写四个方面的综合能力。
为了顺利衔接高中学习，初三学生可以在以下方面下功夫：1. 提高听说能力：初三学生可以多进行听力和口语练习，培养自己的听力理解能力和口语表达能力。
可以通过听英语广播、看英文电影等方式来提高自己的听说能力。
2. 阅读扩展：初三学生可以多读一些英文原版的书籍或文章，提高自己的阅读理解能力和词汇量。
可以选择一些适合自己水平的英文小说或杂志。
四、初三衔接高一科学知识点初三科学的教学内容主要包括物理、化学和生物等方面的知识。
初三和高一衔接知识点
初三和高一衔接知识点初三和高一是学生学习生涯中的重要转折点，初中阶段和高中阶段的学习内容和要求存在一定的差异。
初三学生要顺利过渡到高一阶段，并适应高中学习的节奏和要求，需要掌握一些重要的衔接知识点。
本文将从数学、语文和英语三个学科的角度，介绍初三和高一的衔接知识点，帮助同学们更好地迎接新的学习阶段。
一、数学衔接知识点在初中数学学习过程中，同学们已经掌握了一些基础的数学知识和解题方法。
但是进入高中后，数学的难度会逐渐提高，学习内容也会有所变化，因此需要同学们在初三阶段掌握以下衔接知识点：1. 函数和方程：高中数学中，函数和方程是重要的学习内容。
同学们需要对初中已学的线性方程、一元二次方程和一元一次不等式等进行复习和巩固，为高中阶段的学习打下坚实的基础。
2. 平面几何：初中平面几何的学习主要涉及线段、角、三角形等基本图形的性质和计算。
进入高中后，同学们需要进一步学习平面向量、二次函数的图像等内容。
因此，在初三阶段，同学们需要对初中平面几何的知识进行复习和强化。
3. 统计与概率：高中数学中，统计与概率是一个重要的学习模块。
同学们需要掌握初中已学的统计与概率的基本方法和概念，如频数分布、样本空间、事件等，并学会运用这些知识解决实际问题。
二、语文衔接知识点语文学科是同学们综合素养的重要组成部分，也是高中学习的核心学科之一。
初三同学们需要在语文学科方面掌握以下衔接知识点：1. 作文写作技巧：高中作文要求同学们提升写作能力，培养独立思考和表达的能力。
因此，在初三阶段，同学们需要进一步加强对作文写作技巧的学习，如行文逻辑、段落衔接和论证方法等，以适应高中阶段的写作要求。
2. 诗词鉴赏：高中语文中，同学们需要学习和欣赏更多的古代诗词作品。
初三同学们应该进一步了解古代诗词的基本特点和常用修辞手法，如比喻、拟人、夸张等，为高中的诗词鉴赏打下基础。
3. 阅读理解：高中的语文阅读要求更高，同学们需要具备更好的阅读和理解能力。
初高中数学衔接知识点总结
初高中数学衔接知识点总结一、基础概念的复习1.数的性质：正数、负数、零的性质，有理数和无理数的区分。
2.分数的运算：分数的四则运算，分数的化简和比较大小。
3.负数的运算：负数相加、相减和相乘，负数的运算法则。
4.二次根式：二次根式的定义与性质，二次根式的化简与比较大小。
5.整式与分式：整式和分式的区别，整式和分式的运算。
二、解题方法的延伸1.方程的解法：一元一次方程的解法，一元二次方程的解法，一元一次方程组的解法。
2.几何图形的证明：几何图形的性质和证明方法，平行线与等角的证明。
3.概率的计算：事件的概率，事件的运算，独立事件和互斥事件的概率计算。
4.数据的统计：数据图的绘制和分析，均值、中位数和众数的计算。
三、思维能力的培养1.推理与证明能力：运用已知条件进行推理和证明，运用逻辑推理解决问题。
2.创新与发散思维：从不同角度思考问题，发散思维解决问题。
3.抽象与推理：将实际问题抽象为数学问题，运用推理和推导解题。
4.应用与实践：运用数学知识解决实际问题，培养数学思维。
四、学习方法的转变1.主动学习：培养积极主动的学习态度，主动参与讨论和思考。
2.自主学习：培养自主学习的能力，合理安排学习时间和学习计划。
3.合作学习：与同学一起学习，相互讨论和交流，共同解决问题。
4.多样化学习：多种学习方式的结合，如听课、做练习、看教材、做题等。
总之，初高中数学的衔接是一个渐进过程，需要在巩固基础知识的基础上延伸解题方法，培养思维能力，转变学习方法。
通过全面复习基础概念，延伸解题方法，培养思维能力，转变学习方法，学生能够更好地应对高中数学的学习和应用，为将来的学习打下坚实的基础。
初三高一衔接知识数学
初三高一衔接知识数学摘要：1.初三数学知识点回顾2.高一数学知识点概述3.初三与高一数学知识点的衔接4.如何做好初高数学的衔接学习正文：一、初三数学知识点回顾初三数学作为初中阶段的最后一年，知识点相对较为密集，涵盖了有理数、一元一次方程、平面直角坐标系、函数及其图像、数据的收集、整理与分析等内容。
这些知识点为学生进入高中阶段打下坚实的基础。
二、高一数学知识点概述高一数学作为高中阶段的开始，知识点更加深入，涵盖了有理数、整式、一元一次方程组、不等式及其解集、平面直角坐标系、函数、数列、极限等知识点。
这些知识点将为学生后续学习奠定基础。
三、初三与高一数学知识点的衔接1.有理数与整式：初三阶段的有理数概念在高一会拓展为整式，包括单项式和多项式。
2.一元一次方程与一元一次方程组：初三的一元一次方程会拓展为一元一次方程组，涉及到解法和应用。
3.平面直角坐标系与函数：初三阶段的平面直角坐标系和函数图像会在高一阶段深入学习，包括函数的性质、函数图像的变换等。
4.数据的收集、整理与分析与统计：初三阶段的统计知识会在高一阶段深入学习，包括频数分布、概率等。
四、如何做好初高数学的衔接学习1.巩固基础知识：初三知识点是高中学习的基础，因此在进入高中阶段之前，学生需要对初中数学知识点进行巩固。
2.提前预习：学生可以提前预习高一数学知识点，了解与初中知识点的差异，以便更好地进行衔接学习。
3.做好学习计划：学生需要合理安排学习时间，确保每个知识点都能得到充分的学习和巩固。
4.勤于练习：数学学习需要多做题，学生在学习新知识点时，要注重练习，尤其是与初中知识点相关的题目。
5.寻求帮助：在学习过程中，如果遇到困难，学生可以向老师或同学请教，及时解决问题。
初三至新高一数学知识点
初三至新高一数学知识点随着学生进入新高中阶段，数学的难度也会逐渐增加。
在初三阶段，学生已经接触到一些基础的数学知识点，而新高一的数学知识将会在此基础上进一步扩展和深化。
本文将概述初三至新高一数学知识点的主要内容。
1. 代数与函数在初三，学生已经学习了一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一元二次方程的解法。
在新高一，代数与函数的内容将进一步扩展，包括二元一次方程与不等式的解法、一元三次方程的解法等。
此外，学生还将学习到实数的运算性质、二次函数与一次函数的性质等内容。
2. 平面几何在初三，学生已经学习了平面直角坐标系、平面图形的性质等内容。
在新高一，学生将继续学习平面直角坐标系的性质，包括点到直线的距离、直线的方程及其应用等。
此外，学生还将学习到平面中的圆的性质、图形的相似关系等内容。
3. 空间几何初三阶段的空间几何主要包括直线与角的性质，体积与表面积的计算等内容。
而在新高一，学生将进一步学习空间几何的知识，包括平行线与平面的性质、向量的概念及其运算等。
此外，学生还将学习到多面体的表面积与体积的计算、球体的表面积与体积的计算等内容。
4. 概率与统计初三阶段的概率与统计主要包括事件的概率计算、频数直方图的绘制等内容。
在新高一，学生将学习到更加复杂的概率与统计的内容，包括条件概率的计算、随机变量的概念及其分布等。
此外，学生还将学习到数据的处理与分析方法、抽样调查的设计与实施等内容。
5. 解决实际问题的数学建模在初三阶段，学生已经开始接触到解决实际问题的数学建模方法。
而在新高一，学生将进一步学习数学建模的知识与技巧，包括问题的抽象与建模、选择适当的数学工具与方法等。
通过数学建模，学生能够将数学知识应用于实际问题的解决中，培养实际问题解决能力和创新思维。
总结起来，初三至新高一的数学知识点主要涵盖代数与函数、平面几何、空间几何、概率与统计以及解决实际问题的数学建模等内容。
这些知识点是学生进入新高一后需要重点掌握和深入学习的内容。
最新初升高数学衔接班知识点总结1
教学资料—高一一．高中常见的代数式恒等变形 知识点睛1.我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式 1）平方差公式22))((b a b a b a -=-+；平方和公式6)2)(1(3212222++=++++n n n n2）完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±。
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 1）立方和公式 3322))((b a b ab a b a +=+-+； 2）立方差公式3322))((b a b ab a b a -=++-；3）三数和平方公式 )(2)(2222ac bc ab c b a c b a +++++=++； 4）两数和立方公式 3223333)(b ab b a a b a +++=+； 5）两数差立方公式 3223333)(b ab b a a b a -+-=-；6）常用公式[]222222)()()(21c a c b b a ac bc ab c b a ±+±+±=±±±++2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法，提取公因式法，公式法，分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法，用求根法分解关于x 的二次三项式)0(02≠=++a c bx ax 。
若关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x ，则))((212x x x x a c bx ax --=++。
经典精讲【例1】 1．已知1=+y x ,则xy y x 333++的值为________.2．实数b a ,满足1333=++ab b a .则b a +=_________.【例2】 因式分解 1. 673+-x x ; 2. 23323+++a a a3.12345-+-+-x x x x x二、韦达定理的应用 知识点睛1．一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两实根分别是21,x x ,那么a bx x -=+21，ac x x =∙21，这一关系也被称为韦达定理。
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初高中数学知识脱节及联系比较紧密的知识点：
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而运算能力是学好高中数学必须具备的能力之一，以上的公式高中的运算还在用，属于高中数学的基本公式。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
比如用定义证明函数的单调性，不等式中比较大小以及证明等等。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
高中学生学习了导数后，对三次函数求导后，很多问题都转化为二次函数问题。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
这里体现了高中数学思想中的函数与方程的思想。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
数学运算实质上是一种变换，代数变换就是我们上面说的乘法公式，分式通分等等为基础。
几何变换就是这里有关对称，平移，旋转等等。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究。
而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
所以有必要把初中所学的一次函数，反比例函数等等进行系统的归纳总结达到含有参数学生也能理解掌握的程度。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
这里我们可以放两个专题来讲。
比如三角形的四心，平行线分线段比例定理，相似等
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
而这些都是高中数学必要要求掌握的基本运算技巧与方法。
方法与技巧的教学可以渗透到每次课中来教学。
外关于衔接课时的安排一般可以安排16小时到30小时左右，视学生的基础而定。
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