四边形经典综合难题(含答案)汇编

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初中数学四边形难题汇编含答案

∵四边形ABED的面积为6，
∴ ，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），
∴EF＝x﹣1＝2，
在Rt△BEF中，，
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
解得：x=3
∴BG＝3，CG=6-3=3
∴BG＝CG，故②正确；
又BG＝CG，
∴
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG
∴
∴∠FCG=∠AGB
∴AG∥CF，故③正确；
过点F作FM⊥CE，
∴FM∥CG
∴△EFM∽△EGC
∴ 即
解得
∴ FCG＝，故④错误
正确的共3个
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
故选C．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF= x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．
【详解】
∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴ =CD，
在矩形ABCD中，AB=CD=a，

四边形综合题(含答案)

四边形综合题1.已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AB=AC，点D是边BC上的一个动点(不运动至点B，C)，点E在BC所在直线上，连结AD，AE，且∠DAE=45∘(1)若点E是线段BC上一点，如图1，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，DF，EF①求证：△ABD≌△ACF；②若BD=1，DE=2，求CE的长；(2)如图2，若BD=85，AB=√2，求CE的长.(直接写出答案即可)【答案】解：(1)①∵点D与点F关于直线AE的对称，∴AE垂直平分DF，∴AD=AF，∴∠DAE=∠FAE=45∘，即∠DAF=90∘，∴∠DAC+∠FAC=90∘，∵∠BAC=90∘，∴∠DAC+∠BAD=90∘，∴∠BAD=∠FAC，在△ABD与△ACF中，{AB=AC∠BAD=∠CAF AD=AF，∴△ABD≌△ACF(SAS)；②由①可得：△ABD≌△ACF，∴∠B=∠ACF=45∘，BD=CF=1，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90∘，∵AE垂直平分DF，∴DE=EF=2，∴CE=√EF2−CF2=√3；(2)CE=3或54．理由：如图所示，当点E在BC延长线上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，EF，根据△ABD≌△ACF，可得BD=CF=85，在等腰直角三角形ABC 中，AB =√2， ∴BC =2， ∴CD =25， ∴DE =CE +25=EF ，在Rt △CEF 中，CE 2+(85)2=(CE +25)2，解得CE =3；如图所示，当点E 在线段BC 上时，作点D 关于直线AE的对称点F ，连结AF ，BF ，EF ，根据△ABF≌△ACD ，可得BF =CD =25，∴DE =CE −25=EF ，又∵BE =BC −CE =2−CE ，∴在Rt △BEF 中，(25)2+(2−CE)2=(CE −25)2，解得CE =54．【解析】(1)①根据轴对称的性质，得到AD =AF ，∠DAE =∠FAE =45∘，再根据同角的余角相等，得到∠BAD =∠FAC ，即可判定△ABD≌△ACF(SAS)；②由①可得：△ABD≌△ACF ，据此得出∠B =∠ACF =45∘，BD =CF =1，进而得到∠ECF =∠ACB +∠ACF =90∘，再根据DE =EF =2，运用勾股定理求得CE 即可；(2)分两种情况进行讨论：当点E 在BC 延长线上时，作点D 关于直线AE 的对称点F ，连结AF ，CF ，EF ；当点E 在线段BC 上时，作点D 关于直线AE 的对称点F ，连结AF ，BF ，EF.分别根据全等三角形的性质以及勾股定理，求得CE 的长即可．本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质以判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及对称轴的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法，解题时注意分类思想的运用．2. 如图①，在矩形ABCD 中，AB =√3，BC =3，在BC 边上取两点E 、F(点E 在点F 的左边)，以EF 为边所作等边△PEF ，顶点P 恰好在AD 上，直线PE 、PF 分别交直线AC 于点G 、H ．(1)求△PEF 的边长；(2)若△PEF 的边EF 在线段CB 上移动，试猜想：PH 与BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论；(3)若△PEF 的边EF 在射线CB 上移动(分别如图②和图③所示，CF >1，P 不与A 重合)，(2)中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．【答案】解：(1)过P作PQ⊥BC于Q(如图1)，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90∘，即AB⊥BC，又∵AD//BC，∴PQ=AB=√3，∵△PEF是等边三角形，∴∠PFQ=60∘，在Rt△PQF中，∠FPQ=30∘，设PF=2x，QF=x，PQ=√3，根据勾股定理得：(2x)2=x2+(√3)2，解得：x=1，故PF=2，∴△PEF的边长为2；(2)PH−BE=1，理由如下：∵在Rt△ABC中，AB=√3，BC=3，∴由勾股定理得AC=2√3，∴CD=1AC，2∴∠CAD=30∘∵AD//BC，∠PFE=60∘，∴∠FPD=60∘，∴∠PHA=30∘=∠CAD，∴PA=PH，∴△APH是等腰三角形，作ER⊥AD于R(如图2)Rt△PER中，∠RPE=60∘，PE=1，∴PR=12∴PH−BE=PA−BE=PR=1．(3)结论不成立，当1<CF<2时，PH=1−BE，当2<CF<3时，PH=BE−1．【解析】(1)过P作PQ⊥BC，垂足为Q，由四边形ABCD为矩形，得到∠B为直角，且AD//BC，得到PQ=AB，又△PEF为等边三角形，根据“三线合一”得到∠FPQ为30∘，在Rt△PQF中，设出QF为x，则PF=2x，由PQ的长，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得到PF的长，即为等边三角形的边长；(2)PH−BE=1，过E作ER垂直于AD，如图所示，首先证明△APH为等腰三角形，在根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得∠APE=60∘，在Rt△PER中，∠REP=30∘，根据直角三角形中，30∘角所对的直角边等于斜边的一半，由PE 求出PR ，由PA =PH ，则PH −BE =PA −BE =PA −AR =PR ，即可得到两线段的关系；(3)当若△PEF 的边EF 在射线CB 上移动时(2)中的结论不成立，由(2)的解题思路可知当1<CF <2时，PH =1−BE ，当2<CF <3时，PH =BE −1．此题综合考查了矩形的性质，等腰三角形的判别与性质、等边三角形的性质及直角三角形的性质.学生作第三问时，应借助第二问的结论，结合图形，多次利用数学中等量代换的方法解决问题，这就要求学生在作几何题时注意合理运用各小题之间的联系．3. 已知，正方形ABCD 中，∠MAN =45∘，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边长分别交CB 、DC(或它们的延长线)于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．(1)如图①，当∠MAN 点A 旋转到BM =DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：______ ；(2)如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3)如图③，已知∠MAN =45∘，AH ⊥MN 于点H ，且MH =2，NH =3，求AH 的长．【答案】AH =AB【解析】解：(1)如图①AH =AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠B =∠D =90∘，在△ABM 与△ADN 中，{AB =AD∠B =∠D BM =DN，∴△ABM≌△ADN ，∴∠BAM =∠DAN ，AM =AN ，∵AH ⊥MN ，∴∠MAH =12MAN =22.5∘，∵∠BAM +∠DAN =45∘，∴∠BAM =22.5∘，在△ABM 与△AHM 中，{∠BAM =∠HAM∠B =∠AHM =90∘AM =AM，∴△ABM≌△AHM ，∴AB =AH ；故答案为：AH =AD ；(2)数量关系成立.如图②，延长CB 至E ，使BE =DN ．∵ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠D =∠ABE =90∘，在Rt △AEB 和Rt △AND 中，{AB =AD∠ABE =∠ADN BE =DN，∴Rt △AEB≌Rt △AND ，∴AE =AN ，∠EAB =∠NAD ，∴∠EAM =∠NAM =45∘，在△AEM 和△ANM 中，{AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△AEM≌△ANM ，∴S △AEM =S △ANM ，EM =MN ，∵AB 、AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高，∴AB =AH ；(3)如图③分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，∴BM =2，DN =3，∠B =∠D =∠BAD =90∘，分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCD ，由(2)可知，AH =AB =BC =CD =AD ，设AH =x ，则MC =x −2，NC =x −3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，得MN 2=MC 2+NC 2，∴52=(x −2)2+(x −3)2，解得x 1=6，x 2=−1(不符合题意，舍去)∴AH =6．(1)由三角形全等可以证明AH =AB ，(2)延长CB 至E ，使BE =DN ，证明△AEM≌△ANM ，能得到AH =AB ，(3)分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，然后分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCE ，设AH =x ，则MC =x −2，NC =x −3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，解得x ．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，翻折的性质，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力．4. 已知在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边上的一点．(1)如图1：当四边形ABCD 是正方形时，作出将△ADF 绕点A 顺时针旋转90度后的图形△ABM ；并判断点M 、B 、C 三点是否在同一条直线上______ (填是或否)；(2)如图1：当四边形ABCD 是正方形时，且∠EAF =45∘，请直接写出线段EF 、BE 、DF 三者之间的数量关系______ ；(3)如图2：当AB =AD ，∠B =∠D =90∘，∠EAF 是∠BAD 的一半，问：(2)中的数量关系是否还存在，并说明理由；(4)在(3)的条件下，将点E 平移到BC 的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF 、BE 、DF 的关系．【答案】是；EF=BE+DF【解析】(1)解：如图1：根据旋转的性质，∠ABM=90∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90∘，∴M、B、C三点在一条直线上．故答案为：是；(2)由旋转的性质可得：AM=AF，∠BAM=∠DAF，BM=DF，∵四边形ABCD是正方形，∠EAF=45∘，∴∠DAF+∠BAE=45∘，∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=45∘，∴∠EAM=∠EAF，在△EAM和△EAF中，{AM=AF∠EAM=∠EAF AE=AE，∴△EAM≌△EAF(SAS)，∴EF=EM=BM+BE=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF；(3)存在理由如下：延长CB到P使BP=DF，∵∠B=∠D=90∘，∴∠ABP=90∘，∴∠ABP=∠D，在△ABP和△ADF中，{AB=AD∠ABP=∠D BP=DF，∴△ABP≌△ADF(SAS)，∴AP=AF，∠BAP=∠DAF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠BAE+∠DAF=∠EAF，∴∠BAP+∠FAD=∠EAF，即：∠EAP=∠EAF，在△APE和△AFE中，{AP=AF∠EAP=∠FAE AE=AE，∴△APE≌△AFE(SAS)，∴PE=FE，∴EF=BE+DF；(4)如图3，补全图形．证明：在BC上截取BP=DF，∵∠B=∠ADC=90∘，∴∠ADF=90∘，∴∠B=∠ADF，在△ABP和△ADF中，{AB=AD∠B=∠ADF BP=DF，∴△ABP≌△ADF(SAS)，∴AP=AF，∠BAP=∠DAF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠DAE+∠DAF=12∠BAD，∴∠BAP+∠EAD=12∠BAD，∴∠EAP=12∠BAD=∠EAF，在△APE和△AFE中，{AP=AF∠EAP=∠FAE AE=AE，∴△APE≌△AFE(SAS)，∴PE=FE，∴EF=BE−BP=BE−DF．(1)首先由旋转的性质，画出旋转后的图形，然后由∠ABM=∠D=∠ABC=90∘，证得点M、B、C三点共线；(2)首先由旋转的性质可得：AM=AF，∠BAM=∠DAF，BM=DF，然后由∠EAF=45∘，证得∠EAM=∠EAF，继而证得△EAM≌△EAF，继而证得结论；(3)首先延长CB到P使BP=DF，证得△ABP≌△ADF(SAS)，再证得△APE≌△AFE(SAS)，继而证得结论；(4)首先在BC上截取BP=DF，证得△ABP≌△ADF(SAS)，再证得△APE≌△AFE(SAS)，即可得EF=BE−BP=BE−DF．此题属于四边形的综合题.考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质.注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意准确作出辅助线是解此题的关键．5.正方形ABCD中，点E是射线AB上一动点，点F是线段BC延长线上一动点，且AE=CF，(1)如图1，连接DE、DF，若正方形的边长为4，AE=3，求EF的长？(2)如图2，连接AC交EF与G，求证：AC=√2AE+2CG；(3)如图3，当点E在AB延长线上时，AE=CF仍保持不变，试探索线段AC、AE、CG之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)解：∵正方形的边长为4，AE=3，∴BE=4−3=1，∵AE=CF，∴CF=3，∴BF=BC+CF=7，∴EF=√BE2+BF2=5√2；(2)证明：如图2，作EH//BC交AC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45∘，∴AH=EH=√2AE，∵AE=CF，∴EH=CF，又EF//CF，∴HG=CG，即HC=2CG，∴AC=AH+HC=√2AE+2CG；(3)AC=√2AE−2CG．证明：如图3，作EP//BC交AC的延长线于P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45∘，∴AP=EP=√2AE，∵AE=CF，∴EP=CF，又EF//CF，∴PG=CG，即PC=2CG，∴AC=AP−PC=√2AE−2CG．【解析】(1)根据题意分别求出BE、BF的长，根据勾股定理计算即可；(2)作EH//BC交AC于H，根据正方形的性质得到∠BAC=45∘，根据勾股定理得到AH=√2AE，根据平行线分线段成比例定理得到HC=2CG，得到答案；(3)作EP//BC交AC的延长线于P，与(2)的方法类似，证明即可．本题考查的是正方形的性质、平行线分线段成比例定理以及全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．6.如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．(1)求证：∠HEA=∠CGF；(2)当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；(3)设AH=2，DG=x，△FCG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围；(4)求y的最小值．【答案】(1)证明：如图1，连接GE，∵AB//CD，∴∠AEG=∠CGE，∵GF//HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠HEA=∠CGF；(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90∘，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，{AH=DGHE=HG，∴Rt△HAE≌Rt△GDH，∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90∘，∴∠DHG+∠AHE=90∘，∴∠GHE=90∘，∴菱形EFGH为正方形；(3)解：作FM⊥DC，交DC的延长线于M，在Rt△AHE和Rt△GFM中，{∠A=∠M∠AEH=∠FGM HE=FG，∴Rt△AHE≌Rt△GFM，∴MF=AH=2，∵DG=x，∴CG=6−x，∴y=12×CG×FM=12×2×(6−x)=6−x(0≤x≤2√6)；(4)∵k=−1<0，∴y随x的增大而减小，∴x=2√6时，y的最小值是6−2√6．【解析】(1)连接GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到∠AEG=∠CGE，根据菱形的性质和平行线的性质得到∠HEG=∠FGE，解答即可；(2)证明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE=∠DGH，证明∠GHE=90∘，根据正方形的判定定理证明；(3)作FM⊥DC，证明Rt△AHE≌Rt△GFM，得到MF=AH=2，根据三角形的面积公式得到解析式；(4)根据一次函数的性质：当k<0时，y随x的增大而减小解答即可．本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数解析式的求法和一次函数的性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．7.四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)如图1，当点E在线段AC上时．①求证：矩形DEFG是正方形；②求证：AC=CE+CG；(2)如图2，当点E在线段AC的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC、CE、CG之间的数量关系；(3)直接写出∠FCG的度数．【答案】(1)①证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA=∠BCA，∴EQ=EP，∵∠QEF+∠FEC=45∘，∠PED+∠FEC=45∘，∴∠QEF=∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，{∠QEF=∠PED EQ=EP∠EQF=∠EPD，∴Rt△EQF≌Rt△EPD，∴EF=ED，∴矩形DEFG是正方形；②∵∠ADE+∠EDC=90∘，∠CDG+∠EDC=90∘，∴∠ADE=∠CDG，在△AED和△CGD中，{AD=CD∠ADE=∠CDG DE=DG，∴△AED≌△CGD，∴AE=CG，∴AC=CE+AE=CE+CG；(2)AC+CE=CG，证明：由(1)得，矩形DEFG是正方形，∴DE=DG，∵∠ADC=∠EDG=90∘，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，{AD=DC∠ADE=∠CDG DE=DG，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG，∴AC+CE=CG；(3)如图1，当点E为线段AC上时，∵△ADE≌△CDG，∴∠DCG=∠DAE=45∘，∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=135∘；如图2，当点E为线段AC的延长线上时，∠FCG=∠FCD−∠DCG=45∘．【解析】(1)①作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；②根据三角形全等的判定定理证明△AED≌△CGD，得到AE=CG，证明结论；(2)根据题意画出图形，与(1)的方法类似，证明△ADE≌△CDG，得到AE=CG，即可得到答案；(3)根据全等三角形的性质和点E的不同位置求出∠FCG的度数．本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．8.在△ABC中，AB=AC，点P△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PE//AC交AB于点E，PF//AB交BC于点D，交AC于点F(1)当点P在BC边上(如图1)时，请你探索线段PD，PE，PF，AB与之间的数量关系，并给出证明；(2)当点P在△ABC内(如图2)时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系．(3)当点P在△ABC外(如图3)时，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系．【答案】(1)答：PD+PE+PF=AB．证明如下：∵点P在BC上，∴PD=0，∵PE//AC，PF//AB，∴四边形PFAE是平行四边形，∴PF=AE，∵PE//AC，∴∠BPE=∠C，∴∠B=∠BPE，∴PE=BE，∴PE+PF=BE+AE=AB，∵PD=0，∴PD+PE+PF=AB；(2)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵PF//AB，∴∠B=∠CDF，∵PE//AC，PF//AB，∴四边形PFAE是平行四边形，∴PE=AF，∴PD+PE+PF=AC，∴PD+PE+PF=AB；(3)证明：同(2)可证DF=CF，PE=AF，∵AF+CF=AC，∴PE+PF−PD=AC，∴PE+PF−PD=AB．【解析】(1)先求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF=AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE=∠C，然后求出∠B=∠BPE，利用等角对等边求出PE=BE，然后求解即可；(2)根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠CDF，然后求出∠C=∠CDF，再根据等角对等边可得CF=PD+PF，然后求出四边形PFAE 是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PE=AF，然后求出PD+PE+PF=AC，等量代换即可得证；(3)证明思路同(2)．本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定方法与性质，并准确识图理清图中边的关系是解题的关键，此类题目，关键在于后面小题与前面小题的求解思路相同．9.如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，连接AE、AF、EF，且∠AEB=∠AEF．(1)如图1，求证：AF平分∠EFD；(2)如图2，若∠C=90∘，求证：EF=BE+DF；(3)在(2)的条件下，若AB=3BE，AE=2√10，求AF的长．【答案】解：(1)证明：过点A作AG⊥BC于G，过A作AH⊥EF于H，过A作AM⊥CD于M，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，又∵AG⊥BC，AM⊥CD，∴AG=AM，∵∠AEB=∠AEF，∴AE平分∠BEF，又∵AG⊥BC，AH⊥EF，∴AG=AH，(2)∵四边形ABCD是菱形，又∵∠C=90∘，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90∘，∴AB⊥BC，AD⊥CD，过A作AH⊥EF于H，∴∠AHE=∠AHF=90∘，∴AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，AH⊥EF，∴AB=AH，∵AE=AE，在Rt△ABE与Rt△AHE中{AB=AHAE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AHE(HL)∴BE=HE，同理Rt△ADF≌Rt△AHF(HL)，∴DF=HF，∵EF=EH+FH，∴EF=BE+DF；(3)设BE=a，则AB=3a，在Rt△ABE中，BE2+AB2=AE2，∴a2+(3a)2=(2√10)2，∴a=2，∴AB=3a=6，由(2)知四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=6，∴CE=BC−BE=4，设DF=m，则CF=CD−DF=6−m，由(2)知EF=BE+DF，∴EF=2+m，在Rt△ECF中，CE2+CF2=EF2，∴42+(6−m)2=(2+m)2，∴m=3，在Rt△ADF中，DF2+AD2=AF2，∴AF=√32+62=3√5．【解析】(1)根据菱形的性质得出AC平分∠BCD，再根据角平分线的性质证明即可．(2)根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；(3)根据勾股定理进行解答即可．此题主要考查了菱形的性质，关键是判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．。

四边形难题汇编附答案

四边形难题汇编附答案一、选择题1．如图，在 Y ABCD 中， AC8， BD 6， AD 5 ，则 YABCD 的面积为 ()A ．6B ． 12C ． 24D ． 48【答案】 C 【分析】【剖析】由勾股定理的逆定理得出 AOD90o ，即 ACBD ，得出 Y ABCD 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OCOC1AC4， OBOD1BD 3 ，22∴ OA 2 OD 225 AD 2，∴ AOD 90o ，即 AC BD ，∴ Y ABCD 是菱形，∴ Y ABCD 的面积1 1 AC BD86 24；22应选 C ．【点睛】本题考察平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判断与性质，娴熟掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的重点．2．如图，已知 AD 是三角形纸片 ABC 的高，将纸片沿直线 EF 折叠，使点 A 与点 D 重合，给出以下判断：① EF 是 V ABC 的中位线；② VDEF 的周长等于 VABC 周长的一半：③ 若四边形 AEDF 是菱形，则 AB AC ；④ 若 BAC 是直角，则四边形 AEDF 是矩形．此中正确的选项是 ( )A ．①②③B ． ①②④C ． ②④D ． ①③④【答案】 A【分析】【剖析】依据折叠可得 EF 是 AD 的垂直均分线，再加上条件 AD 是三角形纸片 ABC 的高能够证明 EF∥BC ，从而可得 △AEF ∽△ ABC ，从而得AEAFAO 1 ，从而获得 EF 是 △ABC 的中ABAC AD2位线；再依据三角形的中位线定理可判断出 △AEF 的周长是 △ABC 的一半，从而获得 △DEF的周长等于 △ABC 周长的一半；依据三角形中位线定理可得1 1 AE= AB ， AF= AC ，若四边形22AEDF 是菱形则 AE=AF ，即可获得 AB=AC ．【详解】解：∵ AD 是 △ABC 的高，∴AD ⊥ BC ，∴∠ ADC=90°，依据折叠可得： EF 是 AD 的垂直均分线，∴AO=DO= 1AD ， AD ⊥ EF ，2∴∠ AOF=90°，∴∠ AOF=∠ADC=90°，∴ E F ∥ BC ，∴△ AEF ∽△ ABC ，AEAF AO 1 ABACAD，2∴ E F 是 △ABC 的中位线，故① 正确；∵EF 是 △ABC 的中位线，∴△ AEF 的周长是 △ABC 的一半，依据折叠可得 △AEF ≌△ DEF ，∴△ DEF 的周长等于 △ABC 周长的一半，故② 正确；∵EF 是△ABC的中位线，∴A E= 1AB， AF=1AC，22若四边形AEDF是菱形，则 AE=AF，∴A B=AC，故③ 正确；依据折叠只好证明∠ BAC=∠ EDF=90°，不可以确立∠ AED 和∠ AFD 的度数，故④错误；应选： A．【点睛】本题主要考察了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，重点是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半．3．如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，BE AD， BCE30 .若 AE 2 ，则边 BC的长为( )A．5B．6C．7D．22【答案】 B【分析】【剖析】由菱形的性质得出AD∥ BC， BC=AB=AD，由直角三角形的性质得出AB=BC= 3 BE，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE2+22=（3 BE）2，解得：BE=2，即可得出结果．【详解】∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AD∥ BC，BC ∵ BE AD.∴ BE AB . BC .∴BCE 30 ，∴ EC 2BE ，∴AB BCEC2 BE23BE .在 Rt△ABE 中，由勾股定理得BE2222 3BE ，解得BE2，∴ BC3BE 6 .应选 B.【点睛】本题考察菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，娴熟掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的重点．4．如图，矩形 ABCD 中， AB ＞AD ， AB=a ，AN 均分∠ DAB ， DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥ AN 于点 N.则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示） ( )A ． a4 C ．2 a D ．3 aB ． a522【答案】 C【分析】【剖析】依据 “AN 均分∠ DAB ， DM ⊥ AN 于点 M ， CN ⊥ AN 于点 N ”得∠ MDC=∠ NCD=45°，cos45 °=DMCN，因此DM+CN=CDcos45°；再依据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即DECE可求出．【详解】∵AN 均分∠ DAB ， DM ⊥ AN 于点 M ， CN ⊥ AN 于点 N ，∴∠ ADM=∠ MDC=∠ NCD=45°，∴DM 0CN0 =CD ，cos45 cos45在矩形 ABCD 中， AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45° = 2a.2应选 C.【点睛】本题考察矩形的性质，解直角三角形，解题重点在于获得cos45°=DMCNDECE5．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝ 8， BD ＝ 6，点E ，F 分别是边 AB ， BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋ PF 的最小值，则这个最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】 C【分析】【剖析】先依据菱形的性质求出其边长，再作 E 对于 AC 的对称点E′，连结 E′F，则 E′F即为 PE+PF 的最小值，再依据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6， BD=8，∴A B= 3242 =5，作 E 对于 AC 的对称点 E′，连结 E′F，则 E′F即为 PE+PF的最小值，∵AC 是∠ DAB 的均分线， E 是 AB 的中点，∴E′在 AD 上，且 E′是 AD 的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F 是 BC的中点，∴E′F=AB=5．应选 C．6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD 的均分线AG 交 BC于点E，若BF=6， AB=5，则AE 的长为()A．4B．8C．6D．10【答案】 B【分析】【剖析】【详解】解：设 AG 与 BF 交点为 O，∵ AB=AF， AG 均分∠ BAD， AO=AO，∴可证△ABO≌△ AFO，∴BO=FO=3，∠ AOB=∠ AOF=90o， AB=5，∴ AO=4，∵ AF∥ BE，∴可证△AOF≌△ EOB，AO=EO，∴ AE=2AO=8，应选 B．【点睛】本题考察角均分线的作图原理和平行四边形的性质．7．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O , AC AB,E是BC 中点，△ AOD 的周长比 VAOB 的周长多3cm，则AE的长度为（）A． 3cm B．4cm C．5cm D．8cm【答案】 B【分析】【剖析】依据题意，由平行四边形的周长获得AB AD13，由△ AOD 的周长比 VAOB 的周长多 3cm，则AD AB 3 ，求出AD的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是 26cm，126 13，∴AB AD2∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO，∵△ AOD 的周长比 VAOB 的周长多3cm，∴ (AO OD AD ) (AO OB AB) AD AB3，∴AB 5， AD 8，∴BC AD 8，∵ AC AB ，点E是BC中点，∴ AE 11BC8 4 ；22应选： B．【点睛】本题考察了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的重点是娴熟掌握平行四边形的性质进行解题．8．如图，在菱形ABCD中， AB＝ 10，两条对角线订交于点O，若 OB＝ 6，则菱形面积是（）A ． 60B ． 48C ． 24D ． 96【答案】 D【分析】【剖析】由菱形的性质可得AC ⊥BD ， AO ＝ CO ， BO ＝ DO ＝6，由勾股定理可求【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， AO ＝ CO ， BO ＝ DO ＝ 6，AO 的长，即可求解．∴AO ＝ AB 2OB2100 36 8，∴AC ＝16，BD ＝12，∴菱形面积＝1216＝96，2应选： D ．【点睛】本题考察了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线相互垂直均分是本题的重点．9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm ，BC 长为10cm ．当小莹折叠时，极点 D 落在 BC 边上的点 F 处 (折痕为 AE)．则此时 EC=()cmA ．4B ．2 C ．2 2D ．3【答案】 D【分析】【剖析】依据矩形的性质得AB=CD=8， BC=AD=10，∠ B=∠ C=90°，再依据折叠的性质得 AF=AD=10，DE=EF ，在 Rt △ABF 中，利用勾股定理计算出 BF=6，则 CF=BC ﹣ BF=4，设 CE=x ，则 DE=EF=8﹣ x ，在 Rt △CEF 中利用勾股定理获得 :42+x 2=（ 8﹣ x ） 2，而后解方程即可．【详解】解：∵四边形 ABCD 为矩形，∴ AB=CD=8， BC=AD=10，∠ B=∠ C=90°．∵长方形纸片 ABCD 折纸，极点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE ），∴ A F=AD=10， DE=EF ，在 Rt △ABF 中， AB=8， AF=10，∴ BF= AF 2 AB 2 6 ∴ C F=BC ﹣ BF=4．设 CE=x ，则 DE=EF=8﹣x ，在 Rt △CEF 中，∵ CF 2 2 2， +CE=EF∴ 42+x 2 =（ 8﹣ x ） 2，解得 x=3 ∴EC 的长为 3cm ．应选： D【点睛】本题考察了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；娴熟掌握折叠的性质和矩形的性质，依据勾股定理得出方程是解题重点．10．如图 11-3-1，在四边形 ABCD 中，∠ A=∠ B=∠ C ，点 E 在边 AB 上，∠ AED=60°，则必定有（）A ．∠ ADE=20°B ．∠ ADE=30°C ．∠ ADE=1 ∠ ADCD ．∠ ADE=1∠ ADC23【答案】 D 【分析】【剖析】【详解】设∠ ADE=x ，∠ ADC=y ，由题意可得，∠ ADE+∠AED+∠ A=180°，∠ A+∠ B+∠C+∠ADC=360°，即 x+60+∠ A=180① ， 3∠ A+y=360② ，由①×3-② 可得 3x-y=0，因此 x1y ，即∠ ADE= 1∠ ADC ．33故答案选 D ．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．11．如图，在 ? ABCD中， BM 是∠ ABC 的均分线交 CD于点 M ，且 MC=2， ? ABCD的周长是在 14，则 DM 等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】 C【分析】试题剖析：∵ BM 是∠ ABC 的均分线，∴∠ ABM=∠ CBM，∵ AB∥ CD，∴∠ ABM=∠ BMC，∴∠BMC=∠ CBM，∴ BC=MC=2，∵ ? ABCD的周长是 14，∴ BC+CD=7，∴ CD=5，则 DM=CD﹣MC=3，应选 C．考点：平行四边形的性质．12．如图，四边形 ABCD的对角线为 AC、 BD，且 AC=BD，则以下条件能判断四边形 ABCD 为矩形的是（）A． BA=BCB． AC、 BD 相互均分C． AC⊥ BDD． AB∥ CD【答案】 B【分析】试题剖析：依据矩形的判断方法解答．解：能判断四边形ABCD是矩形的条件为AC、 BD 相互均分．原因以下：∵ AC、 BD 相互均分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴? ABCD是矩形．其余三个条件再加上AC=BD均不可以判断四边形ABCD是矩形．应选 B．考点：矩形的判断．13．如图，□ ABCD的对角线AC、BD 交于点 O， AE 均分 BAD 交 BC 于点 E，且∠ ADC＝160°， AB＝BC，连结 OE．以下结论：① AE＝CE；②S△ABC＝AB?AC；③S△ABE＝2S△AOE；21④ OE ＝BC,建立的个数有（）4A．1 个B．2 个C．3 个D．4【答案】 C【分析】【剖析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ ADC=60°，∠ BAD=120°，利用角均分线的性质证明1△ABE 是等边三角形，而后推出AE=BE=BC，再联合等腰三角形的性质：等边平等角、三2线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ ABC=∠ ADC=60°，∠ BAD=120°，∵AE 均分∠ BAD，∴∠ BAE=∠ EAD=60°∴△ ABE 是等边三角形，∴A E=AB=BE，∠ AEB=60°，∵A B= 1BC，2∴A E=BE=1BC，2∴A E=CE，故①正确；∴∠ EAC=∠ ACE=30°∴∠ BAC=90°，=AB?AC，故②错误；∴S△ABC12∵BE=EC，∴E 为 BC 中点， O 为 AC 中点，∴S △ABE =S △ACE=2 S △AOE ，故 ③ 正确；∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AC=CO ，∵ AE=CE ， ∴EO ⊥ AC ，∵∠ ACE=30°，∴EO= 1EC ，21 ∵ E C= AB ，2∴OE= 1BC ，故 ④ 正确；4故正确的个数为 3 个，应选： C ．【点睛】本题考察平行四边形的性质，等边三角形的判断与性质．注意证得 △ABE 是等边三角形是解题重点．14．如图，在 V ABC 中， D ，E 是 AB ，AC 中点，连结 DE 并延伸至 F ，使 EFDE，CF ADCF()连结 AF ， CD ，．增添以下条件，可使四边形为菱形的是A ． AB AC B ． AC BC C ． CD AB D ． AC BC【答案】 D【分析】【剖析】依据 AE ＝ CE ， EF ＝ DE 可证得四边形 A DCF 为平行四边形，再利用中位线定理可得DE ∥ BC联合 AC ⊥ BC 可证得 AC ⊥ DF ，从而利用对角线相互垂直的平行四边形是菱形即可得证．【详解】解：∵点 E 是 AC 中点，∴AE ＝ CE ，∵AE ＝ CE ， EF ＝ DE ，∴四边形 ADCF 为平行四边形，∵点 D 、 E 是 AB 、 AC 中点，∴DE 是 △ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴∠ AED＝∠ ACB，∵AC⊥BC，∴∠ ACB＝ 90°，∴∠ AED＝90°，∴AC⊥ DF，∴平行四边形ADCF为菱形应选： D．【点睛】本题考察了菱形的判断，三角形的中位线性质，娴熟掌握有关图形的性质及判断是解决本题的重点．15．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，假如用直尺画一条直线将其节余部分切割成面积相等的两部分，这样的不一样的直线一共能够画出（）A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条【答案】 C【分析】【剖析】利用平行四边形的性质切割平行四边形即可．【详解】解：以下图，这样的不一样的直线一共能够画出三条，故答案为： 3．【点睛】本题考察平行四边形的性质，解题的重点是掌握平行四边形的中心对称性．16．如图，矩形纸片ABCD中， AB=6cm， BC=8cm．现将其沿AE 对折，使得点 B 落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC 交于点E，则CE的长为（）A．6cm B． 4cm C． 3cm D． 2cm【答案】 D【分析】剖析：依据翻折的性质可得∠ B=∠ AB1E=90°，AB=AB1，而后求出四边形 ABEB1是正方形，再依据正方形的性质可得 BE=AB，而后依据 CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE 对折点 B 落在边 AD 上的点 B1处，∴∠ B=∠AB1E=90°， AB=AB1，又∵∠ BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴B E=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．应选： D．点睛：本题考察了矩形的性质，正方形的判断与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的重点．17．如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB、CD 于点 E、F，连结PB、PD，若 AE1， PF8 ，则图中暗影部分的面积为（）A．5B．6C．8D．9【答案】 C【分析】【剖析】由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．【详解】作 PM⊥AD 于 M，交 BC于 N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP， S△PBE=S△PBN， S△PFD=S△PDM， S△PFC=S△PCN，∴S△△1DFP=S PBE=× 1× 8=4，2∴S 阴 =4+4=8，应选： C．【点睛】本题考察矩形的性质、三角形的面积，解题的重点是证明S△PEB=S△PFD．18．以下说法正确的选项是（）A．对角线相等的四边形必定是矩形B．随意掷一枚质地平均的硬币 10 次，必定有 5 次正面向上C．假如有一组数据为 5，3 ，6， 4， 2，那么它的中位数是 6D．“用长分别为5cm、 12cm、6cm的三条线段能够围成三角形”这一事件是不行能事件【答案】 D【分析】【剖析】依据矩形的判断定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不行能事件的定义挨次判断即可 .【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 随意掷一枚质地平均的硬币10 次，不必定有 5 次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5， 3， 6，4， 2，它的中位数是4，故该项错误；D.用“长分别为 5cm、12cm、 6cm 的三条线段能够围成三角形”这一事件是不行能事件，正确，应选： D.【点睛】本题矩形的判断定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不行能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的重点.19．在四边形 ABCD中， AD∥ BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可增添的条件不正确的是（）A． AB∥ CD B．∠ B＝∠ D C． AD＝ BC D． AB＝ CD【答案】 D【分析】【剖析】依据平行四边形的判断解答即可．【详解】∵AD∥ BC， AB∥ CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故 A 正确；∵AD∥ BC， AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故 C 正确；∵AD∥ BC，∴∠ D+∠ C=180°，∵∠ B=∠D，∴∠ B+C=180°，∴AB∥ CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故 B 正确；应选： D．【点睛】本题考察平行四边形的判断，解题重点是依据平行四边形的判断解答．20．如图，四边形ABCD的对角线订交于点O，且点 O 是 BD 的中点，若AB＝ AD＝ 5， BD ＝8，∠ ABD＝∠ CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B． 24C． 20D． 15【答案】 B【分析】【剖析】依据等腰三角形的性质获得AC⊥ BD，∠ BAO=∠ DAO，获得 AD=CD，推出四边形A BCD是菱形，依据勾股定理获得AO=3，于是获得结论．【详解】∵AB＝ AD，点 O 是 BD 的中点，∴AC⊥ BD，∠ BAO＝∠ DAO，∵∠ ABD＝∠ CDB，∴AB∥ CD，∴∠ BAC＝∠ ACD，∴∠ DAC＝∠ ACD，∴AD＝ CD，∴AB＝ CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝ 5， BO 1BD＝ 4，2∴AO＝ 3，∴AC＝ 2AO＝ 6，∴四边形 ABCD的面积16×8＝ 24，2应选： B．【点睛】本题考察了菱形的判断和性质，等腰三角形的判断和性质，平行线的判断和性质，正确的辨别图形是解题的重点．。

四边形难题汇编及答案

四边形难题汇编及答案一、选择题1．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，两条对角线相交于点O ，若OB ＝6，则菱形面积是（）A ．60B ．48C ．24D ．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，由勾股定理可求AO 的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，∴AO ＝22100368AB OB -=-=，∴AC ＝16，BD ＝12， ∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．2．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（）A ．3B ．2C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.【详解】解，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵2BD =，∴BO=1，在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，∴BC=2， ∴22213CO =-=；∴23AC =；故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.3．如图，若OABC Y 的顶点O ，A ，C 的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 的坐标为（）A ．(4,1)B ．(5,3)C ．(4,3)D ．(5,4)【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B 的坐标.【详解】解：∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，OA ∥BC ，∴点B 的纵坐标为3，∵点O 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C ，∴点A 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B ，∴点B 的坐标为：（5，3）；故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.4．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A ．10B ．20C ．40D ．48 【答案】B【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】如图所示，根据题意得AO=12×8=4，BO=12×6=3，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，∴△AOB 是直角三角形，∴AB=22169AO BO +=+=5，∴此菱形的周长为：5×4=20．故选：B ．【点睛】此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.5．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点， 32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，186,<Q∴在BC 上存在一个点P ，使PEF V 是等腰三角形；③当EF 为底，P 为顶角顶点时，点P 一定在EF 的垂直平分线上，∴EF 的垂直平分线与矩形的交点，即为点P ，存在两个点．综上所述，满足题意的点P 的个数是6．故选D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A ，B ，C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】A 点在原点上，B 点在横轴上，C 点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C7．如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF=6，AB=5，则AE 的长为( )A ．4B ．8C ．6D ．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．8．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形( )A．可能不是平行四边形B．一定是菱形C．一定是正方形D．一定是矩形【答案】D【解析】【分析】根据OA=OC, OB=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵OA=OC=OD=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故选D．【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．∠=（）9．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEFA．110°B．115°C．120°D．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD 沿EF 对折后两部分重合，150∠=o ，∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°， ∵矩形对边AD ∥BC ， ∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．10．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ，∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．11．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD≌△ECD．12．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S 矩形MPFD,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE= 12S矩形EBNP，S△PFD=12S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．13．如图，在矩形ABCD中，2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴2AB，∵2AB，∴AE=AD，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠OHD=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C．【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质14．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A．BA=BCB．AC、BD互相平分C．AC⊥BDD．AB∥CD【答案】B【解析】试题分析：根据矩形的判定方法解答．解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．理由如下：∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形．其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．故选B．考点：矩形的判定．15．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝14BC,成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∵BE=EC，∴E为BC中点，O为AC中点，∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=CO，∵AE=CE，∴EO⊥AC，∵∠ACE=30°，∴EO=12EC ， ∵EC=12AB ， ∴OE=14BC ，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形是解题关键．16．已知ABCD Y (AB BC >)，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A 、根据线段的垂直平分线的性质可知AB ＝AD ，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B 、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C 、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D 、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．17．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB =，则EFGH 的面积是( )A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝22EH＝22EF，EF＝22AE，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝CD＝AB，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°，∴∠AEF＝∠DEH＝45°，∴AF＝EF，DE＝DH，∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2，∴AF＝EF 2 AE，同理可得：DH＝DE＝22EH又∵EH＝EF，∴DE 2EF22AE＝12AE，∵AD＝AB＝6，∴DE＝2，AE＝4，∴EH2DE＝2，∴EFGH的面积为EH2＝（2）2＝8，故选：B．本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．18．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．19．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF 垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．【详解】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，故①正确∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故②正确；∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，且BO=DO由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形EBFD是平行四边形由②可知，OB=CB，OF=FC又∵BF=BF∴△OBF≌△OCF∴BD⊥EF∴平行四边形EBFD是菱形，故④正确所以其中正确结论的个数为3个；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．20．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.。

四边形综合经典难题

1。

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC,且与CD相交于G,GE ∥CA交AB于E点,求证：四边形CFEG是菱形.2. 已知:如图，EG、FH过正方形ABCD的对角线交点O,EG⊥FH，求证:四边形EFGH是正方形．3. 如图，三角形ABC中，AB=AC，角A=108 o，BD平分角ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD. 4。

在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高,∠EBD=20°，求∠A的度数。

5。

已知在平行四边形ABCD中,AB=6cm，AD=10cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长.6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．(1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE,试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论)7。

如图，在正方形ABCD中,G是BC上任意一点，连接AG,DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．8. 已知，如图，正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB的面积为20，求阴影部分的面积．9. 已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，BE，CF相交于点O.(1)求证:BE⊥CF；（2）试判断AF与DE有何数量关系,并说明理由；（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？（直接写出答案）10. 在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ 是否相等？并说明理由．11。

如图,四边形ABCD中,∠A=135°,∠B=∠D=90°，AD=2，求四边形ABCD的面积。

12. 已知，在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD,AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 的两边分别交AD，DC(或它们的延长线）于E,F两点.（1）当AE=CF时（如图1），求证:AE+CF=EF；（2)当AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,AE+CF=EF是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明。

四边形难题汇编附答案

四边形难题汇编附答案一、选择题1．如图，在ABCD Y 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD Y 的面积为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】【分析】由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，得出ABCD Y 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴142OC OC AC ===，132OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，∴90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，∴ABCD Y 是菱形，∴ABCD Y 的面积11862422AC BD =⨯=⨯⨯=；故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．2．如图，已知AD 是三角形纸片ABC 的高，将纸片沿直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，给出下列判断：①EF 是ABC V 的中位线；②DEF V 的周长等于ABC V 周长的一半：③若四边形AEDF 是菱形，则AB AC =；④若BAC ∠是直角，则四边形AEDF 是矩形．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②④D ．①③④ 【答案】A【解析】【分析】根据折叠可得EF 是AD 的垂直平分线，再加上条件AD 是三角形纸片ABC 的高可以证明EF ∥BC ，进而可得△AEF ∽△ABC ，从而得12AE AF AO AB AC AD ===，进而得到EF 是△ABC 的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF 的周长是△ABC 的一半，进而得到△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=12AB ，AF=12AC ，若四边形AEDF 是菱形则AE=AF ，即可得到AB=AC ．【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，根据折叠可得：EF 是AD 的垂直平分线，∴AO=DO=12AD ，AD ⊥EF ， ∴∠AOF=90°，∴∠AOF=∠ADC=90°，∴EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， 12AE AF AO AB AC AD ===， ∴EF 是△ABC 的中位线，故①正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴△AEF 的周长是△ABC 的一半，根据折叠可得△AEF ≌△DEF ，∴△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半，故②正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴AE=12AB ，AF=12AC ，若四边形AEDF 是菱形，则AE=AF ，∴AB=AC ，故③正确；根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，不能确定∠AED 和∠AFD 的度数，故④错误；故选：A ．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．3．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE ADBCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )A 5B 6C 7D ．22【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC BC AB =，∥.∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥.∴30BCE ∠=︒，∴2EC BE =，∴223AB BC EC BE BE ==-=.在Rt ABE △中，由勾股定理得)22223BE BE +=，解得2BE =，∴36BC BE ==故选B.【点睛】此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．4．如图，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )A ．aB ．45 aC ．2aD ．3a 【答案】C【解析】【分析】根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°=2a. 故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =5．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋PF 的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AB=22=5，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()A．4 B．8 C．6 D．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO ，∴AE=2AO=8，故选B ．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．7．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．8．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，两条对角线相交于点O ，若OB ＝6，则菱形面积是（）A．60 B．48 C．24 D．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，∴AO＝22100368AB OB-=-=，∴AC＝16，BD＝12，∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，BC长为10cm．当小莹折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)．则此时EC=()cmA．4 B2C．22D．3【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到:42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴BF=226AF AB-=∴CF=BC﹣BF=4．设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3∴EC的长为3cm．故选：D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．10．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y=，即∠ADE=13∠ADC．故答案选D．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．11．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD ﹣MC=3，故选C．考点：平行四边形的性质．12．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A．BA=BCB．AC、BD互相平分C．AC⊥BDD．AB∥CD【答案】B【解析】试题分析：根据矩形的判定方法解答．解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．理由如下：∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形．其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．故选B．考点：矩形的判定．13．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝14BC,成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∵BE=EC，∴E 为BC 中点，O 为AC 中点，∴S △ABE =S △ACE=2 S △AOE ，故③正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC=CO ，∵AE=CE ，∴EO ⊥AC ，∵∠ACE=30°，∴EO=12EC ， ∵EC=12AB ， ∴OE=14BC ，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形是解题关键．14．如图，在ABC V 中，D E ，是AB AC ，中点，连接DE 并延长至F ，使EF DE =，连接AF CD ，，CF ．添加下列条件，可使四边形ADCF 为菱形的是( )A ．AB AC =B ．AC BC = C ．CD AB ⊥ D ．AC BC ⊥【答案】D【解析】【分析】根据AE ＝CE ，EF ＝DE 可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用中位线定理可得DE ∥BC 结合AC ⊥BC 可证得AC ⊥DF ，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．【详解】解：∵点E 是AC 中点，∴AE ＝CE ，∵AE ＝CE ，EF ＝DE ，∴四边形ADCF 为平行四边形，∵点D 、E 是AB 、AC 中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴∠AED＝∠ACB，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴AC⊥DF，∴平行四边形ADCF为菱形故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．15．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．EF BC，分别交AB、17．如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作//PF=，则图中阴影部分的面积为CD于点E、F，连接PB、PD，若1AE=，8（）A．5B．6C．8D．9【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=12×1×8=4，∴S阴=4+4=8，故选：C．【点睛】此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．18．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形一定是矩形B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D．“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，故选：D.【点睛】此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.19．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠B+C=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故B正确；故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．20．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．15【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO12=BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积12=⨯6×8＝24，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．。

四边形经典试题50题及答案

经典四边形习题50道（附答案）1．已知：在矩形ABCD中，AE BD于E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度数。

2．已知：直角梯形ABCD中，BC=CD=a且∠BCD=60，E、F分别为梯形的腰AB、DC的中点，求：EF的长。

3、已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，E、F分别为AD、BC的中点，BD平分∠ABC交EF于G，EG=18，GF=10求：等腰梯形ABCD的周长。

4、已知：梯形ABCD中，AB∥CD，以AD，AC为邻边作平行四边形ACED，DC延长线交BE于F，求证：F是BE的中点。

5、已知：梯形ABCD中，AB∥CD，AC CB，AC平分∠A，又∠B=60，梯形的周长是_F_B_D_C_G_A_B_D_C_E_F_D_A_B_C_E_F_A_B _D_C20cm, 求：AB的长。

6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EF∥GH。

7、已知：梯形ABCD的对角线的交点为E若在平行边的一边BC的延长线上取一点F，使SABC∆=SEBF∆，求证：DF∥AC。

8、在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB、BC的交点为E、F，在DA的延长线上取一点G，使AG=AD，若EG与DF的交点为H，求证：AH与正方形的边长相等。

9、若以直角三角形ABC的边AB为边，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA使AG=BC，求证：BG=CD。

10、正方形ABCD，E、F分别是AB、AD延长线上的一点，且AE=AF=AC，EF交BC于G，交AC_A_B_B_C_B_F_B_C_F_B_D_A_E于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。

11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ，若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ，求证：CF=ED 。

12、平行四边形ABCD 中，∠A 、∠D 的平分线相交于E ，AE 、DE与DC 、AB 延长线交于G 、F ，求证：AD=DG=GF=FA 。

人教备战中考数学平行四边形综合经典题及详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）133．【解析】分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x=133， ∵22AD AB +13 ∴OB=1213 ∵BD ⊥EF ，∴EO=22BE OB -=2133， ∴EF=2EO=4133．点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 2．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上，OD 在y 轴上，点C 在第一象限，且86OB OD ==，.现将纸片折叠，折痕为EF （点E ，F 是折痕与矩形的边的交点），点P 为点D 的对应点，再将纸片还原。

（I ）若点P 落在矩形OBCD 的边OB 上，①如图①，当点E 与点O 重合时，求点F 的坐标；②如图②，当点E 在OB 上，点F 在DC 上时，EF 与DP 交于点G ，若7OP =，求点F 的坐标：（Ⅱ）若点P 落在矩形OBCD 的内部，且点E ，F 分别在边OD ，边DC 上，当OP 取最小值时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）。

经典四边形习题50道(附答案)

E 度教育网经典四边形习题50道（附答案）1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。

2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。

3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。

4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。

5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。

6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。

7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E_ D_ C_B _ C_ A _ B _ A _B_ E_A_ B_ A_ BE 度教育网若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ，使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。

8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。

9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。

10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。

四边形经典综合难题(含答案)汇编

四边形综合经典难题1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。

2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。

3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。

4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。

5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。

6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。

7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为EBC 的延长线上取一点F ，使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF_ D_ C_B _ C _ A _ B_ A _B_ E_A _ B_ A_ B8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。

9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。

10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。

11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ，若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ，求证：CF=ED 。

2020-2021初中数学四边形难题汇编及答案

2020-2021初中数学四边形难题汇编及答案一、选择题1．如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案不能铺满地面的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分别计算各正多边形每个内角的度数，看是否能整除360°，即可判断．【详解】解：A．正六边形每个内角为120°，能够整除360°，不合题意；B．正三角形每个内角为60°，能够整除360°，不合题意；C．正方形每个内角为90°，能够整除360°，不合题意；D．正五边形每个内角为108°，不能整除360°，符合题意．故选：D．【点睛】能够铺满地面的图形是看拼在同一顶点的几个角是否构成周角．Y的顶点O，A，C的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 2．如图，若OABC的坐标为（）A．(4,1)B．(5,3)C．(4,3)D．(5,4)【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标.【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，OA∥BC，∴点B的纵坐标为3，∵点O向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C，∴点A向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B，∴点B的坐标为：（5，3）；故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.3．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC与BD交于O点，当P在BO上时，∵EF∥AC，∴EF BPAC BO=即43y x=，∴43y x =；当P在OD上时，有643 DP EF y x DO AC-==即，∴y=48 3x-+．故选C．4．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是（）A．95B．125C．165D．245【答案】D【解析】【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，继而利用面积法求出NQ长即可得答案.【详解】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，∵四边形ABCD是菱形，AC=6，DB=8，∴OA=3，OB=4，AC ⊥BD ，在Rt △AOB 中，AB=22OA OB +=5，∵S 菱形ABCD =12AC BD AB NQ =g g ， ∴18652NQ ⨯⨯=， ∴NQ=245， ∴PM+PN 的最小值为245，故选D.【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．5．如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF=6，AB=5，则AE 的长为( )A ．4B ．8C ．6D ．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG 与BF 交点为O ，∵AB=AF ，AG 平分∠BAD ，AO=AO ，∴可证△ABO ≌△AFO ，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF ∥BE ，∴可证△AOF ≌△EOB ，AO=EO ，∴AE=2AO=8，故选B ．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．6．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．7．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A ．7B ．7或8C ．8或9D ．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D ．考点：多边形内角与外角．8．如图，菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （0，3DOB=60°，点P是对角线OC上的一个动点，已知A（﹣1，0），则AP+BP的最小值为（）A．4 B．5 C．33D．19【答案】D【解析】【分析】点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．【详解】解：连接AD，如图，∵点B的对称点是点D，∴AD即为AP+BP的最小值，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0，23），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（3，3），∵点A的坐标为（﹣1，0），∴AD=22+=，(3)419故选：D．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．∠=（）9．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEFA．110°B．115°C．120°D．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，150∠=o，∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．10．如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，这个长方形的面积为（）A．45 B．48 C．63 D．64【答案】C【解析】【分析】由中央小正方形的边长为1厘米，设这7个正方形中最大的一个边长为x厘米，其余几个边长分别是x-1、x-2、x-3，根据长方形中几个正方形的排列情况，列方程求出最大正方形的边长，从而求得长方形长和宽，进而求出长方形的面积．【详解】因为小正方形边长为1厘米，设这7个正方形中最大的一个边长为x厘米，因为图中最小正方形边长是1厘米，所以其余的正方形边长分别为x−1，x−2，x−3，3(x-3)-1=x解得：x=5；所以长方形的长为x+x−1=5+5-1=9，宽为x-1+x−2=5-1+5-2=7长方形的面积为9×7=63(平方厘米)；故选：C【点睛】本题考查了对拼组图形面积的计算能力，利用了正方向的性质和长方形面积的计算公式．11．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．322C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】 ∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC 长度=2205OB C +=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∴BD 的最小值为4，∴OE=12BD=2，即OE 的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等.其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形.【详解】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选A．【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．13．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD 于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．34C．23D．12【答案】D【解析】【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．【详解】∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE是△ABC中线，∴BE=CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF=12BG=12，故选：D．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝14BC,成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∵BE=EC，∴E为BC中点，O为AC中点，∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=CO，∵AE=CE，∴EO⊥AC，∵∠ACE=30°，∴EO=12 EC，∵EC=12 AB，∴OE=14BC，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．15．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）A．∠BCA＝45°B．AC＝BDC．BD的长度变小D．AC⊥BD【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质即可判断；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．故选B．【点睛】本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF 垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．【详解】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，故①正确∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故②正确；∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，且BO=DO由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形EBFD是平行四边形由②可知，OB=CB，OF=FC又∵BF=BF∴△OBF≌△OCF∴BD⊥EF∴平行四边形EBFD是菱形，故④正确所以其中正确结论的个数为3个；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．17．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（）A ．110°B ．120°C ．140°D ．150° 【答案】B【解析】【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°，图b 中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B ．18．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE，AB=CE，∵AD=DE，BD=CD，∴四边形ABEC为平行四边形，故选：D．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD≌△ECD．19．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD ﹣MC=3，故选C．考点：平行四边形的性质．20．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．矩形MPFD【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE= 12S矩形EBNP，S△PFD=12S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．。

2020-2021初中数学四边形难题汇编附答案解析(1)

2020-2021初中数学四边形难题汇编附答案解析(1)一、选择题1．如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形.【详解】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选A ．【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形．2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是BD 上的任一点，过点P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F ，设BP=x ，EF=y ，则能反映y 与x 之间关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC与BD交于O点，当P在BO上时，∵EF∥AC，∴EF BPAC BO=即43y x=，∴43y x =；当P在OD上时，有643 DP EF y x DO AC-==即，∴y=48 3x-+．故选C．3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为（）A ．29B ．34C ．52D ．41【答案】D【解析】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE =22AB AE + =2254+=41，即PA +PB 的最小值为41．故选D ．4．如图，菱形ABCD 中，点P 是CD 的中点，∠BCD=60°，射线AP 交BC 的延长线于点E ，射线BP 交DE 于点K ，点O 是线段BK 的中点，作BM ⊥AE 于点M ，作KN ⊥AE 于点N ，连结MO 、NO ，以下四个结论：①△OMN 是等腰三角形；②tan ∠OMN=33；③BP=4PK ；④PM•PA=3PD 2，其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．【详解】解：作PI ∥CE 交DE 于I ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中， DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ，则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，∴BM ∥OG ∥KN ，∵点O 是线段BK 的中点，∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，∴OM=ON ，即△MON 是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，则AP=7，根据三角形面积公式，BM=2217，∵点O是线段BK的中点，∴PB=3PO，∴OG=13BM=22121，MG=23MP=27，tan∠OMN=3=OGMG，故②正确；∵∠ABP=90°，BM⊥AP，∴PB2=PM•PA，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．5．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( ) A．540°B．720°C．900°D．1080°【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：3605 72，∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A．【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴22，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．7．如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于G，连AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S ∆FCG ＝3，其中正确的有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】利用折叠性质和HL 定理证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，从而判断①；设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC 为等腰三角形，由此推出1802FGC FCG -∠∠=o ，由①可得1802FGC AGB -∠∠=o ,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④．【详解】解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°又∵AG=AG∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；由Rt △ABG ≌Rt △AFG∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4∴在Rt △EGC 中，222(6)4(2)x x -+=+解得：x=3∴BG ＝3，CG=6-3=3∴BG ＝CG ，故②正确；又BG ＝CG ， ∴1802FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ∴1802FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB∴AG ∥CF ，故③正确；过点F 作FM ⊥CE ，∴FM∥CG∴△EFM∽△EGC∴FM EFGC EG=即235FM=解得65 FM=∴S∆FCG＝116344 3.6225ECG ECFS S-=⨯⨯-⨯⨯=V V，故④错误正确的共3个故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．8．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．65B．85C．125D．245【答案】D【解析】【分析】连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，∴AD⊥BC，BD=DC=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=22221068AB BD=+=，∵S△ADB=12×AD×BD＝12×AB×DE，∴DE=8624105 AD BDAB⨯⨯==，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，BC长为10cm．当小莹折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)．则此时EC=()cmA．4 B2C．22D．3【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到:42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴226AF AB-=∴CF=BC﹣BF=4．设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt △CEF 中，∵CF 2+CE 2=EF 2，∴42+x 2=（8﹣x ）2，解得x=3∴EC 的长为3cm ．故选：D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．10．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x ，y ，z ，则111x y z ++的值为（） A ．1B ．23C ．12D ．13【答案】C【解析】分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．详解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x 、y 、z ，那么这三个多边形的内角和可表示为：2180x x -⨯（）+2180y y -⨯（）+2180z z （）-⨯=360，两边都除以180得：1﹣2x+1﹣2y +1﹣2z =2，两边都除以2得：1x +1y +1z =12．故选C ．点睛：解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．11．下列命题中是真命题的是（）A ．多边形的内角和为180°B ．矩形的对角线平分每一组对角C ．全等三角形的对应边相等D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A 进行判定；根据矩形的性质可对B 进行判定；根据全等三角形的性质可对C 进行判定；根据平行线的性质可对D 进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．12．如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A ．BA=BCB ．AC 、BD 互相平分C ．AC ⊥BDD ．AB ∥CD【答案】B【解析】试题分析：根据矩形的判定方法解答．解：能判定四边形ABCD 是矩形的条件为AC 、BD 互相平分．理由如下：∵AC 、BD 互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC=BD ，∴▱ABCD 是矩形．其它三个条件再加上AC=BD 均不能判定四边形ABCD 是矩形．故选B ．考点：矩形的判定．13．如图，在ABC V 中，D E ，是AB AC ，中点，连接DE 并延长至F ，使EF DE =，连接AF CD ，，CF ．添加下列条件，可使四边形ADCF 为菱形的是( )A ．AB AC =B ．AC BC = C ．CD AB ⊥ D ．AC BC ⊥【答案】D【解析】【分析】根据AE ＝CE ，EF ＝DE 可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用中位线定理可得DE ∥BC 结合AC ⊥BC 可证得AC ⊥DF ，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．【详解】解：∵点E 是AC 中点，∴AE ＝CE ，∵AE ＝CE ，EF ＝DE ，∴四边形ADCF 为平行四边形，∵点D 、E 是AB 、AC 中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ACB ，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°，∴AC ⊥DF ，∴平行四边形ADCF 为菱形故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．14．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB ，则EFGH 的面积是( )A ．6B ．8C ．9D ．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝2EH＝2EF，EF＝2AE，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝CD＝AB，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°，∴∠AEF＝∠DEH＝45°，∴AF＝EF，DE＝DH，∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2，∴AF＝EF＝22AE，同理可得：DH＝DE＝22EH又∵EH＝EF，∴DE＝22EF＝22×22AE＝12AE，∵AD＝AB＝6，∴DE＝2，AE＝4，∴EH＝2DE＝22，∴EFGH的面积为EH2＝（22）2＝8，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．15．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）A．∠BCA＝45°B．AC＝BDC．BD的长度变小D．AC⊥BD【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质即可判断；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ．故选B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，将边长为4的菱形OBCD 的边OB 固定在x 轴上，开始时30DOB ∠=︒，现把菱形向左推，使点D 落在y 轴正半轴上的点D ¢处，则下列说法中错误的是（）A ．点C '的坐标为()4,4B ．60CBC '∠=︒ C ．点D 移动的路径长度为4个单位长度D ．CD 垂直平分BC '【答案】C【解析】【分析】先证明四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，即可判断A ；由平行线的性质得∠OBC 的度数，进而得到60CBC '∠=︒，即可判断B ；根据弧长公式，求出点D 移动的路径长度，即可判断C ；证明CD ⊥BC ′，BC′=BC=2BE ，即可判断D ．【详解】∵四边形OBCD 是菱形，∴OB=BC=CD=OD ，∴OB=BC ′=C ′D ′=OD ′，∵∠BOD′=90°，∴四边形OBC′D′是正方形，且边长=4，∴点C '的坐标为()4,4，故A 不符合题意．∵30DOB ∠=︒，OD ∥BC ，∴∠OBC=180°-30°=150°，∵∠OBC ′=90°，∴60CBC '∠=︒，故B 不符合题意．∵点D 移动的路径是以OD 长为半径，圆心角为∠DOD ′=90°-30°=60°的弧长，∴点D 移动的路径长度=604180π⨯=43π，故C 符合题意. 设CD 与BC′交于点E ，∵在菱形OBCD 中，∠C=30DOB ∠=︒，∵60CBC '∠=︒，∴∠BEC=180°-60°-30°=90°，即CD ⊥BC ′，∴BC′=BC=2BE ，∴CD 垂直平分BC '，故D 不符合题意．故先C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的判定和性质以及点的坐标，熟练掌握菱形的性质和正方形性质，含30°角的直角三角形的性质，是解题的关键．18．如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC=2，▱ABCD 的周长是在14，则DM 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABM=∠CBM ，∵AB ∥CD ，∴∠ABM=∠BMC ，∴∠BMC=∠CBM ，∴BC=MC=2，∵▱ABCD 的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD ﹣MC=3，故选C ．考点：平行四边形的性质．19．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．2C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】 ∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC 长度5=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∴BD 的最小值为4，∴OE=12BD=2，即OE 的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.20．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，两条对角线相交于点O ，若OB ＝6，则菱形面积是（）A．60 B．48 C．24 D．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，∴AO22100368AB OB-=-=，∴AC＝16，BD＝12，∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．。

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四边形综合经典难题
1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。

2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。

3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。

4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。

5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。

6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、
BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。

7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E
BC 的延长线上取一点F ，使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF
_ D
_ C
_B _ C _ A _ B
_ A _B
_ E
_A _ B
_ A
_ B
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，
求证：AH 与正方形的边长相等。

9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，
AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。

10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。

11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ，若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ，求证：CF=ED 。

12、平行四边形ABCD 中，∠A 、∠D 的平分线相交于E ，AE 、
DE 与DC 、AB 延长线交于G 、F ，求证：AD=DG=GF=FA 。

13、在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E ，延长BC 到F ，使CF=CE ，求证：BE DF
_ B _ C
_ F
_ C
_ D
_ B
_ F
_ F
_ G
_ B
_A _ E
14、在四边形ABCD中，AB=CD，P、Q 分别是AD、BC中点，M、N分别是对角线AC、BD的中点，求证：PQ⊥MN。

15、平行四边形ABCD中，AD=2AB，
AE=AB=BF求证：CE⊥DF。

16、在正方形ABCD中，P是BD上一点，过P引PE⊥BC交BC于E，过P引PF⊥CD 于F，求证：AP⊥EF。

17、过正方形ABCD的顶点B引
对角线AC的平行线BE，
在BE上取一点F，
使AF=AC，若作菱形CAFÉ，
求证：AE及AF三等分∠BAC。

18、以∆ABC的三边AB、BC、CA分别
为边，在BC的同侧作等边三角形ABD、BCE、CAF，求证：ADEF是平行四边形。

19、M、N为∆ABC的边AB、AC的中点，
E、F为边AC的三等分点，延长ME、NF 交于D点，连结AD、DC，求证：
⑴BFDE是平行四边形，
⑵ABCD是平行四边形。

_E_F
_A_B
_C
_D_F
_E
_F _B_C
_B_C
_
N
20、平行四边形ABCD的对角线交于O，作OE⊥BC，AB=37cm, BE=26cm, EC=14cm, 求：平行四边形ABCD的面积。

21、在梯形ABCD中，AD∥BC，高AE=DF =12cm,两对角线BD=20cm,AC=15cm,
求梯形ABCD的面积。

22、在梯形ABCD中，二底AD、BC
的中点是E、F，在EF上任取一点O，
求证：S
OAB
∆=S
OCD
∆
23、平行四边形ABCD中，EF平行于
对角线AC，且与AB、BC分别交于E、F，
求证：S
ADE
∆=S
CDF
∆
24、梯形ABCD的底为AD、BC，若CD的中点为E
求证：S
ABE
∆=
2
1
S
ABCD
25、梯形ABCD的面积被对角线BD分成3:7两部分，求这个梯形被中位线EF分成的两部分的面积的比。

26、在梯形ABCD中，AB∥CD，M是BC边的中点，且MN⊥AD于N，
求证：S
ABCD =MN∙AD。

_B_C
_E_F
_B_C
_F
_B_C
_F
_B_C
_A_B
27、求证：四边形ABCD 的两条对角线之和小于它的周长而大于它的周长之半。

28、平行四边形ABCD 的对边AB 、 CD 的中点为E 、F ，求证：DE 、BF 三等分对角线AC 。

29、证明：顺次连结四边形的各边中点的四边形是平行四边形，其周长等于原四边形的对角线之和。

30、在正方形ABCD 的CD 边上取一点G ，在CG 上向原正方形外作正方形GCEF ，
求证：DE ⊥BG ，DE=BG 。

31、在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 的高，∠A 的平分线AE 交CD 于F ，交BC 于E ，EG ⊥AB 于G ，求证：CFGE 是菱形。

32、若分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边，在三角形外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：BG=EC ，BG ⊥EC 。

_ B _ C
_ C _ B _ E
_ A
_B _D
_ G
_ B
_ C
33、求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。

34、正方形ABCD 中，M 为AB 的任意点， MN ⊥DM ，BN 平分∠CBF ，求证：MD=NM
35、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=12cm ， BC=28cm ，EF ∥AB 且EF 平分ABCD 的面积，求：BF 的长。

36、平行四边形ABCD 中，E 为AB 上的任一点，若CE 的延长线交DA 于F ，连结DE ，求证：S ADE ∆=S BEF ∆
37、过四边形ABCD 的对角线BD 的中点E 作AC 的平行线FEG ，与AB 、AC 的交点分别为 F 、G ，求证：AG 或FC 平分此四边形的面积，
38、若以三角形ABC 的边AB 、AC 为边向三角形外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：S AEG ∆=S ABC ∆。

39、四边形ABCD 中，M 、N 分别是对角线 _
_ M
_ B _ C
_ F
_ A
_B
_F
_D
_ A
_ F
_ B _ C
AC 、BD 的中点，又AD 、BC 相交于点P ，求证：S PMN ∆=
4
1
S ABCD 。

40、正方形ABCD 的边AD 上有一点E ，满足BE=ED+DC ，如果M 是AD 的中点，求证：∠EBC=2∠ABM ，
41、若以三角形ABC 的边AB 、BC 为边向三角形外作正方形ABDE 、BCFG ，N 为AC 中点，求证：DG=2BN ，BM ⊥DG 。

42、从正方形ABCD 的一个顶点C 作CE 平行于BD ，使BE=BD ，若BE 、CD 的交点为F ，求证：DE=DF 。

43、平行四边形ABCD 中，直线FH 与AB 、 CD 相交，过A 、D 、C 、B ，向FH 作垂线，垂足为G 、F 、E 、H ，求证：AG-DF=CE-BH 。

44、四边形ABCD 中，若∠A=∠C ，
求证各角平分线围成的四边形等腰梯形。

45、正方形ABCD 中，∠EAF=45︒ 求证：BE+DF=EF 。

_ C
_B
_A _C
_N
_ F
46、正方形ABCD 中，点P 与B 、C 的连线和BC 的夹角为15︒ 求证：PA=PD=AD 。

47、四边形ABCD 中，AD=BC ，EF 为AB 、DC 的中点的连线，并分别与AD 、BC 延长线交于 M 、N ，求证：∠AME=∠BNE 。

48、正方形ABCD 中，MN ⊥GH ，求证：MN=HG 。

49、正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，F 是线段CE 的中点
求证：∠DAE=2
1
∠BAF 。

50、等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ， AB>CD ，AD=BC ，AC 和BD 交于O ，且所夹的锐角为60︒，E 、F 、M 分别为OD 、OA 、BC 的中点。

求证：三角形EFM 为等边三角形。

（2）若AB ＝8，CD ＝6，求PQS S ∆的值。

（3）若PQS S ∆∶AOD S ∆＝4∶5，求CD ∶AB 的值。

11、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． _ B
_ A
_A
_ B _ E
_ N
_ C
_ B
_ E
_ A _ B
求证：CE＝CF．Array
12、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA
求证：AE＝AF.。

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