【整理】深入理解拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 和KKT条件

【整理】深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和

KKT条件

在求解最优化问题中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT（Karush Kuhn Tucker）条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法，在有不等约束时使用KKT条件。我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数，求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化，即最大值问题可以转化成最小值问题)。提到KKT条件一般会附带的提一下拉格朗日乘子。对学过高等数学的人来说比较拉格朗日乘子应该会有些印象。二者均是求解最优化问题的方法，不同之处在于应用的情形不同。一般情况下，最优化问题会碰到一下三种情况：（1）无约束条件这是最简单的情况，解决方法通常是函数对变量求导，令求导函数等于0的点可能是极值点。将结果带回原函数进行验证即可。（2）等式约束条件设目标函数为f(x)，约束条件为h_k(x)，形如: s.t. 表示subject to ，“受限于”的意思，l表示有l个约束条件。则解决方法是消元法或者拉格朗日法。消元法比较简单不在赘述，这里主要讲拉格朗日法，因为后面提到的KKT条件是对拉格朗日乘子法的一种泛化。例如给定椭球: 求这个椭

球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题，即在条件下，求的最大值。当然这个问题实际可以先根据条件消去z (消元法)，然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很困难，甚至是做不到的，这时候就需要用拉格朗日乘数法了。首先定义拉格朗日函数F(x)：（其中λk是各个约束条件的待定系数。）

然后解变量的偏导方程：......, 如果有l个约束条件，就应该有l+1个方程。求出的方程组的解就可能是最优化值（高等数学中提到的极值），将结果带回原方程验证就可得到解。回到上面的题目，通过拉格朗日乘数法将问题转化为对求偏导得到

联立前面三个方程得到和，带入第四个方程解之

带入解得最大体积为：至于为什么这么做可以求解最优化？维基百科上给出了一个比较好的直观解释。举个二维最优化的例子：

min f(x,y) s.t. g(x,y) = c 这里画出z=f(x,y)的等高线（函数登高线定义见百度百科）：

绿线标出的是约束g(x,y)=c的点的轨迹。蓝线是f(x,y)的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行。从梯度的方向上来看，显然有d1>d2。绿色的线是约束，也就是说，只要正好落在这条绿线上的点才可能是满足要求的点。如果没有

这条约束，f(x,y)的最小值应该会落在最小那圈等高线内部的某一点上。而现在加上了约束，最小值点应该在哪里呢？显然应该是在f(x,y)的等高线正好和约束线相切的位置，因为

如果只是相交意味着肯定还存在其它的等高线在该条等高

线的内部或者外部，使得新的等高线与目标函数的交点的值更大或者更小，只有到等高线与目标函数的曲线相切的时候，可能取得最优值。如果我们对约束也求梯度?g(x,y)，则其梯度如图中绿色箭头所示。很容易看出来，要想让目标函数f(x,y)的等高线和约束相切，则他们切点的梯度一定在一

条直线上(f和g的斜率平行)。

也即在最优化解的时候：?f(x,y)=λ（?g(x,y)-C) （其中?为梯度算子; 即：f(x)的梯度= λ* g(x)的梯度，λ是常数,可以是任何非0实数，表示左右两边同向。）即：

▽[f(x,y)+λ(g(x,y)?c)]=0λ≠0那么拉格朗日函数：

F(x,y)=f(x,y)+λ(g(x,y)?c) 在达到极值时与f(x,y)相等，因为

F(x,y)达到极值时g(x,y)?c总等于零。min( F(x,λ) )取得极小值时其导数为0，即▽f(x)+▽∑ni=λihi(x)=0，也就是说f(x)和h(x)的梯度共线。简单的说，在F(x,λ)取得最优化解的时候，即F(x,λ)取极值（导数为0，▽[f(x,y)+λ(g(x,y)?c)]=0）的时候，f(x)与g(x) 梯度共线，此时就是在条件约束g(x)下，f(x)的最优化解。（3）不等式约束条件设目标函数f(x)，不等式约束为g(x)，有的教程还会添加上等式约束条件

h(x)。此时的约束优化问题描述如下：

则我们定义不等式约束下的拉格朗日函数L，则L表达式为：其中f(x)是原目标函数，hj(x)是第j个等式约束条件，λj是对应的约束系数，gk是不等式约束，uk是对应的约束系数。

常用的方法是KKT条件，同样地，把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a, b, x)= f(x) +

a*g(x)+b*h(x)，KKT条件是说最优值必须满足以下条件：1）L(a, b, x)对x求导为零；2）h(x) =0; 3）a*g(x) = 0; 求取这些等式之后就能得到候选最优值。其中第三个式子非常有趣，因为g(x) 接下来主要介绍KKT 条件，推导及应用。详细推导过程如下：参考：【1】拉格朗日乘数法【2】KKT条件介绍【3】深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件【4】拉格朗日乘子法和KKT条件