第一章 高级宏观经济学：数学基础

而它就等于这个函数本身。因此该式左边的项的原函数等于 eat y(t)+ b0 。
第三，计算(4)式右边的积分，记住要加上另一个常数项 b1 。注意这个积分
是一个 t 的函数，我们仍用 x(t)+ b1 表示。由于 x(t)是一个已知的时间函数，所以 x(t)也是一个已知的时间函数。
第四，两边同乘以 e−at 以得到 y(t)：
此时，微分方程都涉及到变量对时间的导数。如：
a1 y(t) ＋ a2 y(t) ＋ x(t) ＝0
（1）
方程中 a1 和 a2 是常数，x(t) 为已知的关于时间的函数，y(t) 描述了变量在不
同时点的状态，称为状态变量，若 y(t) 是向量则为状态向量。由于 a1 和 a2 是常
数，称方程为常系数一阶线性方程。 假定方程（1）中变量关于时间是连续的，称为连续时间微分方程或连续系
若 a ≺ 0，可进行类似的分析，此时，f( )的图形是一条具有负斜率的直线， 且在 y ∗ ＝b/a 处与横轴相交，如图 5.b。同样，若在某个时刻 t= t0 ，y(t0 ) ＝ y ∗ 处 于稳态水平，则 y(t) ＝0，y(t) 也不随时间的变化而变化， y(t) 永远停留在 y ∗ 上， 即达到稳态。
则 y 是不稳定的。
定理 1.1.4 线性展开的局部稳定性 假设 f 是一阶连续可微函数，令 y 是
方程（CS） y =f(y)的定常解，且 f ′( y) ≠ 0，若 f ′( y) ≺ 0，则是渐近稳定的；若
f ′( y) 0，则 y 是不稳定的。
定理 1.1.4 隐含的含义是：若 f ′( y) ≠ 0，则在定常状态某个邻域内 y 与 f ′( y)
图 5.c 描述的是非线性函数的动态，该函数有两个稳态，可以分析其中一个 是稳定的，一个是不稳定的。
上述从几何的角度对稳态稳定性的判断虽然很直观，但是如果应用稳态定理 1.1.3，则更为简单。对情形 a，容易判断在 y ∗ 的某个邻域，有：
(y－ y ∗ )f(y) 0
因此， y ∗ 是不稳定的。同样，对情形 b，也存在以 y ∗ 为中心的某个邻域，有：
Δy(t) 衡量了 y(t) 在每一步的移动情况，箭头表示 y(t) 在每一步的移动方向，
沿着箭头的方向，就可以构造出系统的轨道。
y
y
y2
y(t) =f(y(t))
y1
y(t)
y0
t 图 2 离散时间的解轨道
t 图 3 连续时间的解轨道
动态方程或动态系统一般都有无数的解，所有这些解的集合称为系统的通 解。通解中每个特解对应状态变量（向量）在空间中的不同轨道，而我们往往对 其中的若干特解感兴趣，因此，需要对通解加上适当的附加条件，也就是通常的 初始条件（Initial Condition）。显然，每个轨道都依赖于初值和开始移动的时间。
的，因为对许多经济变量选择其最原始的初始边界可能是毫无意义的，同时在进 行经济分析与决策时，有时我们希望边界条件能反映所需的期望信息和相关的均 衡选择。
（二）稳态性质
微分方程一般都有无数个解，这些解的动态性质是收敛的或是发散的，对解 释经济现象是非常重要的，有一类特殊的解—常数解在分析动态系统的渐近行为 时具有重要的作用。我们给出相关的定义。
(y－ y ∗ )f(y) ≺ 0
因此， y ∗ 是稳定的。
对情形 5.c，邻域分析法更为合适一些，如在原点的某个邻域有：(y－ y ∗ )f(y)
0，而在 y ∗ 的某个邻域则是：(y－ y )f(y) ≺ 0，因此，前者是不稳定的，后者则
5
是稳定的。
2、解析解：常系数一阶线性微分方程
微分方程除了线性情形，一般不能够得出微分方程的闭式解，所以微分方程 的中心任务是讨论解的存在性和解的性质。这里，我们主要关心的是线性微分方 程的求解问题，对于各种情形的常微分方程的求解，《动态经济学方法》（龚六堂） 提供了一个简洁全面的介绍，下面主要以一个例子讨论常微分方程的求解问题。
y(0) ＝ y 0
有了初值条件，就可以确定一条具体的解的轨道。当然，初值条件不是确定 动态系统解的唯一方法，更一般的是利用所谓的边界条件：
y(t0 ) ＝ y 0
（3）
来确定状态向量 y，其在 t0 ∈〔0， + ∞ )时刻的取值为给定点 y0 ，但 t0 不一定等
于 0。 动态系统加边界条件一起称为边值问题，通常边值问题有唯一解。 需要指出的是，在经济学中将初值问题和其它类型的边值条件分开是必要
但是，若 y(t0 ) 不处于稳态值上，若 y(t0 ) y ∗ ， y(t0 ) 处于 y ∗ 的右侧， y(t) ≺ 0， y(t0 ) 随时间推移而趋于减小；若 y(t0 ) ≺ y ∗ ，则 y(t0 ) 处于 y ∗ 的左侧， y(t) 0， y(t0 ) 随时间推移而不断增加，这样，只要初始值 y(t0 ) ≠ y ∗ ， y(t) 总 是向 y ∗ 靠近。
统（CS）；如果变量对时间的关系不是连续的，而是用离散时间来描述，称为离 散方程或离散系统（DS），相应地与（1）相对应的离散系统表示为：
a1 yt+1 ＋ a2 yt ＋ xt ＝0
（2）
微分方程根据是否显含时间分为自控方程和非自控的两种类型。如果微分 方程不显含时间变量，则称微分方程是自控的，否则称为非自控的。
∫ ∫ eat[ y(t) + ay(t)]dt =- eat x(t)dt
eat 项被称为积分因子。之所以乘上积分因子原因是这样左边积分号内的项
就变成了 eat y(t)对时间的导数：
( d dt )[ eat y(t)+ b0 ]= eat [ y(t) + a y(t)]
（4）
其中 b0 是一任意常数。注意(4)式左边的积分是某个函数的导数的积分，因
若对某个 t0 ， y(t0 ) − y ≺ δ ⇒ ∀ t ≥ t0 ， y(t) − y ≺ ε ，则称 y 是系统（CS）
的稳定均衡。
若对在某点进入 Bδ
( y) 的任意解
y(t) 有， lim t→∞
y(t) =
y ，则称
y wk.baidu.com渐近稳定。
下面我们结合图 4 对定常状态的稳定性进行直观说明。
y
y(t)＝－ e−at x(t)＋b e−at
（5）
其中 b = b1 - b0 是一任意常数。（5）式就是 ODE 的通解。 考虑微分方程：
y(t) - y(t)- 1 = 0
（6）
为解这个方程，我们遵循以上勾画出的步骤。首先，把所有涉及 y(t)及其导
6
数的项放到方程的左边，所有其他项放到右边。然后两边同乘以并积分：
（4）
其中 f 是已知函数，既可以是线性的，也可以不是线性的。 为了利用图形求解，我们将 f 看作是关于 y 的函数，并以横轴表示 y 的大小，
纵轴则代表 f( )和 y ，由于 y 是 y 关于时间的导数，所以当 y 0 时，y 值是递增
的；当 y ≺ 0 时，y 值则递减。 为了说明这一点，考虑一个简单的线性形式： y(t) ＝f( y(t) )＝a y(t) -b 其中 a 和 b 都是常数。 若 a 0，f( )的图形是一条具有正斜率的直线，且在 y ∗ ＝b/a 处与横轴相交，
如图 5.a。若在某个时刻 t= t0 ，y(t0 ) ＝ y ∗ 处于稳态水平，则 y(t) ＝0，所以，y(t) 不随时间的变化而变化，由此推断 y(t) 永远停留在 y ∗ 上，即达到稳态。
但是，若 y(t0 ) 不处于稳态值上，要么 y(t0 ) y ∗ ，或者 y(t0 ) ≺ y ∗ 。若 y(t0 ) y ∗ ，则 y(t0 ) 处于 y ∗ 的右侧， y(t) 0， y(t0 ) 随时间推移而不断增长；
方程（1）中，若 x(t) ＝ a3 为一常数，则（1）就是自控的，经济学中涉及到
的宏观动态系统基本上主要是这类自控模型。进一步，若 x(t) ＝0，则方程（1）
称为齐次方程，简称齐次的。 动态微分方程研究的主要问题是解的存在性和如何具体求出具体的动态路
径。不是所有的微分方程都能求解，本节主要讨论的是可求解的常微分方程。
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若 y(t0 ) ≺ y ∗ ，则 y(t0 ) 处于 y ∗ 的左侧， y(t) ≺ 0， y(t0 ) 随时间推移而不断减小。
总之，只要初始值 y(t0 ) ≠ y ∗ ， y(t) 将远离稳态。
y
y
y
不稳定
y
y∗
稳定 y y∗
不稳定 稳定
y
y∗
图 5.a 线性 ODE 的不稳定的稳态 图 5.bODE 的稳定的稳态 图 5.c 非线性 ODE 稳态
通过方程的解确定的 y(t) 的动态路径，称为方程或系统的流（Flow）。直观
上，系统的流是与系统的初始值（简称初值）和参数是相关的。对离散方程（2），
我们很容易验证这一点。假定： y(t + 1) ＝f( y(t) ,t,α )
两边减去 y(t) ，得到：
Δy(t) ＝ y(t + 1) － y(t) ＝f( y(t) ,t,α )－ y(t)
定义 1.1.1 定常状态或定态（不动点、休止点或均衡） 动态系统的常数
2
解称为系统的定态（Stationary State）。在离散系统中，y(t + 1) ＝g( y(t) )，若 y ∈Y
是 g( )的不动点(Fixed Point)，即若存在 y =g( y )，则称点 y 为定态。对于连续系
保号。证明思路：f(y)在 y 线性展开，并利用定理 1.1.3 证明。
（三）求解方法
下面我们讨论微分方程的求解问题，求解方法主要包括图形法、解析法和数 值分析，数值分析一般要借助熟悉软件，如 Matlab，这里主要讨论前两种方法。
1、图形法
考虑一个如下形式的自控微分方程：
y(t) ＝f( y(t) )
统， y =f(y)，若存在 y ∈Y 满足 f( y )=0，则称点 y 为定态。
给定状态向量或变量的定态，自然就要涉及到定态点的稳定性，也就是当系 统在休止点附近受到冲击时，系统能否回到均衡点。正式地：
定义 1.1.2 稳定性 令 y 是系统（CS） y =f(y)的非孤立的定常状态，若对
任意给定 ε 0，存在某个实数δ ∈(0,ε ]，
第一章 动态分析的数学基础
本章主要介绍与 Romer 的高级宏观经济学直接相关的数学基础，主要包括 动态系统、动态最优化原理。
第一节 动态系统基本理论
一、基本概念
（一）基本概念
变量为导数的方程称为微分方程。如果方程只有一个变量，则被称为常微 分方程（ODE），否则，称为偏微分方程。ODE 的阶是方程中最高阶导数的阶数， 如一个 ODE 的最高阶导数为 n 阶，则称它是一个 n 阶 ODE。当方程的函数关系 是线性时，就称为线性 ODE。如果方程涉及到多个变量的微分方程组，并且被 解释变量为时间，我们称该方程组为动态系统。经济学中大量的问题涉及的都是 经济现象在时间上的演变特征，动态系统成为分析这类问题的有力工具。
f(y)
y1
y2
y3
y
y ≺0
图 4 纯量连续系统的相图
显然，图 4 有 3 个定常状态 y1 、y2 和 y3 ，对 y1 ，当 y 位于附近右侧时，y ≺ 0， y 递减，使得 y 不断从右侧向 y1 靠拢。相反，当 y 位于附近左侧时， y 0，y 递 增，同样使得 y 不断从左侧向 y1 靠拢。最终都将收敛于 y1 。对 y2 ，当 y 位于附 近右侧时， y 0，y 递增，使得 y 不断从右侧远离 y2 。相反，当 y 位于附近左 侧时，y ≺ 0，y 递减，同样使得 y 不断从左侧远离 y2 。最终都将远离于 y2 。对 y3 ， 同样可以分析具有与 y1 的性质，是系统的局部稳定点。由此有如下定理：
常系数一阶线性 ODE 的一般形式为：
y(t) + a y( t) + x( t) = 0
其中 a 是一个常数，x(t)是一已知的时间函数，对这一方程的最简单解法步 骤如下。
第一，把所有涉及 y 及其导数的项放在方程的一边，把其余项放在另一边：
y(t) + a y(t) =- x( t)
第二，两边同乘以 eat 并积分：
定理 1.1.3 稳态定理 纯量方程 y =f(y)的定常状态是稳定的充要条件是： 若存在某个δ 0，使得 y 属于以 y 为中心的某个邻域，即 y∈ Bδ ( y) ，有：
(y－ y )f(y) ≺ 0
3
若存在某个δ 0，使得对( y -δ , y +δ )中所有 y，有：
(y－ y )f(y) 0