1990高考数学全国卷及标准答案理
1990年数学高考真题
1990年数学高考真题
一、填空题
1.已知函数f(x)＝x²＋2x＋1，则f(-1)＝______。
2.若180°＜A＜360°，则cosA的值为______。
3.一般三角形有______个高。
4.已知三角函数tanB＝-√3，则角B的终边在______象限。
5.若x＜y，则根式(√x+√y)²等于______。
二、计算题
1.计算(2^3⁄4)÷(2^2⁄3)
2.已知a＝2，b＝-1，则a²-b²-2ab的值为______。
3.计算√3⁄2＋√3⁄6-√2。
4.在三角形ABC中，角A＝45°，角B＝60°，则角C的大小为
______。
5.已知a＝√3＋1，b＝√3-1，则a²-b²的值为______。
三、解答题
1.证明：cos(A+B)＝cosAcosB-sinAsinB。
2.已知在三角形ABC中，角A＝30°，角B＝60°，L为BC的中点。
求L与A的夹角。
3.已知函数f(x)＝3x²-11x＋10，计算f(1)、f(-2)以及f(3)。
4.解方程组：
2x-y＝5
x+y＝3
5.在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx-2过点A(1，7),求k的值。
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1990年高考全国卷数学试题及答案
1990年高考试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.【】【】(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】(5)【】【】(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么【】(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】(11)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于【】(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么【】(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有【】(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有【】(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是【】(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.1990年试题（理工农医类）答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A(2)B(3)D(4)C(5)C(6)B (7)A(8)D(9)B(10)D(11)C(12)B (13)B(14)C(15)D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1),x≠0.。
1990年高考试题(上海-理)
1990年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（每小题3分，共30分） 1、函数24++=x x y 的定义域是 。
2、函数x y arcsin =，（]1,1[-∈x ）的反函数是 。
3、过点)2,1(且与直线012=-+y x 平行的直线方程是 。
4、已知圆柱的轴截面是正方形，它的面积是24cm ，那么这个圆柱的体积是 3cm （结果中保留π）。
5、在ABC ∆中，已知53cos -=A ，则=2sinA 。
6、设复数，则的值是 。
7、已知圆锥的中截面周长为a ，母线长为l ，则它的侧面积等于 。
8、已知7)(a x +的展开式中，4x 的系数是280-，则实数=a 。
9、双曲线2222=-my mx 的一条准线是1=y ，则=m 。
10、平面上，四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直，则它的矩形共有个 （结果用数值表示）。
二、选择题（每小题3分，共30分）11、圆的半径是1，圆心的极坐标是（1,0），则这个圆的极坐标方程是（ ） （A ）、θρc o s = （B ）、θρs i n = （C ）、θρc o s 2= （D ）、θρs i n 2= 12、函数)(x f 和)(x g 的定义域均为R ，“)(x f 、)(x g 都是奇函数”是“)(x f 与)(x g 的积是偶函数“的 （ ） （A ）、必要条件但非充分条件 （B ）、充分条件但非必要条件（C ）、充分必要条件 （D ）、非充分条件也非必要条件 13、设点P 在有向线段AB 的延长线上，P 分AB 所成的比为λ，则 （ ） （A ）、1-<λ （B ）、01<<-λ（C ）、10<<λ （D ）、1>λ14、设32=a ，62=b ，122=c ，则数列a ，b ，c （ ） （A ）、是等差数列但不是等比数列（B ）、是等比数列但不是等差数列（C ）、既是等差数列又是等比数列（D ）、既不是等差数列又不是等比数列 15、设α角属于第Ⅱ象限，且2cos|2cos|αα-=，则2α角属于 （ ）（A ）、第Ⅰ象限 （B ）、第Ⅱ象限 （C ）、第Ⅲ象限 （D ）、第Ⅳ象限16、设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a 、b 、c ，那么这个长方体的对角线长是 （ ） （A ）、222c b a ++ （B ）、2222cb a ++（C ）、3222cb a ++ （D ）、2222cb a ++17、函数ax atg x f =)(的最小正周期是 （ ）（A ）、a π （B ）、| |a π （C ）、aπ（D ）、||a π 18、已知d x <<1，令2)(logx a d=，)(log 2x b d =，)(loglog x b dd =，则 （ ） （A ）、c b a << （B ）、b c a << （C ）、a b c << （D ）、b a c << 19、设b a ,是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 （ ） （A ）、经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b（B ）、经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b （C ）、存在分别经过直线a 和b 的两个互相平行的平面 （D ）、存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面20、下列四个函数中，在定义域内不具有单调性的函数是 （ ） （A ）、)(a r c c o s x c t g y = （B ）、)(a r c s i n x tg y =（C ）、)s i n (a r c t g x y = （D ）、)c o s (a r c t g x y = 三、解答题（共90分） 21、（本题满分8分）已知0)22(log 25=-+x x ，021log )2(log 255=+-+y x ，求y的值。
1990年全国高考数学试题
1990年全国高考数学试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.[Key]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A【】[Key] (2)B(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】[Key] (3)D(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】[Key] (4)C(5)【】[Key] (5)C(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}【】[Key] (6)B(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】[Key] (7)A(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】[Key] (8)D(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】[Key] (9)B【】[Key] (10)D(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°【】[Key] (11)C(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (12)B(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种【】[Key] (13)B(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个【】[Key] (14)C(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)【】[Key] (15)D二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.[Key] 三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.[Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.[Key] (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.[Key] (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2²2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2²1²(k+1)x a+2²2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.。
超级经典1990年全国高考数学试题
选校网 高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库1990年全国高考数学试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.[Key]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A【】[Key] (2)B(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】[Key] (3)D(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】[Key] (4)C(5)【】[Key] (5)C(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}【】[Key] (6)B(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】[Key] (7)A(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】[Key] (8)D(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】[Key] (9)B【】[Key] (10)D(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°【】[Key] (11)C(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (12)B(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种【】[Key] (13)B(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个【】[Key] (14)C(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)【】[Key] (15)D二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.[Key] 三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA ＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.[Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.[Key] (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.[Key] (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.选校网 高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试90
高考数学普通高等学校招生全国统一考试90本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页：第Ⅱ卷3至4页：共150分．第I 卷注意事项：1．答题前：考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上：考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后：用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动：用橡皮擦干净后：再选涂其他答案标号：第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答：在试题卷上作答：答案无效．3．考试结束：临考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥：那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立：那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ：那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分．在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的． 1．设集合⋃--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（ B ）= （ ）A ．{1}B ．{1：2}C ．{2}D ．{0：1：2} 2．已知==ααcos ,32tan 则（ ） A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－533．123)(x x +的展开式中：含x 的正整数次幂的项共有 （ ）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项 4．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ）IA ．（1：2）∪（2：3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1：3）D ．[1：3]5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ ）A ．周期函数：最小正周期为32πB ．周期函数：最小正周期为3πC ．周期函数：数小正周期为π2D ．非周期函数6．已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--= （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．将9个（含甲、乙）平均分成三组：甲、乙分在同一组：则不同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 8．在△ABC 中：设命题,sin sin sin :AcC b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形：那么命题p 是命题q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．矩形ABCD 中：AB=4：BC=3：沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ：则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ）A ．π12125B ．π9125 C ．π6125D ．π312510．已知实数a 、b 满足等式,)31()21(ba =下列五个关系式：①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△OAB 中：O 为坐标原点：]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ：则当△OAB 的面积达最大值时：=θ（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π12．为了解某校高三学生的视力情况：随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况：得到频率分布直方图：如右：由于不慎将部分数据丢失：但知道前4组的频数成等比数列：后6组的频数成等差数列：设最大频率为a ：视力在到之间的学生数为b ：则a , b 的值分别为（ ） A ．0,27,78 B ．0,27,83 C ．2.7,78 D ．2.7,83第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷2页：须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答：在试题卷上作答：答案无效。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试90
高考数学普通高等学校招生全国统一考试90本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页；第Ⅱ卷3至4页；共150分．第I 卷注意事项：1．答题前；考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上；考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后；用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答；在试题卷上作答；答案无效．3．考试结束；临考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥；那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立；那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ；那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的． 1．设集合⋃--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（ B ）= （ ）A ．{1}B ．{1；2}C ．{2}D ．{0；1；2} 2．已知==ααcos ,32tan 则（ ） A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－533．123)(x x +的展开式中；含x 的正整数次幂的项共有 （ ）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项 4．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ）IA ．（1；2）∪（2；3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1；3）D ．[1；3]5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ ）A ．周期函数；最小正周期为32πB ．周期函数；最小正周期为3πC ．周期函数；数小正周期为π2D ．非周期函数6．已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--= （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．将9个（含甲、乙）平均分成三组；甲、乙分在同一组；则不同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 8．在△ABC 中；设命题,sin sin sin :AcC b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形；那么命题p 是命题q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．矩形ABCD 中；AB=4；BC=3；沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ；则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ）A ．π12125B ．π9125 C ．π6125D ．π312510．已知实数a 、b 满足等式,)31()21(ba =下列五个关系式：①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△OAB 中；O 为坐标原点；]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ；则当△OAB 的面积达最大值时；=θ（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π12．为了解某校高三学生的视力情况；随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况；得到频率分布直方图；如右；由于不慎将部分数据丢失；但知道前4组的频数成等比数列；后6组的频数成等差数列；设最大频率为a ；视力在到之间的学生数为b ；则a , b 的值分别为（ ） A ．0,27,78 B ．0,27,83 C ．2.7,78 D ．2.7,83第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷2页；须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答；在试题卷上作答；答案无效。
1990年全国高考数学(理科)试题
1990年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.1.方程3log 124x =的解是 A.19x =B.3x =C.x =9x = 2. 把复数1i +对应的向量按顺时针方向旋转23π，所得到的向量对应的复数是A.1122i -++B.1122i --+C.1122i -+D.1122i -+ 3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于4.方程sin 2sin x x =在区间(0,2)π内的解的个数是5.已知如图是函数2sin() ()2y x πωϕϕ=+<的图象,A.10116πωϕ==， B.10116πωϕ==-， C.26πωϕ==， D.26πωϕ==-， 6.函数cos cot sin tan sin cos tan cot x x x x y x x x x=+++的值域是 A.{}2,4- B.{}2,0,4- C.{}2,0,24-， D.{}4,2,0,4--7.如果直线2y ax =+与直线3y x b =+关于直线y x =对称,那么A.1,63a b ==B.1,63a b ==- C.3,2a b ==- D.3,6a b == 8.极坐标方程24sin 52θρ=表示对曲线是1 11A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线9.设全集{}(,),I x y x y R =∈，集合3(,)12y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)1N x y y x =≠+，那么M N =A.∅B.{}(2,3)C.(2,3)D.{}(,)1x y y x =+10.如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么y x的最大值是 . A.1211.如图,正三棱锥S ABC -的侧棱与底面边长相等, 如果,E F 分别为SC 、AB 的中点,那么异面直线EF 与 SA 所成的角等于A.090B.060C.045 D.030 12.已知0h >，设命题甲为：两个实数,a b 满足2a b h -<；命题乙为：两个实数,a b 满足1a h -<且1b h -<.那么A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.C.甲是乙的充要条件.D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.13.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻） 那么不同的排法共有A.24种B.60种C.90种D.120种14.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有A.70个B.64个C.58个D.52个15.将函数y arctgx =的图像沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图像位C ，又设图像与C '与C 关于原点对称，那么C '所对的函数是A.(2)y arctg x =--B.(2)y arctg x =-C.(2)y arctg x =-+D.(2)y arctg x =+二、填空题: 本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上.16.双曲线221169y x -=的准线方程是 . 17.2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中，2x 的系数等于 .18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是数列{}n a 的前项的和，那么lim n n n na S →∞= . 19.函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值为.20.如图,三棱柱111ABC A B C -中,若,E F 分别为,AB AC的中点,平面11EB C F 将三棱柱分成体积为1V 、2V 的两部分,那么1V :2V = .三、解答题. 本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.22.已知1sin sin 4αβ+=，1cos cos 3αβ+=，求tan()αβ+的值. 23.如图,在三棱锥S ABC -中, SA ⊥底面ABC , AB BC ⊥.DE 垂直平分SC ,且分别交AC 、SC于,D E .又SA AB =,SB BC =.求以BD 为棱,以 BDE 与BDC 为面的二面角的度数. 24.设0a ≥,在复数集C 中解方程22z z a +=.25.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率2e =，已知点3(0,)2P .求这个椭圆的方程.并求椭圆上到点P 的点的坐标.26.设函数12(1)()lg x x x n n a f x n+++-+=.其中a 是实数，n 为任意给定的自然A A B D C ES数，且2n ≥.（1）如果()f x 当(],1x ∈-∞时有意义，求a 的取值范围；（2）如果(]0,1a ∈，证明：2()(2)f x f x <， 0x ≠时成立.。
1990高考数学全国卷及答案理
1990高考数学全国卷及答案理1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3 (D)4(5)(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2三、解答题.7(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C(6)B (7)A(8)D (9)B (10)D(11)C(12)B (13)B(14)C（15)D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.。
高考理科数学试题及答案1990
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1990年全国高考数学试题
年全国高考数学试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.[]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.()【】[] ()()如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是,那么圆柱的体积等于【】[] ()()方程在区间(π)内的解的个数是()()()()【】[] ()()【】[] ()(){}(){}(){}(){}【】[] ()()如果直线＋与直线－关于直线＝对称,那么()()【】[] ()()圆()椭圆()双曲线的一支()抛物线【】[] ()(){()}()()(){()│}【】[] ()【】[] ()()如图,正三棱锥的侧棱与底面边长相等,如果、分别为、的中点,那么异面直线与所成的角等于()°()°()°()°【】[] ()()已知>.设命题甲为:两个实数满足│－│<;命题乙为:两个实数满足│－│<且││<.那么()甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件()甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件()甲是乙的充分条件()甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[] ()()五人并排站成一排,如果必须站在的右边（可以不相邻）,那么不同的排法共有()种()种()种()种【】[] ()()以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()个()个()个()个【】[] ()()设函数的图象沿轴正方向平移个单位所得到的图象为.又设图象＇与关于原点对称,那么＇所对应的函数是()()()()()()()()【】[] ()二、填空题:把答案填在题中横线上.()()()()()()的展开式中的系数等于.()已知{}是公差不为零的等差数列,如果是{}的前项的和,那()函数的最大值是.()如图,三棱柱－中,若、分别为、的中点,平面将三棱柱分成体积为、的两部分,那么＝.[] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.()有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是,第二个数与第三个数的和是.求这四个数.[] 三、解答题.()本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得.③整理得解得.代入③式得.从而得所求四个数为或.解法二:设四个数依次为①由①式得.③将③式代入②式得()(),整理得.解得.代入③式得.从而得所求四个数为或.[] ()本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设≤α≤β＜π,且点的坐标是（α,α）,点的坐标是（ββ）,则点在单位圆上.连结连结,于是⊥,若设点的坐标是（）,再连结,则有解法三:由题设得(αβ)(αβ).将②式代入①式,可得(α)(β).于是α－＝()π(β)(∈),或απ(β)(∈).若α()π(β)(∈),则α＝β＋()π(∈).于是αβ,即αβ.由此可知απ(β)(∈),即α＋β＝π(∈).所以()如图,在三棱锥中⊥底面⊥．垂直平分,且分别交、于、.又＝＝.求以为棱,以与为面的二面角的度数.[] ()本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于＝,且是的中点,因此是等腰三角形的底边的中线,所以⊥.又已知⊥∩＝,∴⊥面,∴⊥.又∵⊥底面在底面上,∴⊥.而∩＝,∴⊥面.∵＝面∩面＝面∩面,∴⊥⊥.∴∠是所求的二面角的平面角.∵⊥底面,∴⊥⊥.设＝,又因为⊥,∴∠＝°.又已知⊥,所以∠＝°,即所求的二面角等于°.解法二:由于＝,且是的中点,因此是等腰三角形的底边的中线,所以⊥.又已知⊥∩＝∴⊥面,∴⊥.由于⊥底面,且是垂足,所以是在平面上的射影.由三垂线定理的逆定理得⊥;又因∈是在平面上的射影,所以在平面上的射影在上,由于∈,所以在平面上的射影也在上,根据三垂线定理又得⊥.∵面面,∴∠是所求的二面角的平面角.以下同解法一.()设≥,在复数集中解方程││＝.[] ()本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设＝,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得或.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形.若,即求原方程的实数解.此时,①式化为││.③(Ⅰ)令>,方程③变为＋.④.由此可知:当时,方程④无正根;(Ⅱ)令<,方程③变为.⑤.由此可知:当时,方程⑤无负根;当>时,方程⑤有负根.(Ⅲ)令,方程③变为.由此可知:当时,方程⑥有零解;当>时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当时;.情形.若,由于的情形前已讨论,现在只需考查≠的情形,即求原方程的纯虚数解(≠).此时,①式化为││.⑦(Ⅰ)令>,方程⑦变为,即().⑧由此可知:当>时,方程⑧无实根.当≤时解方程⑧得±,从而,当时,方程⑧有正根;当<≤时,方程⑧有正根±.(Ⅱ)令<,方程⑦变为,即().⑨由此可知:当>时,方程⑨无实根.当≤时解方程⑨得±,从而,当时,方程⑨有负根;当<≤时,方程⑨有负根±所以,原方程的纯虚数解是:当时±;当<≤时,±()±().而当>时,原方程无纯虚数解.解法二:设代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得或.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形.若,即求原方程的实数解.此时,①式化为││.即││.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形.若,由于的情形前已讨论,现在只需考查≠的情形,即求原方程的纯虚数解(≠).此时,①式化为││.即││││.④当时,因≠,解方程④得││,即当时,原方程的纯虚数解是±.当<≤时,解方程④得,即当<≤时,原方程的纯虚数解是.而当>时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为││是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即或(≠).情形.若.以下同解法一或解法二中的情形.情形.若(≠).以下同解法一或解法二中的情形.解法四:设(θθ),其中≥≤θ<π.代入原方程得θ＋θ＝.于是原方程等价于方程组情形.若.①式变成.③由此可知:当时是方程③的解.当>时,方程③无解.所以,当时,原方程有解;当>时,原方程无零解.考查>的情形.(Ⅰ)当时,对应的复数是±.因θ,故①式化为.④.由此可知:当时,方程④无正根;当>时,方程④有正根.所以,当>时,原方程有解.(Ⅱ)当时,对应的复数是±.因θ,故①式化为,即(),⑤由此可知:当>时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当时,方程⑤有正根;.所以,当时,原方程有解±;当<≤时,原方程有解当>时,原方程无纯虚数解.[] ()本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中>>待定≤θ<π.设椭圆上的点()到点的距离为,则大值,由题设得,因此必有,由此可得.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中>>待定.,设椭圆上的点()到点的距离为,则其中.由此得,由此可得.所求椭圆的直角坐标方程是≥.(Ⅰ)如果()当∈(∞]时有意义,求的取值范围;(Ⅱ)如果∈(],证明()<()当≠时成立.[] ()本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解()当∈(∞]时有意义的条件是…()>∈(∞]≥,上都是增函数,在(∞]上也是增函数,从而它在时取得最大值也就是的取值范围为(Ⅱ)证法一()<()∈(]≠.即[…()]<[…()]∈(]≠.②现用数学归纳法证明②式.（）先证明当时②式成立.假如<<≠,则()·≤()<().假如≠,因为≠,所以因而当时②式成立.（）假如当(≥)时②式成立,即有[…()]<[…()] ∈(]≠,那么,当∈(]≠时[(…)()](…)(…)()()<(…)(…)()()(…)[··()·()…()]()<(…){[()][()]…[()]}()]()[…()]≤()[…()],这就是说,当时②式也成立.根据(),()可知,②式对任何≥(∈)都成立.即有()<()∈(]≠.证法二:只需证明≥时因为其中等号当且仅当…时成立.利用上面结果知,当≠时,因≠,所以有[…()]<[…()].当<<≠时,因<,所以有[…()]≤[…()]<[…()].即有()<()∈(]≠.。
高考数学全国卷及答案理
1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4(5)(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h。
命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝三、解答题.7(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
1990年全国高考数学试题
1990年全国高考数学试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.[Key]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A【】[Key] (2)B(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】[Key] (3)D(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】[Key] (4)C(5)【】[Key] (5)C(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}【】[Key] (6)B(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】[Key] (7)A(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】[Key] (8)D(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】[Key] (9)B【】[Key] (10)D(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°【】[Key] (11)C(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (12)B(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种【】[Key] (13)B(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个【】[Key] (14)C(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)【】[Key] (15)D二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.[Key] 三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.[Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.[Key] (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.[Key] (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.。
第10讲1990年全国高中数学联赛试题及详细解析
1．设
α∈(
4，
) 2
,
则
(cos
) cos ， (s in
) cos ，(cos
A． (cos B． (cos
) cos <(sin ) cos <(cos
) cos <(cos ) sin <(sin
a1k=a12+(
k－
2)
d= k( 2
k=1，
2，
3，…，
n)
∴
akk
=a1k
qk
－1=1 2
1 k·（2)
k－ 1=(
1 )
2
k·
k．
令 Sn= a 11+a22+…＋ann．
n n+1
n
1
k
k－1 1 1 n
则
S－
2
S=kΣ=1
k
2
－
kΣ=2
k
2
= 2
+kΣ=2
2
k－
2
n+1
a24=1，
n+2 ∴ S=2－ n ．
)
A． 2－1989
B．－ 1
C． 1
D．以上答案都不对
x2 y2 6．已知椭圆 a2 +b2=1( a>b>0) 通过点 (2 ，1) ，所有这些椭圆上满足 | y|>1 的点的集合用阴
影表示是下面图中的 ( )
y O
(2,1)
x
( 5 ，0)
y
(2,1)
x O
(2,-1)
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解法一:由已知得
解法二:如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是（ｃosα,
siｎα）,点Ｂ的坐标是(cosβ，sinβ)，则点A,B在单位圆x2+y2=1上．连结
连结OC,于是OC⊥ＡB,若设点D的坐标是(1,０)，再连结OA,OB,则有
ﻩ∴∠ＡCS＝30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝６0°,即所求的二面角等于６０°.
解法二:由于SB＝BC,且Ｅ是SC的中点,因此ＢＥ是等腰三角形SＢC的底边SC的中线,所以SＣ⊥BＥ.
又已知SC⊥DE,BＥ∩DＥ＝E∴SC⊥面BＤE,
∴SC⊥BD．
由于SA⊥底面ＡＢC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ＡBC上的射影.由三垂线定理的逆定理得ＢD⊥AＣ;又因E∈SＣ,AC是ＳＣ在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于Ｄ∈AC,所以DE在平面ＡBC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BＤ⊥DE.
ﻩ
解法三:由题设得4(ｓiｎα+sinβ）＝3(cosα+ｃosβ）．
ﻩ ﻩ
将②式代入①式，可得sｉｎ(α-）=ｓｉn(-β).
于是α-＝（2k+1)π-(-β)(k∈Z),
或α－=2kπ+(-β)（ｋ∈Z).
若α-＝(2ｋ+1)π-(-β）(k∈Z)，则α=β+(2k+1)π(k∈Z).
于是ｓiｎα=－sinβ,即sｉnα＋sinβ=0.
∴SC⊥面BDE,
∴SＣ⊥BＤ.
又∵SA⊥底面ＡBC,BＤ在底面ＡBC上，
∴ＳA⊥BＤ.
而SC∩SA＝S，∴BD⊥面SＡＣ.
∵DE＝面ＳAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BＤC,
ﻩ∴BD⊥DE,BD⊥DC．
∴∠EDＣ是所求的二面角的平面角.
∵SA⊥底面ＡＢC，∴SA⊥ＡB,SＡ⊥AC．
设SＡ=ａ，
又因为ＡB⊥BC,
(11)如图,正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等,如果E、Ｆ分别为SＣ、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于
（A)90°ﻩ（B）60°ﻩ(C)４5°(Ｄ)３0°
(12）已知h＞0.设命题甲为：两个实数ａ,b满足│a-b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－１│<ｈ且│b－１│<ｈ．那么
由此可知ﻩα－＝2kπ+(－β）(k∈Ｚ）,
即α+β＝2+２kπ(k∈Z）.
所以
(23)本小题考查直线和平面，直线和直线的位置关系，二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.
解法一:由于SＢ＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形ＳBC的底边ＳC的中线,所以SC⊥BE．
又已知ﻩﻩSC⊥DE,BＥ∩DＥ＝E，
的中点，平面ＥB1Ｃ1F将三棱柱分成体积为Ｖ1、V2的两部分,那么V１：Ｖ2=
三、解答题.7
(2１）有四个数，其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.
(23)如图,在三棱锥SＡBC中,SA⊥底面ABC,AＢ⊥BＣ．ＤE垂直平分SC,且分别交AＣ、SC于D、Ｅ.又ＳA=AB,ＳB=ＢC．求以BD为棱,以BＤE与BDC为面的二面角的度数.
(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有
(Ａ)70个（B)64个(C)58个ﻩ(Ｄ）52个
（１5)设函数y＝ａrｃｔgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为Ｃ．又设图象C＇与C关于原点对称,那么C'所对应的函数是
(A)y=-ａｒctg(x-2)(Ｂ)y=arcｔg(ｘ-2)
(C)y＝－arctg(x+2)(Ｄ)y=arctｇ(x+2)ﻩ
（１1)C(12)B(13)Bﻩ（解答题．
(21）本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组)解决问题的能力．
解法一:
①
由②式得ﻩｄ=１2－2a.ﻩ③
整理得ﻩa2-13a+36=０
解得a1=4,a2＝9.
代入③式得d１=4，d２＝-6．
1９90年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内
（３)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于
(4)方程sin2x=sinx在区间（０,2π)内的解的个数是
（Ａ)1ﻩ(B）2（Ｃ)3ﻩ（D)4ﻩ
(５)
ﻩ
(A）{－2,4}(B){-2,０,4}
（C){－2,0,2，4}ﻩ(D){-4,-2,0，４}ﻩ
（7)如果直线ｙ=ａｘ+2与直线ｙ=3ｘ-ｂ关于直线y=ｘ对称，那么
ﻩ
(Ｃ)a=3,b=－2ﻩ(D）a=3,b=6ﻩ
(A)圆ﻩ（B)椭圆
(C)双曲线的一支(D)抛物线ﻩ
(B）{(２,3)｝
(C)(2,３)ﻩ(D）{(ｘ，y)│ｙ=x＋1}
(２４)设a≥0,在复数集Ｃ中解方程ｚ２+2│z│=ａ.
n≥2．
(Ⅰ)如果f(ｘ)当x∈(－∞,1］时有意义,求a的取值范围；
(Ⅱ)如果ａ∈（0，1],证明２f(ｘ)<f(2ｘ）当ｘ≠０时成立.
参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算．
(1）A (2)B (3)Ｄ(4)C (5)C(6)B（7)Ａ（8)D（９)B（10)D
二、填空题:把答案填在题中横线上.
（1７)（x－１)-（ｘ-１）2＋(ｘ－1)３-（x－1）４+(x-1)5的展开式中,ｘ2的系数等于
(1８)已知{an}是公差不为零的等差数列,如果Ｓn是{ａn｝的前n项的和，那
（１9)函数ｙ=sｉnxcosx＋sinx＋cｏsx的最大值是
(20)如图,三棱柱ABC－Ａ1Ｂ1C1中,若E、F分别为AB、AC
（Ａ)甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
（B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件
(C）甲是乙的充分条件
(Ｄ)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件ﻩ
(1３)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果Ｂ必须站在Ａ的右边（Ａ,Ｂ可以不相邻),那么不同的排法共有
(A）24种ﻩ(B）60种（Ｃ)90种(D)12０种
从而得所求四个数为0，4,８,16或15,9,３,1.
解法二:设四个数依次为x,y,１2-ｙ,16-ｘ①
ﻩ
由①式得ｘ＝3y-12．③
将③式代入②式得ﻩy(1６-３y+１2)=（1２－y）２,
整理得ﻩy2－13ｙ+36=0.
解得y1=4,y2=9.
代入③式得ﻩx1=0，ｘ2=15.
从而得所求四个数为０,4,8,16或1５,9,3,１.