求函数极限的方法与技巧

求函数极限的方法与技巧

《数学分析》是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科.极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位.

灵活、快捷、准确地求出所给函数的极限，除了对于函数极限的本质有较清楚地认识外，还要注意归纳总结求函数极限的方法，本文对技巧性强、方法灵活的例题进行研究，进一步完善求函数极限的方法与技巧，有利于微积分以及后继课程的学习.

1基本方法

1.1利用定义法求极限

从定义出发验证极限，是极限问题的一个难点.做这类题目的关键是对任意给定的正数ε，如何找出定义中所说的δ.

一般地，证明0

lim ()x x f x A →=的方法为：0ε∀>，放大不等式0()f x A x x αε-<

<-<(α

为某一个常数)解出,0αε<

-x x 取α

ε

δ=. 例[1](45)

1

P 证明3

2

121lim 221=---→x x x x .

证 0ε∀>，若

22111212

2132133213

x x x x x x x x ε---+-=-=<<--++. (限制x ：011x <-<，则211)x +>，取=min{3,1}δε，则当01x δ<-<时，便有

22

112

3

321x x x x ε---<<--. 定义中的正数δ依赖于ε，但不是由ε所唯一确定.一般来说，ε愈小，δ也愈小.用定义证明极限存在，有一先决条件，即事先要猜测极限值A ，然后再证明，这一般不太容易，所以对于其它方法的研究是十分必要的.

1.2 利用左、右极限求极限

lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-

→→→=⇔==. 例2 设tan 3,0()3cos ,0

x

x f x x x x ⎧<⎪

=⎨⎪>⎩ 求0

lim ()x f x →.

解 因为0

0tan 3tan 3lim ()lim lim 333x x x x x

f x x x

--

-→→→==⋅=，00lim ()lim 3cos 3x x f x x ++→→==. 得到0

lim ()lim ()3x x f x f x -+

→→==，所以0

lim ()3x f x →=. 例3 求函数1

()11

x f x x +=++在1x =-处的左右极限，并说明在1x =-处是否有极限.

解 1

1

1lim ()lim (1)21x x x f x x ++→-→-+=+

=+，11(1)

lim ()lim (1)01

x x x f x x --→-→--+=+=+.

因为1

1

lim ()lim ()x x f x f x +-→-→-≠，所以)(x f 在1x =处的极限不存在.

例4 若,0

(),0

x

ax b x f x e x +>⎧=⎨

<⎩，求分段点0处的极限. 解 因为0

lim ()lim()x x f x ax b b ++

→→=+=，00lim ()lim 1x

x x f x e --→→==.所以当1b =时，0

lim ()1x f x →=；当1b ≠时，0

lim ()x f x →不存在.

可见，利用左右极限是证明分段函数在其分段点处是否有极限的主要方法.

1.3 利用函数的连续性求极限 初等函数在其定义的区间I 内都连续.

若I x ∈0，初等函数()f x 当0x x →时的极限就等于其在0x x =时的函数值，即

0lim ()()x x f x f x →=.

特别地，若[()]f x ϕ是复合函数，又0

lim ()x x x a ϕ→=，且()f u 在u a =处连续，则

lim [()][lim ()]()x x x x f x f x f a ϕϕ→→==.

例5 求2

1cos 2arcsin 0

lim x

x x e -→.

解 由于201cos 1lim

2arcsin 4x x x →-=及函数u

e u

f =)(在14

u =

处连续， 所以2

2

01cos 1cos 1

lim

2arcsin 2arcsin 4

lim x x

x

x x x e e e →--→==.

例[]()

21196

P 求4

x →

解

4

443lim

4x x x x →→→==-

4

13x →=== 在4x =连续).

例[1](84)

7

P 求0ln(1)

lim

x x x

→+.

分析 由

1

ln(1)ln(1)x

x x x

+=+，设ln y u =，1(1)x u x =+.因为1

0lim(1)x x x e →+=，且ln y u =在e u =点连续，故可利用函数的连续性求此极限.

解 11

000ln(1)lim

limln(1)ln[lim(1)]ln 1x

x x x x x x x e x

→→→+=+=+==. 1.4 利用函数极限的四则运算法则求极限 若lim ()f x ，lim ()g x 存在，则有:

（1）lim[()()]lim ()lim ()cf x bg x c f x b g x ±=±(,c b 为任意常数); （2）lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x ⋅=⋅;

（3）()lim ()

lim[

]()lim ()

f x f x

g x g x =(其中lim ()0)g x ≠; （4）lim[()][lim ()]n

n

f x f x =;

（5）若lim ()f x A =，对正整数n ==．

注 以上每个等式中的“lim ”均指x 的同一趋向．

例8 12

25lim(2)1x x x x

→∞+-. 分析 该函数可以看作是两个函数的和.而对于函数2

2

51x x -是分式函数，分子、分母都是多项式

函数，并且当自变量x →∞时，归于前面介绍的第四种类型.对于函数12x

，当x →∞时，

01

→x

，故121x

→．因此，只须再利用和的运算法则即可求得此极限．

解 1122

2255lim(2)lim lim 251411x x x x x x x

x x →∞→∞→∞

+=+=-+=---． 1.5 利用重要极限求极限 1.5.1 0sin lim

1x x x

→=