高考物理电学十大方法精讲 方法02镜像法(1)
电磁场课件 Part8--镜像法(1)
Topic # 8—镜像法(method ofimages)Part1n镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统n电轴~无限大接地导电平面系统的电场n电轴法 (广义镜像法)1n镜像法n定义The method of images is an analytical technique that involves replacing constantpotential surfaces with equivalent sources called image sources that generate the same fields.镜像法——用场域闭合边界外虚设的较简单的电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布以简化原问题的分析和计算。
场域闭合边界—一般为导体组成等位面2n镜像法n适用场合The conducting boundaries that can be modeled inthis way include infinite planes, spheres, infinitecylinders, and wedges.34n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Background对于大地上方输电线、雷电形成的电场，可以典型化为最 基本的问题：无限大接地导体上方点电荷激发的电场问题+q2s DP (x,y,z )1s he 导板¥r 2 0j Ñ=5n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析—直接求解是否可能1. ? 不行，2. 已知场源分布，求3. 高斯定理？0 4 P qrj e = p E vd SE S · ò vv Ñ0 E S × 或 非单一媒质需要探索新的求解方法不通6n 点电荷~无限大的接地导板系统n 换一个角度考虑：考虑其边值问题20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 211221 10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ7n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 12 |0S j = 0 | y n n E E e= = r r8n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 1 2 |0 S j = 0 | y n nE E e = = r r y =0的平面为等位面，且其电位为零9n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 22122210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 在正点电荷处取同样“大小”的面元S 2，可近似认为该 面元为等位面，于是：q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er10n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 比较边值问题一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场原问题22 0 () j Ñ= 在上半空间 1 220 ||=0S y j j = =0 |0t y E = = 22122 210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®®¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 21122110 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 二者完全一样（y =0平面对应导板表面）11n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 结论由唯一性定理可知，两者的解答 j =j 2注意适用区域：仅上半平面？为什么？计算导板上方的电场时，可以把导板上的感应电荷的影响 用一置于对称位置上的集中电荷等效由于引入的电荷位于原电荷对导板的镜像处—镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统 n计算模型—原问题De导体j = x1ryo(,,0)P x yq+h1213n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 计算模型—镜像法模型场中电场分布,等效于引入镜 像电荷q ，撤去 导板，整个空 间充满同一种 电介质的电场。
电动力学镜像法课件
03
理论框架完善
未来研究将进一步完善镜像法的理论框架，建立更严谨的数学和物理基
础，为解决复杂问题提供更有力的工具。
镜像法在其他领域的应用前景
光学领域
镜像法在光学领域有广泛的应用前景，如光子晶体、光子器件的 设计与模拟等。
生物医学工程
镜像法可用于模拟生物组织的电磁特性，为医学成像和诊断提供技 术支持。
镜像法在静电场中主要用于解决导体表面的电荷分布和电场分布问题。
详细描述
当一个带电体放置在导体附近时，导体表面的电荷分布会受到带电体的影响。通 过应用镜像法，可以计算出导体表面的电荷分布和电场分布，从而进一步分析带 电体与导体之间的相互作用。
镜像法在静磁场中的应用
总结词
镜像法在静磁场中主要用于解决磁力线和磁感应强度分布问题。
详细描述
电动力学在许多领域都有重要的应用。例如，无线通信依赖于电磁波在空间的传播，雷达通过发射电磁波并检测 其反射来探测目标，电子显微镜利用电磁场来控制电子束的传播和成像。此外，电动力学还在电力传输、电磁兼 容性、粒子加速器等领域有广泛应用。
03 镜像法在电动力学中的应用
镜像法在静电场中的应用
总结词
镜像法的计算步骤
确定原问题和镜像模型
根据实际问题，确定需要求解的原问 题和对应的镜像模型。
建立等效关系
根据镜像法的数学模型，建立镜像电 荷或镜像边界与原电荷或原边界之间 的等效关系。
求解等效问题
利用等效关系，求解等效的静电场或 静磁场问题。
计算结果分析
对计算结果进行分析，得出原问题的 解。
镜像法的计算实例
电动力学镜像法课件
目录
Contents
• 镜像法简介 • 电动力学基础 • 镜像法在电动力学中的应用 • 镜像法的计算方法 • 镜像法的优缺点分析 • 镜像法的发展前景
第二章 静电场 镜像法
根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有 自由电荷分布时，可用Laplace's equation求解场分 布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用 Poisson's equation 求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电 荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何 求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一 种特殊方法— 称为镜象法。
b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此 放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也 就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所 研究场域的介电常数。（实际是通过边界条件来确定假想电荷的 大小和位置）。
c)一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。
(R2
R04 a2
R0 a 2R R02
a
1
cos ) 2
R0 R
a
(R R0 )
再由
内 RR0
外 RR0
得到
内
Q
4 0R0
Q
4 0a
b)导体球不接地其电势为U0 这种情况与例3的差别仍然在边界条件，这里
内 RR0 U0
U0 是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心 处放置了电量为 4 0U0R0 的点电荷，显然，其解为
1
x2 y2 (z a)2
因为象电荷在左半空 间，所以舍去正号 解
1
]
x2 y2 (z a)2
讨论：（a）导体面上感应电荷分布
0
镜像法
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2
q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1
q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，
q 4
1 R
1 R
q 4
q q 0 4 R0
1
x2 y2 (z h)2
电位的法向导数
n
s
f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即
n
s2
f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
电动力学镜像法_2023年学习资料
5若导体球不接地，且带上自由电荷-20-2导体上总电荷为-Q比-时要保持导体为等势体，也应均匀分布在球面上 -02=+-4π 8R-6导体球不接地而带自由电荷Q时所受到的作用力-可以看作Q与Q'及位于球心处的等效电荷 ,+Q"的作用力之和-Q2+2"--1_0R2a2-R3-4π 8a-b2-4π 8a2-4π 6a2-a3a2 R2-设9，>0-Q>0,第一项为排斥力，第二项为吸引力-与Q无关，与Q正负无关。当a→R,时，F<0-即 电荷与带正电导体球在靠的很近时会出现相互吸引。-17
②l№<QL,因此0发出的电力线一部分会聚到导-体球面上，剩余传到无穷远。-15
Rla-476o R2+a2 -2Racos0-R2+Ro/a2-2RRg cos0/a-4若导体不接地导体不接地，可视为”分布在导体面上。不接地导体已为-等势体，加上Q"还要使导体为等势体，Q'必须均匀分布在 面上。-这时导体球上总电量Q'+Q”=0（因为均匀分布球面上可使导体-产生的电势等效于在球心的点电荷产生的 势-1=0+-4π 8R-等效电荷一般是点电荷组或一个带电体系，-而不一定就是一个点电荷。-16
b电荷Q产生的电场的电力线全部终止在导体面上，-它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空-间完全相 。-c导体对电荷Q的作用-力相当两点电荷间的作用力-二一-4π Gor-42a-166a
d镜象法的图形与光路用此图比较：-根据光的反射可找-到Q的大小和位置-Q与Q位置对于导体板镜象对称，故这种 法称为镜-象法（又称电象法）·-但要注意：光线是直线传播到导体板面上的。有的地方是与-板面⊥，有的地方是与 面有一定夹角；但电力线切线方向-是场强的方向，电力线在板面附近处处与板面L,这一点通-过静电平衡原理可知。 8
高考物理电学十大方法精讲 方法02镜像法(1)
方法02镜像法在讨论一个点电荷受到面电荷(如导体表面的感应电荷)的作用时，根据“镜像法”可以设想一个“像电荷”,并使它的电场可以代替面电荷的电场，从而把问题大大简化．【调研1】如图所示，有一块无限大的原来不带电的金属平板MN ，现将一个带电量为+Q 的点电荷放置于板右侧的A 点，并使金属板接地．已知A 点离金属板MN 的距离为d ，C 点在A 点和板MN 之间，AC ⊥MN ，且AC 长恰为2d．金属平板与电量为+Q 的点电荷之间的空间电场分布可类比 （选填“等量同种电荷”、“等量异种电荷”）之间的电场分布；在C 点处的电场强度E C = .解析：金属平板上感应出的电荷理解为在A 点与板对称的另一点B 点存在一个电荷-Q ，所以金属板与电量为+Q 的点电荷之间的空间电场分布可类比等量异种电荷之间的电场分布． 根据场强的叠加，E =E 1+E 2=2224039()()22QQ kQ k k d dd +=【调研2】无限大接地金属板和板前一点电荷形成的电场区域，和两个等量异号的点电荷形成的电场等效．如图所示P 为一无限大金属板，Q 为板前距板为r 的一带正电的点电荷，MN 为过Q 点和金属板垂直的直线，直线上A 、B 是和Q 点的距离相等的两点．下面关于A. B 两点的电场强度E A 和E B 、电势φA 和φB 判断正确的是( ) A. E A >E B φA >φB B. E A >E B φA <φBC. E A >E B φA =φBD. E A =E B φA >φB解析：大金属板接地屏蔽，就是说，金属板上感应电荷分布后对于右边电场的影响，相当于在+Q 关于板对称的地方放上一个镜像电荷-Q ．具体原因可以分析左边，左边电场为0．那么接地金属板电荷分布对于左边电场的影响相当于在+Q 原处放上一个-Q ．而明显金属板对左右电场影响是对称的．这就是镜像法的原理．可以推得A 的电场为正负点电荷在此处方向相同，从而相加；而在B 处，方向相反，从而相减．则E A > E B ，由于A 的电场强度大于B 处，则正电荷从O 点移到A 处的电场力做功大于移到B 处，则U OA > U OB ，则ϕA <ϕB ．故B 正确，A 、C 、D 错误；【调研3】如图所示为一块很大的接地导体板，在与导体板相距为d 的A 处放有带电量为-q 的点M＋A d Nd /2 C MANQB P电荷．(1)试求板上感应电荷在导体内P 点产生的电场强度.(2)试求感应电荷在导体外P '点产生的电场强度(P 与P '点对导体板右表面是对称的)； (3)在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直； (4)试求导体上的感应电荷对点电荷-q 的作用力．解析：(1)导体板静电平衡后有E 感=E 点，且方向相反，因此板上感应电荷在导体内P 点产生的场强：E p =2kqr ，其中r 为AP 间距离，方向沿AP ，如图甲所示． (2)因为导体接地，感应电荷分布在右表面，感应电荷在P 点和P '点的电场具有对称性，因此有：E P '=2kqr ，方向如所示． (3)考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点P 1点和P 1'．如前述分析，感应电荷在导体外P 1'点产生的场强大小为:121iP kq E r =.点电荷-q 在P 1'点产生的场强大小也是121iP kqE r =.它们的方向如图乙所示．从图乙看出，P 1'点的场强为上述两个场强的矢量和，即与导体表面垂直．甲 乙(4)重复(2)的分析可知，感应电荷在-q 所在处A 点的场强为:E iA =22(2)4kq kqd d =，方向垂直于导体板指向右方，该场作用于点电荷-q 的电场力为：F =-qE iA =224kq d-，负号表示力的方向垂直于导体板指向左方．【调研4】如图所示，有一块很大的接地导体，具有两个相互垂直的表面，在此表面外较近处有一个点电荷q ，坐标为(x 0，y 0)，试求点电荷q 的受力情况.解析： 求点电荷q 的受力即要求OA 、OB 板上感应电荷对它的作用力，但感应电荷在板上的分布并不均匀，直接求它们对q 的作用力很困难，如果此时空间中的电场与某些点电荷产生的电场相同，-qA d P 'P-qA E PPrE P ' P ' -qAP 1rAyxq (x 0,y 0)OB边界面上的感应电荷就可用这些点电荷代替，这就上上面所说的“镜像法”，为使OA 、OB 板电势为零，可先在q 关于OA 、OB 对称处分别放置q 1、q 2，q 1=q 2=-q . q 、q 1能使OA 板电势为零，但不能使OB 板电势为零；q 、q 2能使OB 板电势为零，但不能使OA 板电势为零；为使两板电势均为零，还需再放置一个与q 1、q 2都对称的q 1=q ，如图所示，导体表面感应电荷对q 的作用力相当于q 1、q 2、q 3三个镜像电荷对其的作用力. F x =-k2204q x +k222004()q x y +cos θ，其中cos θ=2200x y +.故F x = –k 24q [201x –223/20()x x y +]. 同理可得F y = –k 24q [201y –223/200()y x y +]，负号表示库仑力与x 、y 轴的方向相反，点电荷q 的受力情况就是F x 、F y 的合力F =22+xyF F =k222002223/22223/200000011+4()()x yq x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦.A yx q (x 0,y 0O-q (q 1)q (q 3)-q (q 2)B θ。
镜像法及其应用
镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。
镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。
适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。
镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。
根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。
下面我们举例说明。
1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。
解 建立直角坐标系。
此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。
导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。
现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。
这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。
也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。
对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。
由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。
高中物理竞赛讲义-镜像法
(4.4.3.14) 式中第一项 为孤立金属球的电容
圆柱面镜像1
概念
几何轴：物体的轴线。 电轴：电荷分布的轴线。
问题
已知边界条件、原电荷、几何轴，求镜像电荷，即镜像电轴位置及电荷 量。 已知给定电轴，求等位面、几何轴。
线电荷对导体圆柱的镜像
半径为a的接地导体圆柱外有 一条和它平行的线电荷，密 度为
掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。
球面镜像1
点电荷对接地导体球的镜像
题目：半径为a的接地导体球， 在与球心相据 的 一点电荷 。
在导体球内，距离球心处 的 点处置一镜像电荷 来代替导体球上的感应电荷，边 界条件维持不变，即导体球面为
零电位面。
去掉导体球，用原电荷和镜像电 荷求解导体球外区域场，注意不 能用原电荷和镜像电荷求解导体 球内区域场。 求解镜像电荷的大小和位置： 将原导体球移去，
图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像
求解 和 ： z>0时，
(4.4.2.11) z<0时，
(4.4.2.12) 根据边界条件 、
可以解得
(4.4.2.13)
(4.4.2.14)
分区域考虑镜像电荷。
求单导线的对地电容 求单导线的对地电容。一根极长的
单导线与地面平行。导线半径为a，离 地高度为h，求单位长度单导线地对地 电容。
的边界条件。但是有了地面影响，还应满足地面为零等位面的边界条 件。为满足这个条件，就要找出置于球心的
镜像电荷，这就是
，而且满足
。
的出现虽然使地面的边界条件得到了满足，但球面的等位面条件却被破 坏了。我们需要再按照球面镜像的方法求出
在球内的镜像电荷
电学 镜像法
1 q q q 4 0 R r r
3.5.3 导体圆柱面的镜像
a2 分析方法与球面镜像类似，并用 d2 d1 的关系进行试探求解。 在圆周上取两 个特殊点 S1 、S2 ，因为圆柱接地，它们 的电位为零。
如图，半径为 a 的接地导体圆柱 外有一根和它平行的线电荷，密度 为 l1 ，与圆柱轴线相距为 d1。求空间 的电位函数。
b.这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体 c. 均匀分布的分析可知,点电荷 镜像电荷1:
q
可用位于球心的等量点电荷等效
q 对非接地导体球面的镜像电荷有两个:
a q q d
a2 d d
镜像电荷2:
q q
a q d
d 0
位于球心
球外空间某点电位:
q 1 1 4 0 R R '
q
q 1 1 1 1 4 0 2 x y 2 z h 2 2 x 2 y 2 z h 2 2
面上感应电荷:
(a 2 d12 )q2 2 (a 2 d 2 2 )q12 0 2 2 2a cos (d1q2 d 2 q1 ) 0
a q2 q1 d1 联立求解得 a2 d 2 d1
于是球外任意点的电位
q 1 1 q1 q2 a 1 4 0 R1 R2 4 0 R1 d1R2
z q
h
R
P
边界条件: 等效问题:
z 0 0
0
h
R'
假设导体平面不存在，在z=0平面 下面与点电荷q 对称地放置一个电量 为-q 的点电荷，仍能保证z=0的平面
第二章 静电场及其解法2_镜像、分量
静电场问题的常用解法
镜像法 分离变量法 复变函数法 格林函数法
另法：在极坐标系下讨论
点电荷——不接地导体球面
等位面电位不为零；
导体球总的感应电荷为零
ε
a
先设想导体球接地（同上例）， 则导体球面电位为0，且存在总 电量为q’的感应电荷；可以上例 相同电量和位置的镜像电荷取代。
d’
q’
d
q
再考虑断开接地线的情形：须 保证球面总电量为0，即将-q’加 于导体球面上；还须保证球面为 等位面，即-q’应均匀分布于导体 球面上。这样就可以在球心虚设 一个镜像电荷-q’。
点电荷—无限大导体平面
z +q
x
-q
线电荷——无限大导体平面
z +ρ
x
-ρ
点电荷——相交半无限大导体平面
y B
a
b
+q
C
R1 R3 q 1 1 1 1 4 R R R R 2 3 4 1
x
n 平面可看作n 1的情形，则N 1 时，共有N 2n 1个镜像电荷
x, y A0 x B0 C 0 y D0 An cosk n x Bn sin k n x C n ch k n y Dn sh k n y
n 1
可见：通解函数的选择取决于边界条件；待 定系数的确定亦取决于边界条件。
镜像法求解静电场
镜像法求解静电场
静电场是指在没有电流流动的情况下，由电荷所产生的电场。
静电场的研究对于电学领域的发展具有重要的意义。
在静电场的研究中，镜像法是一种常用的求解方法。
镜像法是一种基于对称性的求解方法。
它的基本思想是将电荷在一个导体表面上的影像电荷作为一个新的电荷，然后再求解这个新的电荷所产生的电场。
这个新的电荷与原电荷之间的距离相等，但是方向相反。
这种方法可以简化计算，特别是在对称的情况下，可以大大减少计算量。
在使用镜像法求解静电场时，需要先确定一个导体表面作为镜面。
然后，根据对称性，将电荷在镜面上的影像电荷计算出来。
最后，将原电荷和影像电荷的电场叠加起来，就可以得到整个静电场的分布情况。
镜像法的应用范围非常广泛。
它可以用于求解各种形状的导体的静电场分布，包括球形、圆柱形、平面等。
在实际应用中，镜像法可以用于求解电容器的电场分布、电荷在导体表面上的分布等问题。
镜像法是一种非常实用的求解静电场的方法。
它可以大大简化计算，特别是在对称的情况下，可以大大减少计算量。
在实际应用中，镜像法可以用于求解各种形状的导体的静电场分布，具有广泛的应用前景。
高考物理电学十大方法精讲
方法01 割补法对某些物理问题，当待求的量A直接去解很困难或没有条件解时，可设法补上一个量B，割补的原理是使(A+B)成为一个完整的模型，从而使(A+B )变得易于求解，补上去的B也必须容易求解，那样，待求的量A 便可从两者的差值获得，问题就迎刃而解.这就是解物理题时常用的“割补法”.割补法本来是非对称性的物体，通过割补后构成对称性物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解.【调研1】如图所示，阴影区域是质量M半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心O′和大球心间的距离是2R,求球体剩余部分对球体外与球心O距离为2R、质量为m 的质点P的引力.解析：万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点，至于本题中不规则的阴影区，那是不能看作质点来处理的，故可用割补法将挖去的球补上.将挖去的球补上,则完整的大球对球外质点P的引力为：F1=2(2)GMmR=24GMmR，半径为2R的小球的质量：M ' =43π(2R)3×ρ=π(2R)3×34()3MR=18M补上的小球对质点P的引力F2=2'5()2GM mR=24'25G M mR=250GMmR因而挖去小球的阴影对质点P的引力为：F=F1-F2=24GMmR-250GMmR=223100GMmR【调研2】如图所示，把金属丝AB弯成半径r=1m的圆弧，但在AB之间留出宽度为d=2cm、相对来说很小的间隙，将电荷量Q=3.13×10-9C的正电荷均匀分布在金属丝上，求圆心O处的电场强度.解析：中学物理中只讲点电荷场强及匀强电场的计算方法，一个不规则带电体（如本题的缺口的带点环）所产生的场强，没有现成的公式可用.但可以这样想：将圆弧的缺口补上，并且它的电荷密度与缺口的环体原有电荷密度是一样的，这样就形成了一个电荷均匀分布的完整的带电环，环上OdA B处于同一直径两端的微小部分可看作两个相应的点电荷，它们产生的电场在圆心O 处叠加后场强是零，根据对称性可知，带电圆环在圆心O 处的总场强是零.至于补上的带电小段，由题给条件可视为点电荷，它在圆心O 处的场强为E 1是可求的，若题中待求场强为E 2，则由E 1+E 2 =0，便可求得E 2. 设原缺口环所带电荷的线密度为σ，σ=2Q r dπ-，则补上的金属小段带电量Q’=σd ，它在O 处的场强为E 1=k2'Q r= k2(2)Qd r d r π-，代入数据得E 1=9×10-2N/C. 设待求的场强为E 2，由E 1+E 2=0可得E 2=-E 1=-9×10-2N/C ，负号表示E 2与E 1方向相反，即E 2的方向向右，指向缺口.【调研3】静电学理论指出，对于真空区域，只要不改变该区域内的电荷分布及区域边界的电势分布，此区域内的电场分布就不会发生改变。
电动力学镜像法
1 1 W dV Q a 2 2
a
Q 40a
W
Q
2
80a
因为球内电场为零， 故只须对球外积分
2 2
方法之二: 按电场分布
1 W E DdV 2
W
0
2
4 r
2 0
Q
2 2
Q 1 Q r drd . dr 8 r 8 a
M
M
1 R 2 / M 2 1 1 R 2 / M 2 1 lim ln 2 2 2 2 1 R / M 1 1 R / M 1 M 4 0 0 0
2 R0 R ln 2 ln 4 0 R 2 0 R0
W （ 4） 1 dV 中的是由电荷分布 2
激发的电势；
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布，在场内没有独立的运动， 因而场的能量就由电荷分布所决定； （6）若全空间充满了介电常数为ε的均匀介质，可以得到电荷分布ρ所 1 ( x ) ( x) 激发的电场总能量
W
式中r为
由于 d dx dy dz dl x y z
因此，电场强度E等于电势
的负梯度
E
当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已 知电势φ时，通过求梯度就可以求得电场强度。
下面来计算给定电荷分布所激发的电势
点电荷Q激发的电场强度
4 0 r 3 Q Q r为源点到场点的距离。 dr 2 把此式沿径向由场点到 ( P) r 4 0 r 4 0 r
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
一、静电场的标势
在静止情况下，电场与磁场无关， 麦氏方程组的电场部分为
高中物理复习提升-镜像法的总结
关于镜像法的总结一、理论依据唯一性定理：它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面S 上的任一点只需给定ϕ或nϕ∂∂的值，而不能同时给定两者的值。
镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。
这样，便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场的问题。
二、镜像电荷法求导体球壳电场镜像电荷法是指在待求电场区域之外, 用假想电荷来等效原边界面上的感应电荷或极化电荷的作用, 只要保证求解空间内的全部边值条件得到满足,所得到的解就是唯一正确的解. 运用镜像电荷法求解静电场边值问题的关键根据唯一性定理找出电势满足的全部定解条件, 并由这些边值条件来决定像电荷的量值和位置. 对于平面导体附近有点电荷、球面导体附近有点电荷, 求出空间各点的电势及电场强度问题, 可以采用镜像电荷法来处理, 能够省去一些复杂的数学运算, 使问题巧妙地得到解决.比如, 接地空心导体球的内外半径分别为R1 和R2 , 在球内离球心为a( a< R 1 ) 处置一点电荷Q, 求球腔内的电势。
如图1 所示, 由于接地导体球壳的静电屏蔽作用, 可以得知R \R1的区域电势为零, 依据镜像电荷法规则, 假想点电荷Qc 应代替球壳面上感应电荷对空间电场的作用, 且满足球壳上电势U= 0 的边值条件. 由对称性可知, 假想点电荷Qc 必在OQ 连线上.设P 为球壳内表面上任一点, 由边界条件得'0'Q Q r r +=，式中r 为Q 到P 的距离, r’为Q’到P 的距离, 则''r Q r Q==常数 (1) 从图中可以看出, 只要选Qc 在合适的位置就可使'OQ P OPQ ∆∆, 则1'R r r a==常数 (2) 图1 设b 为Q’到球心的距离, 由两三角形相似条件可得R1 / a= b/ R, 即像电荷Q’的位置为21R b a= (3)由( 1) 和( 2) 式可求出像电荷Qc 的大小为1'R Q Q a=-(4) 则球腔内任一点P 的电势为11222200/11()()4'42cos 2cos QR QR a Q Qr r a R a Ra R b Rb ϕπεπεθθ=-=-+-+- (5)根据电势与电场强度的关系式E ϕ=-∇, 就可以求出电场强度.通过上面的分析运算可以看出, 采用镜像电荷法不仅解题思路清晰, 而且比分离变量法简单且更容易掌握。
4.3 镜像法1
表面吻合。
总结：
（1）镜像电荷与原电荷异号。 可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表 面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量 应该等于这些感应电荷的总电量。
（2）用镜像电荷等效感应电荷后，不改变原来的电场分布，即原电力线
和等位线分布不变。 （3）镜像法只适用于不包括镜像电荷所在的区域，如本题为导体上 方。 半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为 在上半空间中，源及边界条件未变。
1
思考题： （1）若导体球不接地，求球外的电场分布。 （2）若将点电荷放置在接地导体球形空腔内，距球心d2处，求 空腔内的电场。
若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导
P a r 2 o d q
2
r1
体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面
q
上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应 电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球， 若引入上述的镜像电荷 q‘ 后，为了满足电荷守
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得
s 0 Ez 0 z
h z z 0
q q
2
qh 2 x y h
2 2
3
2
dS q
s
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
部分完全相同。
z
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
解：由镜像法可得，l1的镜像电荷 a 位于l 2的反演点 d2 处。 d d
2 2 1
P a r2
r1 P2 d1
l 1
线电荷 l1 产生电位为： 1 1 l1 ln 2 0 r1
镜像法
分析方法：将导体表面上的电荷用线密
度分别为 l 、且相距为2b 的两根无限长 带电细线来等效替代，如图2所示。
a
b
b
l
l
a
h
h
图2 两平行导体圆柱的等效电荷
第10讲 镜像法
利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b 。
a2 由 d d
(h b)(h b) a 2
d2 q2
第10讲 镜像法
1
d1 q d 60° 2
1 d1
q d2
2
75°
2
1
q d1
120°
d2
2
可得出什么结论？
第10讲 镜像法
例1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为 d，如果把它移 至无穷远处，需要做多少功？ 解：由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷q′＝－q 替代。当电荷
q 移至 x时，像电荷q'应位于－x，则有
a
=
q
a
+
a
P
r
a ห้องสมุดไป่ตู้" R'
R
q
q'
d' d
a
q′
+
a
q″
a a2 q q, d d d
q q
a q，d 0 a
第10讲 镜像法
a a2 q q, d d d
q q
a q，d 0 a
P
r
a q" R'
R
q
球外任意点的电位为
R d a R a d
a2 d 像电荷的位置 d q q R a 0 q q q 像电荷的电量 R R R d a 1 q q d
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方法02镜像法
在讨论一个点电荷受到面电荷(如导体表面的感应电荷)的作用时，根据“镜像法”可以设想一个“像电荷”,并使它的电场可以代替面电荷的电场，从而把问题大大简化．
【调研1】如图所示，有一块无限大的原来不带电的金属平板MN ，现将一个带电量为+Q 的点电荷放置于板右侧的A 点，并使金属板接地．已知A 点离金属板MN 的距离为d ，C 点在A 点和板MN 之间，AC ⊥MN ，且AC 长恰为
2
d
．金属平板与电量为+Q 的点电荷之间的空间电场分布可类比 （选填“等量同种电荷”、“等量异种电荷”）之间的电场分布；在C 点处的电场强度E C = .
解析：金属平板上感应出的电荷理解为在A 点与板对称的另一点B 点存在一个电荷-Q ，所以金属板与电量为+Q 的点电荷之间的空间电场分布可类比等量异种电荷之间的电场分布． 根据场强的叠加，E =E 1+E 2=2
2
2
4039()()
2
2
Q
Q kQ k k d d
d +=
【调研2】无限大接地金属板和板前一点电荷形成的电场区域，和两个等量异号的点电荷形成的电场等效．如图所示P 为一无限大金属板，Q 为板前距板为r 的一带正电的点电荷，MN 为过Q 点和金属板垂直的直线，直线上A 、B 是和Q 点的距离相等的两点．下面关于A. B 两点的电场强度E A 和E B 、电势φA 和φB 判断正确的是( ) A. E A >E B φA >φB B. E A >E B φA <φB
C. E A >E B φA =φB
D. E A =E B φA >φB
解析：大金属板接地屏蔽，就是说，金属板上感应电荷分布后对于右边电场的影响，相当于在+Q 关于板对称的地方放上一个镜像电荷-Q ．具体原因可以分析左边，左边电场为0．那么接地金属板电荷分布对于左边电场的影响相当于在+Q 原处放上一个-Q ．而明显金属板对左右电场影响是对称的．这就是镜像法的原理．可以推得A 的电场为正负点电荷在此处方向相同，从而相加；而在B 处，方向相反，从而相减．则E A > E B ，由于A 的电场强度大于B 处，则正电荷从O 点移到A 处的电场力做功大于移到B 处，则U OA > U OB ，则ϕA <ϕB ．故B 正确，A 、C 、D 错误；
【调研3】如图所示为一块很大的接地导体板，在与导体板相距为d 的A 处放有带电量为-q 的点
M
＋
A d N
d /2 C M
A
N
Q
B P
电荷．
(1)试求板上感应电荷在导体内P 点产生的电场强度.
(2)试求感应电荷在导体外P '点产生的电场强度(P 与P '点对导体板右表面是对称的)； (3)在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直； (4)试求导体上的感应电荷对点电荷-q 的作用力．
解析：(1)导体板静电平衡后有E 感=E 点，且方向相反，因此板上感应电荷在导体内P 点产生的场强：E p =
2
kq
r ，其中r 为AP 间距离，方向沿AP ，如图甲所示． (2)因为导体接地，感应电荷分布在右表面，感应电荷在P 点和P '点的电场具有对称性，因此有：E P '=
2
kq
r ，方向如所示． (3)考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点P 1点和P 1'．如前述分析，感应电荷在导体外P 1'点产生的场强大小为:1
21iP kq E r =
.点电荷-q 在P 1'点产生的场强大小也是121
iP kq
E r =.它们的方向如图乙所示．从图乙看出，P 1'点的场强为上述两个场强的矢量和，即与导体表面垂直．
甲 乙
(4)重复(2)的分析可知，感应电荷在-q 所在处A 点的场强为:E iA =
22
(2)4kq kq
d d =，方向垂直于导体板指向右方，该场作用于点电荷-q 的电场力为：F =-qE iA =2
24kq d
-，负号表示力的方向垂直于导体板指向左
方．
【调研4】如图所示，有一块很大的接地导体，具有两个相互垂直的表面，在此表面外较近处有一个点电荷q ，坐标为(x 0，y 0)，试求点电荷q 的受力情况.
解析： 求点电荷q 的受力即要求OA 、OB 板上感应电荷对它的作用力，但感应电荷在板上的分布并不均匀，直接求它们对q 的作用力很困难，如果此时空间中的电场与某些点电荷产生的电场相同，
-q
A d P '
P
-q
A E P
P
r
E P ' P ' -q
A
P 1
r
A
y
x
q (x 0,y 0)
O
B
边界面上的感应电荷就可用这些点电荷代替，这就上上面所说的“镜像法”，为使OA 、OB 板电势为零，可先在q 关于OA 、OB 对称处分别放置q 1、q 2，q 1=q 2=-q . q 、q 1能使OA 板电势为零，但不能使OB 板电势为零；q 、q 2能使OB 板电势为零，但不能使OA 板电势为零；为使两板电势均为零，还需再放置一个与q 1、q 2都对称的q 1=q ，如图所示，
导体表面感应电荷对q 的作用力相当于q 1、q 2、q 3三个镜像电荷对其的作用力. F x =-k
220
4q x +k
222004()
q x y +cos θ，
其中cos θ=
220
0x y +.
故F x = –k 2
4
q [
20
1x –
223/2
0()
x x y +]. 同理可得F y = –k 2
4
q [
20
1y –
223/2
00()
y x y +]，负号表示库仑力与x 、y 轴的方向相反，点电荷q 的受力情况就是F x 、F y 的合力F =
22+x
y
F F =k
22
2
002223/22223/200000011+4
()()x y
q x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥
⎢⎥++⎣⎦⎣⎦
.
A y
x q (x 0,y 0O
-q (q 1)
q (q 3)
-q (q 2)
B θ。