最新人教版高中数学必修四单元测试题及答案全套

最新人教版高中数学必修四单元测试题及答案全套阶段质量检测(一)(A 卷 学业水平达标)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°答案：B2．若－π2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B3．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin 120°，cos 120°)，则α可以是( ) A ．60° B ．330° C ．150° D ．120° 答案：B4．若sin 2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝( ) A ．1 B.12C ．－12D ．－1 答案：D5．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C6．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.12B ．－12C.32D ．－32答案：C7．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( ) A.32 B ．2 C ．0 D.34答案：A8．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( ) A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：A9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 答案：C10．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，且f ⎝⎛⎭⎫－14＝－a ，那么f ⎝⎛⎭⎫94等于( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．4a答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知sin(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－23，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：25512．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为________． 解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169， ∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，∴sin θ＜cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－2sin θcos θ＝－23. 答案：－2313．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，例如1] .解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，2214．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z)，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z)， 又|φ|＜π2，所以φ＝π4.再由图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 故有f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3⎝⎛⎭⎫122＋12＋2⎝⎛⎭⎫122＋1＝135. 16．(本小题满分12分)已知α是第二象限角， 且f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan (π－α)tan (－α－π)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝35，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝－cos αsin α(－tan α)－tan αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝35， ∴sin α＝35.又∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴f (α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＝45. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式，并用“五点法”作出y ＝g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．解：(1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，∴A ＝2,1＝2sin φ，∴sin φ＝12.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)， ∴T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π， ∴ω＝2πT ＝2π6π＝13.∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6.(2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，得函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再向右平移π3个单位后，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 列表如下：描点并连线，得g (x )在一个周期的闭区间上的图象如下图．18.(本小题满分14分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6.∵T ＝π，且ω>0， ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)∵点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32， ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3. ∵点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上， 且π2≤x 0≤π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6.∴x 0＝2π3或x 0＝3π4.(B 卷 能力素养提升)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知cos θ tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限象 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 解析：选C 若cos θtan θ<0，则cos θ>0，tan θ<0，或cos θ<0，tan θ>0. 当cos θ>0，tan θ<0时，角θ是第四象限角； 当cos θ<0，tan θ>0时，角θ是第三象限角．2．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：选C 由f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π23．函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．[－1,1] C ．(－1,1) D ．[－1,0]∪(0,1)解析：选C 化简得y ＝sin x ，由cos x ≠0，得sin x ≠±1.故得函数的值域(－1,1)． 4．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍解析：选B 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B. 5．已知α＝5π8，则点P (sin α，tan α)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵π2<5π8<π，∴sin α>0，tan α<0，∴点P 在第四象限．6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( ) A ．关于原点成中心对称 B ．关于y 轴成轴对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称 D ．关于直线x ＝π12成轴对称 解析：选C 由形如y ＝A sin(ωx ＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，故函数的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称． 7．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )解析：选D 当π2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.8．已知角α的终边上一点的坐标为sin π6，cos π6，则角α的最小正值为( )A.11π6 B.5π6 C.π3D.π6解析：选C 由题意知，tan α＝cosπ6sin π6＝ 3.所以α的最小正值为π3.9．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8 B.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8 C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π8，2k π＋5π8 D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(以上k ∈Z) 解析：选B 函数y ＝cos π4－2x ＝cos2x －π4，根据余弦函数的增区间是[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，得2k π－π≤2x －π4≤2k π，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故选B.10．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最大值是( ) A.14 B.34 C.15D.154解析：选D y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13.∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，∴当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1，(1≤x ≤44，x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：91212．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．解析：y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )＝sin [2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)． 由f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z)， ∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝5π6，∴φ＝5π12或作出y ＝sin 2x 的图象观察易知φ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π4＝5π12. 答案：5π1213．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos 5π2＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫32π－α·sin(π－α)的值为________． 解析：∵tan(π－α)＝2，∴tan α＝－2， ∴原式＝－2sin α·(－sin α)＋(－cos α)·sin α＝2sin 2α－sin αcos α＝2sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α1＋tan 2α＝2×(－2)2－(－2)1＋(－2)2＝105＝2.答案：214．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.解析：由已知T ＝π，∴ω＝2，θ＝k π＋π2(k ∈Z)．答案：2π2三、解答题(本题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15①，∴①式两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225.(2)由(1)sin A cos A ＝－1225，且A ∈(0，π)，可得sin A >0，cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0， ∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75②，∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝－43.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2·sin2x －π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)画出函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象． 解：(1)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， 当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1时，f (x )取得最大值1＋ 2. (2)由(1)知：故函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象如图所示．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3sin ωx ＋π6，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．(1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求sin α的值． 解：(1)由题设可知f (0)＝3sin π6＝32.(2)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (3)由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35.∴sin α＝±1－cos 2α＝±45.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，且ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)若方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围． 解：(1)由图象易知A ＝1，函数f (x )的周期为 T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π6－2π3＝2π，∴ω＝1. ∵π－2π3＝π3，∴此函数的图象是由y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度得到的，故φ＝π3.(2)由(1)知函数解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∴方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，53π与y ＝a 有两个交点． 当x ＝0时，f (x )＝32，∴a ∈⎝⎛⎭⎫32，1时，y ＝a 与y ＝f (x )有两个交点； 当x ＝53π时，f (x )＝0，∴a ∈(－1,0)时，y ＝a 与y ＝f (x )也有两个交点， 故所求a ∈⎝⎛⎭⎫32，1∪(－1,0)．阶段质量检测(二)(A 卷 学业水平达标) (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD，则( )A ．AD ＝－13AB＋43ACB ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13ACD ．AD ＝43AB －13AC答案：A2．(全国甲卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8答案：D3．若|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案：B4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB＝a ， AC ＝b ，则下列向量中与AD同向的是( )A.a ＋b |a ＋b |B.a |a |＋b |b |C.a －b |a －b |D.a |a |－a |b |答案：A5．已知边长为1的正三角形ABC 中，BC ·CA ＋CA ·AB ＋AB ·BC的值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案：D6．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB ＝13OA ＋23OC ，则|AB|∶|BC |＝( )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶2D ．2∶1答案：D7．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA，则P 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心答案：C8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22 答案：C9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B10.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ＋PB )·PC的最小值是( )A.92 B ．9 C ．－92 D ．－9 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在直角坐标系xOy 中，AB＝(2,1)，AC ＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的值为________．答案：－6或－112．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE ·BD＝________. 答案：113．如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域(不含边界)内运动，且OP ＝x OA ＋y OB ，则x 的取值范围是______．当x ＝－12时，y 的取值范围是________．答案：(－∞，0) ⎝⎛⎭⎫12，3214．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一实数λ，使得OC ＝λOA ＋(1－λ)OB 成立，此时称实数λ为“向量OC 关于OA 和OB的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1)，P 2(－1,3)，且向量3OP 与向量a ＝(1,1)垂直，则“向量3OP 关于1OP 和2OP的终点共线分解系数”为________．答案：－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0， 解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM 与HF；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ·HF.解：(1)∵M 为DC 的中点，∴DM ＝12DC ，又DC ＝AB ，∴AM ＝AD ＋DM ＝AD ＋12AB ＝12a ＋b ，∵H 为AD 的中点，BF ＝13BC ，BC ＝AD ，∴AH ＝12AD ，BF ＝13AD ，∴HF ＝HA ＋AB ＋BF＝－12AD＋AB ＋13AD＝AB －16AD ＝a －16b .(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6，AM ·HF ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a －16b ＝12a 2＋⎝⎛⎭⎫1－112a ·b －16b 2＝12×32＋1112×(－6)－16×42 ＝－113.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB－t OC )·OC ＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB＝(3,5)，AC ＝(－1,1)，则AB ＋AC ＝(2,6)，AB －AC＝(4,4)．所以|AB ＋AC |＝210，|AB －AC|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－t OC ＝(3＋2t,5＋t )．由(AB－t OC )·OC ＝0， 得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 即(3＋2t )×(－2)＋(5＋t )×(－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.18．(本小题满分14分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB ＝2e 1＋e 2，BE＝－e 1＋λe 2，EC＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC的坐标；(3)已知D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE ＝AB ＋BE＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE＝k EC ，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2. ∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC ＝BE ＋EC ＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴AD ＝BC.设A (x ，y )，则AD＝(3－x,5－y )， ∵BC＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．(B 卷 能力素养提升) (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．化简AC －BD ＋CD －AB得( )A ．AB B ．DAC ．BCD ．0解析：选D AC －BD ＋CD －AB＝AC ＋CD －(AB ＋BD )＝AD －AD＝0.2．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，则a 在b 方向上的投影为( )A. 3B. 2C.22D.32解析：选C a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.选C.3．向量BA＝(4，－3)，BC ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非直角三角形B ．等边三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：选C AC ＝BC －BA＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而AC ·BC ＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以AC ⊥BC ，又|AC |≠|BC|，所以△ABC 是直角非等腰三角形．故选C.4．若OF 1＝(2,2)，OF2＝(－2,3)分别表示F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(0,5)B ．25C ．2 2D ．5解析：选D ∵F 1＋F 2＝(0,5)，∴|F 1＋F 2|＝02＋52＝5. 5．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：选D 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0.6．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选C 可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.7．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4D ．12解析：选B 因为|a |＝2，|b |＝1， ∴a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.8．如图，非零向量OA ＝a ，|a |＝2，OB ＝b ，a ·b ＝1，且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC ＝λa ，则λ为( )A.12B.13C.14D ．2解析：选C 设a 与b 的夹角为θ.∵|OC |就是OB 在OA 上的投影|b |cos θ，∴|OC |＝|b | cos θ＝a ·b|a |＝λ|a |，即λ＝a ·b |a |2＝14，故选C.9．若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：选D e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12，a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－72，|a |＝(2e 1＋e 2)2＝4＋4e 1·e 2＋1＝7，|b |＝(－3e 1＋2e 2)2＝9－12e 1·e 2＋4＝7，所以a ，b 的夹角的余弦值为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.故选D. 10．在△ABC 中，已知向量AB 与AC 满足AB |AB |＋AC |AC |·BC ＝0且AB |AB|·AC|AC |＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：选D 非零向量AB 与AC 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB|AB |＋AC |AC |·BC＝0，即∠A 的平分线垂直于BC ，∴AB ＝AC .又cos A ＝AB |AB |·AC |AC |＝12，∴∠A ＝π3， 所以△ABC 为等边三角形，选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．若向量AB＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC ＝7，那么n ·BC ＝________.解析：n ·BC ＝n ·(AC －AB )＝n ·AC －n ·AB＝7－5＝2.答案：212．已知a ，b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝1，则a ·b 的取值范围为________． 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2cos θ，又∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，即a ·b ∈[－2,2]． 答案：[－2,2]13．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC＝________.解析：设AC ∩BD ＝O ，则AC ＝2(AB ＋BO )，AP ·AC ＝AP ·2(AB ＋BO )＝2AP ·AB＋2AP ·BO ＝2AP ·AB ＝2AP ·(AP ＋PB )＝2|AP |2＝18. 答案：1814．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)解析：①a ·b ＝a ·c ⇔a ·(b －c )＝0，表明a 与b －c 向量垂直，不一定有b ＝c ，所以①不正确；对于②，当a ∥b 时，1×6＋2k ＝0，则k ＝－3，所以②正确；结合平行四边形法则知，若|a |＝|b |＝|a －b |，则|a |，|b |，|a －b |可构成一正三角形，那么a ＋b 与a 的夹角为30°，而非60°，所以③错误．答案：②三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知OA ＝a ，OB＝b ，对于任意点M 关于A 点的对称点为S ，S 点关于B点的对称点为N .(1)用a ，b 表示向量MN；(2)设|a |＝1，|b |＝2，|MN|∈[23，27]，求a 与b 的夹角θ的取值范围．解：(1)依题意，知A 为MS 的中点，B 为NS 的中点．∴SN ＝2SB ，SM ＝2SA .∴MN ＝SN －SM ＝2(SB －SA )＝2AB＝2(OB －OA )＝2(b －a )．(2)∵|MN|∈[23，27]， ∴MN 2∈[12,28]，∴12≤4(b －a )2≤28.∴3≤4＋1－2a ·b ≤7，∴－1≤a ·b ≤1. ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2，∴－12≤cos θ≤12. ∵0≤θ≤π，∴π3≤θ≤2π3，即θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π3，2π3. 16．(本小题满分12分)已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB .求证：AC ⊥BC .证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，设AD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)．∴BC ＝(－1,1)，AC＝(1,1)， BC ·AC ＝－1×1＋1×1＝0，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥AC .17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(1＋sin 2x ，1)，x ∈R ，且y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，2.求实数m 的值．解：f (x )＝a ·b ＝m (1＋sin 2x )＋cos 2x ， 由已知得f ⎝⎛⎭⎫π4＝m ⎝⎛⎭⎫1＋sin π2＋cos π2＝2， 解得m ＝1.18．(本小题满分14分)(1)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b 的夹角；(2)设OA ＝(2,5)，OB ＝(3,1)，OC ＝(6,3)，在OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－4a ·b －3b 2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3， ∴a ·b ＝－6， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12， ∴θ＝120°.(2)假设存在点M ，且OM ＝λOC＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA ＝(2－6λ，5－3λ)，MB＝(3－6λ，1－3λ)，∴(2－6λ)×(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， ∴45λ2－48λ＋11＝0，得λ＝13或λ＝1115.∴OM ＝(2,1)或OM ＝⎝⎛⎭⎫225，115.∴存在M (2,1)或M ⎝⎛⎭⎫225，115满足题意.阶段质量检测(三)(A 卷 学业水平达标) (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －sin 2x 的最小正周期为( )A ．2πB ．πC.π2D.π4答案：C 2．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则 cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210 B ．－210C.7210D ．－7210答案：A 3．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( ) A ．±55B ．±255C ．－55D ．－255答案：A4．设sin θ＝35，cos θ＝－45，则2θ的终边所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D5．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)的值为( )A.14B.12 C ．4D ．12 答案：C6．若函数g (x )＝a sin x cos x (a >0)的最大值为12，则函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝－3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－5π4答案：B 7．在△ABC 中，已知tan A ＋B 2＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：C8．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12D.72答案：C9．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8 答案：D10．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是________．答案：157 12．tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________.答案： 313．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值为________． 答案：1214．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则sin 2x ＋2cos 2x 1＋tan x的值为________． 答案：25三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )·cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝π2， 所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－sin2x ·(2cos 2x －1)＝－12sin 4x ， 因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310. 16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos α＋π4·cos 2α，求cos α－sin α的值． 解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z. 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)， 得sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin α sin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)． 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54. 由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2，所以A cos ⎝⎛⎭⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6 ＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517， 因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos α＝817； 又因为f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫β－π6＋π6 ＝2cos β＝85，所以cos β＝45， 因为β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以sin β＝35. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－1385. 18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值． 解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最小正周期为π.∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又∵f (x 0)＝65， ∴sin ⎝⎛⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6. 从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6 ＝－45. ∴cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6sin π6 ＝3－4310. (B 卷 能力素养提升)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°的值为( )A ．0B.12C.32 D ．－12解析：选B 因为cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°＝cos 24°sin 54°－sin 24°cos 54°＝sin(54°－24°)＝sin 30°＝12，故选B. 2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( )A ．0B ．1C ．±1D ．－1解析：选B 由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.3．下列各式中，值为－34的是( ) A ．2sin 15°cos 15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1 D.12－cos 215° 解析：选D 用二倍角公式求解可知，只有D 的结果为－34. 4．设α∈⎝⎛⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎫α＋π4等于( ) A.75B.15 C ．－75 D ．－15解析：选B 依题意可得cos α＝45，∴2cos α＋π4＝2·cos αcos π4－2sin αsin π4＝cos α－sin α＝45－35＝15. 5．设tan(α＋β)＝5，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝4，那么tan α＋π4的值等于( ) A ．－919B.121C.119D.921解析：选B tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)·tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝5－41＋5×4＝121. 6．在△ABC 中，若tan A tan B ＋tan A ＋tan B ＝1，则cos C 的值是( )A ．－22 B.22 C.12 D ．－12解析：选A 由tan A tan B ＋tan A ＋tan B ＝1，得tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝1. 又tan(A ＋B )＝－tan C ，所以tan C ＝－1，所以C ＝3π4，cos C ＝cos 3π4＝－22. 7．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2B ．－ 3C ．－ 2D ．－1解析：选D f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4.∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1. 8．已知α、β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，则α＋β的值是( ) A.3π4B.π3C.π4或3π4D.π3或2π3解析：选A ∵α、β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15， ∴sin α＝1－cos 2α＝310，sin β＝1－cos 2β＝25. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝110×15－310×25＝－22. ∵0<α＋β<π，∴α＋β＝3π4. 9．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A 2，则此三角形为( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ∵sin B sin C ＝cos 2A 2， ∴sin B sin C ＝1＋cos A 2， 可得2sin B sin C ＝1＋cos [π－(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )．∴cos(B －C )＝1.又角B 、角C 为△ABC 的内角，∴B －C ＝0，即B ＝C .故选B.10．已知函数f (x )＝sin 23x ＋cos ⎝⎛⎭⎫23x －π6，对任意实数α，β，当f (α)－f (β)取最大值时，|α－β|的最小值是( )A ．3πB.3π2C.4π3D.2π3解析：选B f (x )＝sin 23x ＋cos ⎝⎛⎭⎫23x －π6＝sin 23x ＋sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6. 又当f (α)－f (β)取最大值时，|α－β|的最小值是函数f (x )的最小正周期的一半，而函数的最小正周期T＝2π23＝3π，从而选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．函数f(x)＝2cos2x2＋sin x的最小正周期是________．解析：化简得f(x)＝1＋2sin⎝⎛⎭⎫x＋π4，∴T＝2π1＝2π.答案：2π12．已知sin α＝23，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－34，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos(α＋β)＝________.解析：因为sin α＝23，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin2α＝－53.因为cos β＝－34，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以sin β＝－1－cos2β＝－74.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34－23×⎝⎛⎭⎫－74＝35＋2712.答案：35＋271213．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β＝________.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0<α＋β<π，故α＋β＝π2.答案：π214．cos 6·tan 6的符号为________(填“正”“负”或“不确定”)．解析：∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos 6>0，tan 6<0，则cos 6·tan 6<0.答案：负三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－2，求cos 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin 3π2－θ的值． 解：cos 3⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin 3⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin 2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f (x )的值域． 解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12， 所以f (α)＝3sin 2α－2sin 2α＝23sin αcos α－2sin 2α ＝23×⎝⎛⎭⎫－32×12－2×⎝⎛⎭⎫－322＝－3. (2)f (x )＝3sin 2x －2sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 因为x ∈⎣⎡⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以f (x )的值域是[－2,1]．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2，所以A cos ⎝⎛⎭⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6 ＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517， 因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos α＝817； 又因为f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45， 因为β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以sin β＝35. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－1. (1)求φ的值；(2)若f (α)＝35，f ⎝⎛⎭⎫β＋π12＝513，且π6<α<π3，0<β<π4，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2β－π6的值． 解：(1)∵f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－1，∴2×5π6＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z. ∵|φ|<π2，∴φ＝－π6. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵π6<α<π3，0<β<π4， ∴2α－π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，2β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∵f (α)＝35，f ⎝⎛⎭⎫β＋π12＝513， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝35，sin 2β＝513， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝45，cos 2β＝1213， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2β－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＋2β＝cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6·cos 2β－sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6sin 2β＝3365.。