人教版初中数学讲义
人教版八年级上册数学讲义
八年级数学讲义第11章三角形一、三角形的概念1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．、顶点：A，B，C ．内角：∠A ，∠B ，∠C．．二、三角形的边1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.】确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.2.三角形的主要线段三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点(三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三条角平分线交于三角形内部一点.A三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、 @四、 三角形的角1 三角形内角和定理结论1：△ABC 中：∠A+∠B+∠C=180° ※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余． ※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求∠A 、∠B 、∠C 的度数…2三角形外角和定理外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角五、 *六、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形(2) 按边分：①不等边三角形 ②底与腰不等的等腰三角形 ③等边三角形五 多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
人教版初中数学讲义
人教版初中数学讲义 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-基本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c 的平方，即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48、48、定理四边形的内角和等于360°49、49、四边形的外角和等于360°50、50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51、51、推论任意多边的外角和等于360°52、52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267、67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、75、等腰梯形的两条对角线相等76、76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81、81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83、83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d84、84、(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85、85、(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),86、那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b87、86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例88、87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例89、88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边90、89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例91、90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似92、91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）93、92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似94、93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）95、94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）96、95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似97、96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比98、97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比99、98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方100、99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值101、100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值102、101、圆是定点的距离等于定长的点的集合103、102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合104、103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合105、104、同圆或等圆的半径相等106、105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆107、106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线108、107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线109、108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线110、109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
初一数学基础知识讲义
初一数学基础知识讲义初一数学基础知识讲义1. 数的基本概念- 自然数：1、2、3、4……- 整数：0、-1、-2、-3……- 有理数：可以表示为两个整数的比值，包括整数、分数和小数。
- 实数：包括有理数和无理数。
2. 数的运算- 加法：a + b = c，表示将a和b相加得到c。
- 减法：a - b = c，表示从a中减去b得到c。
- 乘法：a × b = c，表示将a和b相乘得到c。
- 除法：a ÷ b = c，表示将a除以b得到c。
3. 整数运算- 整数加法：整数和整数相加。
- 整数减法：整数减去整数。
- 整数乘法：整数和整数相乘。
- 整数除法：整数除以整数。
4. 分数运算- 分数加法：分数和分数相加。
- 分数减法：分数减去分数。
- 分数乘法：分数和分数相乘。
- 分数除法：分数除以分数。
5. 小数运算- 小数加法：小数和小数相加。
- 小数减法：小数减去小数。
- 小数乘法：小数和小数相乘。
- 小数除法：小数除以小数。
6. 不等式- 大于：a > b，表示a比b大。
- 小于：a < b，表示a比b小。
- 大于等于：a >= b，表示a大于等于b。
- 小于等于：a <= b，表示a小于等于b。
7. 几何图形- 点：没有长度、面积和体积，只有位置。
- 直线：由无数个点连成的无限延长线。
- 线段：直线两个端点之间的部分。
- 射线：一端起始，一端无限延长的直线段。
- 平行线：在同一个平面上，永远不会相交的直线。
- 垂直线：与另一条直线相交，形成90度的角。
九年级人教版数学讲义
九年级人教版数学讲义你好！欢迎使用九年级人教版数学讲义。
下面我将详细介绍该讲义的主要内容。
一、目录九年级人教版数学讲义主要包括以下内容：第一章：实数与数轴第二章：一次函数第三章：三角形第四章：四边形第五章：圆第六章：统计初步第七章：数学思想方法二、主要内容1. 实数与数轴：本章主要介绍实数的概念和性质，以及数轴的表示方法和基本性质。
通过本章的学习，学生可以更好地理解实数与数轴上的点之间的对应关系。
2. 一次函数：本章主要介绍一次函数的概念、性质和图像，以及一次函数在生活中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握一次函数的基本思想和解题方法。
3. 三角形：本章主要介绍三角形的边角关系、三角形的分类（等腰三角形、直角三角形、一般三角形）、三角形的稳定性在实际中的应用等。
通过本章的学习，学生可以掌握三角形的基本性质和解题方法。
4. 四边形：本章主要介绍平行四边形、矩形、菱形、正方形等基本概念和性质，以及它们在实际中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握四边形的基本性质和解题方法。
5. 圆：本章主要介绍圆的基本概念、性质和定理，以及圆在实际中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握圆的性质和解题方法，并提高空间想象能力。
6. 统计初步：本章主要介绍数据的收集、整理、描述和分析方法，以及统计在生活中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握统计的基本思想和解题方法。
7. 数学思想方法：本章主要介绍数学思想和方法，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，以及这些思想和方法在解题中的应用。
通过本章的学习，学生可以提高数学思维能力和解题能力。
三、作业与练习九年级人教版数学讲义提供了大量的作业与练习，包括选择题、填空题、解答题等，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
学生可以通过完成这些作业与练习，加深对所学内容的理解，并提高应用所学知识解决实际问题的能力。
四、教学建议教师在教学过程中，可以根据学生的实际情况和教材内容，适当调整教学进度和难度，注重培养学生的数学思维能力和解题能力。
人教版九年级数学上册讲义(全册)之欧阳与创编
人教版九年级数学上册讲义（全册）第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（a≥0）是一个非负数，（）2=a（2）理解（a≥0（a≥0）．·＝（a≥0，b≥0），（3）掌握；=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（2＝a（a≥0）；（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点（a≥0）是一个非负数的理解；对等式1．对（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式 3课时21．2 二次根式的乘法 3课时21．3 二次根式的加减 3课时教学活动、习题课、小结 2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键（a≥0）的式子叫做二次根式的1．重点：形如概念；（a≥0）”解决具体问2．难点与关键：利用“题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3，那么它的图象在第x一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得 二、探索新知很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a ≥0）•（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根1x （x>0、、1x y+、x ≥0，y•≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根0．解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：、1x 1x y+． 例2．当x在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习教材P 练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x +在实数范围内有意义？分析11x +在实数范围内有意义，必须同中的≥0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32 由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求x y 的值．(答案:2) (2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1．形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5 B．15 D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a 的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x是多少时，+x 2在实数范围内有意义？3．4.x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b为实数，且+2=b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B二、1a ≥0） 2．没有三、1．设底面边长为x ，则0.2x 2=1，解答：2．依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-3且x≠0x2在实数范围2内没有意义．3.134．B5．a=5，b=-421.1 二次根式(2)第二课时教学内容a≥0）是一个非负数；12）2=a（a≥0）．教学目标（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥理解0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（谨解题．教学重难点关键（a≥0）是一个非负数；（）2=a1．重点：（a≥0）及其运用．（a≥2．难点、关键：用分类思想的方法导出0）是一个非负数；•用探究的方法导出（≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？a<0有意义2．当a≥0时，吗？老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出（）2=_______；（）2=_______；（）2=______）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有2=4．同理可得：（）2=2，（）2=9）2=3，2=13，所以 例1 计算1．（）2 2．（3）2 3．（）24．（2）2分析2=a （a ≥0）的结论解题．解：（）2 =32，（3）2 =32·（）2=32·5=45，2=56，（2）2=22724 ． 三、巩固练习计算下列各式的值：（）2 （）2 （）2 （）2（2四、应用拓展例2 计算）2（x≥0）2．（）21．（3242分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴2+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．（0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P9 7．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题1．下列各式中、、、、）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（）2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（12（2）-）2（3）（12）2（4）（）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）（）2=9 （2）-（）2=-3（3）（12）2=14×6=32（4）（2=9×23=6 (5)-62．（1）5=2 （2）3.4=2（3）16=2 （4）x=）2（x ≥0） 3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ x y =34=81 4.（1）x 2-2=（）（）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（x+）（） (3)略21.1 二次根式(3) 第三课时教学内容a （a ≥0） 教学目标（a ≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程 一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a ≥0）的式子叫做二次根式； 2a ≥0）是一个非负数； 3．)2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空：=______；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=2；=0.01；=110；=23；=0；37．例1 化简（1（2（3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习 教材P 7练习2． 四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0时，，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0那么-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知│a │，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，即使a>a所以a不存在；当a<0时，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，a的应用拓展．六、布置作业1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第三课时作业设计一、选择题1）．A．0 B．23 C．423D．以上都不对2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．，求a-19952的值．2．若│1995-a│3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│答案:一、1．C 2．A二、1．-0．02 2．5三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000所以a-1995+=a，=1995，a-2000=19952，所以a-19952=2000．3. 10-x21．2 二次根式的乘除第一课时教学内容＝a≥0，b≥0（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标理解·（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出=（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键·＝（a≥0，b≥0），重点：（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出0）．（a<0,b<0）=b，如关键：要讲清教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空=______；（1（2（3参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，_____，2．利用计算器计算填空×______，（2）×（1）×______，（4）×（3）．（5老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为×（2）×（3）×（1）（4（a≥0，b≥0）计算分析：即可．解：（1（2（3=（4例2 化简（1（2（3（4（5=·（a≥0，b≥0）直接化简分析：利用即可．×4=12解：（1（2（3（4=3xy（5三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简教材P11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2）×=4××=4×解：（1）不正确．×3=6（2）不正确．改正：×=×＝五、归纳小结＝=（a≥0，b≥本节课应掌握：（1）六、布置作业1．课本P15 1，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题cm1．若直角三角形两条直角边的边长分别为，•那么此直角三角形斜边长是（）．cm B．．9cm D．27cmA．2．化简）．．．．-A311x-=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．B．A．C．二、填空题．12它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）3验证：=同理可得：==通过上述探究你能猜测出：a=_______（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D2．12s二、1．三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，．2．验证：====21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1=a≥0，b>0），（a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空=________；（1=________；（2=________；（3（4=________．______；______；规律：3．利用计算器计算填空:=_________，（2=_________，（3）（1=______，（4．______；_______；规律：（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：例1．计算：（1（2（3）（4分析：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案．解：（1（2==×（3==2（4例2．化简：（1）（2）（3）（4）分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．解：（18=（2）8 3ba =（3）=（4）=三、巩固练习教材P14 练习1．四、应用拓展例3．=，且x 为偶数，求（1+x ）的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8． 解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，即96x x ≤⎧⎨>⎩∴6<x ≤9 ∵x 为偶数 ∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值=6．五、归纳小结本节课要掌握=（a ≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用． 六、布置作业1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题1的结果是（ ）．A ．27．27C ．72．阅读下列运算过程：3==5== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简）． A ．2 B ．6 C ．13D二、填空题 1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)=______.2．已知x=3，y=4，z=5是_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长1，•现用直径为3的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2．计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）答案:一、1．A 2．C二、1．2==2 三、1．设：矩形房梁的宽为x （cm ），则长为，依题意，）2+x 2=（32，4x 2=9×15，x=32cm ），x ·x 2=135（cm 2）．2．（1）原式＝=-22n n m m =-（2）原式=-2=-2=-a21.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（12，（3老师点评：2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h 1km ，h 2km ，•那么它们的传播半径的比是_________．。
初三数学人教版秋季讲义
第四讲 一元二次方程根与系数的关系一、典题回顾:1、已知x 、y 都是正整数，且18=+y x ，求x+y 的值。
2、2222)11(y xy x y x y x ++÷+--，其中23,23-=+=y x .3、按要求解方程： ①033212=+-x x （利用配方法） （2）0822=--x x （利用因式分解方法)③2)1(5)1(32=+-+x x (利用公式法）二、根与系数的关系:1、如果方程)0(02≠=++a x bx ax 有两个实数根21,x x ，那么 ；2、一些常见的关于两根代数式的变形：(1）2221x x += ；（2）))((21a x a x ++= ；（3）1221x x x x += ；(4）21x x -= ； 3、求关于一元二次方程根的代数式的值的方法：遇双平方,先 ；遇括号，先展开；遇分式，先 ；遇公因式,先 ；遇两根之差,先 ，再 。
例1、（1）设a 、b 是方程020092=-+x x 的两个实数根，则b a a ++22的值为（ )A 、2006B 、2007C 、2008D 、2009（2)已知α、β是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则22βαβα++= .(3）已知m 和n 是方程03522=--x x 的两根，则nm 11+= . （4）设21,x x 是方程0242=+-x x=-21x ，()()=++1121x x 。
例2、方程012222=+-++k k kx x 的两个实数根是21,x x ，满足42221=+x x ，则k = 。
例3、已知关于x 的一元二次方程0222=+-m x x 有两个不相等的实数根。
(1）求实数m 的最大整数值；例4、（七中高新·半期)已知21,x x 是关于方程()()()()m p p m x x --=--22的两个实数根.（1)求21,x x 的值；（用m 和p 表示出来）（2）若21,x x 是某直角三角形的两直角边的边长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出最大值。
人教版九年级上册数学讲义知识点归纳
九年级上册数学讲义知识点归纳第21章一元二次方程一、学习目标一、明白得一元二次方程的概念二、学会一元二次方程的解法3、了解方程的根与系数的关系4、把握一元二次方程的实际应用二、重点一、一元二次方程一、一元二次方程含有一个未知数(一元)，而且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
二、一元二次方程的一样形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、降次----解一元二次方程1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的进程(不管用什么方式解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)2、直接开平方式利用平方根的概念直接开平方求一元二次方程的解的方式叫做直接开平方式。
直接开平方式适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。
依照平方根的概念可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
3、配方式：配方式的理论依照是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，那么有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方式解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判定2个根是不是实数根。
4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方式。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x当ac b 42->0时，方程有两个实数根。
当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。
当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。
5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式别离等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。
初一人教版必备数学精讲讲义
初一人教版必备数学精讲讲义一、整数与分数1. 整数的概念及表示整数是由自然数、零和负数组成的数集，表示为Z。
2. 整数的运算2.1 加法整数加法的运算规则：同号相加，异号相减，结果的符号由绝对值较大的数决定。
2.2 减法整数减法的运算规则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
2.3 乘法整数乘法的运算规则：同号相乘得正，异号相乘得负。
2.4 除法整数除法的运算规则：同号相除得正，异号相除得负。
3. 分数的概念及表示分数是表示整体中的一部分的数，由分子和分母组成，表示为a/b （b≠0）。
4. 分数的运算4.1 加法和减法分数的加法和减法运算规则：将分数转化为相同分母后，对分子进行加或减。
4.2 乘法分数的乘法运算规则：将两个分数的分子和分母分别相乘。
4.3 除法分数的除法运算规则：将除法转化为乘法，将除数的倒数作为乘法的因数。
二、代数式与方程1. 代数式的概念及表示代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，可以表示数或量。
2. 代数式的运算2.1 合并同类项合并同类项是将具有相同字母变量的项进行加减运算。
2.2 提取公因式提取公因式是将代数式中的公共因子提取出来。
2.3 展开式和因式展开式是将乘积式或幂式展开为加减式；因式是将加减式写成乘积式或幂式的形式。
3. 方程的概念及解法方程是含有未知数的等式，通过求解未知数的值来满足等式成立。
4. 一元一次方程一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a、b为已知常数，x为未知数。
5. 一元一次方程的解法5.1 用逆运算法解方程根据一元一次方程的定义，通过逆运算法求解方程。
5.2 用等式变形法解方程利用等式的性质进行变形，将方程转化为更简单的形式以求解。
三、图形的认识与几何运算1. 点、线、面的概念及表示点是几何图形的基本要素，用大写字母表示；线是由无数个点组成的集合，用小写字母表示；面是由无数个连在一起的线组成的集合。
2. 直线、射线和线段直线是一定方向上无限延伸的线段；射线是起点固定，沿着一定方向无限延伸的线段；线段是由两个点确定的有限部分。
人教版初中数学讲义第7讲 平方根
第7讲 平方根知识点1： 平方根 （一）什么叫做平方根？ 探索一什么数的平方等于9？2() =9，2() =9 什么数的平方等于16？2() =16，2() =16， 什么数的平方等于49？2() =49，2() =49 什么数的平方等于121？ 2() =121，2() =121总结：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做ａ的 或 ． 用数学式子表述为：若2x =a ，则x 是a 的平方根。
平方根的特点结论一：一个正数的平方根有 个，它们互为 数。
探索二2() =0结论二：0的平方根有 个，是 ； 探索三2() =－4，2() =－9，2() =－16，结论三：负数 平方根（填“有”或“没有” ）重点点击：一个正数的平方根有 个，它们互为 数； 0的平方根有 个，是 ；负数 平方根 （二）算术平方根：一个正数有两个平方根，一正一负，其中 叫做算术平方根。
如：81的算术平方根是 ，规定：0的算术平方根是0 （三）如何表示一个数的平方根，算数平方根（1） “25的平方根”可以表示为±， “25的算数平方根”可以表示为，，（2）小结：正数a 的平方根可以用 表示；正数a 的算术平方根可以用 表示；正数a 的负的平方根可以用 表示。
（3a 满足的条件时 如：9的平方根可以表示为±9或3±2的算术平方根可以表示为： (四)平方根的性质（1）a （a 的算数平方根）具有双重非负性：a 是非负数，a 也是非负数（2）)0()(2≥=a a a ，||2a a =（3）平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25= 2.5=0.25=. 【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（24=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ）2、x 为何值时，下列各式有意义？．举一反三：【变式1】代数式y ＝3-x 有意义，则x 的取值范围是 ．【变式2】已知2b =，求11a b+的算术平方根．类型二、平方根的运算2、 填空：（1）4-是 的负平方根． （2表示 的算术平方根，= ．（3的算术平方根为 ． （43=，则x = ，若3=，则x = ．举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3． ③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【变式2】求下列各式的值：（1） （2（3（44.若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.类型三、利用平方根解方程5、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=；（3）()2932640x +-=【变式】求下列等式中的x ：（1）若21.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b |0b -=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-举一反三：0=，求20112012x y +的值．1、—8是 的平方根； 64的平方根是 ； =64 ；—5的平方是 ；=9 ； 9的平方根是 。
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基本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51、推论任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d84、(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85、(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
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人教版九年级数学上册讲义（全册）第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（a≥0）是一个非负数，（（22=a（a≥0（a≥0）．·＝（a≥0，b≥0），（3）掌握；a≥0，b>0a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点a≥0（a≥0）1．二次根式2＝a（a≥0）；（a≥是一个非负数；（0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点（a≥0）是一个非负数的理解；对等12＝a（a≥0）及（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式 3课时21．2 二次根式的乘法 3课时21．3 二次根式的加减 3课时教学活动、习题课、小结 2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键（a≥0）的式子叫做二次根1．重点：形如式的概念；2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：，那么它的图象问题1：已知反比例函数y=3x在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以）．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得 二、探索新知方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a ≥0）•根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次、1x （x>0、-、1x y+（x ≥0，y•≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、-（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：1x 、1x y +．例2．当x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13三、巩固练习教材P 练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x +在实数范围内有意义？分析11x +在实数范围内有意义，必0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩ 由①得：x ≥-32 由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求x y 的值．(答案:2) (2)若+=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1．形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．B C D ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）AB D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5B ．．15D ．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a 的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时，x+x 2在实数范围内有意义？3．4.x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b+2=b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B二、1（a ≥0） 2．没有三、1．设底面边长为x ，则0.2x 2=1，解答：2．依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩ ∴当x>-32且x ≠0x 2在实数范围内没有意义． 3.134．B5．a=5，b=-421.1 二次根式(2)第二课时教学内容1（a ≥0）是一个非负数；22=a （a ≥0）．教学目标（a ≥0）2=a （a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法（a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1（a ≥0）是一个非负数；（2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•）2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？叫什么？当a<02．当a≥0意义吗？老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a≥0）是一个什么数呢？）2=_______；（）2=_______；（）（2=______）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．是4的算术平方根，根据算术平是一个平方等于4的非负数，因此）2=4．）2=2，（）2=9，（）2=32）2=0，所以例1计算）2 2．（）2 3．（21）24．（2分析）2=a（a≥0）的结论解题．解：（）2 =32，（3）2 =32·（）2=32·5=45，2=56，（2）2=22724=． 三、巩固练习计算下列各式的值：（2 （）2 （42 ）2（）2四、应用拓展例2 计算1．（）2（x ≥0） 2．（）23）242分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a 2≥02=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 ，∴2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：a≥0）是一个非负数；12．（0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P97．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题、、、、1．下列各式中）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（）2=________．2三、综合提高题1．计算（1）（）2（2）-（）2（3）（1）2（4）（2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16 （4）x （x ≥0）3=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）2=9 （2）-）2=-3 （3）（12）2=14×6=32（4）（2=9×23=6 (5)-62．（1）5=2 （2）3.4=2（3）16=（2 （4）x=（）2（x ≥0） 3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩x y =34=81 4.（1）x 2-2=（）（）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（（(3)略21.1 二次根式(3)第三课时教学内容a （a ≥0）教学目标理解=a （a ≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究=a （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a （a ≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a ≥0）的式子叫做二次根式； 2（a ≥0）是一个非负数；3．)2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；=________=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=2；=0.01；=110；=23；37．例1 化简（1）（2） （3）（4）分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．（2=4解：（1（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0时，，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23 C．423D．以上都不对2．a≥0结果，下面四个选项中正确的是（）．A．=≥- B．>C．<<-D．-二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+答案:一、1．C 2．A二、1．-0．02 2．5三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000=a，=1995，所以a-2000=19952，所以a-19952=2000．3. 10-x21．2 二次根式的乘除第一课时教学内容·＝（a≥0，b≥0），反之（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标·＝（a≥0，b≥0），理解=（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出·＝=·（a≥0，b≥0）并运用它进维，得出行解题和化简．教学重难点关键重点：·＝（a≥0，b≥0），（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．（a<0,b<0）=b，如关键：要讲清=或==×教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空=______；（1（2（3）．×_____，_____，2．利用计算器计算填空×______，（2）×（1）×______，（4）×（3）．（5二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．例1．计算（2（3（1（4a≥0，b≥0）计分析：算即可．解：（1（2（3=（4例2 化简（1（2（3（5（4=（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1×4=12（2（3（4（5三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）×(2) 化简教材P11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2）×=4××=4×解：（1）不正确．×3=6×=×改正：五、归纳小结本节课应掌握：（1=（a≥0，b≥0六、布置作业1．课本P15 1，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，•那么此直角三角形斜边长是（）．cm B．3cm C．9cmA．3D．27cm2．化简）．B．．-A311x-=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．4×2=8 B．5×4×3=7D．5×C．44二、填空题．12．自由落体的公式为S=12度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===（2）验证：==同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D2．12s二、1．三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，．2．验证：====21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1；（2=________；（3；（4=________．规律：______；______；3．利用计算器计算填空:=_________，（2）=_________，（1）=______，（4=________．（3______；_______；规律：每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1．计算：（1（2（3）（4分析：上面4小题利用a ≥0，b>0）便可直接得出答案．解：（1（2==（3==2（4例2．化简：（1） （2）（3）（4分析：直接利用（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．解：（18=（283b a=（3=（4= 三、巩固练习教材P14 练习1． 四、应用拓展例3．=，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：，只有a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，即96x x ≤⎧⎨>⎩∴6<x ≤9∵x 为偶数 ∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值=6．五、归纳小结本节课要掌握a ≥0，b>0（a ≥0，b>0）及其运用． 六、布置作业1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题1 ）．A ．27B ．27C ．D ．72．阅读下列运算过程：3==5== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）．A ．2B ．6C ．13D二、填空题 1．分母有理化:(1)=______.2．已知x=3，y=4，z=5结果是_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形：1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2．计算（1）·（-）÷（m>0，n>0）（2）-3÷（）×（a>0） 答案:一、1．A 2．C二、1．2==2 三、1．设：矩形房梁的宽为x （cm ），则长为，依题意，x ）2+x 2=（2，4x 2=9×15，x=32cm ），x ·2=1354cm 2）．2．（1）原式＝-÷=-=-22n n m m =-（2）原式=-2=-2a21.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（12，（32．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径的比是_________．。
人教版初中数学讲义
人教版初中数学讲义一、教材结构与特点人教版初中数学教材分为多个章节，涵盖了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等领域。
在数与代数部分，从有理数、实数的概念开始，逐步深入到整式、分式、方程与不等式等内容。
通过这一系列的学习，学生能够建立起扎实的数的运算和代数表达式处理能力。
图形与几何方面，包括了点、线、面、体的基本概念，三角形、四边形、圆等常见图形的性质和判定。
注重培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
统计与概率部分，让学生了解数据的收集、整理、分析和解释，以及概率的基本概念和简单计算，培养学生的数据分析和决策能力。
综合与实践则强调数学知识在实际生活中的应用，引导学生运用所学解决实际问题，提高学生的数学应用意识和创新能力。
二、重点知识点1、代数式的运算包括整式的加减乘除、乘法公式的应用，以及分式的化简和运算。
这是后续学习方程和函数的基础。
2、方程与不等式一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的解法及应用，不等式的性质和解法。
3、函数一次函数、反比例函数、二次函数的图像和性质，以及函数的应用。
函数是数学中的重要概念，与实际生活联系紧密。
4、三角形三角形的内角和定理、全等三角形和相似三角形的判定和性质，勾股定理等。
5、圆圆的有关性质、与圆相关的位置关系、圆的周长和面积计算。
6、数据的分析平均数、中位数、众数、方差等统计量的计算和意义。
三、学习方法1、理解概念数学概念是学习的基石，要深入理解每个概念的内涵和外延，通过具体例子来加深印象。
2、多做练习通过大量的练习题来巩固所学知识，提高解题能力。
但要注意不要盲目刷题，要注重总结解题方法和思路。
3、建立错题本将做错的题目整理到错题本上，分析错误原因，总结经验教训，避免再次犯错。
4、小组学习与同学组成学习小组，相互讨论、交流，共同解决问题，有助于开拓思路。
5、联系实际将数学知识与实际生活相联系，体会数学的应用价值，提高学习兴趣。
四、教学建议1、激发兴趣采用生动有趣的教学方法，如数学故事、数学游戏等，激发学生的学习兴趣。
人教版初中数学讲义完整版
人教版初中数学讲义标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]基本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48、48、定理四边形的内角和等于360°49、49、四边形的外角和等于360°50、50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51、51、推论任意多边的外角和等于360°52、52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267、67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、75、等腰梯形的两条对角线相等76、76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81、81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83、83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d84、84、(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85、85、(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),86、那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b87、86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例88、87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例89、88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边90、89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例91、90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似92、91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）93、92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似94、93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）95、94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）96、95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似97、96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比98、97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比99、98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方100、99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值101、100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值102、101、圆是定点的距离等于定长的点的集合103、102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合104、103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合105、104、同圆或等圆的半径相等106、105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆107、106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线108、107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线109、108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线110、109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
新人教版七年级下册数学讲义
新人教版七年级下册数学讲义第一章：整数
整数是数学中非常重要的概念之一。
在这一章中，我们将研究整数的基本概念和运算法则。
1. 整数的概念
整数由正整数、0和负整数组成，以...（文档中内容超过800字，请随意补充相关知识点）
第二章：代数式
代数式是数学中用字母表示数的算式。
在这一章中，我们将研究如何理解和使用代数式。
1. 代数式的概念
代数式由字母、数字和运算符号组成，表示数...（文档中内容超过800字，请随意补充相关知识点）
...
（继续添加章节和相关内容）
第六章：几何图形
几何图形是数学中研究形状和结构的重要内容。
在这一章中，我们将研究各种几何图形的性质和计算方法。
1. 直角三角形
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角。
在这一节中，我们将研究直角三角形的性质和重要定理。
1.1 定理一：勾股定理
勾股定理是直角三角形中非常重要的定理，描述了直角三角形的边之间的关系。
1.2 定理二：余弦定理
余弦定理是直角三角形中另一个重要的定理，描述了直角三角
形的边和角之间的关系。
...
通过本讲义的研究，我们将掌握数学中的一些基本概念和方法，为更深入的数学研究打下坚实的基础。
注：本文档内容仅供参考，具体内容以教材为准。
(完整)人教版七年级数学上册辅导讲义
最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
九年级讲义目录专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】 当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】 （1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】 设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2.已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4.a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把(1)a - ）A .B C. D .（武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.专题02 从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是： 1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：① 若0=++c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1. ② 若0=+-c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1-.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为1,22b x a-±=这个公式形式优美，内涵丰富：① 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美； ② 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；③ 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1 阅读下列的例题解方程： 2||20x x --=解：①当x ≥0时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-(舍)① 当0<x 时，原方程化为220x x +-=，解得11=x (舍)，22-=x 请参照例题解方程：2|3|30x x ---=，则方程的根是＿＿＿＿（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例2 方程2|1|(42)x x -=-+的解的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3 已知m ，n 是二次方程2199970x x ++=的两个根，求22+19986)(20008)m m n n +++（的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出m ，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m ，n 的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：①把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c =--②把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c +=-③把20(0)ax bx c a ++=≠变形为cax b x+=- 其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换. 例4 解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=解题思路：因未指明关于x 的方程的类型，故首先分01=-m 及1-m ≠0两种情况，当1-m ≠0时，还考虑就24b ac -的值的三种情况加以讨论.例5 已知三个不同的实数a ，b ，c 满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x ，有一个相同的实根，方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实根，求a ，b ，c 的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是： ①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解. ②设出公共根，设而不求，消去二次项.例6 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题） 解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a 的较低次数的方程.能力训练 A 级1、已知方程062=+-q x x 可以配成()72=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配成＿＿＿＿＿_________的形式.（杭州市中考试题）2、若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于＿＿＿＿.（天津市中考试题）3、设方程2199319940,x x +-=和2(1994)1993199510x x -⋅-=的较小的根分别为α，β，则βα⋅＝＿＿＿.4、方程2|45|62x x x +-=-的解应是＿＿＿＿（上海市竞赛试题） 5、方程23(1)1x x x ++-=的整数解的个数是＿＿＿＿.A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个（山东省选拔赛试题）6、若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0（德州市中考试题）7、已知a , b 都是负实数，且1110a b a b+-=-，那么ba 的值是（ ）A 、12+ B 、12- C 、12- D 、12+- （江苏省竞赛试题）8、方程2||10x x --=的解是（ ）A 、12± B 、12- C 、12±或12- D 、12-± 9、已知a 是方程2199910x x -+=的一个根，求22199919981a a a -++的值.10、已知2410a a ++=且42321322a ma a ma a--=++，求m 的值. （荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m ，使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.12、已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值.B 级1、已知α、β是方程2(2)10x m x +-+=的两根，则22(1)(1m )m ααββ++++的值为＿＿＿ 2、若关于x 的方程20x px q ++=与20x qx p ++=只有一个公共根，则1999(p q)+＝＿＿＿3、设a , b 是整数，方程20x ax b ++=，则b a +=_________(全国通讯赛试题)4、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=解的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、已知1||1a a-=，那么代数式1||a a +=（ ）A 、2 B 、2- C 、 D 6、方程||3||20x x x -+=的实根的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）A 、1996B 、1997C 、1998D 、19998、已知三个关于x 的一元二次方程2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3（全国初中数学联赛试题）9、已知x =，求4322621823815x x x x x x --++-+的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）10、设方程2|21|40x x ---=，求满足该方程的所有根之和.（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= ①及222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= ②（其中a ， b 为正整数）有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值.（全国初中数学联赛试题）12、小明用下面的方法求出方程30=的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m 的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．专题06 转化与化归----特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.例题与求解【例1】已知方程组⎩⎨⎧=+=+233522y x y x 的两组解是),(11y x 与),(22y x ，则1221y x y x +的值是_______ （北京市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.【例2】方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．【例3】 解下列方程:（1） 42)113(1132=+-++-x xx x x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （2）121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ； （河南省竞赛试题） （3） 1)1998()1999(33=-+-x x ； （山东省竞赛试题） （4） 222222)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x （“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.【例4】 解下列方程组:（1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+;612,331y y x y x y x （山东省竞赛试题）（2） ⎩⎨⎧=++=++;2454,144)53)(1(2y x x y x x x （西安市竞赛试题）（3） ⎩⎨⎧+-=+-=.23,23232232y y y x x x x y （全苏数学奥林匹克试题） 解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.【例5】 若关于x 的方程xkx x x x x k 1122+=---只有一个解（相等的解也算一个）.试求k 的值与方程的解.（江苏省竞赛试题）【例6】 方程02006322=+++-y x xy x 的正整数解有多少对？解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.能力训练A 级1．方程1)1(3)1(222=+-+xx x x 的实数根是_____________. 2．()()()22222224367243+-=+-+-+x xx x x x ，这个方程的解为x =_________________.3．实数z y x ,,满足⎩⎨⎧=+-+-=,0223,362z xy y x y x 则zy x +2的值为_______________.（上海市竞赛题） 4． 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,01222b ax x a x bx bx ax 有实数解，则.________1=++b a（武汉市选拔赛试题）5．使得()()()()7823142222+-++=--x x x x x x 成立的x 的值得个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个（“五羊杯”竞赛试题）6．已知方程组⎩⎨⎧=-=+1,22z xy y x 有实数根，那么它有（ ）A ．一组解B ．二组解C ．三组解D ．无数组解（“祖冲之杯”邀请赛试题） 7．设a a 312=+，b b 312=+且b a ≠，则代数式2211b a +的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11 8．已知实数y x ,满足20,922=+=++xy y x y x xy ，则22y x +的值为（ ）A ．6B ．17C ．1D ．6或179．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+=-222)(3,p y x p xy p y x 有整数解()y x ,，求满足条件的质数p .10．已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-01,022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==,,11y y x x ⎩⎨⎧==,,22y y x x 且21,x x 是两个不等的正数.（1）求a 的取值范围；（2）若116832212221--=-+a a x x x x ，试求a 的值.（南通市中考试题）11．已知b a ,是方程012=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+.1,1y ayb x x b ya x（“祖冲之杯”邀请赛试题）12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为q p ,，且满足关系式()⎩⎨⎧=+=++,6,5122pq q p p q p 试求这个一元二次方程.（杭州市中考试题）B 级1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++++=++43251z y x z y x z y x 的解是___________________.2．已知x x x x x 71357139722=+-+++，则x 的值为______________.（全国初中数学联赛试题）3．已知实数00,y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==11x y xy 的解，则._________00=+y x （全国初中数学联赛试题）4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=3411,9y xxy 的解是_________________. （“希望杯”邀请赛试题）5．若二元二次方程组()⎩⎨⎧+-==-12,122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为______________. （《学习报》公开赛试题）6．正数654321,,,,,x x x x x x 同时满足1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，3365421=x xx x x x ，4465321=x x x x x x ，6564321=x x x x x x ，9654321=x xx x x x . 则654321x x x x x x +++++的值为________.（上海市竞赛试题）7．方程06623=+--x x x 的所有根的积是（）A ．3B ．-3C ．4D ．-6E ．以上全不对（美国犹他州竞赛试题）8．设y x ,为实数，且满足()()()()⎩⎨⎧=-+--=-+-,1119991,111999133y y x x 则=+y x （ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2（武汉市选拔赛试题）9．已知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,3,2,1222z y x z y x xyz 则111111-++-++-+y zx x yz z xy 的值为（ ）A ．1B ．21-C ．2D ．32-10．对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.（江苏省竞赛试题）11．解方程a x x x x =--+-+1212，其中0>a ，并就正数a 的取值，讨论此方程解的情况.（陕西省竞赛试题）12．已知c b a ,,三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+,4828,82c c ab b a 试求方程02=-+a cx bx 的根. （全国初中数学联赛试题）13．解下列方程（组）：（1）()1639322=-+x x x ； （武汉市竞赛试题）（2）()()()6143762=+++x x x ；（湖北省竞赛试题）（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,414,414,414222222x z z z y y y x x （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（ab2-，a b ac 442-）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 （天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】 若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（ ）A .0＜S ＜1B . 0＜S ＜2C . 1＜S ＜2D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为533米时，该运动员与跳台的垂直距离.【例4】 如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3-），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使PA ＋PC 最小，并求P 点坐标；（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】 将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题） 解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b ＝____________. （四川省中考试题）3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y ＝_________； （2）当x ＝________时，3=y ；（3）根据图象回答，当x _______时，0>y . （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-，41-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题） 5.二次函数c bx ax y ++=2与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ）A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（ ）A .过点（3，0）B .顶点是（2，－2）C .在x 轴上截得的线段长度是2D .与y 轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题） 7.如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题）A .0=bB . 2c S ABE =∆ C .1-=ac D .0=+c a第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ）A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米 （吉林省中考试题）9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝289, tan β＝83,位于O 点正上方35千米D点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E 点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.CEDBA11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________.（昆明市中考试题）第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.4.如图，已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题) 5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（ ）（重庆市中考试题）A B C D6.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列6个代数式：ab ，ac ，c b a ++，c b a +-，b a +2，b a -2中，其值为正的式子个数为 ( )A .2个B .3个C .4个D .4个以上 （全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是2=x ，且经过点P (3,0)则c b a ++的值为（ ） A .－1 B .0 C .1 D .2 8.已知二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的对称轴是2=x ，且当0,,2321===x x x π时，二次函数y 的值分别时321,,y y y ，那么321,,y y y 的大小关系是（ ）A . 321y y y >>B . 321y y y <<C . 312y y y <<D . 312y y y >>9.已知抛物线4)343(2++-=x m mx y 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题） 10.如图，已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线241x y =上的一个动点. （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1-=y 的位置关系； （2）设直线PM 与抛物线241x y =的另一个交点为Q ，连结NP ，NQ ，求证：∠PNM ＝∠QNM . （全国初中数学竞赛试题）11.已知函数122--=x x y 的图象与x 轴相交于相异两点A ，B ，另一抛物线c bx ax y ++=2过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c 的值. （天津市竞赛试题）12.如图1，点P 是直线22:--=x y l 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A ，B 两点.（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A ，B 两点的坐标； （2）如图2，①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于。
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基本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9、同位角相等，两直线平行10、内错角相等，两直线平行11、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行,内错角相等14、两直线平行,同旁内角互补15、定理三角形两边的和大于第三边16、推论三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理（ ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理（HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n—2）×180°51、推论任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b)÷267、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83、（1）比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d84、（2)合比性质:如果a／b=c／d，那么（a±b）／b=（c±d）／d85、（3）等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0)，那么（a+c+…+m）／(b+d+…+n)=a／b86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线），所得的对应线段成比例88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91、相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA）92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS）95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96、性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆.110、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111、推论1①平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115、推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116、定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118、推论2 半圆(或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120、定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121、①直线L和⊙O相交 d＜r②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d＞r122、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127、圆的外切四边形的两组对边的和相等128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131、推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133、推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135、①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R—r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切 d=R—r(R＞r）⑤两圆内含 d＜R—r(R＞r）136、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137、定理把圆分成n(n≥3）:⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138、定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139、正n边形的每个内角都等于（n—2）×180°／n140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142、正三角形面积√3a／4 a表示边长143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2)(k—2）=4144、弧长计算公式：L=n兀R／180145、扇形面积公式：S扇形=n兀R2／360=LR／2146、内公切线长= d-（R-r) 外公切线长= d—（R+r)147完全平方公式：（a+b)2=a2+2ab+b2（a—b)2=a2—2ab+b2148平方差公式：（a+b）（a—b)=a2-b2常用数学公式乘法与因式分 a2-b2=(a+b)（a—b） a3+b3=（a+b)(a2-ab+b2） a3—b3=(a-b（a2+ab+b2）三角不等式 |a+b｜≤|a｜+|b｜ |a-b｜≤|a|+｜b| |a｜≤b〈=〉-b≤a≤b|a-b｜≥｜a｜—|b｜—|a｜≤a≤｜a|一元二次方程的解 -b+√（b2-4ac)/2a -b-√（b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=—b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2—4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2—4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac〈0 注：方程没有实根,有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin（A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin（A-B）=sinAcosB—sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B）=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B)=（tanA+tanB）/（1—tanAtanB） tan(A-B）=（tanA—tanB)/(1+tanAtanB）ctg（A+B)=(ctgActgB—1）/（ctgB+ctgA） ctg（A-B)=（ctgActgB+1)/(ctgB—ctgA) 倍角公式tan2A=2tanA/（1—tan2A） ctg2A=(ctg2A—1)/2ctgacos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a半角公式sin(A/2）=√（（1—cosA)/2） sin(A/2)=-√（(1-cosA)/2）cos(A/2）=√(（1+cosA）/2） cos(A/2)=-√（(1+cosA)/2）tan(A/2)=√(（1—cosA)/(（1+cosA）） tan(A/2)=—√(（1-cosA）/((1+cosA））ctg（A/2)=√（(1+cosA)/（（1-cosA)) ctg（A/2）=-√((1+cosA）/（（1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin（A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B）-sin(A—B）2cosAcosB=cos（A+B)—sin(A-B) -2sinAsinB=cos（A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin(（A+B)/2）cos（(A—B)/2 cosA+cosB=2cos（(A+B）/2）sin（(A-B）/2）tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB tanA—tanB=sin（A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B）/sinAsinB —ctgA+ctgBsin(A+B）/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n22+4+6+8+10+12+14+…+（2n)=n（n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)（2n+1）/613+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/4 1*2+2＊3+3*4+4*5+5＊6+6＊7+…+n(n+1）=n（n+1)（n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+（y-b）2=r2注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2—4F〉0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=—2py直棱柱侧面积 S=c＊h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c＊h' 正棱台侧面积 S=1/2（c+c’)h’圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=π(R+r）l 球的表面积 S=4π*r2圆柱侧面积 S=c*h=2π＊h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=π＊r*l弧长公式 l=a＊r a是圆心角的弧度数r 〉0 扇形面积公式 s=1/2＊l*r锥体体积公式 V=1/3*S＊H 圆锥体体积公式 V=1/3＊π*r2h斜棱柱体积 V=S’L 注：其中，S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=π＊r2h。
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人教版初中数学讲义第一章有理数一、正数和负数1、正数、负数：大于零的数叫做正数，小于零的数叫做负数。
应用：生产收入，海拔高低，气温的冷热，方位的指向，比赛的胜负，比例的增长等等。
二、有理数1、概念：整数和分数统称为有理数。
⎧⎧正整数⎧⎧正整数⎪正数⎨⎪⎪整数正分数⎨零⎩⎪⎪⎪⎪⎪负整数 2、分类⎨零或⎨⎩⎪⎪负整数⎪⎧正分数⎪负数⎧分数⎨⎨⎪⎩负分数⎪⎩负分数⎩⎩注：分数和小数可以互化，所以小数可以归为分数类。
3、“0”表示的意义：（1）0既不是正数也不是负数（2）0是整数（3）0不是表示没有，有时表示一种趋于正负的状态（4）0是最小的自然数，即是最小的非负整数（5）0不能作为分母（6）0等相反数是0（7）0的绝对值是0（8）0没有倒数（9）0乘以任何数都为0（10）0除以任何不为0的数都为0.4、数轴：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。
数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
5、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
与原点距离相等的两个数互为相反数。
互为相反数的两个数相加得0（a，b互为相反数，则a+b=0）6、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a| |a|=⎨⎧a(a≥0) ⎩-a(a<0)两个负数，绝对值大的反而小。
三、有理数的加减法1、有理数的加法：（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.一个数同0相加，仍得这个数。
（2）运算律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）2、有理数的减法：减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
a-b=a+（-b））引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。
四、有理数的乘除法1、有理数的乘法：（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0.倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘。
归纳：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
（2）运算律：交换律，结合律，分配律。
2、有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（乘积为1的两个数互为倒数）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不为0的数都得0.五、有理数的乘方1、乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在an中，a 叫做底数，n叫做指数。
负数的奇数幂是负数，负数的偶数幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.有理数混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
2、科学计数法：把一个大于10的数表示为a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法。
3、近似数从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
第二章整式的加减一、整式1、概念：单项式和多项式统称为整式。
2、单项式：含有数或字母的积的式子。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的系数：单项式中的数字因数。
单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和。
3、多项式：几个单项式的和。
多项式的项：每个单项式叫做多项式的项。
不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数。
多项式的升降幂排列二、整式的加减1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，称为同类项。
几个常数项也是同类项。
2、一般步骤：去括号，合并同类项，将多项式进行升降幂排列。
合并同类项后所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。
第三章一元一次方程一、一元一次方程1、等式：用等号来表示相等关系的式子。
等式的性质：1、等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
2、等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
方程：含有未知数的等式。
2、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的方程。
二、解一元一次方程1、解一元一次方程：求一元一次方程中使等号左右两边相等的未知数的值的过程。
2、一元一次方程的求解：主要方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一。
三、实际问题与一元一次方程列举主要的实际问题：销售中的盈亏，油菜种植的计算，球赛积分表问题第四章图形的初步认识一、多次多彩的图形启发学生联系生活，发挥想象，主动介绍出自己所了解的图形。
1、几何图形：从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。
立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形。
如长方体，正方体，圆柱，圆锥，球等。
平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形。
如线段，角，三角形，长方形，圆等。
展开图：2、点，线，面，体几何体也简称体，包围着体的是面。
点动成线，线动成面。
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
二、直线、射线、线段1、直线：性质：经过两点有一条直线，并且只要一条直线（两点确定一条直线），表示2、射线：性质，表示3、线段：性质：两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短），表示连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
让学生学会在复杂的图形中准确找出直线、射线和线段，并能够正确表示。
三、角1、概念：两条有公共端点的射线所组成的图形叫做角；一条射线绕着端点旋转所形成的图形叫做角。
角度制：以度，分，秒为单位的角的度量制，叫做角度值。
2、角的比较与运算：角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
3、余角和补角：两个角的和等于90o，就说这两个角互为余角。
两个角的和等于180o，就说这两个角互为补角。
等角的余角相等，等角的补角相等。
一个角的余角+90o=这个角的补角4、作角：（加强动手能力）第五章相交线、平行线一、相交线1、相交线邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角称为邻补角。
对顶角：有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角称为对顶角。
对顶角相等。
2、垂线：两条直线互相垂直，其中一条直线就叫做另一条直线的垂线。
它们的交点叫做垂足。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
二、平行线及其判定1、平行线平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
2、平行线的判定：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
即同位角相等，两直线平行。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
即内错角相等，两直线平行。
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
即同旁内角互补，两直线平行。
三、平行线的性质1、平行线的性质（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
2、命题、定理：判断一件事情的语句叫做命题。
经过推理证实其正确性的命题叫做定理。
四、平移第六章平面直角坐标系一、平面直角坐标系1、有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对。
记作（a，b）2、平面直角坐标系：横轴，纵轴，原点，坐标，象限。
二、坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置2、用坐标表示平移第七章三角形一、与三角形有关的线段1、三角形的边：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
⎧不等边三角形⎪三角形⎨⎧底边和腰不相等的等腰三角形⎪等腰三角形⎨等边三角形⎩⎩三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。
2、三角形的高、中线与角平分线3、三角形的稳定性二、与三角形有关的角1、三角形的内角三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180o2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、多边形及其内角和1、多边形连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
各角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形。
2、多边形的内角和n边形内角和等于（n-2）·180o，多边形的外角和等于360o四、课题学习——镶嵌第八章二元一次方程组一、二元一次方程组1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个具有相同未知数的二元一次方程的组合。
2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值。
二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的公共解。
二、消元——二元一次方程组的解法1、消元：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想。
代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
三、实际问题与二元一次方程组四、三元一次方程组第九章不等式与不等式组一、不等式1、不等式及其解集2、不等式的性质（1）不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变（2）不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
三角形两边的差小于第三边。
二、实际问题与一元一次不等式三、一元一次不等式组第十章数据的收集、整理与描述一、统计调查用问卷调查的方法收集数据。
统计中经常用表格整理数据。
描述数据：条形图，扇形图。
1、全面调查：考察全体对象的调查。
2、抽样调查：抽取部分进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。
要考察的全体对象称为总体，组成总体的每一个考察对象称为个体，被抽取的那些个体组成一个样本。
样本中个体的数目称为样本容量。
3、简单随机抽样：总体中的每一个个体被抽取机会相等的抽样。
二、直方图绘制频数分布直方图的步骤：1、计算最大值与最小值（算）2、决定组距与组数（定）3、列频数分布表（列）4、画频数分布直方图（画）三、课题学习——从数据谈节水4、两个角和其中一个角的对应边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（HL）三、角的平分线的性质1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等。