图着色问题
chap12 图的着色
点着色的应用
课程安排问题 某大学数学系要为这个夏季安排课程表。所要开设 的课程为：图论(GT), 统计学(S),线性代数(LA), 高等 微积分(AC), 几何学(G)和近世代数(MA)。现有10名 学生(如下所示)需要选修这些课程。根据这些信息， 确定开设这些课程所需要的最少时间段数，使得学 生选课不会发生冲突。(学生用Ai表示）
5
K可着色的图例
v1
1
v2
G
v3 v4
v5
2 3
S
:V(G) →S,满射 是正常3着色，G是3可着色的。
6
K色图
定义12.1.2 图G的正常k着色中最小的k称为G的色
数，记为(G)，即(G)=min{k|G存在正常k着色}。
若(G) =k，则称G是k色图。 显然，含环的图不存在正常着色，而多重边与一条 边对正常着色是等价的。以后总设G为简单图。 问题：已知一个图G(p,q)，如何求色数(G)？
又因k＞0， 所以与(G)定义矛盾。结论成立。 注意此定理与定理12.1.2的区别。 定理12.1.2 若G是一个临界图，则(G) ≤(G)+1
21
Brooks 定理
定理12.1.5 若连通图G既不是奇回路，也不是完全 图，则(G) (G) . 例如，对Petersen图应用Brooks定理，可得： (G) (G) =3 . 此定理说明只有奇回路 或完全图这两类图的色 数才是(G) +1。
第一步：建图。 把每门课程做为图G的顶点，两顶点连线当且仅当 有某个学生同时选了这两门课程。
色给同一时 段的课程顶点染色，那么，问 题转化为在状态图中求点色数 问题。
MA
S
G
AC 选课状态图
LA
图的着色问题--C++实现(含详细注释)
图的着色问题一、题目简述(1) 图的m-着色判定问题给定一个无向连通图 G 和 m 种不同的颜色。
用这些颜色为图 G 的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，是否有一种着色法使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色？(2) 图的m-着色优化问题若一个图最少需要 m 种颜色才能使图中任意相邻的两个顶点着不同颜色，则称这个数 m 为该图的色数。
求一个图的最小色数 m 的问题称为m-着色优化问题。
二、算法思想1. m-着色判定问题总体思想：通过回溯的方法，不断为每一个节点着色，每个点的颜色由一个数字代表，初始值为1。
在对前面 step - 1 个节点都合法的着色之后，开始对第 step 个节点进行着色。
如果 n 个点均合法，且颜色数没有达到 m 种，则代表存在一种着色法使 G中任意相邻的两个顶点着不同颜色。
具体步骤：1. 对每个点 step ，有 m 种着色可能性，初始颜色值为1。
2. 检查第 step 个节点颜色的可行性，若与某个已着色的点相连且颜色相同，则不选择这种着色方案，并让颜色值加1，继续检查该点下一种颜色的可行性。
3. 如果第 step 点颜色值小于等于 m ，且未到达最后一个点，则进行对第 step + 1 点的判断。
4. 如果第 step 点颜色值大于 m ，代表该点找不到合适的分配方法。
此时算法进行回溯，首先令第 step 节点的颜色值为0，并对第 step - 1 个点的颜色值+1后重新判断。
5. 如果找到一种颜色使得第 step 个节点能够着色，说明 m 种颜色的方案是可行的。
6. 重复步骤2至5，如果最终 step 为0则代表无解。
2. m-着色优化问题基于问题1，对于一个无向图 G ，从1开始枚举染色数，上限为顶点数，第一个满足条件的颜色数即为所求解。
三、实现过程（附代码）1. m-着色判定问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n和着色数m"<<endl;cin>>n>>m;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向邻接矩阵存储边cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}if (Solve(m)) {cout<<"有解";} else {cout<<"无解";}return0;}2. m-着色优化问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n"<<endl;cin>>n;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向图邻接矩阵存储边 cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}for (m=1; m<=n; m++) { // 从小到大枚举着色数mif (Solve(m)) { // 如果有解，输出答案并跳出循环cout<<"最小色数m为 "<<m;break;}}return0;}四、结果及分析问题1测试用例：问题2测试用例：经检验，最少着色数的范围为2-4，意味着使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色最多需要4种颜色。
图的平面性与图的着色问题
图的平面性与图的着色问题在图论中，图的平面性与图的着色问题是两个重要的研究方向。
图的平面性指的是一种特殊的图的布局方式，使得图的边不相交。
而图的着色问题是指如何给图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
本文将分别介绍图的平面性和图的着色问题，并对其进行详细讨论。
一、图的平面性（Planarity of Graphs）图的平面性是图论中一个经典的问题，研究的是如何将一个图画在平面上，使得图的边不相交。
具体而言，如果一个图可以被画在平面上，且不同边的交点只有顶点，那么我们称该图是一个平面图。
而对于不能在平面上画出来的图，则被称为非平面图。
定理1：一个图是平面图，当且仅当它不包含任何的子图同构于以下两种图之一：K5（五个没有共同边的顶点）或K3,3（六个节点，其中任意两个节点之间都有边相连但不交叉）。
这个定理被称为Kuratowski定理，它为我们判断一个图是否是平面图提供了一个有效的方法。
根据Kuratowski定理，我们可以使用该定理的逆否命题，即如果一个图中包含K5或K3,3，则该图一定是非平面图。
除了Kuratowski定理之外，还有一种判断图的平面性的方法，称为Euler公式。
Euler公式表达了平面图的顶点数、边数和面数之间的关系：V - E + F = 2其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
根据Euler公式，对于简单连接图（无环，无孤立点），如果它的顶点数大于等于3且边数大于等于3，且满足Euler公式，则该图是一个平面图。
二、图的着色问题（Graph Coloring）图的着色问题是指如何给一个图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
这里的相邻指的是有边相连的顶点。
在图论中，颜色通常表示为正整数，颜色数则表示为给定图所需的最小颜色数。
对于任意图G，G的最小颜色数被称为G的色数。
如果图G的色数为k，则称图G是可k着色的。
求解一个图的最小色数是一个复杂的问题，称为顶点着色问题（Vertex Coloring Problem），它是一个NP 完全问题。
离散数学图着色问题算法描述
离散数学图着色问题算法描述离散数学图着色问题，简单来说是指给定一个无向图，如何为每个节点上色，使得相邻节点的颜色不相同。
这个问题可以用图着色算法来解决，下面将对图着色问题的算法描述进行详细介绍。
1. 算法背景介绍在离散数学中，图着色问题是一种经典的组合优化问题，它有广泛的应用领域，如地图着色、时间表排课等。
该问题的关键在于找到一种最少的颜色分配方案，使得相邻节点的颜色不相同。
2. 算法步骤描述（1）初始化：给定一个无向图G，节点数为n，边数为m。
初始时，给每个节点分配一个未被使用的颜色。
（2）排序节点：按照节点的度数降序进行排序，从度数最大的节点开始着色。
（3）节点着色：依次对每个节点进行着色。
对于当前节点v，遍历它的所有相邻节点w，如果w已经被染色，则从可用的颜色集合中去除w的颜色。
最后，将v染色为可用的最小颜色。
（4）重复步骤3，直到所有节点都被染色。
3. 算法实例演示假设有以下无向图G:```A/ \B C/ \ / \D -E - F```首先，对节点进行排序，按照度数降序排序为：E（度数为4），A （度数为3），D（度数为2），B和C（度数为1），F（度数为0）。
接下来，按照排序后的顺序对每个节点进行着色。
首先着色E，将其染色为第一个可用的颜色。
然后是A，由于E已经被染色为第一个颜色，A只能选择剩下的颜色。
接着是D，由于D与已经着色的节点E邻接，所以D需要选择未被使用的颜色。
然后是B和C，它们的邻居节点E和A已经被着色，所以它们只能选择未被使用的颜色。
最后是F，由于F没有邻居节点，可以选择任意颜色。
经过上述步骤，图G的每个节点都被着色，且相邻节点的颜色不相同。
4. 算法分析该算法在最坏情况下需要对节点进行O(n^2)次比较，其中n为节点数。
因此，算法的时间复杂度为O(n^2)。
同时，该算法具有较好的可行性和实用性，对于大部分图着色问题能够给出近似最优的解。
综上所述，离散数学图着色问题的算法描述如上所述。
图论讲义第6章-图的着色问题
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
ik i0 ik
vk …
im
… v3 v2
i4 i3 i2
u
i1
vm
v1
v
3
而对 k ≤ j ≤ m − 1 ，用颜色 ij+1 给 uvj 重新染色，而用颜色 ik 给 uvm 重新染色，得到一
1
, E k ) 中每个 Ei 都是非空的
设 v0 e1v1e2
eε v0 是 G 的一条 Euler 闭迹。 令 E1 = {ei i 为奇数}，E 2 = {ei i 为偶数}。
于是 c = (E1, E2) 即为所求的边 2-染色。 需要说明的是，Euler 闭迹从度≥4 的顶点出发是必需的。例如在下图中，若从 2 度顶 点 u 处出发沿 Euler 闭迹交替地对边进行 2 染色，则 u 点可能仅能获得一种色（如图，1、2 表示两种颜色） 。
′′, E 2 ′′, 个( Δ＋1 )边染色 c ′′ = ( E1
′′+1 ) 。同理有 c ′′( v ) ≥ c( v ) 对所有 v ∈ V 成立。故由引理 , EΔ
′ ∪ Ei′k′ ] 中含有 u 的分支 H 2 是个奇圈。 6.1.2， G[ Ei′0
vk-1
iki0 ik＋1 ik
第六章 染色理论
许多实际问题可以归结为求图的匹配或者独立集。 此外， 在许多应用中， 人们希望知道： 一个给定的图， 它的边集至少能划分成多少个边不交的匹配？或它的顶点集至少能划分成多 少个点不交的独立集？这便是图的边染色和顶点染色问题。
图的着色问题
问题来源
图的着色
通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
化简得
( a + bd )(b + aceg )(c + bdef )( d + aceg )(e + bcdf )( f + ceg )( g + bdf )
求极小覆盖法－ 求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X 即为X（G） 但上述子集的颜色数都不是X ），正确的应 但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X =3，该子集为： {b,d,f}中的 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色 涂颜色1 {a,e,g}中a,e,g涂颜色 涂颜色2 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的 涂颜色3 中的c {a,c,g}中的c涂颜色3。 由此可见， 由此可见，求色数其需要求极大独立集以 及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子 对于大图， 集，对于大图，因为图计算量过大而成为实 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 一般我们采用贪心法等近似算法来求解 。
实验四 回溯法(图着色问题)
01 234 001 1 01 1 1 01 01 21 1 01 0 3001 01 41 1 01 0
class MGraph { public:
MGraph(int v,int s); void mColoring(int m,int *x); //一维数组x，存放1~n个顶点的颜色 ~MGraph(); private: void NextValue(int k,int m,int *x); void mColoring (int k,int m,int *x); int **a; //二维数组a，存储图的邻接矩阵 int n,e; //n表示图的顶点数，e表示边数 };
无向图G
【实验内容与要求】
图的着色问题：设G=(V,E)是一连通无向图，有3 种颜色，用这些颜色为G的各顶点着色，每个顶点着 一种颜色，且相邻顶点颜色不同。试用回溯法设计一 个算法，找出所有可能满足上述条件的着色法。
无向图G
无向图G
对应这个无向图的状态空间树应该是怎样的？
是一个完全3叉树，共6层
实验四 回溯法 — 图的着色问题
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的： 用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个 区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点， 把相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一
个区域图抽象为一个平面图。
地图（map）中地区的相邻关系，在图（graph ）中用边表示。
//若(i, j)是图的边，且相邻结点k和j颜色相同 //发生冲突，选下一种颜色
if (j==k) return; //成功选择一种颜色返回 }while (1); //循环尝试颜色 }
运行结果：
图论课件第七章图的着色
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
数学中的图的着色问题与四色定理
数学中的图的着色问题与四色定理数学中的图论是一门研究图及其性质的学科，其中一个重要的问题就是图的着色问题。
图的着色问题是指如何用有限种颜色给图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边不具有相同的颜色。
这个问题在实际应用中有着广泛的应用，比如地图着色、时间表的安排等。
在图的着色问题中，最著名的就是四色定理。
四色定理是指任何平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域不具有相同的颜色。
这个定理在1852年被英国数学家弗朗西斯·格思·韦尔斯顿和威廉·哈姆顿·伯奇证明，被认为是图论中的一个里程碑。
证明四色定理的过程非常复杂，需要运用大量的数学知识和技巧。
其中一个重要的思想就是通过对图进行适当的分割，将大问题转化为小问题，然后逐步解决。
这种分割的方法被称为“规约法”，即将一个复杂的问题规约为一系列简单的子问题。
通过这种方法，韦尔斯顿和伯奇最终证明了四色定理的正确性。
四色定理的证明引起了广泛的关注和讨论。
人们对于这个问题的兴趣不仅在于它的应用价值，更在于它背后的数学原理和思维方式。
四色定理的证明过程中，涉及到了众多的数学概念和定理，如图的平面性、图的连通性、图的染色等。
这些概念和定理的研究不仅推动了图论的发展，也对其他领域的数学研究产生了重要影响。
除了四色定理，图的着色问题还有其他一些重要的结果。
比如，五色定理指出任何平面图都可以用五种颜色进行着色，六色定理指出任何平面图都可以用六种颜色进行着色。
这些定理的证明过程和四色定理类似，都需要运用复杂的数学技巧和方法。
图的着色问题不仅在理论上有着重要的意义，也在实际应用中发挥着重要的作用。
比如，在地图着色中，我们可以用不同的颜色表示不同的国家或地区，以便更好地区分它们。
在时间表的安排中，我们可以用不同的颜色表示不同的活动或任务，以便更好地组织和管理。
这些应用都离不开图的着色问题的研究和应用。
总之，图的着色问题是数学中一个重要且有趣的问题。
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图的应用。
在图论中，图的着色与染色问题是一个经典且重要的研究课题。
图的着色问题是指如何用有限的颜色对图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边具有不同的颜色。
本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念和应用。
一、图的基本概念1. 无向图和有向图无向图由一些顶点和连接这些顶点的边组成，边没有方向性。
而有向图中，边是有方向性的，连接两个顶点的边有始点和终点之分。
2. 邻接矩阵和邻接表邻接矩阵是一种表示图的方法，用一个矩阵表示图中各个顶点之间的连接关系。
邻接表是另一种表示图的方法，用链表的形式表示图中各个顶点之间的连接关系。
二、图的着色问题图的着色问题是指如何用有限的颜色对图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边具有不同的颜色。
图的着色问题有以下两种情况：1. 顶点着色对于无向图或有向图的顶点，通过对每个顶点进行染色，使得图中任何相邻的顶点具有不同的颜色。
这里的相邻顶点指的是通过一条边相连的顶点。
2. 边着色对于无向图或有向图的边，通过对每条边进行染色，使得图中任何相邻的边具有不同的颜色。
这里的相邻边指的是有共同始点或终点的边。
三、图的染色算法对于图的着色问题，有不同的染色算法可以解决。
在这里我们介绍两种常用的染色算法：贪心算法和回溯算法。
1. 贪心算法贪心算法是一种基于局部最优策略的算法。
对于图的顶点着色问题，贪心算法的策略是从一个未染色的顶点开始，将其染上一个可用的颜色，并将该颜色标记为已占用，然后继续处理下一个未染色的顶点。
如果当前顶点没有可用的颜色可染，则需要增加一个新的颜色。
2. 回溯算法回溯算法是一种穷举所有可能性的算法。
对于图的着色问题，回溯算法的策略是从一个未染色的顶点开始，尝试不同的颜色进行染色，如果发现染色后与相邻顶点冲突，就回溯到上一个顶点重新尝试其他颜色，直到所有顶点都被染色。
四、图的着色问题的应用图的着色问题在实际中有广泛的应用。
L2-023图着色问题（25分）
L2-023图着⾊问题（25分）L2-023 图着⾊问题（25 分)图着⾊问题是⼀个著名的NP完全问题。
给定⽆向图G=(V,E)，问可否⽤K种颜⾊为V中的每⼀个顶点分配⼀种颜⾊，使得不会有两个相邻顶点具有同⼀种颜⾊？但本题并不是要你解决这个着⾊问题，⽽是对给定的⼀种颜⾊分配，请你判断这是否是图着⾊问题的⼀个解。
输⼊格式：输⼊在第⼀⾏给出3个整数V（0<V≤500）、E（≥0）和K（0<K≤V），分别是⽆向图的顶点数、边数、以及颜⾊数。
顶点和颜⾊都从1到V编号。
随后E⾏，每⾏给出⼀条边的两个端点的编号。
在图的信息给出之后，给出了⼀个正整数N（≤20），是待检查的颜⾊分配⽅案的个数。
随后N⾏，每⾏顺次给出V个顶点的颜⾊（第i个数字表⽰第i个顶点的颜⾊），数字间以空格分隔。
题⽬保证给定的⽆向图是合法的（即不存在⾃回路和重边）。
输出格式：对每种颜⾊分配⽅案，如果是图着⾊问题的⼀个解则输出Yes，否则输出No，每句占⼀⾏。
输⼊样例：6 8 32 11 34 62 52 45 45 63 641 2 3 3 1 24 5 6 6 4 51 2 3 4 5 62 3 4 2 3 4输出样例：YesYesNoNo特⾊题⽬当K不等于查询的颜⾊数的时候输出No ⽆语了单向边就够了using namespace std;#include <stdio.h>#include <iostream>#include <cstring>#include <vector>#include <queue>//#include <map>#include <set>#include <sstream>#include <algorithm>using namespace std;int V, E, K;//const int MAXN = , MAXM = 0;//typedef long long ll;const int si = 505;vector<int> G[si];set<int > st;int color[si];bool solve() {for (int i = 1; i <= V; i++) {for (int j = 0; j < G[i].size(); j++) {int t = G[i][j];if (color[i] == color[t]) return false;}}return true;}int main() {cin >> V >> E >> K;for(int i = 0; i < E; i++) {int a, b;cin >> a >> b;G[a].push_back(b);}int cnt = 0;cin >> cnt;while (cnt--) {st.clear();for (int i = 1; i <= V; i++) { int tp;cin >> tp;color[i] = tp;st.insert(tp);}if (st.size() != K) {cout << "No";}else {if (solve()) cout << "Yes"; else cout << "No";}cout << endl;}return 0;}。
图的着色
内容
1 问题的来源 2 基本的概念
3
算法
4
实例
问题的来源-----四色问题
•图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地图着色，使得 地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。 •四色问题：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同
的颜色。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一条边相 连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。 例：图（a）所示的区域图可抽象为图（b）所表示的平面图。区域用城市名 表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区域的不同着色问题 。
算法6.8 生成下一种颜色
procedure NEXTVALUE(k) // global integer m,n,X(1:n),boolean GRAPH(1:n,1:n) integer j,k
loop
X(k) (X(K)+1)mod(m+1) //试验下一个最高标值的颜色//
if X(k)=0 then exit endif //全部颜色用完了//
if X(k)=0 then exit endif//没有可用的颜色了//
if k=n then print(X)//至多用了m种颜色分配给n个结点//
else call MCOLORING(K+1)//所有m-着色方案均在此反
复递归调用中产生// endif repeat end MCOLORING
。
基本概念
图的m色判定问题: 给定无向连通图G和m种颜色。用这些颜色为 图G的各顶点着色.问是否存在着色方法,使得G中任意2邻接点有不 同颜色。 图的m色优化问题:给定无向连通图G,为图G的各顶点着色, 使图中
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题在图论中，图的着色与染色问题是一类经典的问题。
图的着色是指给图的每个顶点赋予一个颜色，要求相邻的顶点不能有相同的颜色；而图的染色是指给图的边赋予一个颜色，要求相邻的边不能有相同的颜色。
一、图的顶点着色图的顶点着色问题是图论中的经典问题之一。
给定一个无向图，要求为每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
这个问题的本质是将相邻的顶点划分到不同的颜色集合中。
解决图的顶点着色问题有多种算法，其中较为简单和常用的是贪心算法。
贪心算法按照某种规则为图的顶点逐个着色，每次着色时选择当前可用颜色的最小编号。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n 为图的顶点数。
二、图的边染色图的边染色问题是另一个经典的图论问题。
给定一个无向图，要求给每条边分配一个颜色，使得任意两条相邻的边颜色不同。
这个问题的目标是将相邻的边划分到不同的颜色集合中。
解决图的边染色问题的算法有多种，其中常用的是基于回溯法和深度优先搜索的算法。
回溯法通过递归地尝试为每条边分配颜色，并根据约束条件进行回溯，直到找到可行的解或者穷尽所有可能。
深度优先搜索则通过遍历图的边，逐个给边染色，当发现某条边与相邻边颜色相同时，回溯到前一条边重新选择颜色。
三、特殊图的着色与染色问题除了一般的图的着色与染色问题，还存在一些特殊类型的图，对应着特殊的着色与染色问题。
1. 树的着色与染色：在树中，任意两个顶点之间都只有一条路径，因此树的着色与染色问题可以简化为树的边染色问题。
树的边染色问题可以使用贪心算法解决，每次为某条边选择一个未使用的颜色，直到所有边都被染色。
2. 平面图的着色与染色：平面图是指可以画在平面上，且任意两条边最多只有一个公共顶点的图。
平面图的着色与染色问题是在满足平面图约束条件下对图进行着色或染色。
对于平面图的着色与染色问题，使用四色定理可以得到解，即任何平面图最多只需要四种颜色来着色或染色。
四、应用领域图的着色与染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
第九章 图的着色
图的点着色数 着色数的基本性质 Brooks定理 图的边着色数 地图着色问题
问题来源
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的： 用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个 区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点， 把相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一 个区域图抽象为一个平面图。
二部图判定
n(n>=2)阶无向图G是二部图当且仅当G 中无奇圈当且仅当G是2-可着色 。
18
与点着色数有关的几个“常识”
(G)|VG|, 且等号当且仅当G=Kn时成立。 设H是G的子图，若(H)=k, 则(G)k。 若d(v)=k, 则与v相邻的k个顶点着色至多需要
k种颜色。 图G的着色数等于其着色数最大的连通分支
区域和点的对应
四色问题(Four Color Problem)
1852, Francis Guthrie, 注意到英格兰地 图可以用4种颜色染色, 使得相邻区域(有一 段公共边界,不只是有一个公共点)有不同颜 色; 他问其弟 Frederick 是否任意地图都有 此性质?
Frederick Guthrie DeMorgan Hamilton. 1878, Cayley, 提交伦敦数学会.
12
应用背景示例
问题1：排考试时间，一方面要总时间尽可 能短(假设教室没问题)，另一方面一个同 学所学的任意两门课不能同时考。
问题2：仓库存放若干种化学制品，其中某 些制品相互接触有可能引发爆炸，为预防 事故，将其隔间存放。要达到安全要求， 至少将该仓库隔成多少间？
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题：
5
Francis Guthrie的猜想
离散数学中的图着色问题研究与算法设计
离散数学中的图着色问题研究与算法设计离散数学是数学的一个分支，研究离散的结构和对象。
在离散数学中，图论是一个重要的研究领域。
图着色问题是图论中的一个经典问题，其研究和算法设计具有重要的理论和实际意义。
图着色问题是指如何用有限种颜色对图中的顶点进行着色，使得相邻的顶点颜色不相同。
这里的相邻顶点是指在图中有一条边连接的顶点。
图着色问题最早由英国数学家弗朗西斯·格斯顿于1852年提出，被称为“四色定理”。
四色定理是图着色问题的一个重要结果。
它指出，任何平面图都可以用至多四种颜色进行着色，使得相邻顶点颜色不相同。
这个定理的证明非常复杂，涉及到大量的数学理论和计算机算法。
直到1976年，美国数学家肯尼思·阿普尔和沃尔夫冈·哈肯提出了一个基于计算机的证明，才最终解决了这个问题。
除了四色定理，图着色问题还有许多其他的研究和算法设计。
其中一个经典的问题是最小顶点着色问题。
最小顶点着色问题是指找到一个最小的颜色数，使得图中的每个顶点都能被染上一种颜色，并且相邻顶点颜色不相同。
这个问题在实际中有着广泛的应用，比如任务调度、频率分配等领域。
解决最小顶点着色问题的算法有许多种。
其中一种常用的算法是贪心算法。
贪心算法的基本思想是每次选择一个顶点，将其染上一个未被使用的颜色，然后继续选择下一个顶点。
如果某个顶点的颜色与相邻顶点相同，则选择另一种颜色进行染色。
通过不断迭代，直到所有的顶点都被染色为止。
贪心算法的时间复杂度较低，但是并不一定能够找到最优解。
除了贪心算法，还有其他的算法可以解决最小顶点着色问题，比如回溯算法、分支定界算法等。
这些算法的时间复杂度较高，但是可以找到最优解。
然而，由于图着色问题是一个NP完全问题，即不存在多项式时间内的算法可以解决该问题。
因此，对于大规模的图着色问题，通常采用近似算法或者启发式算法来求解。
近似算法是一种在多项式时间内找到一个接近最优解的算法。
其中一个常用的近似算法是基于最大度数的着色算法。
图的着色问题
顶点着色－基本概念
• K可着色：G的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G各顶点的 可着色： 的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G 1,2, 对于 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色， 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V分成 可能有空的）独立集的一个分类( 2,… k个（可能有空的）独立集的一个分类(V1,V2,…,Vk)。当G有一个 正常k顶点着色时，就成G 顶点可着色的。 正常k顶点着色时，就成G是k顶点可着色的。 • G的色数X（G）是指G为k可着色的k的最小值，若X（G）=k，则称G 的色数X 是指G 可着色的k的最小值， =k，则称G 色的。 是k色的。 • 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X（G） 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X 就转为求满足下列条件的最少子集数k 就转为求满足下列条件的最少子集数k： 两两子集中的顶点不同； （1）两两子集中的顶点不同； 子集中的两两顶点不相邻。 （2）子集中的两两顶点不相邻。 显然有： 为平凡图， =1； 显然有： （i）若G为平凡图，则X（G）=1； ii） 为偶图， （ii）若G为偶图，则X（G）=2 iii）对任意图G Δ+1（这里Δ （iii）对任意图G，有X（G）≤Δ+1（这里Δ表示为顶点 数最大值） 数最大值）
问题来源
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： • 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 • 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
组合数学中的的着色问题研究
组合数学中的的着色问题研究组合数学中的着色问题研究组合数学是数学中的一个重要分支，主要研究离散结构和计数问题。
而着色问题则是组合数学中的一个经典研究方向，涉及到对图、平面、多面体等结构进行着色的问题。
本文将探讨组合数学中的着色问题及其相关研究。
一、基本概念1. 图的着色问题图着色问题指将图的顶点或边进行染色，并且要求相邻的顶点或边不能使用相同的颜色。
常见的图着色问题有顶点着色问题和边着色问题。
2. 平面着色问题平面着色问题是指在平面上对区域进行染色，要求相邻的区域不能使用相同颜色。
该问题常被用于地图着色、地区划分等实际问题中。
3. 多面体着色问题多面体着色问题是指对多面体的面进行染色，要求相邻的面不能使用相同颜色。
例如，著名的四色定理即是多面体着色问题的一个重要结果。
二、研究方法与技巧回溯法是求解组合数学中着色问题的一种常用方法。
其基本思想是通过逐步试探的方式，对每一个顶点或区域进行染色，直到得到满足约束条件的染色方案。
2. 图着色算法图着色算法是求解图着色问题的一种有效方法。
常见的图着色算法包括贪心算法、基于约束满足问题的算法等。
3. 数学模型数学模型在组合数学中的着色问题研究中起到了重要作用。
通过构建合适的数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，并进而应用数学工具进行求解。
三、应用领域及案例分析1. 地图着色地图着色问题是平面着色问题的一个典型应用。
通过对地图中的区域进行染色，可以实现地区划分、行政管理等目的。
例如，美国的选举地图就是通过对各个州进行着色来表示选举结果。
2. 时间表着色在课程表、会议安排等场景中，经常需要对时间进行调度和安排。
时间表着色问题可以将时间段表示为不同的颜色，来实现有效的时间管理。
在电路布线的过程中，往往需要对电路中的不同节点进行染色，以实现电路的连接和调度。
着色问题在电路设计中有着广泛的应用。
四、发展趋势与挑战1. 着色问题的复杂性组合数学中的着色问题在实际应用中往往具有复杂性。
图论中的图着色问题算法
图论中的图着色问题算法图着色问题是图论中的一个重要研究课题，它的目标是给定一个无向图，为每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点拥有不同的颜色。
这个问题有着广泛的应用，例如地图着色、课程时间表安排以及调度等领域。
本文将介绍几种常见的图着色算法。
一、贪心算法贪心算法是解决图着色问题最直接且简便的方法之一。
其基本思想是从图的某个顶点开始，依次为每个顶点选择一个未被使用的最小颜色号。
该算法的具体步骤如下：1. 选择一个起始顶点v，并为其分配一个颜色c。
2. 对于v的所有相邻顶点u，如果u未着色，则为u选择一个未被使用的最小颜色号，并标记u为已着色。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都被着色。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点数。
该算法的缺点是可能得到的着色方案不是最优解。
二、回溯算法回溯算法是另一种常见的用于解决图着色问题的算法。
其基本思想是通过不断尝试不同的着色方案，直到找到一个满足条件的解。
该算法的具体步骤如下：1. 选择一个起始顶点v，并为其分配一个颜色c。
2. 对于v的所有相邻顶点u，如果u未着色，则为u选择一个未被使用的颜色号，并标记u为已着色。
3. 选择下一个未着色的顶点作为新的起始顶点，重复步骤2。
4. 如果无法为任何顶点着色，则回溯到上一步，修改之前的着色方案，为当前顶点选择一个新的颜色。
5. 重复步骤3和步骤4，直到所有顶点都被着色。
回溯算法的时间复杂度取决于图的结构和颜色数目，一般情况下是指数级的。
该算法可以得到最优解，但在处理大规模问题时效率较低。
三、基于现有算法的改进除了贪心算法和回溯算法外，还存在一些基于这两种算法的改进方法，以提高图着色问题的求解效率。
例如，使用启发式算法、剪枝技术以及约束求解等方法。
启发式算法是一种非确定性的搜索算法，通过引入启发函数来指导搜索过程，以期望更快地找到一个不错的解。
典型的启发式算法包括Tabu搜索、模拟退火算法等。
剪枝技术是在搜索过程中通过判断某些分支的无效性，从而减少搜索空间，提高算法效率。
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题图是图论中的基本概念之一，是由顶点和边构成的数学结构。
在图的理论中，图的着色与染色问题是一个非常重要且有趣的研究领域。
本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念、定理和算法，希望能够为读者深入了解图论领域提供一些帮助。
一、基本概念在图的理论中，图的着色与染色问题是指将图的顶点或边用不同颜色标记的过程。
着色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色不相同；而染色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色可以相同。
定理1：图的顶点着色问题对于一个简单图，顶点着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同。
根据四色定理，任何一个平面图都可以只用四种颜色进行顶点着色。
定理2：图的边着色问题对于一个简单图，边着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有边着色，使得任意两条依附于同一顶点的边颜色不同。
根据维茨定理，任何简单无向图都可以用最大度数加一种颜色进行边着色。
二、算法与实践在解决图的着色与染色问题时，常用的算法包括贪心算法、回溯算法、图染色算法等。
其中，Welsh-Powell算法是用来解决无向图的顶点着色问题的一种有效算法，其基本思想是优先考虑度数最大的顶点进行着色。
而在解决边着色问题时，常用的算法包括Vizing定理、边染色算法等。
三、应用与拓展图的着色与染色问题在实际生活中有着广泛的应用，如地图着色、时间表着色、调度问题等。
同时，在拓展领域中，图的着色与染色问题也与其他数学领域有着密切的联系，如组合数学、离散数学等，在各个领域都有着深入的研究与应用。
总结：图的着色与染色问题是图论领域中的一个重要研究方向，具有丰富的理论内涵和实际应用。
通过本文对图的着色与染色问题的介绍，希望读者能够对该领域有一个初步的了解，进一步深入研究与探讨。
愿本文能够为读者在图论领域的学习与研究提供一些帮助与启发。
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8
顶点着色问题的常用算法
目前解决该问题的算法很多，如回溯算法、分支界定法、WelshPowell算法、布尔代数法、蚁群算法、贪婪算法、禁忌搜索算法、神 经网络、遗传算法以及模拟退火算法等。
通常的解决着色问题的算法采用蛮力法、贪婪法、深度优先或广度优 先等思想可以得到最优解，但时间复杂性太大，如回溯法，其计算时 间复杂性为指数阶的；有的在多项式时间内能得到可行解，但不是最 优解，如Welsh-Powell算法和贪婪算法。而对于像遗传算法和神经网 络这样复杂的启发式算法，通常算法本身复杂性较大，并且算法效率 难以分析，最终得到的是近似解，其是否最优解也不能保证。
A
3
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一 条边相连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。 例：图（a）所示的区域图可抽象为图（b）所表示的平面图。区域用 城市名表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区域的不同着色问 题。
A
4
图着色问题的分类
顶点着色:给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每个顶点着
标记死节点
没有
12
程序演示
A
13
回 溯 法 解 决 着 色 问 题 流
A
开始 所有节点颜色都置成零
取节点？
有
着色
存在
取另一种 颜色着色
有颜色可取？
有 没有
存在相邻顶点 颜色一样？
不存在
当前节点的 颜色置零
有效着色
完成着色？
未完成
返回到上一节点
完成
节点下移
输出结果
结束
没有
14
例子 ：
A
邻接矩阵：
求m的问题称为图的m可着色优化问题。
独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，其中任意两个顶点在G中 均不相邻，则称S为G的一个独立集。 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立集S'，则称S为G的最
大独立集。
极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K的任一顶点v，K+v都 不是G的独立集，则称K是G的一个极大覆盖。 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。
A
9
穷举法－WELCH POWELL着色法
步骤：
I．将图G中的结点按度数的递减顺序进行排列(这种排列
可能不是唯一的，因为有些结点的度数相同)。 II．用第一种颜色对第一结点着色，并按排列顺序对与前 面着色结点不邻接的每一结点着上同样的颜色。 III．用第二种颜色对尚未着色的结点重复II，用第三种 颜色继续这种做法，直到所有的结点全部着上色为止。
A
7
顶点着色的算法思想
由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出，同 色顶点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时， 为了尽可能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的 目的，事实上就是找出图G的一个极大独立集并给它涂上颜 色1。用第2种颜色上色时，同样选择另一个极大独立集涂 色，...，当所有顶点涂色完毕，所用的颜色数即为所选的 极大独立集的个数。 当然，上述颜色数未必就是X（G），而且其和能够含所有顶 点的极大独立集个数未必唯一。
A BCD E
A 0 1 1 0 0
B
1
0
1
1
1
C 1 1 0 0 1
D
0
1
0
0
1
E 0 1 1 1 0
15
谢 谢！
A
16
A
11
回溯法
局部有效着色：如果其中i个 顶点已经着色，满足相邻两 个顶点的颜色都不一样并且 仍有颜色未被使用，就称当 前的着色是局部有效着色。
无效着色：如果其中i个顶点 已经着色，并且存在相邻两 个顶点的颜色一样，就称当 前的着色是无效着色。
A
所有节点颜色 都置成零
回溯法流程图
着色
有效？
有
节点下移
色，要求每个顶点着一种颜色，并使相邻两顶点之间有着不同 的颜色，这个问题称为图的顶点着色问题。
边着色:给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每条边着色，
要求每条边着一种颜色，并使相邻两条边有着不同的颜色，这 个问题称为图的边着色问题。
A
5
顶点着需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶 点着不同的颜色，则称m为该图的色数。
A
10
贪心法
贪心策略：选择一种颜色，以任意顶点作为开始顶点，依 次考察图中的未被着色的每个顶点，如果一个顶点可以用 颜色1着色，换言之，该顶点的邻接点都还未被着色，则 用颜色1为该顶点着色，当没有顶点能以这种颜色着色时， 选择颜色2和一个未被着色的顶点作为开始顶点，用第二 种颜色为尽可能多的顶点着色，如果还有未着色的顶点， 则选取颜色3并为尽可能多的顶点着色，依此类推。
图的着色问题
主讲人：XXX
A
1
内容
问题来源 基本概念 常用算法 回溯法 程序演示
A
2
问题来源——四色问题
• 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地 图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜 色不同。
• 四色问题：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界 的国家着上不同的颜色。”
V的子集K是G的极小覆盖当且仅当：对于每个顶点v或者v属于K， 或者v的所有邻点属于K（但两者不同时成立）。
A
6
例子
A
B
C
D
• 独立集：S1={A，D}，S2={B，C} 找不到比它们更大的独立集，故S1、S2是最大独立集。
• 极大覆盖：{A ，B，C，D} – S1 = {B，C}，对于任意的v∈{B， C}，加入集合S1之后，S1不再是一个独立集。S1是一个极大覆盖。