图着色问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
7
顶点着色的算法思想
由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出，同 色顶点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时， 为了尽可能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的 目的，事实上就是找出图G的一个极大独立集并给它涂上颜 色1。用第2种颜色上色时，同样选择另一个极大独立集涂 色，...，当所有顶点涂色完毕，所用的颜色数即为所选的 极大独立集的个数。 当然，上述颜色数未必就是X（G），而且其和能够含所有顶 点的极大独立集个数未必唯一。
图的着色问题
主讲人：XXX
A
1
内容
问题来源 基本概念 常用算法 回溯法 程序演示
A
2
问题来源——四色问题
• 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地 图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜 色不同。
• 四色问题：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界 的国家着上不同的颜色。”
标记死节点
没有
12
程序演示
A
13
回 溯 法 解 决 着 色 问 题 流
A
开始 所有节点颜色都置成零
取节点？
有
着色
存在
取另一种 颜色着色
有颜色可取？
有 没有
存在相邻顶点 颜色一样？
不存在
当前节点的 颜色置零
有效着色
完成着色？
未完成
返回到上一节点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ完成
节点下移
输出结果
结束
没有
14
例子 ：
A
邻接矩阵：
色，要求每个顶点着一种颜色，并使相邻两顶点之间有着不同 的颜色，这个问题称为图的顶点着色问题。
边着色:给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每条边着色，
要求每条边着一种颜色，并使相邻两条边有着不同的颜色，这 个问题称为图的边着色问题。
A
5
顶点着色问题的基本概念
m可着色：若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶 点着不同的颜色，则称m为该图的色数。
A
3
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一 条边相连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。 例：图（a）所示的区域图可抽象为图（b）所表示的平面图。区域用 城市名表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区域的不同着色问 题。
A
4
图着色问题的分类
顶点着色:给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每个顶点着
A
10
贪心法
贪心策略：选择一种颜色，以任意顶点作为开始顶点，依 次考察图中的未被着色的每个顶点，如果一个顶点可以用 颜色1着色，换言之，该顶点的邻接点都还未被着色，则 用颜色1为该顶点着色，当没有顶点能以这种颜色着色时， 选择颜色2和一个未被着色的顶点作为开始顶点，用第二 种颜色为尽可能多的顶点着色，如果还有未着色的顶点， 则选取颜色3并为尽可能多的顶点着色，依此类推。
A
9
穷举法－WELCH POWELL着色法
步骤：
I．将图G中的结点按度数的递减顺序进行排列(这种排列
可能不是唯一的，因为有些结点的度数相同)。 II．用第一种颜色对第一结点着色，并按排列顺序对与前 面着色结点不邻接的每一结点着上同样的颜色。 III．用第二种颜色对尚未着色的结点重复II，用第三种 颜色继续这种做法，直到所有的结点全部着上色为止。
A
11
回溯法
局部有效着色：如果其中i个 顶点已经着色，满足相邻两 个顶点的颜色都不一样并且 仍有颜色未被使用，就称当 前的着色是局部有效着色。
无效着色：如果其中i个顶点 已经着色，并且存在相邻两 个顶点的颜色一样，就称当 前的着色是无效着色。
A
所有节点颜色 都置成零
回溯法流程图
着色
有效？
有
节点下移
V的子集K是G的极小覆盖当且仅当：对于每个顶点v或者v属于K， 或者v的所有邻点属于K（但两者不同时成立）。
A
6
例子
A
B
C
D
• 独立集：S1={A，D}，S2={B，C} 找不到比它们更大的独立集，故S1、S2是最大独立集。
• 极大覆盖：{A ，B，C，D} – S1 = {B，C}，对于任意的v∈{B， C}，加入集合S1之后，S1不再是一个独立集。S1是一个极大覆盖。
A
8
顶点着色问题的常用算法
目前解决该问题的算法很多，如回溯算法、分支界定法、WelshPowell算法、布尔代数法、蚁群算法、贪婪算法、禁忌搜索算法、神 经网络、遗传算法以及模拟退火算法等。
通常的解决着色问题的算法采用蛮力法、贪婪法、深度优先或广度优 先等思想可以得到最优解，但时间复杂性太大，如回溯法，其计算时 间复杂性为指数阶的；有的在多项式时间内能得到可行解，但不是最 优解，如Welsh-Powell算法和贪婪算法。而对于像遗传算法和神经网 络这样复杂的启发式算法，通常算法本身复杂性较大，并且算法效率 难以分析，最终得到的是近似解，其是否最优解也不能保证。
A BCD E
A 0 1 1 0 0
B
1
0
1
1
1
C 1 1 0 0 1
D
0
1
0
0
1
E 0 1 1 1 0
15
谢 谢！
A
16
求m的问题称为图的m可着色优化问题。
独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，其中任意两个顶点在G中 均不相邻，则称S为G的一个独立集。 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立集S'，则称S为G的最
大独立集。
极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K的任一顶点v，K+v都 不是G的独立集，则称K是G的一个极大覆盖。 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。
7
顶点着色的算法思想
由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出，同 色顶点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时， 为了尽可能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的 目的，事实上就是找出图G的一个极大独立集并给它涂上颜 色1。用第2种颜色上色时，同样选择另一个极大独立集涂 色，...，当所有顶点涂色完毕，所用的颜色数即为所选的 极大独立集的个数。 当然，上述颜色数未必就是X（G），而且其和能够含所有顶 点的极大独立集个数未必唯一。
图的着色问题
主讲人：XXX
A
1
内容
问题来源 基本概念 常用算法 回溯法 程序演示
A
2
问题来源——四色问题
• 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地 图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜 色不同。
• 四色问题：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界 的国家着上不同的颜色。”
标记死节点
没有
12
程序演示
A
13
回 溯 法 解 决 着 色 问 题 流
A
开始 所有节点颜色都置成零
取节点？
有
着色
存在
取另一种 颜色着色
有颜色可取？
有 没有
存在相邻顶点 颜色一样？
不存在
当前节点的 颜色置零
有效着色
完成着色？
未完成
返回到上一节点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ完成
节点下移
输出结果
结束
没有
14
例子 ：
A
邻接矩阵：
色，要求每个顶点着一种颜色，并使相邻两顶点之间有着不同 的颜色，这个问题称为图的顶点着色问题。
边着色:给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每条边着色，
要求每条边着一种颜色，并使相邻两条边有着不同的颜色，这 个问题称为图的边着色问题。
A
5
顶点着色问题的基本概念
m可着色：若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶 点着不同的颜色，则称m为该图的色数。
A
3
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一 条边相连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。 例：图（a）所示的区域图可抽象为图（b）所表示的平面图。区域用 城市名表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区域的不同着色问 题。
A
4
图着色问题的分类
顶点着色:给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每个顶点着
A
10
贪心法
贪心策略：选择一种颜色，以任意顶点作为开始顶点，依 次考察图中的未被着色的每个顶点，如果一个顶点可以用 颜色1着色，换言之，该顶点的邻接点都还未被着色，则 用颜色1为该顶点着色，当没有顶点能以这种颜色着色时， 选择颜色2和一个未被着色的顶点作为开始顶点，用第二 种颜色为尽可能多的顶点着色，如果还有未着色的顶点， 则选取颜色3并为尽可能多的顶点着色，依此类推。
A
9
穷举法－WELCH POWELL着色法
步骤：
I．将图G中的结点按度数的递减顺序进行排列(这种排列
可能不是唯一的，因为有些结点的度数相同)。 II．用第一种颜色对第一结点着色，并按排列顺序对与前 面着色结点不邻接的每一结点着上同样的颜色。 III．用第二种颜色对尚未着色的结点重复II，用第三种 颜色继续这种做法，直到所有的结点全部着上色为止。
A
11
回溯法
局部有效着色：如果其中i个 顶点已经着色，满足相邻两 个顶点的颜色都不一样并且 仍有颜色未被使用，就称当 前的着色是局部有效着色。
无效着色：如果其中i个顶点 已经着色，并且存在相邻两 个顶点的颜色一样，就称当 前的着色是无效着色。
A
所有节点颜色 都置成零
回溯法流程图
着色
有效？
有
节点下移
V的子集K是G的极小覆盖当且仅当：对于每个顶点v或者v属于K， 或者v的所有邻点属于K（但两者不同时成立）。
A
6
例子
A
B
C
D
• 独立集：S1={A，D}，S2={B，C} 找不到比它们更大的独立集，故S1、S2是最大独立集。
• 极大覆盖：{A ，B，C，D} – S1 = {B，C}，对于任意的v∈{B， C}，加入集合S1之后，S1不再是一个独立集。S1是一个极大覆盖。
A
8
顶点着色问题的常用算法
目前解决该问题的算法很多，如回溯算法、分支界定法、WelshPowell算法、布尔代数法、蚁群算法、贪婪算法、禁忌搜索算法、神 经网络、遗传算法以及模拟退火算法等。
通常的解决着色问题的算法采用蛮力法、贪婪法、深度优先或广度优 先等思想可以得到最优解，但时间复杂性太大，如回溯法，其计算时 间复杂性为指数阶的；有的在多项式时间内能得到可行解，但不是最 优解，如Welsh-Powell算法和贪婪算法。而对于像遗传算法和神经网 络这样复杂的启发式算法，通常算法本身复杂性较大，并且算法效率 难以分析，最终得到的是近似解，其是否最优解也不能保证。
A BCD E
A 0 1 1 0 0
B
1
0
1
1
1
C 1 1 0 0 1
D
0
1
0
0
1
E 0 1 1 1 0
15
谢 谢！
A
16
求m的问题称为图的m可着色优化问题。
独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，其中任意两个顶点在G中 均不相邻，则称S为G的一个独立集。 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立集S'，则称S为G的最
大独立集。
极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K的任一顶点v，K+v都 不是G的独立集，则称K是G的一个极大覆盖。 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。