梁的弯曲教学课件

工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、 T形、槽形等
弯曲内力
二、梁的类型
凡是通过静力平衡方程就能够将梁的支座反力全部 求出的梁，统称为静定梁。
梁的三种基本形式
FP
悬臂梁
M FP
q
简支梁
M
FP
q
外伸梁
弯曲内力
第二节 梁的弯曲内力
一、梁的内力——剪力和弯矩
a
FP
A
B
l
FP
A
B
FAy
FBy
弯曲内力
V2＝ FBy M 2＝FBy x2
FPa FPl a
l
0
x2
x2 b
0 x2
b
FBy Fa l
弯曲内力
V1
FPb l
0 x1 a
M1
FPb l
x1
0 x1 a
V2 M2
FPa
l
FPa l
x2
0 x2 b 0 x2 b
在梁上无荷载作用的区
段，其剪力图都是水平线
，在集中力作用处，剪力
CB段：距B端为x2的任意截面2-2以右研究
V x2 ＝ FBy M / l 0 x2 b M x2 ＝FByx2 Mx2 / l 0 x2 b
弯曲内力
V x1 M / l 0 x1 a
A
M x1 Mx1 / l 0 x1 a
V x2 M / l 0 x2 b
x1
M x2 Mx2 / l 0 x2 b
剪力：剪力绕脱离体产生顺时针转动趋势时为正
F V
V
F
剪力绕脱离体产生逆时针转动趋势时为负
F V
V F
弯曲内力
弯矩： 外力使脱离体产生下部受拉时为正
M
外力使脱离体产生上部受拉为负
M
弯曲内力
三、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩 截面法是求梁的内力的最基本的方法。
其步骤为 (1) 求支座反力。 (2) 用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。 (3) 取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图，列平衡方
作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯 矩方程分别绘出剪力图和弯矩图。
绘图时，以平行于梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置 ，以垂直于x轴的纵坐标（按适当的比例）表示相应横截面 上的剪力或弯矩。
弯曲内力
在土建工程中，对于水平梁而言，习惯将正剪力作 在x轴的上面，负剪力作在x轴的下面，并标明正、负号 ；正弯矩作在x轴的下面，负弯矩作在x轴的上面。即弯 矩图总是作在梁受拉的一侧。
弯曲内力
第三节 用内力方程梁的内力图 通常情况下，梁上不同截面上的剪力和弯矩 值是不同的，即梁的内力（剪力和弯矩）随梁横 截面的位置而变化。 对梁进行强度和刚度计算时，除了要计算指 定截面上的内力外，还必须知道内力沿梁轴线的 变化规律，从而找到内力的最大值以及最大内力 值所在的位置。
弯曲内力
一、剪力方程和弯矩方程
剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的。横截面 沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪 力和弯矩就都可以表示为坐标x的函数，即
V=V（x）和 M=M（x） 以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
弯曲内力
二、剪力图和弯矩图
为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变 化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图 形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
1.5m FAy1.5m 1.5m FBy
∑M2=0 M2＋ FP×a=0 M2=－FP a =－100×1.5 = － 150KN·m (负弯矩)
FP=100kN M2
A C
FAy V2
弯曲内力
（4）求3-3截面的剪力和弯矩 ∑Y=0 V3－FBy=0 V3=FBy=25kN (正剪力) ∑M3=0 M3＋M＋FBy×a=0 M3=－M－FBy×a = －75－25×1.5 =－112.5kN·m (负弯矩)
FAy＝ - M / l
在集中力偶作用处， 剪力图无变化；弯矩图 不连续，发生突变，突 变的绝对值等于集中力 偶的力偶矩数值。
a l
b B
C x2
FBy＝ M / l
M l
Ma V图
l
Mb
l
M图
弯曲内力
例 7-8 作图示简支梁在满跨向下均布荷载作用下的 剪力图和弯矩图。
q
A
B
l
解 （1）求支F座Ay 反力
对dx 段进行平衡分析，有：
x
y
M(x) V(x)
dx
q(x) V(x)+d V(x)
C
dx
M(x)+d M(x)
∑Fy =0 V(x)+q(x) dx−[ V (x)+d V(x)]=0
dV x q(x)
dx
剪力图上某点处的切线 斜率等于该点处荷载集度 的大小。
弯曲内力
MC 0 ,
V (x)dx 1 q(x)(dx)2 M (x) [M (x) dM (x)] 0 2
∑Y=0
FAy－V=0
V=FAy (↓) ∑MC=0 －FAy x+M=0
M=FAy x ()
弯矩M ： 构件受弯时，横截面上其作
用面垂直于截面的内力偶矩。
剪力V ： 构件受弯时，横截面上其作
用线平行于截面的内力。
A FAy
A FAy
1
1 x
V C
V MC
FP B
FBy
M FP FBy
弯曲内力
二、剪力和弯矩的正负号规定
∑M1=0 M1＋FP×a=0 M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩)
FP=100kN M1
A C
V1
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩
∑Y=0 V2 ＋ FP－FBy－=0
V2=－FP＋FBy
C
FP=100kN 1 A2
12
M = 75kN·m
34
B
34
=－100＋125 =25kN (正剪力)
对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一 侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。
弯曲内力
例7-5 作图8示悬臂梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。
解 (1) 列剪力方程和弯矩
FP
方程。 将坐标原点假定在左端点
A
x
B
A处，并取距A端为x的1-1截面
l
的左侧研究。
剪力方程为：
V =－FP (0＜x＜l) 弯矩方程为：
FBy
弯曲内力
总结与提示
截面法是求内力的基本方法。 (1) 用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但 为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 (2) 作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 (3) 在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待，因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
（5）求4-4截面的剪力和弯矩
FP=100kN 1 A2
C 12
M = 75kN·m
34
B
34
1.5m FAy1.5m 1.5m FBy
V3
M3
M
∑Y=0
V4－FBy=0
V4= FBy=25kN (正剪力)
∑M4=0 M4 ＋ FBy×a=0
FBy
V4
M4
M4=－FBy×a=－25×1.5=－37.5kN·m (负弯矩)
∑MB=0
－FAy l＋FP b=0
∑MA=0 －FP a＋FB y l=0
FBy
FAy=
FP b (↑) l
FB y =
FP l
a
(↑)
弯曲内力
q
A
FAy
ql 2
C x
l
B
FBy
ql 2
（2）列剪力方程和弯矩方程 距A端为x的任意截面C以左研究
V x ql qx 0 x l
2
M x ql x qx2 0 x l
上的剪力和弯矩都按照正方向假定。
∑Y=0
A 1 2m
－FP－q×1＋V1=0
V1
V1= FP＋q×1
M1
=30＋15×1=45kN
2 q=15kN/m FP =30kN
B
2 1m
q
FP
B
致，∑计即M算11-=结10截果面为上M正的，1 ＋剪说力明q×为1-正11×截值面2。.5上＋剪力F的P×实3际=方0 向与图中假定的方向一 M1=－q×1×2.5－FP×3 =－15×1×2.5－30×3=－127.5kN·m
程求出剪力和弯矩。
弯曲内力
例7-1 试用截面法求图示悬臂梁1-1、2-2截面上的剪力和 弯矩。已知：q=15kN/m，FP =30kN。
1
2 q FP
B
A 1 2m 2 1m
解 由于悬臂梁具有一端为自由端的特征，所以在计算 内力时可以不求其支座反力。
弯曲内力
（1）求1-1截面的剪力和弯矩
1 取1-1截面的右侧为隔离体。1-1截面
（2）列剪力方程和弯矩方程
FBy
FAy=
FP b (↑) l
FB y =
FP a l
(↑)
弯曲内力
a
FP b
A
B
C
FAy
Fb l
x1
x2
l
AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究
V1＝FAy
FPb l
0 x1 a
M1＝FAy x1
FPb l
x1