计算机常用算法与程序设计第2章 枚举

2.4 解不等式
2.4.2
分数不等式
案例提出：
1. 枚举设计要点 设和变量为s，递增变量为i，两者赋初值为0。 在s<=m1的条件循环中，根据递增变量i对s累 加求和，直至出现s>m1退出循环，赋值c=i，所得 c为n解区间的下限。 继续在s<=m2的条件循环中，根据递增变量i对 s累加求和，直至出现s>m2退出循环，通过赋值 d=i-1，所得d为n解区间的上限。注意，解的上限 是d=i-1，而不是i。 然后打印输出不等式的解区间[c,d]。
设置k(1～n)循环实施枚举，k代表每一项的分母。
根据参数k的取值选取求和操作： 若k不能被3
整除，s=s+1.0/k; 否则 若k能被3 整除，s=s-1.0/k; 循环结束，输出代数和s。
2. 枚举设计描述
//
求代数和s=1+1/2-1/3+1/4+1/5-1/6+...+-1/n #include <stdio.h> void main() { long n,k; double s=0; printf(" 请输入正整数n: "); scanf("%ld",&n); for(k=1;k<=n;k++) { if(k%3>0) s=s+1.0/k; // 按k取值求代数和 else s=s-1.0/k; } printf(“ s(%ld)=%.6f \n”,n,s); //输出结果 }
2.4 解方程
2.4.1
解佩尔方程
案例提出： 佩尔(Pell)方程是关于x,y的二次不定方程
（其中n为非平方正整数） 当x=1或x=-1，y=0时，显然满足方程。常把x,y 中有一个为零的解称为平凡解。•我们要求佩尔方 程的非平凡解。
1. 枚举设计要点
设置y从1开始递增1取值，对于每一个y值，计算 a=n*y*y后判别: 若a+1为某一整数x的平方，则(x,y)即为所求佩尔方程 的基本解。 若a+1不是平方数，则y增1后再试，直到找到解为止。 应用以上枚举探求，如果解的位数不太大，总可以求出 相应的基本解。 如果基本解太大，应用枚举无法找到基本解，可约定一 个枚举上限，例如10000000。可把y<=10000000作为循环条 件，当y>10000000时结束循环，输出“未求出该方程的基本 解！”而结束。
பைடு நூலகம்
2.3 整数搜索
2.3.2
搜索合数世纪
一个世纪的一百个年号中常存在有素数。例如，现在所处
的21世纪的100个年号中存在2003，2011等14个素数。那么， 是否存在一百个年号中没有素数的世纪？
定义：若一个世纪的100个年号中不存在素数，即100个年
号全为合数的世纪称为合数世纪。
输入正整数m（约定m≤100）,试探索前m个合数世纪。
1. 枚举设计要点
设变量b统计合数世纪个数，设置条件循环，条件即为b<m； 探索a世纪，从a=1开始递增1取值。设第a世纪的50个奇数年号(偶数
年号无疑均为合数)为n，显然有: a*100-99≤n≤a*100-1 设置n（a*100-99～a*100-1）循环，n步长为2，枚举a世纪奇数年号 n； 设置k（3～）试商循环，k步长为2，应用试商判别年号n是否为素 数： 若n为素数，退出试探下一个世纪； 若n为合数，并用变量s统计这50个n年号中的合数的个数。 对于a世纪，若s=50，即50个奇数都为合数，找到a世纪为合数世纪， 用b++统计合数世纪的个数, 并打印输出第b个合数世纪为a 世纪，同 时输出其年号范围。
2. 枚举设计描述
while (b<m)




}
{ a++;s=0; // 检验a世纪 for(n=a*100-99;n<=a*100-1;n+=2) // 穷举a世纪奇数年号n { x=0; for(k=3;k<=sqrt(n);k+=2) if(n%k==0) {x=1;break;} if(x==0)break s=s+x; // 年号n为合数时，x=1，s增1 } if(s==50) // s=50，即50个奇数均为合数 { b++; printf(" 第%d个合数世纪为：%ld 世纪,",b,a); printf("年号%ld至%ld全为合数。\n",a*100-99,a*100); }
设n为正整数，求代数和
1 1 1 1 1 1 s(n) 1 2 3 4 5 6 n
和式中各项的符号为二个“+”号后一个“-”号，即分 母能被3整除的项为“-”，其余项为“+”。 输入n，要求计算并输出代数和四舍五入精确到小数点后 第6位。

1. 枚举设计要点
第2章 枚 举
教学要求

了解枚举算法的概念与枚举设计要领

应用枚举求解统计求和与求最值等基本案例
本章重点


对某些枚举算法进行改进与优化
掌握枚举算法时间复杂度分析
2.1 枚举概述

1. 枚举的概念
(1) 枚举法（Enumerate）也称为列举法、穷举法， 是蛮力策略的体现，又称为蛮力法。 (2) 枚举是一种简单而直接地解决问题的方法，其 基本思想是逐一列举问题所涉及的所有情形 。

2. 枚举设计描述
y=1; while(y<=10000000)
{
}
y++; // 设置y从1开始递增1枚举 a=n*y*y; x=floor(sqrt(a+1)); if(x*x==a+1) // 检测是否满足方程 { printf(" x=%.0f, y=%.0f\n",x,y); break; }
3. 枚举的实施步骤
（1）根据问题的具体情况确定枚举量（简单变量
或数组）； （2）根据问题的具体实际确定枚举范围，设置枚 举循环； （3）根据问题的具体要求确定筛选（约束）条件； （4）设计枚举程序并运行、调试，对运行结果进 行分析与讨论。
2.2 统计与求和
2.2.1

求代数和
案例提出：
(3) 应用枚举时应注意对问题所涉及的有限种情形 进行一一列举，既不能重复，又不能遗漏。
2. 枚举的框架描述
n=0; for(k=<区间下限>;k<=<区间上限>;k++)


// 控制枚举范围 if(<约束条件>) // 根据约束条件实施筛选 { printf(<满足要求的解>); // 输出解 n++; // 统计解的个数 }